锐角三角函数学而思培优
第八章 锐角三角函数 第一节 锐角三角函数(含答案)---九年级数学同步-学而思
第一节 锐角三角函数1．锐角三角函数的概念(1)定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的正弦、余弦和正切统称为锐角A 的三角函数． (2)如图8-1-1所示，在直角三角形ABC 中，,90=∠C①正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即②余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作coSA ，即③正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即118--注：①锐角三角函数没有单位．②锐角三角函数值只与角的大小有关，与直角三角形的大小和位置无关，③sinA 是一个整体符号，即表示∠A 的正弦，习惯省去角的符号“∠”，但不能写成 sin ．A ．三个大写字母表示一个角时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠BAC.2.特殊角的三角函数值3.锐角三角函数的性质(1)自变量和函数值的取值范围．当900<<α时．.0tan ,1cos 0,1sin 0><<<<ααα(2)三角函数公式．).90cos(sin A A o -=①.1)90(sin sin ;1cos sin 2222=-+=+A A A A ②⋅=AAA cos sin tan ③ .1)90tan(tan =-⋅A A ④1.求三角函数值的方法①根据特殊角的三角函数值求值， ②借助边的数量关系求值． ③借助等角求值．④根据三角函数关系求值． ⑤构造直角三角形求2.特殊角的锐角三角函数值的记忆方法 (1)数形结合记忆法如图8 -1-2所示，在直角三角形中，由定义可得各角的三角函数值． (2)增减规律记忆法 ①s i nα的值随α的增大而增大，依次为：,21,22⋅23 αcos ②的值随α的增大而减小，依次为：⋅21,22,23 αtan ③的值随α的增大而增大，依次为：.3,1,33218--例1．如图8 -1-3所示，在Rt△ABC 中，BC AD BAC ⊥=∠,90于点D ，则下列结论不正确的是( )318|-- 418-- AB AD B A =sin . BC AC B B =sin . AC AD B c =sin . ACCDB D =sin .检测1．如图8 -1-4所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则AOB ∠cos 的值是_____ 例2．在△ABC 中，若,0)tan 33(|21sin |2=-+-B A 则C ∠的度数为( )30.A 60.B 90.C 120.D检测2．已知α为锐角，,23)sin(20=-oα则=α——— 20.A 40.B 60.C 80.D例3．co28cos ,58cos ,58sin的大小关系是( )58sin 58cos 28cos .<<A o B 58cos 28cos 58sin .<< 28cos 58sin 58cos .<<C 28cos 58cos 58sin .<<D检测3．如果∠A 为锐角，且,6.0sin =A 那么( )300.≤<A A 4530.<<A B 6045.<<A C 9060.≤<A D例4．已知α是锐角且,43tan =α则=+ααcos sin _______检测4．在直角坐标系中，P 是第一象限内的点，OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是,34则αcos 的值是( ) 54.A 45.B 53.C 35.D 例5．计算：=+⋅⋅+18cos .72sin 65tan 25tan 45cos 18sin 2______检测5．计算：=++++++89sin 88sin 87sin 3sin 2sin 1sin 222222______第一节 锐角三角函数建议用时 30分钟实战演练1．在Rt△ABC 中，.90oB =∠若AC= 2BC ，则sinC 的值是( )21.A2.B 23.C 3.D 2．在直角坐标系xOy 中，点P(4，y)在第四象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角的正切值是2．则y 的值是( )2.A 8.B 2.-C 8.-D3．如图8-1-1所示，以0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则AOB ∠sin 的值等于( )21.A22.B 23.C 3.D118--4．若规定,sin cos cos sin )sin(βαβαβα-=-则=15sin ( )212.-A 462.-B 213.-C 426.-D 5．若锐角α满足22cos <α且,3tan <α则α的范围是( ) 4530.<<αA 6045.<<αB 9060.<<αC 6030.<<αD 6．在△ABC 中，,1312sin ,90==∠A C 则A tan 的值为( ) 1312.A 135.B 512.c 1213.D7．已知：在Rt△ABC 中，,43sin ,90==∠A C则B cos 的值为( )47.A 43.B 53.C 54.D 8．如果∠A 是锐角，则下列结论正确个数为( )个;1.)1(sin -=-si A ①;1cos sin >+A A ②;sin tan A A >③)90sin(cos A A ∠-= ④1.A2.B3.C4.D9．如图8-1-2所示，△ABC 与ABC ∆都是等腰三角形，且,3.,5====AC AB AC AB 若,90/=∠+∠B B 则 △ABC 与ABC ∆的面积比为( )9:25.A 3:5.B 3:5.C 33:55.D218--10.