用提公因式法进行因式分解的一般步骤
提取公因式法分解因式的步骤
提取公因式法分解因式的步骤公因式法是一种常用的因式分解方法，它通过提取多个代数式的公因式，将其进行合并简化，从而得到原始代数式的因式分解形式。
下面将介绍公因式法分解因式的具体步骤。
1.观察多项式中的各个项，寻找它们之间的公因式。
公因式是指可以同时整除多个项的代数式。
2.将找到的公因式提取出来，并用括号括起来。
提取公因式时，需要将公因式的系数和变量一同提取出来。
3.将原始多项式中的每一项除以提取出来的公因式。
这一步可以通过将每一项的系数与公因式的系数进行除法运算来实现。
4.将提取出来的公因式与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面。
这一步是将公因式和商相乘，重新得到原始多项式。
5.最后，将括号外面的结果与原始多项式进行比较，确保两者相等。
这一步是为了验证因式分解的正确性。
通过以上步骤，我们可以完成对多项式的因式分解。
下面通过一个具体的例子来说明公因式法的应用。
假设我们要对多项式3x^2 - 6x进行因式分解。
第一步，观察多项式中的各个项，发现它们之间的公因式是3x。
第二步，将公因式3x提取出来，并用括号括起来，得到3x( ).第三步，将原始多项式中的每一项除以公因式3x，得到(3x^2)/(3x) - (6x)/(3x)。
第四步，将提取出来的公因式3x与上一步得到的商相乘，并将结果写在括号外面，得到3x((3x^2)/(3x) - (6x)/(3x))。
第五步，化简括号内的表达式，得到3x(x - 2)。
将括号外面的结果与原始多项式进行比较，发现它们相等，因此得到的因式分解形式为3x(x - 2)。
通过以上步骤，我们成功地将多项式3x^2 - 6x分解为公因式3x和商(x - 2)的乘积形式。
总结起来，提取公因式法分解因式的步骤包括观察多项式中的各个项，寻找公因式，提取公因式并用括号括起来，将每一项除以公因式得到商，将公因式与商相乘得到因式分解形式，最后验证分解结果的正确性。
这一方法简单实用，可以帮助我们快速进行因式分解运算。
因式分解的主要步骤
因式分解的主要步骤因式分解是将一个多项式拆解为含有最简单项的乘积形式的过程。
它是代数学中一种非常重要的操作，广泛应用在代数方程、解析几何、线性代数、数论等领域。
本文将逐步介绍因式分解的主要步骤及其应用。
一、因式分解的基本概念在深入讨论因式分解的步骤之前，我们先来了解一些基本概念：1.因式：在代数学中指一个多项式中的乘法项。
2.因子：指一个整数能整除另一个整数，后者称为前者的因子。
在代数学中也称为多项式的因式。
3.因式分解：即将一个多项式拆解为含有最简单的乘法项的乘积形式的过程。
二、因式分解的步骤因式分解是一个逐步进行的过程，下面将逐步介绍其中的主要步骤。
1.提取公因式当一个多项式所有的项都能被一个公因子整除时，我们可以先提取这个公因子，将其分解为一个公因子与一个较简单的多项式相乘。
例如，对于多项式3x^2-9x，我们可以先提取公因子3，得到3(x^2-3x)。
2.因式分解二次多项式二次多项式是指次数最高为2的多项式。
因式分解二次多项式需要求出其根，并将其表达为一个一次因式与一个一次或二次因式相乘的形式。
以x^2+5x+6为例，我们需要找到其两个根x=-2和x=-3，然后将其分解为(x+2)(x+3)的形式。
3.两项的平方差公式平方差公式是因式分解中常用的一种技巧，用于将两个平方项相减的结果因式分解为两个因数的平方差。
平方差公式的表达式为a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为(x+2)(x-2)。
4.两项或多项的平方和公式平方和公式是因式分解中另一种常用的技巧，用于将两个平方项相加的结果因式分解为两个因数的平方和。
平方和公式的表达式为a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)，其中i为虚数单位。
例如，对于多项式x^2+4，我们可以将其因式分解为(x+2i)(x-2i)。
