大学课件 量子力学 微扰理论

|
(1) n
E (1) n
|
(0) n
Hˆ (0)
|
(2 n
)
Hˆ (1)
|
(1) n
E (0) n
|
(2 n
)
E
(1) n
|
(1) n
E
(2) n
|
(0 n
)
整理后得：
[Hˆ (0)
E n( 0
)
]
|
(0 n
)
0
[Hˆ (0)
E n( 0
)
]
|
(1) n
[Hˆ (1)
E
(1) n
Hˆ | n En | n
当H’ = 0 时， |ψn> = |ψn (0)> , En = E n (0) ；
当 H’ ≠ 0 时，引入微扰，使体系能级发生移动， 由 E n (0) → En ，状态由 |ψn (0)> →|ψn >。
为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为： Hˆ Hˆ (1)
二级修正。
（2）态矢和能量的一级修正
现在我们借助于未微扰体系的态矢|ψn (0)>和本征能量 E n (0)来 导出扰动后的态矢|ψn >和能量 En 的表达式。
1)能量一级修正λ E n (1)
根据力学量本征矢的完备性假定， H(0)的本征矢|ψn (0)>是完备的， 任何态矢量都可按其展开，|ψn (1)> 也不例外。因此我们可以将态 矢的一级修正展开为：
|
(1) n
|
(0 k
)
(0 k
)
|
(1) n
a (1) kn
|
( 0 )
k
k 1
k 1
代回前面的第二式并计及第一式得：
akn(1) = <ψk (0) |ψn (1) >
[ Hˆ (0) En(0) ]
a (1) kn
|
(0 k
)
[ Hˆ (1)
E n( 1 )
]
|
(0 n
)
k 1
| n
|
(0) n
a(1) kn
|
(0) k
kn
|
(0 n
)
kn
(0 k
)
|
Hˆ (1)
|
(0) n
En(0) Ek(0)
|
(0) k
|
(0) n
kn
(0) k
|
Hˆ
(1)
|
(0) n
En(0) Ek(0)
|
(0) k
|
(0 n
)
kn
(0) k
|
Hˆ
|
(0) n
E
(0) n
Ek(0)
|
(0) k
|
(0) n
kn
H k n En(0) Ek(0)
|
(0) k
与求态矢的一阶修正一样，求态矢的二级修 正,将|ψn (2) > 按 |ψn (0) > 展开：
|
(2) n
|
(0 k
)
(0) k
|
(2) n
a(2) kn
|
(0 k
)
k 1
k 1
与|ψn (1) >展开式一起代 入 关于 2 的第三式
|
Hˆ (1)
|
(0) k
(0) n
|
Hˆ (1)
|
(0) k
H (1) nk
在计算二级修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：
2. 当 m ≠ n 时
[Em(0) En(0) ]am(2n)
a H (1) (1) kn mk
E a (1) (1) n mn
k 1
a(2) mn
k 1
a H (1) (1) kn mk
a(1) kn
[
E k( 0 )
E
(0 n
)
]
mk
k 1
Hˆ
(1) mn
E (1) n mn
考虑两 种情况
1. m = n 2. m ≠ n
准确到一阶微扰的体系能量：
a(1) mn
[
E (0) m
En(0) ]
Hˆ
(1) mn
E (1) n mn
En(1)
Hˆ
(1) nn
(0) n
|
Hˆ (1)
Hˆ Hˆ (0) Hˆ 当Hˆ ' 0时,引入微扰,使体系能级发生移动,
由
E(0) n
En
,状态由|
(0) n
| n
H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 E n (0) ，
本征矢 |ψn(0)> 满足如下本征方程：
Hˆ (0)
|
(0) n
En(0)
|
(0) n
另一部分 H’是很小的（很小的物理意义将在下面讨论）可以看作加 在 H(0) 上的微小扰动。现在的问题是如何求解微扰后 Hamilton 量 H 的本征值和本征矢，即如何求解整个体系的 Schrodinger 方程：
E (0) n
E (0) m
H a (1) (1) nn mn
E (0) n
E (0) m
kn
[
E (0) n
(1) n
2
|
(2) n
)
乘开得：
2
Hˆ