在△ABC 中，,5,13,90===∠BC AB C则A sin 的值是________11．若,9030<<<βα则=-+---|cos 1||23cos |)cos (cos 2αβαβ 12.若βα,均为锐角，则以下有4个命题：①若,sin sin βα<则;βα<②若,900=+βα则=αsin ;cos β③存在一个角,α使;02.1sin =ααααcos sin tan =④其中正确命题的序号是________（多填或错填得0分，少填的酌情给分）．13．已知在Rt△ABC 中，,43tan ,90==∠A C则=A sin _____14．计算=⋅⋅⋅89tan 88tan .3tan .2tan 1tan ______15.在Rt△ABC 中，,54sin ,90==∠A C则B cos 的值等于_______16．已知部分锐角三角函数值：,2130sin ,42615sin =-= o,42675sin ,2245sin +==计算= 75cos （提示：).1cos sin 22=+x x17.计算：.60sin 45sin 45cos 60tan 30cos 2--oo18．计算：.45n i s 30tan 60tan 60cos 30cos 22+⋅+o19．计算：.60sin 260tan 2130cos 45sin 422 +-+拓展创新20．如图8—1—3所示，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作,tan αc即,tan BCACc ==的对边角的邻边角ααα根据上述角的余切定义，解下列问题：= 30tan )1(c _________(2)已知,43tan =A 其中A ∠为锐角，试求A c tan 的值.318--拓展1．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图8-1-4所示，在△ABC 中，AB= AC ，顶角A 的正对记作sadA ．这时⋅==ABBCsadA 腰底边 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题：60)1(sad 的值为( )21.A 1.B 23.C 2.D(2)对于,1800<<A A ∠的正对值sadA 的取值范围是______(3)已知,53sin =α其中α为锐角，试求αsad 的值.418--拓展2．如图8—1—5所示，在平面直角坐标系中，射线OA 与x 轴的正半轴重合，射线OA 绕着原点0逆时针到OB位置，把转过的角度记为,α把射线OA 称为α∠的始边，射线OB 称为α∠的终边、设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （除端点外）的坐标是),,(y x P 它到原点的距离是,22y x PO r +==那么定义：α∠的正弦,sin r y =αα∠的余弦αα∠=,cos r x 的正切⋅=x y αtan根据以上的定义当120=α时，如图8 -1-6所示在120角的终边OB 上取一点),3,1(-P ,3,1=-=y x ;2)3()1(22=+-=r ,23120sin ==r y ,21120cos -==r x .313120tan -=-==x y 根据以上所学知识填空：= 150sin )1(_______= 150cos _________= 150tan ________(2)猜想)180sin(α-与αsin 的关系式为______;猜想)180cos(α-与αcos 的关系式为______;猜想)180tan(α- 与αtan 的关系式为________= 135sin )3(_______= 135cos ________= 135tan _________518-- 618--极限挑战21．已知c b a ,,是△ABC 的三边，c b a ,,满足等式),)((2a c a cb -+=且=-+22865c bc b ,0求B A sin sin +的值．。
第四章 三角函数的综合-学而思培优
第四章三角函数的综合-学而思培优
本文档主要介绍了学而思培优的第四章内容，即三角函数的综合。
三角函数是数学中一种重要的函数类型，常用于解决与角度相关的问题。
第四章内容主要包括以下几个方面：
1. 正弦函数和余弦函数
- 正弦函数和余弦函数的定义
- 正弦函数和余弦函数的性质和图像
- 正弦函数和余弦函数的应用案例
2. 正切函数和余切函数
- 正切函数和余切函数的定义
- 正切函数和余切函数的性质和图像
- 正切函数和余切函数的应用案例
3. 三角函数的综合应用
- 三角函数的和差化积
- 三角函数的倍角公式和半角公式
- 三角函数的诱导公式
通过研究本章内容，学生将深入了解三角函数的定义、性质和应用，并掌握三角函数的综合运用方法。
这将为他们在解决实际问题时提供有力的数学工具。
学而思培优的第四章内容旨在帮助学生通过系统的研究和练，掌握三角函数相关知识，提升数学能力，并为日后的数学研究打下坚实的基础。
如果您对本文档有任何疑问或需要进一步了解的内容，请随时与我们联系。
谢谢！。
第二节 解锐角三角形及应用-学而思培优
第二节解锐角三角形及应用-学而思培优
解锐角三角形是三角函数中的重要内容，也是后续研究几何和三角学的基础。
本节课将介绍解锐角三角形的基本概念、性质及应用。
一、基本概念
1. 锐角三角形：指三个内角都是锐角的三角形。
锐角的度数小于90度。
2. 感状角：指与锐角三角形的一个内角相等的锐角。
3. 代角：指与感状角对顶的外角。
二、性质
1. 锐角三角形内角和等于180度。
即：$A + B + C = 180$，其中A、B、C分别为三角形的三个内角度数。
2. 锐角三角形的感状角对应的代角是锐角。
3. 锐角三角形的内心、重心、垂心和外心四点共线。