5.分组法分组法是一种适用于多项式中包含四个或更多项的情况的因式分解方法。
它的基本思想是将多项式的项按照其中一种规则进行分组，然后进行因式分解。
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
提公因式法的概念
提公因式法的概念提公因式法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解。
通过找出多项式中的公因式，并提取出来，可以简化多项式的形式，使之更易于理解和计算。
该方法通常应用于代数运算和解方程等数学问题中。
提公因式法的核心思想是将多项式表达式中的每一项进行因式分解，找出它们之间的公因子，并提取出来。
通过这种方式，可以将多项式分解为更简单的形式，使之更易于处理和分析。
具体应用提公因式法进行因式分解的步骤如下：1.首先，将多项式按照加减号分成多个项，如将3x^2 + 5x -2x^3 + 6按照加减号分成四个项。
2.然后，观察每个项之间是否存在公因子。
公因子是指每一项都能够整除的因子。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，3是第一个项和第四个项的公因子，而x是第一个项和第三个项的公因子。
3.确定了公因子后，将这个公因子提取出来，并将其乘以剩余的部分，得到分解后的形式。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，公因子3可以提取出来，得到3(x^2 + 5/3x - 2x^3/3 + 2)。
4.进一步分解剩余部分的多项式，重复上述步骤，直到无法再分解为止。
提公因式法的优点是可以大大简化多项式的形式，使之更易于处理和计算。
通过找出公因子，并将其提取出来，可以将多项式的求解问题转化为更简单的形式，例如可以将求解方程转化为求解一次方程或二次方程的问题。
此外，提公因式法还可以用于多项式的乘法和约分运算。
在进行多项式的乘法运算时，可以通过提取公因子的方法，将复杂的运算转换为简单的乘法运算。
而在进行多项式的约分运算时，也可以利用公因子提取的方法，将多项式约分为最简形式。
需要注意的是，提公因式法只适用于多项式之间存在公因子的情况。
当多项式之间没有公因子时，无法通过提取公因子的方法进行因式分解。
此时，可以尝试其他的因式分解方法，如配方法、二次差分等。
综上所述，提公因式法是一种数学方法，通过找出多项式中的公因子，并将其提取出来，将多项式进行因式分解。
因式分解的几种常用方法1
例如:分解 x 2 - 10 x + 21
1 -3
x - 3 x - 7
1
-7
注意:处理系数时要带符号一起处理
所以:原式= ( x - 3 ) ( x - 7 )
例2 分解因式 3x －10x＋3 2 x 解：3x －10x＋3 =(x－3)(3x－1) 3x
2
2
Hale Waihona Puke －3－1 －9x－x=－10x ＋3
x 7x 6x
横写因式不能乱。
分解因式： x 2 5x 6 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要 等于5。 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从 中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个 因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项 的系数。
1 3( x 2 3 x)
3. ① （2006年长春市 ）已知：抛物线的解析式为y=x2+3x+2,那么 该抛物线与X轴的两个交点坐标为 (-1,0) ; (-2,0) 。
②（变式）已知：抛物线的解析式为 y=x2-（2m-1）x+m2-m．则 此抛物线与x轴的两个交点坐标为 （m , 0）;（m-1 , 0） 。
分析:把“x4+x2”作为一个整体，用一个新字母代替， 从而简化式子的结构.
