两角和与差的三角函数公式应用

两角和与差的三角函数公式应用

【知识清单】

1．两角和与差的三角函数公式的应用

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；

C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；

S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；

S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；

T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β

； T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β

. 变形公式：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；

)4

sin(2cos sin π

ααα±=±. 2 二倍角公式的运用以及三角恒等式的证明

二倍角的正弦、余弦、正切公式：

S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；

T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α

. 变形公式：

cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2

1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)

2

1．(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是________．

2.已知α是第二象限角，且tan α＝－13

，则sin 2α＝________. 3.若tan α＝12， tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.

4．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 5．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________. 6.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________.

7.若cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin(2α－π6)的值是________． 8.cos π9·cos 2π9·cos ⎝

⎛⎭⎪⎫－23π9＝________. 10．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 11．如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3

的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .

(1)求S 关于θ的函数关系式；

(2)求S 的最大值及相应的θ角．

1． sin 75°＋3cos 75°的值是________．

2．函数f (x )＝sin 22x ＋12

sin 4x (x ∈R )的最小正周期是________． 3． 已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15

，则tan α·tan β的值为________． 4．若sin θ＋cos θ＝15

，θ∈(0，π)，则cos 2θ＝________． 5．若sin 2α＝14

，则sin 2α＝________． 6． 若tan α＝3，则sin αcos α＝__________．

7． 已知sin 2α＝13，则cos 2⎝

⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 【重点难点突破】

考点1 两角和与差的三角函数公式的应用

【1-1】设α为锐角，若3cos 65πα⎛

⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝

⎭ .

【1-2】求值：00

2cos10sin 20cos 20-= ． 考点2 二倍角公式的运用

【2-1】函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .

【2-2】已知1sin 23α=，则2cos ()4

πα-= . 考点3 三角恒等式的证明

【3-1】求证：cos 2α

1tan α2－tan α2＝14sin 2α. 【3-2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α

－2cos(α＋β). 【3-3】已知40π

α<<，40π

β<<，且)2sin(sin 3βαβ+=，2tan 12tan 42α

α

-=.

证明：4πβα=

+.

1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π3＝ 2．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π5＝ 3．已知sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝ 4．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为

6．函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 7．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.

8．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 9．已知函数f (x )＝cos 2

x ＋sin x cos x ，x ∈R.