三、应用
锐角三角形及其性质在几何和三角学的应用中具有重要意义，
常见的应用包括：
1. 三角定理：锐角三角形中，正弦定理和余弦定理分别描述了
三角形的边与角度之间的关系。
2. 解三角形问题：通过已知锐角三角形的某些边长或角度，求
解其它未知部分的问题。
3. 几何证明：锐角三角形的性质可用于解决一些几何问题，例
如判定锐角三角形的相似性、直角三角形的判定等。
4. 三角函数应用：解锐角三角形可用于理解和应用正弦、余弦、正切等三角函数。
四、总结
解锐角三角形及其应用是研究几何和三角学的基础内容。
通过
掌握锐角三角形的基本概念、性质和应用，我们能够更好地理解和
应用三角函数，解决几何问题，以及在数学问题中进行准确推理和
证明。
以上是本节课的研究内容概述，希望对同学们的研究有所帮助。
谢谢！。
第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角-学而思培优第二节与三角形有关的角本节主要讲解三角形内角和定理、三角形外角和定理以及它们的应用。
同时，介绍了一些几何模型和思想方法，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。
1.三角形内角和定理及其应用三角形内角和定理指出，三角形三个内角的和是180度。
这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。
2.三角形的外角三角形的外角是指三角形一边与另一边的延长线组成的角。
它有一些重要的性质，例如一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
此外，三角形外角和定理指出，三角形外角和是360度。
这些性质和定理可以用来求解未知角度，证明角之间的关系等。
3.几何模型在研究三角形内角和定理和三角形外角和定理时，可以使用一些几何模型来帮助理解和记忆。
例如，“小旗”模型、“飞镖”模型、“8”字模型和角平分线相关模型等。
4.思想方法在解决三角形相关问题时，可以使用分类讨论、方程思想等思想方法，帮助学生更好地理解和解决问题。
基础演练1.若副三角板按图11-2-1所示方式叠放在一起，则图中角α的度数是65度。
2.在△ABC中，若∠XXX∠C=∠XXX，∠A=∠ABD，则∠A的度数为72度。
3.已知等腰三角形的一个内角为40度，则这个等腰三角形的顶角为100度。
4.(1) 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠A=40度，∠B=60度，∠C=80度。
2) 在△ABC中，若∠A=∠B=11，则∠C=58度。
3) 若三角形的三个外角的比是2:3:4，则这个三角形按角分是锐角三角形。
5.已知如图11-2-3所示，CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∠A=30度，则∠C的度数为150度。
6.已知如图11-2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于XXX60度，在B处测得灯塔C位于XXX25度，则∠ACB=95度。
7.已知如图11-2-5所示，∠XXX∠E+∠F，则∠A+∠B+∠C+∠D的度数为360度。
《锐角三角函数》培优练习题.doc
《锐角三角函数》B填空30°45°60°sincostan二、练习•1、在RtAABC 中，ZC=90°, AB = 13, BC = 5,求sinA, cos A,42.RtAABC +, sinA=-, AB=10, WU BC=, cosB=53.在厶ABC 中，ZC=90°,若cosA=-,则sinA=24.已知在△ ABC,ZC=90°，且2BC=AC,那么sinA= ________ .5.—sin 60° x cos 45° = ____________ •2 26.ZB 为锐角，月.2cosB・l=0,则ZB= _____________ L7.等腰三角形中，腰长为5,底边长8,则底角的止切值是______ .8.比较大小：cos27. 5°__________ cos85°9•如图所示，CQ是一个平而镜，光线从A点射岀经CD上的E点反射后照射到B 点,设入射角为a （入射角等于反射角），AC丄CD, BD丄CD,垂足分别为C, D.若AC 二3, 二6, CD二12,则tern a 的值为________________________10.已知，如图：在平面直角坐标系屮，O为坐标原点，四边形OABC是炬形，点A、C的坐标分别为A （10, 0）、C （0, 4）,点D是OA的中点，点P 在BC边上运动，当AODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为O2c p BD A 19题图三、选择题9、在RtAABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定10.在RtAABC屮，ZC二90°,下列式子不一定成立的是（）A. si nA = sinBB. cosA=sinB C・ sinA=cosB D. ZA+ZB=90°姓名11•在RtAABC ZC=90°，当已知ZA和&时，求c,应选择的关系式是（）A. c 二B・ c =—^― sin A cos A C. c = a • tanA D. c = —^― tanA 12、sin 45°+cos45°的值等于(c . D. 113.在RtAABC '|b ZC=90° , tan A=3, AC等于10,贝ij S AABC等于（A. 3B. 300 50 c* TD. 1514.15.16.则cos a的值是（小于丄2） c.大T込2 小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米,当锐角a >30°A.大于丄2时,B. D.小于迪2那么他下降（）A. 1米B.巧米C. 2^3D.2A/3"V如图，在四边形ABCD中, ZA=60°,ZB二ZD二90° , BC=2, CD二3, AB二(A) 4(B) 5 (C) 2A/3(D) 8^3 ~T"17・如图, 在等腰RtAABC 中,ZC=9O°, 若皿DBA訂，则AD的长为（）AC二6, D 是AC 上一点,D(A) 2 (B) V3 (C) 72 (D) 118、计算(1) tan30° sin60° +cos230°—sin245° tan45°3 tan 30°3 cos2 30°-2 sin 30°19.如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥.经测量得A在C北偏酋30。