解：令x4+x2=m，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m2-m-12+10 =m2-m-2 =(m-2)(m+1) =(x4+x2-2)(x4+x2+1) =(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1) =(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
因式分解的常用方法(最全版)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1 ）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2 ）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法. ：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：( 1 ) (a+b)(a - b) = a 2 - b 2 ----------- a 2 - b 2 =(a+b)(a - b) ；(2) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab+b 2 --------- a 2 ± 2ab+b 2 =(a ± b) 2 ；(3) (a+b)(a 2 - ab+b 2 ) = a 3 +b 3 --------- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 - ab+b 2 ) ；(4) (a - b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 - b 3 -------- a 3 - b 3 =(a - b)(a 2 +ab+b2 ) ．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ；(6)a 3 +b 3 +c 3 - 3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 - ab - bc - ca) ；例. 已知是的三边，且，则的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1 、分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 --------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
14.3 因式分解(提公式法)
举一反三
(1)a(a2+b2)-c(a2+b2) (2) 4m(n-3)+2(n-3) (3)2a(x-y)-3b(y-x) (4)4q(1-p)3+2(p-1)2
课堂小结
1．分解因式？
2．确定公因式的方法？
一看系数 二看字母 三看指数 3、提公因式法分解因式步骤(分三步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。 4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
做 提公因式法 .
思考：如何找公因式？
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因
式
4
最大公约数
ab
相同字母
a b2
最低指数
观察 方向 一看系数
二看字母
三看指数
知识要 点3
确定公因式的方法：
（1）公因式的系数是多项式各项系数的 最大公约数；
（2）字母取多项式各项中都含有的相同 的字母；
（3）相同字母的指数取各项中最小的一 个，即最低次幂．
14.3 因式分解
——提公因式法
新课导入
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1.
根据上面的运算，你能把下列 多项式写成整式的乘积的形式:
(1)x2+x=____x_(_x_+_1_)__; (2)x2 – 1=__(_x_+_1_)_(x_-_1_) .
知识要 点1
公共的因式 m 多项式ma+mb+mc，它的各项都含有一个公共 的因式m，我们把因式m叫这个多项式各项的 公因式。
知识要 点2
ma+mb+mc =m(a+b+c) 这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的 形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一 个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以 m所得的 商,像这种分解因式的方法叫
因式分解技巧讲解002
七、综合运用及技巧
1、换元（即整体法）
因式分解时可以用一个字母代替一个整式，也可以将原式中的某个部分变形后的式子用
一个字母代替，（一般都是既约多项式），分解完后再将其带入。
2、主次分清
我们在处理一个项数多的多项式的时候，可以按照一个主要字母（任选）的降幂整理后，
然后分解。
十字相乘法解决。
[例]分解因式：6x2-7x+2
解：采用类似的办法：把6分解成2×3，写在第一列；把2分解成(-1)×(-2)，写在第二
列；然后交叉相乘，把积相加，最后把得到的和写在横线下面。如下：
2 -1
3 -2
-7
这个和恰好是一次项的系数，于是有：
上面的算式称之为长十字相乘，式子中的三个十字，就是上面所说的三个十字相乘，我
们省略了横线及其底下的数。
如果二次式中的缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用。
[例]分解因式：x2-y2+5x+3y+4[缺少含有字母的项]
解：由如下算式
(x) (y) (1)
1 1 1
=2a2b(x+y)(b+c)[(x+y)+3a3b3(b+c)]
=2a2b(x+y)(b+c)(x+y+3a3b4+3a3b3c)
其实这是一种整体的思想，在因式分解中应用广泛。
