受弯、偏压构件计算例题

αs =
α1 fc bh2 0
ξ = 1 − 1 − 2α s = 0.101＜2as′/h0 = 0.174
说明受压钢筋 As′ 过多，破坏时不能达 f y′ (但不得减少)， 对受压钢筋合力作用点取矩可得 M 290 × 106 = = 1918mm 2 As = f y ( h0 − as′ ) 360 × ( 460 − 40 )
矩形截面钢筋混凝土梁，截面尺寸 b × h = 250mm × 500mm ，混凝土采用C25 2 （ fc=11.9N/mm2，ft=1.27N/mm2 ），纵向钢筋采用HRB400级（ f y = f y′ = 360N / mm ）， 一类使用环境（混凝土保护层最小厚度为25mm）。若弯矩设计值M=150kN· m。试确定梁内 纵筋数量。 解：由于受拉钢筋未知，故属于截面设计问题。
20 = 35mm ， h0 =h − as = 465mm 2 ⎧ ⎫ ft ⎪ ⎪ , 0.2%⎬ = 0.2% ， As,min = ρ min bh = 250mm 2 ρ min = max ⎨ 0.45 fy ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 按单筋截面计算（两个未知量 ξ 、As ） as = c + 150 × 106 = = 0.233 αs = 2 2 bh0 α1 fc 250 × 465 × 1 × 11.9 M
设计问题：特点是受拉钢筋未知。
单筋截面，当不满足计算公式的下限 时，应减小截面高度h ；当不满足计算公式 的上限时，可改为双筋截面计算。 双筋截面，当受压钢筋未知时（三个 未知数），可由用钢量最省且满足公式上 限先确定ξ，再由两个平衡方程求钢筋面 积，适用条件满足。 双筋截面，当受压钢筋已知时（两个 未知数） ，先由基本计算公式求出ξ ，当 不满足计算公式的下限 ξ ≥2as′ / h 0 时，说 明已有受压钢筋过多（但不可减少）不能 达屈服，可对受压钢筋合力作用点取矩近 似计算Mu ；当不满足计算公式的上限时， 说明已有受压钢筋不足，应按受压钢筋未 知情形计算受压和受拉钢筋面积。
取 as =as′ = 40mm， 0 =h − as = 460mm h 双筋截面有两个未知数，则由基本计算公式得 M − As′ f y′ ( h0 − as′ ) 290 × 106 − 1140 × 360 × ( 460 − 40 ) 1 × 11.9 × 250 × 460
2
αs =
α1 fc bh
As = 1256mm 2＞As,min = ρ min bh = 250mm 2
ξ=
bh0α1 fc
=
M u = ξ ( 1 − 0.5ξ ) bh2α1 fc 0 = 0.3269 × ( 1 − 0.5 × 0.3269 ) × 250 × 4652 × 11.9 = 176 × 106 N ⋅ mm = 176kN ⋅ m Mu = 1 2 pl , 8 p= 8M u 8 × 176 = = 39.1kN/m 2 2 l 6
2
αs =
α1 fc bh
2 0
=
= 0.4064
ξ = 1 − 1 − 2α s = 0.5673＞ξ b = 0.518
说明已有受压钢筋不足，应按 As′ 未知（三个未知数）重新计算 受压、受拉钢筋数量，计算结果同例2。
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【例5】：受弯构件正截面承载力设计问题：双筋，下限不满足。
条件同例1。但弯矩设计值M=290kN· m ，已有受压钢筋4 22（ As′ = 1520mm 2）。 试确定梁内纵向受拉钢筋数量。 解：属于截面设计问题。
取 as =as′ = 40mm， 0 =h − as = 460mm h 双筋截面有两个未知数，则由基本计算公式得 M − As′ f y′ ( h0 − as′ ) 290 × 106 − 1520 × 360 × ( 460 − 40 ) = = 0.096 1 × 11.9 × 250 × 4602
as = c +
ρ min
20 = 35mm ， h0 =h − as = 465mm 2 ⎧ ⎫ ft ⎪ ⎪ = max ⎨ 0.45 , 0.2%⎬ = 0.2% fy ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ As f y 1256 × 360 = 0.3269 ＜ξ b = 0.518 250 × 465 × 1 × 11.9
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f y′ ，近似取 ξ = 2as′ / h 0（此时受压钢
s
筋与受压区混凝土的合力作用线重 ′ 合） ，并对As 合力作用点取矩求Mu 。 单筋截面一般极少出现不满足计算公 式下限情形（出现少筋梁的破坏、承载力 很低）。 （备注）
【例1】：受弯构件正截面承载力设计问题：单筋，上、下限均满足。
选用受拉钢筋4
28 （As=2463mm2），受压钢筋3 12（ As′ = 603mm 2 ）。
（备注）
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【例3】：受弯构件正截面承载力设计问题：双筋，上、下限均满足。
条件同例1。但弯矩设计值M=290kN· m ，已有受压钢筋3 22（ As′ = 1140mm ）。
2
试确定梁内纵向受拉钢筋数量。 解：属于截面设计问题。
