数学分析课程教学大纲_
数学分析教学大纲
数学分析教学大纲
一、教学目的
1、掌握分析几何的基本概念，具有对函数概念的基本认识，了解函
数的定义、表示法、域、值、图象等；
2、掌握分析几何的基本知识，能解决简单的函数的图标、极限、极
值问题，以及函数的导数问题；
3、具有良好的文字描述、符号说明及图形表示函数的能力，培养学
生从多个角度和不同维度思考问题的能力；
4、学会利用科学计算器和其它数学软件进行计算和研究，使学生能
够熟练地使用科学计算器进行科学计算。
二、教学内容
1、简介分析几何：了解概念、表示法、域、值、图象及其基本结构等；
2、基本概念：函数、上下界、定义域、值域、函数的增减性、单调性、奇偶性、周期性等；
3、函数的图象：定义域和值域的概念，绘制函数图象的方法，求函
数图象上特定点的特征；
4、极限：极限的概念，求函数极限的方法，利用极限解决实际问题；
5、极值：求函数极值的方法，利用极值解决实际问题；
6、导数：函数的导数的概念，求函数导数的方法，利用导数解决实
际问题；
7、科学计算器的应用：熟练操作科学计算器，掌握函数和曲线的绘制技术。
数学分析课程思政教学大纲
数学分析课程思政教学大纲数学分析课程思政教学大纲引言：数学分析是大学数学的重要基础课程之一，它以逻辑严密、抽象高深的数学思维为核心，培养学生的数学分析能力和解决实际问题的能力。
然而，数学分析课程的教学往往被认为是枯燥乏味的，难以引起学生的兴趣和学习动力。
为了充分发挥数学分析课程的思政教育功能，提高学生的思想道德素质和创新能力，制定一份合理的思政教学大纲势在必行。
一、课程目标1. 培养学生的数学思维能力。
通过数学分析的学习，培养学生的逻辑思维、抽象思维和创新思维能力，提高学生的数学分析能力。
2. 培养学生的独立思考能力。
引导学生在数学分析问题中独立思考、自主解决问题，培养学生的独立思考能力和解决实际问题的能力。
3. 培养学生的团队合作精神。
通过小组合作学习、讨论分析问题，培养学生的团队合作精神和沟通协作能力。
4. 培养学生的社会责任感。
通过案例分析和实际问题解决，引导学生关注社会问题，培养学生的社会责任感和公民意识。
二、课程内容1. 数列与级数。
引导学生了解数列与级数的基本概念和性质，掌握数列极限、级数收敛等重要概念和定理。
2. 函数与极限。
引导学生理解函数极限的概念和性质，掌握函数极限的计算方法和应用。
3. 连续函数与导数。
引导学生掌握连续函数的定义和性质，理解导数的概念和几何意义，掌握导数的计算方法和应用。
4. 微分中值定理与泰勒公式。
引导学生掌握微分中值定理和泰勒公式的概念和应用，培养学生的数学证明能力。
5. 不定积分与定积分。
引导学生掌握不定积分和定积分的概念和性质，掌握不定积分和定积分的计算方法和应用。
三、教学方法1. 理论与实践相结合。
将数学分析的理论知识与实际问题相结合，通过案例分析和实际问题解决，激发学生的学习兴趣和思考能力。
2. 课堂互动式教学。
采用讲授、讨论、探究等多种教学方法，引导学生积极参与课堂讨论和问题解决，培养学生的独立思考和团队合作能力。
3. 提供多样化的学习资源。
为学生提供丰富的学习资源，如教材、教辅、网络资源等，让学生能够根据自己的兴趣和需求进行深入学习和拓展。
数学分析》教学大纲
《数学分析》教学大纲一、课程性质、地位和作用《数学分析》是数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的最重要的专业基础课和核心必修课。
本课程理论严谨、系统性强。
通过本课程的学习，要使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法,为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，具备熟练的运算能力和技巧，提高建立数学模型，并应用微积分学这一工具解决实际应用问题的能力，为今后从事基础数学和应用数学方面的研究打下扎实的理论基础。
二、课程教学对象、目的和要求本课程适用于数学与应用数学、信息与计算科学等本科专业。
课程教学目的、要求：了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的历史背景及数学思想.掌握微积分学的基本理论, 方法和技巧,并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。
能较熟练地应用微积分学的思想方法解决实际问题。
1、重视微积分学理论的产生离不开物理学，天文学,几何学等学科的发展。