学而思初三数学暑假班第6讲.锐角三角函数.提高班.学生版
冒险记！！漫画释义满分晋级6锐角三角函数三角形13级 相似三角形 的简单模型三角形14级 锐角三角函数三角形15级 垂直模型中 的相似及变形暑期班 第五讲暑期班 第六讲秋季班 第七讲中考内容中考要求A B C锐角三角函数了解锐角三角函数（sin A，cos A，tan A）；知道30°，45°，60°角的三角函数值由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30°，45°，60°角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形的知识是近年各地中考的热点之一，考查内容以基础知识与基本技能为主。
应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识、技能的要求也越来越高。
北京中考题中的第13题是简单的三角函数计算，第20题是计算长度问题，一般可以转化为直角三角形运用三角函数得到解决。
本部分内容要求同学们能掌握三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三角函数值；将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；涉及解斜三角形的问题时，构造数学几何模型，即通过添加适当的辅助线将解一般三角形转化为解直角三角形。
年份2010年2011年2012年题号13，25 13，20 13，20分值12分11分10分考点三角函数计算；运用三角函数解直角三角形三角函数计算；运用三角函数解直角三角形三角函数计算；运用三角函数解直角三角形中考考点分析中考内容与要求知识互联网定 义示例剖析锐角三角函数定义：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对三角形的边分别为a 、b 、c ．正弦：sin a A c =； 余弦：cos bA c =；正切：tan a A b =； 若12AC =，5BC =，13AB =则5sin 13BC A AB ==12cos 13AC A AB ==5tan 12BC A AC ==特殊角的三 角函数值：三角函数 角度sin αcos α tan α30︒ 12 32 3345︒ 22 22 160︒32123锐角三角函数的性质： 1. 同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=. 2. 互为余角三角函数关系：1．22sin 30cos 301+=°°，sin 25tan 25cos25°°=°.2．sin70cos20=°°模块一 锐角三角函数定义与计算知识导航C B A C BA⑴ 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；⑵ 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-；cos10sin80=°°锐角三角函数值的变化规律： 当角度在0~90︒︒范围内变化时， 正弦值随角度增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度增大（或减小）而减小（或增大）． 正切值随角度增大（或减小）而增大（或减小）；比较角的正弦、余弦、正切值的大小，其规律是： A B ，为锐角且A B >，则sin sin A B >，cos cos A B <，tan tan A B >．该规律反过来也成立．【例1】 ⑴ 如图，在Rt ABC △中，=90C ︒∠，三边分别为a 、b 、c ，则cos A 等于（ ）A ．a cB ．a bC ．b aD ．bc⑵ 在Rt ABC △中，90C =︒∠，A ∠、B ∠、C ∠所对三角形的边分别为a 、b 、c ． 若3a =，4b =，则c = ，sin A = ，cos A = ，tan A = ，sin B = ，cos B = ， tan B = ⑶ 在Rt △ ABC 中，∠C =900，若AB =2AC ，则sinA 的值是（ ）A .3B .12C.3D.3⑷ 计算：011122cos30(31)()8--︒+--【例2】 ⑴已知3tan 3α=，则锐角α的度数是 ︒．⑵如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线， 若cos ∠CAM =45，则tan ∠B 的值为 ．能力提升夯实基础cba CBA ACMB⑶若()6cos 1633α-︒=，则锐角α的角度是 .⑷正方形网格中，AOB ∠如图放置，则AOB ∠tan 的值为（ ） A ．55 B ．255 C ．12 D ．2⑸如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量 者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC =a 米，∠A =90°， ∠C =40°，则AB 等于（ ）米． A ．