初中几何模型角含半角模型

几何模型：角含半角模型

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（2）

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

任意等腰三角形

类型二：正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.

图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠

C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1

2

∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF 的长为4．

【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，

在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，

∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，

设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，

∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，

∴CF＝＝＝4，

故答案为：4．

变式练习>>>

1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（）

A．B．C．D．

【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，

∴∠BCD+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，

∴四边形ADCF是矩形，

∵∠CAD＝45°，

∴AD＝CD，

∴四边形ADCF是正方形，

∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，

∴△AFG≌△ADE，

∴AG＝AE，∠F AG＝∠DAE，

∴∠F AG+∠F AB＝∠EAD+∠F AB＝45°＝∠BAE，

∴△BAE≌△BAG，∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，

设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，

在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，

∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．

在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，

∴BG＝BE＝，∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．

例题2 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°，K，N分别是AB，BC上的点，若△BKN的周长为AB的2倍，求∠KDN的度数.

变式练习>>>

2. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论.