在教学实践中应强化微积分学与相邻学科的联系，强调应用背景。
2、重视相关知识的整合,将一元函数与多元函数的极限,连续及求导(微分）整合，将不定积分与定积分的计算方法整合,将重积分和线面积分整合，将反常级数与反常积分的收敛性整合, 将函数列, 函数项级数和含参量反常积分的一致收敛性整合。
3、除体现本课程严格的逻辑体系外, 要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法。
４、为了提高学生的数学修养,应重视基本定理的论证。
用ε－δ的思想贯穿于极限的存在性，定积分的存在性，(一致)收敛性及(一致)连续性等理论的论证中。
５、以课堂教学为主, 重视习题课对学生理解掌握所学知识的作用.6、重视实数理论体系对学习微积分学理论和建立现代数学观点的不可或缺的作用。
三、相关课程及关系本课程在大学本科第一、二、三学期开设，是数学与应用数学、信息与计算科学等本科专业的最重要的专业基础课,是所有后继专业课程（如:微分方程、概率论与数理统计、复变函数、实变函数、泛函分析、计算方法、微分方程数值解等等）的基础。
《数学分析》课程教学大纲
《数学分析》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。
本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程，以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。
本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，数学的逻辑性，严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。
（二）教学目的和要求本课程教学目的是通过系统的学习，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。
1、掌握——能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论较进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。
包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类积分、级数和函数项级数的敛散性、幂级数的概念、性质、计算及应用。
2、理解——能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。
包括泰勒公式、函数图像的讨论、实数完备性基本定理的内容、证明及应用、一般有理函数的不定积分及万能变换、欧拉变換、隐函数定理的证明、各类敛散问题中的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法、傅里叶级数的概念、性质、计算与应用、斯托克斯公式。
数学分析教学大纲
《数学分析》教学大纲第一部分说明一、本课程的目的、任务。
本课程是数学与应用数学和信息与计算科学两个专业的一门主要基础课，通过本课程的教学，一方面为后续课程，如：实变函数、复变函数、泛函分析，微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论、理论力学等课程及有关的选修课等提供必要的基础知识，另一方面为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，为学生进一步深造以及指导中学数学的教学打下良好基础。
本课程的任务是使学生获得有关函数、极限、函数的连续性、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论及其应用等方面的基本概念、基本理论与基本方法，从而能用更高的观点深入理解和分析处理中学数学教材的能力和解决实际问题的能力。
并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。
二、本课程的教学要求。
通过本课程的学习，使学生掌握极限理论、级数理论、微分理论及积分理论的基本概念和基本理论，熟练的掌握本课程所要求的基本计算方法和能力，基本的推理论证能力，抽象思维能力，逻辑思维能力，增强运用数学手段解决实际问题的能力。
教学重点：准确掌握极限、连续、微分和积分的概念、性质及计算；熟练掌握微分理论、积分理论和级数理论中的基本定理（实数完备性定理、中值定理、微积分基本定理、函数项级数的收敛理论、隐函数定理、曲面及曲线的积分定理）；正确地应用这些基本定理解决数学、物理及其他方面的实际问题。