a sin40° B ．a cos40° C ．a tan40° D ．︒40tan a1．解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 2．直角三角形的边角关系 ⑴ 三边之间的关系：222a b c +=．（勾股定理）⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒ ⑶ 边角之间的关系：sin cos tan a b aA A A c c b===，，．3. 解直角三角形的四种基本类型已知条件解法类型一条边和一个锐角 斜边c 和锐角A ∠ 90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =直角边a 和锐角A ∠90B A ∠=︒-∠，tan a b A=，sin ac A = 两条边两条直角边a 和b 22c a b =+，由tan a A b=，求A ∠，90B A ∠=︒-∠ 斜边c 和直角边a22b c a =-，由sin aA c=，求A ∠，90B A ∠=︒-∠ 4．基本图形知识导航模块二 解直角三角形cba CBA CBAABO30︒45︒30︒45︒平移60︒45︒重叠型翻折平移45︒30︒45︒30︒两侧型45︒60︒【例3】 ⑴ 在Rt ABC △中，90C =︒∠，10AB =，8BC =，求A sin 和B tan 的值．⑵如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上．若 DB =6，AD =12CD ，sin ∠CBD =23，求AD 的长和tan A 的值．夯实基础BAD C⑶ 如图，在Rt ABC △中，90ACB =︒∠，CD AB ⊥于点D ．已知5AC =，5sin ACD =∠，① 求AD 的长；② 求AB 的长．实际应用中的概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi l α==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵．⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．γβα图(3)北i =h :l图(2)αl h图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线知识导航模块三 锐角三角函数的应用D C A【例4】如图，某校数学兴趣小组的同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为45°，向前走50米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物AB的高度．【例5】如图，某船向正东方向航行，在A处望见小岛C在北偏东60°方向，前进8海里到达B 点，测得小岛C在北偏东30°方向．已知该岛5海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请通过计算说明理由．（参考数据：3 1.732）北东C东北CDBA夯实基础能力提升ADB45°60°【例6】 如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景.已知滑沙斜坡AC 的坡度是43tan =α，在与滑沙坡底C 距离20米的D 处，测得坡顶A 的仰角为26.6°，且点D 、C 、B 在同一直线上，求滑坡的高AB （结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．第20题图ABDC20米26.6°α【例7】 小强在江的南岸选定建筑物A ，并在江北的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500米，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60︒，根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程，（结果保留根号）；若不能，请说明理由．判断对错⑴ tan22tan αα=（ ）⑵ ()cos cos cos A B A B +=+（ ）_____________________⑴ 若锐角α、β满足αβ=，3sin 5α=，则cos β= ． ⑵ 已知：A ∠是锐角且满足5sin 13A =，则()sin 90A -=° _____________________比较sin57°和cos57°的大小．_____________________探索创新训练1. 计算：⑴ 22sin 60tan 45cos30tan30︒⋅︒+︒⋅︒ ⑵()23cos605sin30tan36sin 55︒︒-︒-︒⑶ 2sin 452cos60tan 453tan 60++-°°°°⑷ cos453tan30cos302sin602tan45︒+︒+︒+︒-︒⑸ 22211cos 45cos 30sin 45sin30tan30︒-++︒+︒︒︒训练2. 化简：2sin 402sin 401sin 40sin50cos40sin 40︒+︒++︒-︒-︒-︒；训练3. 如图，90D ∠=°，10BC =，30CBD ∠=°，15A ∠=°．⑴ 求CD 的长；⑵ 求tan A 的值．DCB A训练4. 超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周末，小明等三位同学在阜石路杨庄路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观察点设在到公路l 的距离为100米的P 处．