3、切勿漏1
4、注意符号
在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变。
5、化“分”为整
数学论文——因式巧分解
史虓
◎综述
所谓多项式的因式分解，是把一个多项式写成几个整式的积的形式。因式分解并不复杂，
提公因式法的三个步骤
提公因式法的三个步骤提公因式法是一种常用的代数方法，用于将多项式进行因式分解。
它可以将多项式中共同的因式提取出来，使得多项式变得更加简单，是解决代数问题的重要工具。
下面我们将介绍提公因式法的三个步骤。
第一步：找出公因式在使用提公因式法时，首先需要找出多项式中的公因式。
所谓公因式，就是多项式中所有项的共同因子。
通常来说，公因式是多项式中最高次项的系数和变量的乘积。
例如，对于多项式2x^2+4x，它的公因式为2x。
因为2x可以因式分解为2*x，而2和x分别是2x^2和4x的因子。
因此，我们可以将2x提取出来，得到2x(x+2)。
第二步：将公因式提取出来在找到公因式之后，我们需要将它从多项式中提取出来。
这一步可以通过将每一项都除以公因式来实现。
例如，对于多项式2x(x+2)，我们可以将2x提取出来，得到2x(x+2)=2x*1*(x+2)。
第三步：将提取出来的公因式和剩余部分相乘最后一步是将提取出来的公因式和剩余部分相乘，得到原始的多项式。
例如，对于多项式2x(x+2)，我们提取出来的公因式为2x，剩余部分为(x+2)，那么我们可以将它们相乘，得到原始的多项式2x^2+4x。
通过以上三个步骤，我们就可以使用提公因式法将多项式进行因式分解。
在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活运用，找到多项式中的公因式，并将其提取出来，最终得到简化后的多项式。
需要注意的是，提公因式法只适用于多项式中存在公因式的情况。
如果多项式中不存在公因式，就需要使用其他的方法来进行因式分解。
此外，在实际应用中，我们还需要注意多项式的次数和项数，以便选择最合适的方法进行因式分解。
提公因式法是一种常用的代数方法，可以将多项式进行因式分解，使得代数问题变得更加简单。
通过掌握提公因式法的三个步骤，我们可以更加灵活地运用它来解决实际问题。
因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
提取公因式法分解因式的步骤
提取公因式法分解因式的步骤一、引言在代数学中，我们经常需要对多项式进行因式分解，以便更好地理解和处理问题。
其中一种常用的因式分解方法就是提取公因式法。
本文将详细介绍提取公因式法分解因式的步骤和方法。
二、什么是公因式在开始介绍提取公因式法之前，我们首先要了解什么是公因式。
在一个多项式中，如果某一个因子能够被所有的项整除，那么它就是这些项的公因式。
例如，在多项式2x+4y中，2是这两项的公因式。
三、步骤一：观察多项式中的公因式在使用提取公因式法分解因式之前，我们首先要仔细观察多项式，找出其中的公因式。
公因式可以是一个常数或者一个变量，也可以是它们的乘积。
四、步骤二：提取公因式一旦我们找到了多项式中的公因式，我们就可以开始提取公因式。
具体来说，我们需要将公因式提取出来，然后将其乘以剩下的部分。
五、步骤三：简化多项式在提取公因式后，我们需要对剩下的部分进行简化。
具体来说，我们需要将剩下的部分通过除以公因式来得到一个简化的表达式。
六、步骤四：检查是否还有公因式在简化多项式后，我们需要再次观察是否还有公因式。
如果还有公因式，我们需要继续提取公因式并简化多项式，直到没有公因式为止。
七、例题演示为了更好地理解提取公因式法的步骤，我们来看一个例题的演示。
例题：将多项式4x^2y+8xy^2分解因式。
解：首先，观察多项式中的公因式。
我们可以发现4是这两项的公因式。
然后，我们提取公因式4，得到4(x^2y+2xy^2)。
接下来，我们简化剩下的部分(x^2y+2xy^2)。
在这个剩下的部分中，我们可以发现xy是这两项的公因式。
我们提取公因式xy，得到最终的分解结果4xy(x+y)。
八、总结通过以上的例题演示，我们可以清楚地看到提取公因式法的步骤。
首先，我们观察多项式中的公因式；然后，提取公因式并简化多项式；最后，重复以上步骤，直到没有公因式为止。
这种方法简单而有效，可以帮助我们快速分解因式。
九、应用和扩展提取公因式法不仅可以用于分解因式，还可以应用于其他代数运算中。
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解培优说课教学复习课件
(6)mn(m－n)－m(n－m)2
＝mn(m－n)－m(m－n)2
＝m(m－n)[n－(m－n)]
＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m)．
课堂小结
确定公因式的方法：三定，
公因式为
多 项 式
因 式
分 解
注
意
即定系数；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提
公因式
1.分解因式是一种恒等变形；
C．x＋y
D．x－y
导引：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转
化为＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，
由此可确定剩余的因式．
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一
个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练
把下列各式因式分解：
（1） x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)
＝(m－2)(a－b)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)[2(x－y)＋3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．
(n是奇数）
(2) a+b与b+a 相等.