教学难点：主要集中在极限论和级数论的内容中。
训练设计方案：（1）布置课后作业注重锻炼学生的解题能力，适当布置思考题培养学生分析问题的能力和创新能力。
（2）指定问题课后讨论。
自学指导方案：（1）对下节课所讲内容作课前预习；（2）对部分章节的了解性的内容提出问题让学生自学并课上讨论；（3）指定课外参考书让学生阅读或让学生上网查阅相关资料加深对课程理解。
与其它课程的联系：为后续课程常微分方程，概率论与数理统计，偏微分方程，复变函数，计算方法，实变函数与泛函分析等提供理论基础和工具。
数学分析教学大纲
《数学分析》教学大纲学时数:256一、课程性质和目的本课程是数学与应用数学专业的一门重要基础课。
本课程的教学目的是使学生较系统地掌握数学分析的基础理论和基础知识，能熟练地进行基本运算，具有较强的分析论证能力、能深入理解和分析处理，中学教学教材，具备一定解决实际问题的能力，培养创新意识，为学习后续课程打下基础。
二、课程教学内容与基本要求第一学期（78学时）第一章变量与函数（讲授3课时，习作1课时，共4学时）掌握变量与函数（包括复合函数、反函数、基本初等函数）的概念及基本性质。
作业量：§1的1/4；§2, §3，的1/2。
重点：各类函数定义及性质。
（难点：严格单调函数的反函数也严格单调定理）第二章极限与连续（讲授26课时，习作14课时，共40学时）掌握数列极限定义及性质、无穷大（小）量概念极其运算；掌握函数极限定义及性质；掌握连续函数的定义、性质及函数间断点的分类。
作业量：课后习题的3/4。
重点：“ε—N”，“ε—δ”定义的掌握与应用（难点：“ε—N”，“ε—δ”定义的理解与应用）阶段考试（2学时）：笔试。
第四章导数与微分（讲授6学时，习作4学时，共10学时）理解导数与微分的意义，掌握导数与微分的定义及基本公式、运算法则；掌握高阶导数与高阶微分及不可导之例。
掌握反函数、复合函数、隐函数及参数方程表示函数的求导法及微分法。
作业量：课后习题之4/5重点：求导数、求微分（难点：分段函数分段点处的到数，高阶导数）第五章微分基本定理及其应用（讲授16学时，习作8学时，共24学时）掌握微分基本定理及其证明，掌握该定理的各种应用，掌握用导数研究函数用解决实际问题的方法，掌握各种不定型极限求值。
作业量：§1的全部，§2的2/3，§3的3/4，§4的1/2，§5的全部重点：各种应用（难点：证明）期末考试笔试：（统一安排）第二学期（92学时）第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明（讲授16学时，习作8学时，共24学时）掌握子例定义，上（下）界定义，新闻实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西准则等）。
《数学分析》课程教学大纲.doc
《数学分析》课程教学大纲.doc《数学分析》课程教学大纲（理工科师范类数学教育专业）说明数学分析是理工科师范类数学教育专业的一门必修的基础课。
这门课程对于学员加深理论基础的学习，增强基木技能的训练，提高数学修养和业务素质，以便居高临下地分析和处理中学数学教材，有着重要作用。
本课程以极限概念为基础，主要内容为一元微积分的理论和应用。
本课程的教学目的一要求是：一、使学员对极限思想与方法有较深刻的认识，弄清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，学习科学的思想方法，以利于辩证唯物主义世界观的培养与形成。
二、使学员掌握数学分析的基本知识、基本理论与基本技能，提高抽象思维、逻辑推理与运算的能力，并认识到数学分析在白然科学与社会科学中的广泛应用。
三、使学员对中学数学的有关内容有较深刻的理性认识，能深入浅出地处理好这些教材内容。
本大纲是在国家教委1990年颁布的《中学教师进修高等师范专科数学分析教学大纲》基础上修订而成。
本课程课内学时为288学时，其中录像220学时（学时分配见下表）。
大纲内容一、函数（一）目的要求1、正确理解和掌握函数概念，了解函数的各种表示法和记号；理解和掌握函数的四则运算与复合，会求函数的定义域；掌握反函数的定义和图象等。
2、理解和掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念。
3、熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质，能熟练地绘出它们的草图。