(0)
|
(0) n
[Hˆ (0)
|
(1) n
Hˆ (1)
|
(0) n
]
[Hˆ
(0)
|
(2) n
Hˆ
(1)
|
(1) n
]
2
E(0) n
|
(0) n
[
E(0) n
|
(1) n
E (1) n
|
(0) n
]
[
E(0) n
|
(2) n
E (1) n
|
(1) n
a(1) kn
[
E
(0 k
)
E
(0 n
)
]
|
(0 k
)
[ Hˆ (1)
E n( 1 )
]
|
(0 n
)
k 1
左乘 <ψm (0) |
a(1) kn
[
E (0) k
E (0) n
]
(0) m
|
(0) k
(0) m
|
Hˆ (1)
|
(0 n
)
E (1) n
(0) m
|
(0) n
k 1
考虑到本征基矢的正交归一性：
证：
基于|ψn > 的归一化条件并考虑上面的展开式，
1 n | n
[
(0) n
|
(1) n
|]
•
[|
(0) n
|
(1) n
]
(0) n
|
(0) n
(0) n
|
(1) n
(1) n
|
(0) n
2
(1) n
|
(1) n
1
[ak(1n)
(0) n
|
(0 k
)
a (1) kn
*
(0) k
|
(0 n
例如，地球受万有引力作用绕太阳转动，可是由于其它 行星的影响，其轨道需要予以修正。
在这种情况下，计算所使用的方法是：首先把太阳和地球 作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影 响而发生的变化。
可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。 假设体系 Hamilton 量不显含时间，而且可分为两部分：
|
(0) n
a(1) mn
Hˆ
(1) mn
E (0) n
E (0) m
(0) m
|
Hˆ
(1)
|
(0) n
E (0) n
E (0) m
En
E (0) n
En(1)
En( 0 )
(0) n
|
Hˆ (1)
|
(0) n
En(0)
(0) n
| Hˆ (1)
|
(0) n
En(0)
(0) n
|
Hˆ
|
(0 n
[Hˆ (0)
E (0) n
]
a(2) kn
|
(0 k
)
[Hˆ (1)
E (1) n
]
a(1) kn
|
(0 k
)
E (2) n
|
(0 n
)
k 1
k 1
[
E
(0 k
)
En(0) ]ak( 2n)
|
(0 k
)
[ Hˆ (1)
E
(1) n
]
a (1) kn
|
(0 k
)
E
(2 n
)
|
(0 n
)
k 1
)
En(0) Hˆ nn
其中能量的一级修正等于微扰
Hˆ nn
(0) n
|
Hˆ
|
(0) n
Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值
2）态矢的一级修正 |ψn(1)>
|
(1) n
a(1) kn
|
(0) k
k 1
为了求出体系态矢的一级修正，我们先利 用扰动态矢|ψn >的归一化条件证明上式
展开系数中an n(1)= 0 （可以取为 0 ）。
第五章 微扰理论
1. 引言 2. 非简并定态微扰理论 3. 简并微扰理论 4. 变分法 5. 量子跃迁
1. 引言
（1）近似方法的重要性
前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决 了一些简单问题。如： 1）一维无限深势阱问题； 2）线性谐振子问题； 3）势垒贯穿问题； 4）氢原子问题。
这些问题由定态Sch.方程给出了问题的严格解析解。 然而，对于大量的实际物理问题，Schrodinger 方程能有精确 解的情况很少。通常体系的 Hamilton 量是比较复杂的，往往不 能精确求解。因此，在处理复杂的实际问题时，量子力学求问题 近似解的方法（简称近似方法）就显得特别重要。
mn
k 1
1. 当 m = n 时
0
a H (1) (1) kn mk
E a (1) (1) n mn
E (2) n
a(1) kn
H (1) kn
E (0) n
E (0) k
k 1
E(2) n
a H H a (1) (1) kn nk
(1) (1) nn nn
a H (1) (1) kn nk
近似方法:微扰法, WKB(半经典近似法),变分法,正则变换法 等是常用的近似方法.