(a+b)n = (b+a)n
(n是整数）
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”
号，使等式成立：
－
(1) (a-b) =___(b-a);
因式分解常见方法
第二讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。
因式分解的一般步骤：先看有没有公因式，若有立即提出；然后看看是几项，若是二项式则用平方差公式、立方和公式或立方差公式；若是三项式用完全平方公式或十字相乘法；若是四项及以上的式子用分组分解法，要注意分解到不能分解为止，还要注意题目要求什么范围内分解。
一、提取公因式提取公因式的定义：就是从各项中提取公共因式，直到不能提取为止。
提取公因式的步骤：第一步，各项系数取最大的公约数；第二步，字母取各项都有的字母；第三步，字母的指数取各项指数中最小的。
典例激活【例1】分解因式1a2b−5+a5−b; 2a2x−2a2+a2a−x3.解∶1a2b−5+a5−b=a b−5a−1.2a2x−2a2+a2a−x3=a2x−2a2−a x−2a3=a x−2a2a−x−2a=a x−2a2a−x+2a=a x−2a2(3a−x)延伸训练分解因式1.2x4y2−4x3y2+10xy4.2.8a−b2−12b−a.3.5x n+1−15x n+60x n−1.二、公式法我们在初中已经学习过了一些乘法公式：（1）平方差公式：a+b a−b=a2−b2;（2）完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式：a+b a2−ab+b2=a3+b3;（2）立方差公式：a−b a2+ab+b2=a3−b3;把这两式反过来，就得a3+b3=a+b a2−ab+b2；a3−b3=a−b a2+ab+b2.其特点是：等号左边是两数的立方和（或差），等号右边是二数和（或差）与一个三项式的积，三项式中有两项为这两数的平方，另一项为这两数的积，其符号与左边中间的符号相反。
运用这两个公式，可以把形式是立方和（或差）的多项式分解因式。
典例激活【例1】把下列多项式分解因式1a3+8; 227−8y3.解：1a3+8=a3+23=a+2a2−2a+22=a+2(a2−2a+4)227−8y3=33−2y3=3−2y32+6y+2y2=3−2y(9+6y+4y2)【例2】分解因式：13a3b−81b4;2a7−ab6.分析：（1）中应先提取公因式再进一步分解；（2）中提取公因式后，括号内出现a6−b6,可看成是(a3)2−(b3)2或(a2)3−(b2)3.解：13a3b−81b4=3b a3−27b3=3b a−3b a2+3ab+9b2(2)a7−ab6=a a6−b6=a a3+b3a3−b3=a a+b a2−ab+b2a−b a2+ab+b2=a a+b a−b a2+ab+b2a2−ab+b2.延伸训练分解因式1.−a4+16.2.3x+2y2−x−y2.3.m2+3m2−8m2+3m+16.4.x2+y2−z22−4x2y2.5.3a b−1−24a4b−1.三、分组分解法分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。
(完整版)因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解的方法
1．分解因式(1+y) 2-2x2 (1+y2)+x 4(1-y) 2。
2．求证：对于任何实数 x,y，下式的值都不会为 33： x 5+3x 4y-5x 3y2-15x2y 3+4xy 4+12y 5。
3．△ABC 的三边 a、b、c 有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
如果如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 x2+mx+n=(ax+b)(cx+d)。
图示如下：
a
b
×
c
d
例 8：7x2-19x-6
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因 式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
（10）待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式 分解。
例 14：在分解 x 4-x 3-5x2-6x-4 时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个 二次因式。
于是设 x 4-x 3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x 4+(a+c)x 3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得 a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4。 解得 a=1，b=1，c=-2，d=-4。 则 x 4-x 3-5x 2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)。