4、了解几个常用的非初等函数的例子。
（二）主要内容1、函数概念（函数概念绝对值不等式定义域值域函数的符号图象函数的各种表示法）2、函数的特性种类（有界函数与无界函数单调函数奇函数与偶函数周期函数）3、函数的四则运算与复合4、反函数（定义存在的充要条件图象）5、基木初等函数（帛函数指数函数对数函数三角函数反三角函数）6、初等函数（基本初等函数初等函数）7、几个非初等函数的例子（整数部分函数小数部分函数符号函数狄里赫勒函数黎曼函数）二、极限（一）目的要求1、理解和掌握数列极限与函数极限的概念，掌握它们的有关性质。
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数学分析课程教学大纲
（Mathematical Analysis ）
课程性质：学科基础课
适用专业：数学与应用数学
先修课程：高中数学
后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积
分方程、非线性分析
总学分：18
教学目的与要求：
1. 通过本课程的讲授与作业， 应使学生：
（1） 对极限思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点；
（2） 正确理解数学的基本概念，基本掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能
和初步应用的能力。
2. 本课程要求总学时数为300学时，其中讲授课约220学时，习题课约80学时。
下面各节标题后所列时数指讲授时数。
3. 本大纲附有课程标准（教学要求），供授课时按学生水平、教学计划实际课时数灵活掌握。
4. 实施本大纲时应密切关注中学数学教材的变化，随时调整教学内容。
一. 实数集与函数（8学时）
实数集， Archimedes 性质，区间与邻域。
函数（映射，包括单、满、双射），反函数，复合函数，初等函数，一些特殊类型的函数（奇、偶函数，周期函数，有界函数，单调函数）。
有界数集，确界原理，涉及确界的一些运算，否定。
注：1. “涉及确界的一些运算”指涉及sup(A ∪B ), sup (A + B ), sup(λA )等的一些结果。
2. “否定”指逻辑中关于“和”与“或”、“所有”与“存在”的两个否定法则。
二. 极 限（24学时）
收敛数列及其性质，定向发散数列，扩张的实数系。
单调数列的极限，n n n
)11(lim +。
闭区间套定理，数集的聚点及聚点定理，数列的极限点与收敛子列定理，数列的Cauchy 准则，*数列的上、下极限。
函数的极限及其性质Heine 定理，单调函数的极限，函数极限的Cauchy 准则，x x x sin lim 0→, x x x
)11(lim +∞→, 复合函数的极限，无穷小量、无穷大量及其阶。
注：1. 注意收敛数列与定向发散数列、数列极限与函数极限在处理上的一致性。
2. 建议证明确界原理 ⇒ 有界单调列定理 ⇒ Archimedes 性质＋闭区间套定理 ⇒ 聚点定理 ⇒ 收敛子列定理⇒ Archimedes 性质＋Cauchy 准则。
三. 连 续 函 数（10学时）
函数的连续性，间断点及其分类，连续函数的局部性质和四则运算，复合函数与反函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质－有界性、介值性、最值性、一致连续性。
四. 一 元 函 数 微 分 学（22学时）
导数与导函数，求导法则，基本初等函数的导数，高阶导数及其法则，由参数方程表示的函数的导数，无穷导数。
微分与高阶微分。
极值与Fermat 定理，Darboux 定理，Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理，中值定理的一些应用（判断函数的单调性，证明恒等式与不等式等），L ’Hospital 法则，Taylor 公式。
凸函数及其判定法则，Jensen 不等式及其应用，凸函数的连续性与可微性。
极值的充分条件，最大、最小值，拐点，渐近线，函数图象的作法，*方程的近似解。
注：1. 微分学的教学中应注意解决中学数学中的遗留问题。
2. 应向学生说明对)
()(x g x f 应用L ’Hospital 法则时可以只要求g (x )→∞。
3. 微分及Taylor 公式对近似计算的应用并入Taylor 级数。
五. 一 元 函 数 积 分 学（32学时）
原函数与不定积分，分解积分法，换元积分法，分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式积分法，简单的无理函数积分法，积分表的用法。