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一、受弯构件正截面受弯承载力计算
1. 正截面计算应力图形
α1 fc α1 fc
Mu h0 as'
ξ h0
Mu
ξ h0
As' fy '
h0
As fy
as
As fy
as
单筋矩形截面
双筋矩形截面
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2. 矩形截面受弯构件正截面受弯承载力 计算公式及适用条件
⎧ ⎧ As f y =ξ bh0α 1 f c ⎪计算公式： ⎪ ⎨ ⎪ 2 ⎪ M ≤M u =α s bh0α 1 f c ⎪ ⎩ 单筋矩形截面 ⎨ ⎪ : ⎧下限（保证不发生少筋梁的破坏） As≥As,min =ρ min bh ⎪ 适用条件： ⎪ ⎨ ⎪上限（保证破坏时纵向受拉钢筋达到屈服）：ξ ≤ξ b ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ ⎧ As f y =ξ bh0α 1 f c + As′ f y′ ⎪ ⎪计算公式： ⎨ 2 ⎪ ⎪ M ≤M u =α s bh0α1 f c + As′ f y′ ( h0 − as′ ) ⎩ 双筋矩形截面 ⎨ : ⎧下限（保证破坏时纵向受压钢筋达到屈服） ξ ≥2as′ / h0 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪适用条件： ⎪上限（保证破坏时纵向受拉钢筋达到屈服）：ξ ≤ξ b ⎩ ⎩ x 式中，相对受压区高度ξ = ，内力臂系数 α s = ξ ( 1 − 0.5ξ ) ，同时有 ξ =1 − 1 − 2α s h0
条件同例1。但弯矩设计值M=290kN· m。试确定梁内纵筋数量。 解：属于截面设计问题。
h0 =h − as = 465mm 290 × 106 按单筋截面计算 α s = 2 = = 0.451 bh0 α1 fc 250 ×4652 × 1 × 11.9 M
ξ = 1 − 1 − 2α s = 0.687＞ξ b = 0.518 ，单筋不行，可改用双筋。
选用受拉钢筋4
25 （As=1964mm2）。
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【例6】：正截面受弯单筋截面复核问题：上、下限均满足。
条件同例1。纵向受拉钢筋4 20 （As=1256mm2），求梁截面所能承受的弯矩设计值Mu=？若该
梁为计算跨度 l=6m 的简支梁，求梁上所能承受的均布荷载设计值（包括自重）。 解：属于单筋梁截面复核问题（两个未知量ξ、Mu ）。
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【例7】：正截面受弯单筋截面复核问题：上限不满足。
条件同例1。纵向受拉钢筋4 28 （As=2463mm2），求梁截面所能承受的弯矩设计值Mu=？若该
梁为计算跨度 l=7.2m 的简支梁，求梁上所能承受的均布荷载设计值（不包括自重）。
解：属于单筋梁截面复核问题（两个未知量ξ、Mu）。
28 = 39mm ， h0 =h − as = 461mm 2 ⎧ ⎫ ft ⎪ ⎪ ρ min = max ⎨ 0.45 , 0.2%⎬ = 0.2% ，As = 1256mm 2＞As,min = ρ min bh = 250mm 2 fy ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ As f y 2463 × 360 = = 0.6465 ＞ξ b = 0.518 , 为超筋梁 ξ= bh0α1 f c 250 × 461 × 1 × 11.9 as = c + M u = ξ b ( 1 − 0.5ξ b ) bh2α1 f c 0 = 0.518 × ( 1 − 0.5 × 0.518 ) × 250 × 4612 × 11.9 = 242.7 × 106 N ⋅ mm = 242.7kN ⋅ m 8M 1 8 × 242.7 M u = pl 2 , p = 2 u = = 37.45kN/m (包括自重) 2 8 l 7.2 扣除自重得 p′ =p − 1.2 × 25bh = 37.45 − 1.2 × 25 × 0.25 × 0.5 = 33.7kN/m
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不满足适用条件情形
复核问题：特点是配筋为已知（均为 两个未知数ξ 和Mu ）。
直接解联立方程求出ξ。 无论单筋或双筋截面，当不满足计算 公式的上限ξ≤ξb时，说明破坏时As达 不到 fy，近似取ξ=ξb，并对As合力作用 点取矩求Mu 。 双筋截面 当 不满足计算公式的下限 ξ ≥2as′ / h 0 时，说明破坏时 A′ 达不 到
25 （As=1964mm2）。
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【例4】：受弯构件正截面承载力设计问题：双筋，上限不满足。
条件同例1。但弯矩设计值M=290kN· m ，已有受压钢筋2 12（ As′ = 226mm 2 ）。 试确定梁内纵向受拉钢筋数量。 解：属于截面设计问题。
取 as =as′ = 40mm， 0 =h − as = 460mm h 双筋截面有两个未知数，则由基本计算公式得 M − As′ f y′ ( h0 − as′ ) 290 × 106 − 226 × 360 × ( 460 − 40 ) 1 × 11.9 × 250 × 460