（2）近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来 求较复杂问题的近似（解析）解。
（3）近似解问题分为两类
1）体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题 1.定态微扰； 2.变分法。
k 1
左乘态矢 <ψm (0) |
[
E (0) k
E (0) n
]a k( 2n)
(0) m
|
(0) k
a(1) kn
(0) m
|
Hˆ (1)
|
(0) k
k 1
k 1
正交归一性
E (1) n
a(1) kn
(0) m
|
(0) k
E (2) n
(0) m
|
(0) n
k 1
3）能量的二阶修正
[
2）体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题 1.与时间 t 有关的微扰理论； 2.常微扰。
2. 非简并定态微扰理论
（1）微扰体系方程 （2）态矢和能量的一级修正 （3）能量的二阶修正 （4）微扰理论适用条件 （5）讨论 （6）实例
（1）微扰体系方程
微扰法不是量子力学所特有的方法，在处理天体运行的 天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算 中需要考虑其他行星影响的二级效应。
E
(0) k
E (0) n
]ak( 2n)
mk
a(1) kn
(0 m
)
|
Hˆ (1)
|
(0 k
)
E (1) n
a (1) kn mk
En(2) mn
k 1
k 1
k 1
[
E (0) m
E (0) n
]a m( 2n)
a H (1) (1) kn mk
E a (1) (1) n mn
E (2) n
Байду номын сангаас
E(2) n
|
(0) n
]
3
[ ] 3
[
]
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到如下一系 列方程式:
0 :
Hˆ (0)
|
(0) n
E (0) n
|
(0 n
)
1 : 2 :
Hˆ (0)
|
(1) n
Hˆ (1)
|
(0) n
E (0) n
其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。
因为 En 、 |ψn > 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数 而将其展开成λ的幂级数：
En
E
(0) n
E
(1) n
2 En(2)
| n
|
(0) n
|
(1) n
2
|
(2) n
其中 En(
0
)
,
E (1) n
,
2
En(
2)
,L
,
分别是能量的0级近似，能量的一级修正和二级修正
等。
而|ψn (0)>, λ|ψn (1)>, λ2 |ψn (2)>, ... 分别是状态矢量 0 级近似，一级修正和二级修正等。
代入Schrodinger方程得：
(Hˆ (0)
Hˆ (1) )(|
(0) n
|
(1) n
2
|
(2) n
)
(
E (0) n
En(1)
2
E (2) n
)(|
(0) n
|
a(1) kn
|
(0) k
kn
(1
i
)
|
(0) n
a(1) kn
|
(0) k
kn
e i
|
(0 n
)
a(1) kn
|
(0) k
kn
上式结果表明，展开式中，an
(1) n
|ψn
(0)
>
项的存在只不过是
使整个态矢量|ψn > 增加了一个相因子，这是无关紧要的。所以我们可
取
=
0，即
an
(1) n
=
0。这样，
)
] 2
k 1
1
[ak(1n) nk
a (1) kn
* kn ] 2
k 1
1
[an(1n)
a(1) nn
*]
由于 归一， 所以
[an(1n)
a(1) nn
*]
0
0为了求[a出n(1n体) 系a态n(1n)矢*]的一0级修正R，e我[a们n(1n先) ]利 用0
扰动态矢|ψn >的归一化条件证明上式展开
]
|
(0 n
)
[Hˆ (0)
E n( 0
)
]
|
(2) n
[Hˆ (1)
E
(1) n
]
|
(1) n
E
(2 n
)
|
(0) n
上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分别是|ψn (1)
>和|ψn (2)>所满足的方程，由此可解得能量和态矢的第一、
k 1
kn
kn
kn
H H (1) (1)* kn kn
E (0) n
E (0) k
kn
|
H (1) kn
|2
E (0) n
E (0) k
H (1) kn
E (0) n
E (0) k
H (1) nk
在推导中使 用了微扰矩 阵的厄密性
H (1)* kn
(0) k
|
Hˆ (1)
|
(0) n
*
(0 n
)
系数中an n(1)= 0 （可以取为 0 ）。
an n (1) 的实部为 0。an n (1) 是一个纯虚数，故可令 an n (1) = i
（ 为实）。
| n
|
(0) n
a(1) kn
|
(0) k
|
(0) n
an(1n)
|
(0) n
a(1) kn
|
(0) k
k 1
kn
|
(0) n
i
|
(0) n