二次函数的应用第2课时最大利润问题

第2课时最大利润问题典型题

知识点 1 利润最大化问题

1．毕节某旅行社在十一黄金周期间接团去外地旅游，经计算所获营业额y(元)与旅行团人员x(人)之间满足关系式y＝－x2＋100x＋28400，要使所获营业额最大，则旅行团应有( )

A．30人B．40人

C．50人D．55人

2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )

A．5元B．10元C．0元D．36元

3．2017·贵阳模拟某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.

(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式．

(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

知识点 2 利用二次函数的最值解决其他实际问题

4．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到________．

5．某果园有90棵橘子树，平均每棵树结520个橘子．根据经验估计，每多种一棵橘子

树，平均每棵树就会少结4个橘子．设果园里增种x棵橘子树，橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树时，橘子总个数最多．

6．生物学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测量出这种植物高度的增长情况(如下表)．

科学家经过猜想，推测出y与x之间是二次函数关系．

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)推测最适合这种植物生长的温度，并说明理由．

图2－4－12

7．如图2－4－13所示，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且AE⊥EF，则AF的最小值是________．

图2－4－13

8．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小明和小华提出的问题．

图2－4－14

9．2017·安顺模拟经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表：

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？

10．[2016·黄冈] 东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/千克，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/千克)与时间t(天)之间的函数关系式为

p ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋30（1≤t≤24，t 为整数），－12t ＋48（25≤t≤48，t 为整数），且其日销售量

y(千克)与时间t(天)的关系

如下表：

(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少； (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1千克水果就捐款n 元利润(n<9)给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐款后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．

详解

1．C 2.A

3．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧65k ＋b ＝55，75k ＋b ＝45，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝120. ∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋120. (2)根据题意，得W ＝(x －60)(－x ＋120) ＝－x 2

＋180x －7200 ＝－(x －90)2

＋900. ∵抛物线的开口向下，

∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大， 而60≤x ≤87，

∴当x ＝87时，W 最大＝－(87－90)2

＋900＝891.

∴当销售单价定为87元/件时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 4．9

5．20 [解析] 设果园里增种x 棵橘子树，那么果园里共有(x ＋90)棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，∴平均每棵树结(520－4x )个橘子．∴y ＝(x ＋

90)(520－4x )＝－4x 2

＋160x ＋46800，∴当x ＝－b 2a ＝－1602×（－4）

＝20时，y 最大，橘子

总个数最多．

6．解：(1)设y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，选(0，49)，(2，41)，(－2，49)代入后得方程组

⎩⎪⎨⎪⎧c ＝49，4a －2b ＋c ＝49，4a ＋2b ＋c ＝41，解得⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝49，

∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－x 2

－2x ＋49. (2)最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.

理由：由(1)可知，当x＝－b

2a

＝－1时，y取最大值50，

即说明最适合这种植物生长的温度是－1 ℃.

7．5 [解析] 在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝42＋(4－CF)2，若AF最小，则CF最大．设BE＝x，CF＝y，∵∠B＝∠AEF＝90°，则∠BAE＋∠AEB＝∠FEC＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝

∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴AB

EC

＝

BE

CF

，即

4

4－x

＝

x

y

，化简得y＝

－x2＋4x

4

＝－

1

4

(x－2)2＋1，∴

当x＝2时，y有最大值为1，此时DF最小，为3，由勾股定理得到AF＝AD2＋DF2＝5.

8．解：(1)小华的问题解答：

设利润为W元，每个定价为x元，则W＝(x－2)·[500－100(x－3)]＝－100x2＋1000x －1600＝－100(x－5)2＋900.

当W＝800时，解得x＝4或x＝6，

又因为2×240%＝4.8(元)，所以x＝6不符合题意，舍去，故每个定价为4元时，每天的利润为800元．

(2)小明的问题解答：

当x＜5时，W随x的增大而增大．

所以当x＝4.8时，W最大，为－100(4.8－5)2＋900＝896(元)．

所以800元销售利润不是最多，每个定价为4.8元时，才会使每天利润最大．

9．解：(1)当1≤x＜50时，y＝(200－2x)(x＋40－30)＝－2x2＋180x＋2000；

当50≤x≤90时，

y＝(200－2x)(90－30)＝－120x＋12000.

(2)当1≤x＜50时，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝－b

2a

＝45，∴当x＝45时，y最大＝－2×452＋180×45＋2000＝6050；

当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，

∴当x＝50时，y最大＝－120×50＋12000＝6000.

综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．10．解：(1)依题意，得y＝120－2t.