求线面角的三种常见思路方法

求线面角的三种常见思路方法

舒云水

本文以2009年湖南卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒

如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA =，点D 是11A B 的中点，点E 在11A C 上，且DE AE ⊥． （I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ；

（II ）求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值．

（Ⅰ）证明略．

下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒ 思路1：直接作出线面角求解﹒

分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段11B A 的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图2，取AB 的中点F ，连结DF ，1DC ，F C 1，则面⊥1DFC 面1ABC ，过D 作F C DH 1⊥于H ，则⊥DH 面1ABC ，连结AH ，则HAD ∠是AD 和平面1ABC 所成的角﹒

解法1 如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，1DC ，1C F ．由正三棱柱111ABC A B C -的性质及D 是11A B 的中点知，111A B C D ⊥，11A B DF ⊥． 又1C D DF D =，所以11A B ⊥平面1C DF ． 而11AB A B ∥，

所以AB ⊥平面1C DF ．又AB ⊂平面1ABC ，故 平面1ABC ⊥平面1C DF ． 过点D 作DH 垂直1C F 于点H ， 则DH ⊥平面1ABC ．

连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角．

由已知12AB AA =，不妨设12AA =，则2AB =，2DF =，13DC =，

15C F =，2211AD AA A D =+3=，11·2330

55

DF DC DH C F ⨯=

==

． 所以10

sin 5

DH HAD AD ∠=

=． 即直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为10

5

．

思路2：用等体积法求出点D 到面1ABC 的距离h ，AD

h

为所求线面角的正弦值．

分析 如图3，连结D C 1，BD ，即得四棱锥1ABC D -．用等体积法，即DAB C ABC D V V --=1

1

，容易求出点D 到平面1ABC 的距离h ，

AD

h

为所求线面角的正弦值．

解法2：如图3，连结D C 1，BD ．因为平面⊥111C B A 平面1AB ，

D C 1⊥11B A ，所以D C 1⊥平面1AB ．

不妨设1AA =则2AB =，1DC =611==BC AC ，BD AD ==3.

易求2=∆ADB S ，51

=∆ABC S ．

设D 在平面1ABC 内的射影为H ，h DH =，连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角．

因为DAB C ABC D V V --=1

1

，所以有

ABD ABC S D C S h ∆∆⨯⨯=⨯⨯13

1

311， 65=h ， 5

30

=

h ．

所以sin DH HAD AD ∠=

=．

即直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为5

． 思路3：坐标向量法．

解法3 如图4，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直

角坐标系，不妨设1AA ，则2AB =，相关各点的坐标分别是

(010)A -，，，0)B ，，1C ，12D -⎝．

易知AB =（3，1，0），1AC =（0，2，2），AD =31222⎛⎫

⎪ ⎪

⎝⎭

，，． 设平面1ABC 的一个法向量为n =（x ，y ，z ），则有

130220.

n AB x y n AC y z ⎧=+=⎪⎨

=+=⎪⎩·，

· 解得3

3

x y =-

，2z y =-． 故可取(136)n =-，

，． 所以cos ||||n AD n AD n AD <>=

·，·2310

5103

==-⨯． 由此即知，直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为

10

5

． 评析：上题图形比较特殊，容易作出线面角，三种方法中解法1解法最简洁，解法1是首选．上题容易建立空间直角坐标系，容易求点的坐标，解法3也是不错的选择．方法2相对来说计算稍复杂一些，是最后的选择．

下面对上题的“Ⅱ小题”作两种变式，并对三种解法作比较评析． 变式1：如图5，将题设条件“点D 是11A B 的中点”改为“点D 是棱11A B 上一点，1114

1

B A D A =”，其他不变．

解法1：

如图6，分别取11C A ，AC 的中点M ，N ，设MN 与1AC 交与点G ，在AB

上取点F ，使AB AF 4

1=，连结DF ，FN ，FG ．

易证AB FN ⊥，AB DF ⊥，又F DF FN =⋂，所以⊥AB 平面MNFD ，又

⊂AB 平面1ABC ，所以平面MNFD ⊥平面1ABC ，过D 作FG DH ⊥于H ，

则DH ⊥平面1ABC ，连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角．

不妨设12AA =，则2AB =，2DF =，2

2211=

=CC GN ，22AF AN FN -=23411=-

=，2

5432122=+=+=FN GN GF ， 2

34122121=+

=+=

D A AA AD ． 5

10

sin ==

∠GF GN GNF ， 515

5101cos )90sin(sin 2

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=∠=∠-︒=∠GFN GFN DFH ． 5

305152sin =⨯

=∠=DFH DF DH ． 230

sin 15

DH HAD AD ∠=

=． 即直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为230

15

．

解法