matlab作业—遗传算法与优化问题

遗传算法与优化问题

一、问题背景与实验目的

遗传算法（Genetic Algorithm—GA），是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975年首先提出的。遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点，奠定了它作为21世纪关键智能计算之一的地位。

1．遗传算法的基本原理

遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程。它把问题的参数用基因代表，把问题的解用染色体代表（在计算机里用二进制码表示），从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体。这个群体在问题特定的环境里生存竞争，适者有最好的机会生存和产生后代。后代随机化地继承了父代的最好特征，并也在生存环境的控制支配下继续这一过程。群体的染色体都将逐渐适应环境，不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解。值得注意的一点是，现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的，这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用，而它本身是否完全正确并不重要（目前生物界对此学说尚有争议）。

（1）遗传算法中的生物遗传学概念

由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念。

首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关系。这些概念如下：

1个体——要处理的基本对象、结构，也就是可行解。

2群体——个体的集合，被选定的一组可行解。

3染色体——个体的表现形式，可行解的编码。

4基因——染色体中的元素编码中的元素。

5基因位——某一基因在染色体中的位置元素在编码中的位置。

6适应值——个体对于环境的适应程度，或在环境压力下的生存能力，可行解所对应的适应函数值。

7种群——被选定的一组染色体或个体根据入选概率定出的一组可行解。

8选择——从群体中选择优胜的个体，淘汰劣质个体的操作保留或复制适应值大的可行解，去掉小的可行解。

9交叉——一组染色体上对应基因段的交换，根据交叉原则产生的一组新解。

10交叉概率——染色体对应基因段交换的概率（可能性大小），闭区间[0,1]上的一个值，一般为0.65~0.90。

11变异——染色体水平上基因变化编码的某些元素被改变。

12变异概率——染色体上基因变化的概率（可能性大小），开区间(0,1)内的一个值, 一般为0.001~0.01。

13进化——适者生存个体进行优胜劣汰的进化，一代又一代地优化目标函数取到最大值，最优的可行解。

（2）遗传算法的步骤

遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程，主要有三个基本操作（或称为算子）：选择（Selection）、交叉（Crossover）、变异（Mutation）。

遗传算法基本步骤主要是：先把问题的解表示成“染色体”，在算法中也就是以二进制编码的串，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也就是假设的可行解。然后，把这些假

设的可行解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群。经过这样的一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解。

下面给出遗传算法的具体步骤，流程图参见图1：

第一步：选择编码策略，把参数集合（可行解集合）转换染色体结构空间；

第二步：定义适应函数，便于计算适应值；

第三步：确定遗传策略，包括选择群体大小，选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；

第四步：随机产生初始化群体；

第五步：计算群体中的个体或染色体解码后的适应值；

第六步：按照遗传策略，运用选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体；

第七步：判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数，不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步．

图1 一个遗传算法的具体步骤

遗传算法有很多种具体的不同实现过程，以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤，此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止．

2．遗传算法的实际应用

例子：设f (x1, x2) = 21.5 + x1·sin(4p x1) + x2·sin(20p x2)，求max f (x1, x2)。其中-3.0 <= x1<= 12.1，4.1<=x2<=5.8。

注：这是一个非常简单的二元函数求极值的问题，相信大家都会做。在此我们要研究的不是问题本身，而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题。在此将细化地给出遗传算法的整个过程。

（1）编码和产生初始群体

首先第一步要确定编码的策略，也就是说如何把x1和x2在各自的区间内的数用计算机语言表示出来。编码就是表现型到基因型的映射，编码时要注意以下三个原则：a完备性：问题空间中所有点（潜在解）都能成为GA编码空间中的点（染色体位串）的表现型；

b健全性：GA编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解；

c非冗余性：染色体和潜在解必须一一对应。

这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题，将某个变量值代表的个体表示为一个{0，1}二进制串．当然，串长取决于求解的精度．如果要设定求解精度到六位小数，由于x1和x2区间长度分别为15.1和1.7，因此

所以，m = m1 + m2 = 18 +15 = 33 bits，即如下所示。

将一个二进制串（b32b31b30…b1b0）代表的二进制数化为10进制数：

如上所示：

首先我们来随机的产生一个个体数为10个的初始群体如下：

pop(1)={

[000001010100101001101111011111110]，[001110101110011000000010101001000]，[111000111000001000010101001000110]，[100110110100101101000000010111001]，[000010111101100010001110001101000]，[111110101011011000000010110011001]，[110100010011111000100110011101101]，[001011010100001100010110011001100]，[111110001011101100011101000111101]，[111101001110101010000010101101010]，

}

化成十进制的数分别为：

pop(1)={ [-2.687969 5.361653]，[ 0.474101 4.170144]，[10.419457 4.661461]，[ 6.159951 4.109598]，[ -2.301286 4.477282]，[11.788084 4.174346]，[ 9.342067 5.121702]，[ -0.330256 4.694977]，[11.671267 4.873501]，[11.446273 4.171908]}

接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了．

（2）定义适应函数和适应值

由于给定的目标函数f (x1, x2) = 21.5 + x1·sin(4p x1) + x2·sin(20p x2)

在-3.0 <= x1<= 12.1内的值有正有负，而在4.1<=x2<=5.8内的值均为正。所以必须通过建立适应函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应值非负，而且目标函数的优化方向应对