SXC142高考数学必修_解读数列与函数交汇

解读数列与函数交汇

数列在中学数学与高等数学之间起着承上启下的作用，因此始终是高考的热点内容。而数列与函数的交汇更是重中之重。

一、数列与函数的关系

1、《考试说明》要求“了解数列是自变量为正整数的一类函数”，这就要求我们能够从 函数的观点来看数列，来研究数列，要研究数列的单调性，可以通过研究其通项公式所对应的函数的单调性来实现，但要注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性。

2、《考试说明》要求“了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系”，所以一方面我们要了解这些关系，另一方面也要能够利用数列与函数的关系解决问题。由于图象是函数的一种重要表示形式，所以有些数列问题借助其对应函数的图象可以得到直观形象的解答。总之，数列是一种特殊的函数，许多问题的解决都可以借助函数中的思想与方法加以解决。

可见，函数与数列的交汇是自然的，函数与数列交汇是高考热点，下面通过例子说明。

二、典例剖析

1、函数中的数列

例1、 已知函数b x x ax x f ++=222)(（a ，b 为常数）为奇函数，且过点)3

1,1( （1）求f （x ）的解析式；

（2）定义正数数列))((2,21},{211*+∈==

N n a f a a a a n n n n ， 证明：数列}21{2-n

a 是等比数列； （3）令212-=

n n a b ，n S 为}{n b 的前n 项和，求使831>n S 成立的最小n 值。 解：（1）因为函数b

x x ax x f ++=222)(为奇函数， 所以b x x x a x f +---=-22)(2)()(b

x x ax +-=222)(222x f b x x ax -=++-=，所以a ＝0， 又函数f （x ）的图象过点)31,1(，所以3121)1(=+=

b f ，所以b ＝1，所以.12)(2+=x x x f （2）因为122)(222

1+⋅==+n n n n n n a a a a f a a 12222+=n n a a ，所以2212111n

n a a +=+， 所以)21(2121

221-=

-+n n a a ，所以数列}21{2-n a 是以2为首项，21为公比的等比数列。

（3）因为212-=n n a b ，21=b ，公比为21，所以].)21(1[42

11])21(1[2n n n S -=--= 又831>n S ，即])21(1[4n -831>，所以32

1)21(5， 所以满足8

31>n S 成立的最小n 为6. 点评：本题是以函数为载体，考查了函数的奇偶性以及数列问题。

例2、 已知函数t m x f x

+⋅=2)(的图象经过点A （1，1）、B （2，3）及 ),(n S n C ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，.*∈N n

（1）求n S 及n a ；

（2）若数列}{n c 满足n na c n n -=6，求数列}{n c 的前n 项和n T ；当3≤n 时，比较2n T 与n n 13232

-的大小。 解：（1）由⎩⎨⎧=+=+3412t m t m 得⎩⎨⎧-==1

1t m ，所以.12)(-=x x f 所以n S 12-=n （.*∈N n ） 所以当2≥n 时，.22

2111---=-=-=n n n n n n S S a 当n ＝1时，111==a S ，所以n a 12-=n （.*∈N n ）

（2）由（1）知，n na c n n -=6＝3n ×.2n n -

从而n T ＝3（1×2＋2×22＋…＋n ×n 2）－（1＋2＋…＋n ）＝3（n －1）·.62

)1(2

1++-=+n n n 由上得2n T ＝（n n 13232-）＝12（n －1）[)].12(2+-n n （*） 当n ＝1时，（*）式＝0，所以2n T ＝n n 13232-；

当n ＝2时，（*）式＝－12<0，所以2n T

当n ＝3时，（*）式＝24>0，所以2n T >n n 13232-.

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及利用.1--=n n n S S a 求数列的通项公式。注意利用此公式时要验证n ＝1是否满足通项。

2、数列中的函数

例3、已知数列{}n a 的通项公式为n

a n 1=，其前n 项和为n S .若n S 3－n S >2m －3对一切

大于1的自然数n 都成立，求m 的取值范围。

解析：设f （n ）＝n S 3－n S ，则f （n ）＝

.312111n

n n +++++ f （n ＋1）－f （n ）＝（.3313121++++++n n n ）－（.312111n n n +++++ ） ＝0)

33)(23)(13(59>++++n n n n ，所以，f （n ＋1）>f （n ），即f （n ）在其定义域上单调递增，若f （n ）>2m －3恒成立，只要f （n ）最小>2m －3，即f （2）>2m －3.

又因为f （2）＝2019，因此只要2m －3<2019.所以，m<.40

79 点评：本题是利用函数的思想证明数列的单调性，以及恒成立问题。