定积分，Newton-Leibniz 公式，可积性条件与可积函数类。
定积分的性质（线性与不等式性质，区间可加性，换元积分法，分部积分法，第一、二积分中值定理等）。
微积分基本定理，*上、下积分。
广义积分及其性质，用定义、换元、分部积分计算广义积分，广义积分收敛性的判别法。
可加区间函数，微元法，定积分应用举例（简单平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体体积，曲线弧长，功、压力、平均值等）。
注：1. 可以说明用积分定义对数函数，并由它定义指数函数、幂函数的方法。
2. 建议两种广义积分的定义统一处理。
3. 可积性条件仍以证明为宜。
六．数 项 级 数（12学时）
级数， 收敛级数及其性质，Cauchy 准则。
绝对收敛级数及其判别法（比较判别法、检比法、检根法、*Raabe 判别法）。
收敛的其它判别法（Leibniz 、Dirichlet 、Abel 判别法），数项级数与广义积分的关系，积分判别法，*Gauss 判别法。
加括号与去括号，绝对收敛级数的重排，*条件收敛级数的重排，*级数的乘法。
注：建议分别用与∑−p n )
1(1、∑n ln ln 1比较证明Raabe 、Gauss 判别法。
七. 函 数 项 级 数（24学时）
函数列与函数项级数的逐点收敛与一致收敛，一致收敛性的判别法（函数列一致收敛的充要条件，Cauchy 准则，M 、Dirichlet 、Abel 判别法），极限函数与和函数的连续性，*Dini 定理，逐项微分与逐项积分，对计算广义积分的应用。
幂级数及其收敛半径、收敛区间，内闭一致收敛，幂级数的和函数的连续性，Abel 连续性定理，幂级数的逐项微分与逐项积分。
Taylor 级数，函数的Taylor 级数的求法，*对近似计算的应用。
函数的Fourier 级数及其求法，奇延拓与偶延拓，正交函数系，Bessel 不等式，*收敛定理的证明，*平均收敛，Fourier 级数的逐项微分与逐项积分，*W eirstrass 逼近定理。
注：建议介绍用幂级数定义正、余弦函数的方法。
八. n 维 Euclid 空 间（10学时）
内积与范数，夹角，线段与超平面，n 维区间，凸集，R n 中的点列、开集与闭集，闭集套定理，紧集，有限覆盖定理，连通集。
一元向量值函数及其连续、导数、积分，R n 中的曲线及其切线，曲线的长度，旋转体的侧面积，*曲率。
注：建议证明Archimedes 性质＋闭区间套定理 ⇒ 有限覆盖定理 ⇒ 聚点定理。
九. 多 元 函 数 微 分 学（30学时）
多元实值函数的极限与连续性，紧集和连通集上连续函数的性质，方向极限，二次极限，多元向量值函数的极限与连续性。
方向导数，偏导数，高阶偏导数及其与顺序无关性，全微分与导数，可微性与偏导数的关系，复合函数的偏导数与全微分，中值定理，高阶微分与Taylor 公式，极值及其求法。
反函数定理，开映射定理，隐函数定理，隐函数的导数，曲面的切平面，条件极值与Lagrange 乘数法。
注：反函数等三个定理可对特殊情形证明，但应对向量值函数给出一般形式。
十．含 参 量 积 分（12学时）
含参量常义积分及其连续性、可微性、可积性，交换积分次序。
含参量广义积分及其收敛与一致收敛性，Cauahy 准则，M 、Dirichlet 、Abel 判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，交换积分次序，计算广义积分，Γ 函数，Β 函数，*Stirling 公式。
十一. 重积分（20学时）
二重积分及其计算，三重积分及其计算，面积与体积概念，可积性的Riemann条件，重积分的性质与变量代换，重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）。
*n维体积概念，*n重积分，*零集，*可积性的Lebesgue条件。
十二. 曲线积分与曲面积分（16学时）
第一、二型曲线积分及其计算，向量值函数的原函数，线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件）。
曲面的定向，第一、二型曲面积分及其计算。
Green定理，散度定理，Stokes定理，Green公式与调和函数。
*外积与微分形式，*外微分，*一般的Stokes公式，*闭微分形式与恰当微分形式。
*梯度、旋度、散度的极限形式与物理意义，*一些特殊的向量场（无源场、无旋场、旋量场等）。