这时，一思维拓展训练(选讲)辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，并测得60APO∠=︒，45BPO∠=︒，试判断此车是否超过了每小时60千米的限制速度？（参考数据：2 1.41=，3 1.73=）知识模块一锐角三角函数定义与计算【演练1】在ABC△中，若23tan1cos0A B⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭，则A B∠+∠=．【演练2】⑴计算：sin30cos45sin45tan60+⋅-°°°°⑵计算：11sin60tan30(cos452)3-⎛⎫+---⎪⎝⎭°°°知识模块二解直角三角形【演练3】已知如图，Rt ABD△中，90D=︒∠，45B=︒∠，60ACD=︒∠，10BC=，求AD的长．实战演练ABCD知识模块三锐角三角函数的应用【演练4】如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，此时小明正好站在A处，并测得60∠=°，CBD牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度．（结果保留根号）【演练5】如图，甲船在港口P的南偏西60︒方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45︒方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据：2 1.414≈）≈，3 1.732北P东A第十七种品格：成就毛毛虫与跟风美国一个研究“成功”的机构，曾经长期追踪一百个年轻人，直到他们年满六十五岁。
数学培优竞赛新方法-第14讲 锐角三角函数
第14讲锐角三角函数知识纵横古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等。
正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的cot tan cos sin 、、、的通用形式。
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数学结合的桥梁之一，有一下丰富的性质：1.单调性2.互余三角函数间的关系3.同角三角函数之间的关系。
平方关系1cos sin 22=+a a 商数关系aa a a a sin cos cot ,cos sin tan ==倒数关系1cot tan =a a 例题求解【例1】（1）如图，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且MBC NMB ∠=∠,则ABM ∠tan 的值为.(2)已知在ABC ∆中，B A ∠∠、是锐角，且135sin =A ，则ABC S ∆=.【例2】如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠15ABC ，1=BC 则AC =A.32+ B.32- C.3.0 D.23-【例3】如图，在直角坐标系中，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ,点C A 、的坐标分别为43tan ),01()0,3(=∠-BAC C A ，、（1）求过点B A 、直线的函数表达式.（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB ∆与ABC ∆相似（不包括全等），并求点D 的坐标.（3）在（2）的条件下，如果Q P 、分别是AB 和AD 的动点，连接PQ ，设m DQ AP ==，问是否存在这样的m 使得APQ ∆与ADB ∆相似，如存在，求出m 的值，如不存在，请说明理由。
【例4】已知⊙O 过点3),D(4，点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A （如图1）．（1）求⊙O 半径；（2）HAO ∠sin 的值；（3）如图2，设⊙O 与y 轴正半轴交点P ，点F E 、是线段OP 上的动点（与P 点不重合），连接并延长DF DE ,交⊙O 于点C B ,，直线BC 交y 轴于点G ，若DEF ∆是以EF 为底的等腰三角形，试探索CGO ∠sin 的大小怎样变化？请说明理由．【例5】已知：在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，B A sin ,sin 是方程02=++q px x 的两个根．（1）求实数q p 、应满足的条件；（2）若q p 、满足（1）的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于ABC Rt ∆中两锐角A、B 的正弦？正弦、余弦的有界性【例6】设c b a 、、是直角三角形的三边，c 为斜边，整数3≥n ，求证：nn n c b a =+学历训练基础夯实1.如图，已知AB 是的直径，弦AB CD ⊥,22=AC ,1=BC ,那么ABD ∠sin 的值是2.如图2，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则AOB ∠cos 的值是。
第十四章 三角函数综合测试题-学而思培优
第十四章三角函数综合测试题-学而思培优本次测试题主要考察同学们在三角函数的基本概念、公式推导和应用方面的掌握程度。
考试试卷分为选择题和填空题两部分，共计30道试题，满分100分。
其中选择题分值2分，填空题分值4分。
选择题1. 已知直角三角形中一条直角边的正弦为0.8，则斜边长为多少？A. 0.4B. 0.5C. 1.0D. 1.252. 已知正弦函数$y=2\sin x$的振幅为2，则函数$y=\cos(x-\frac{π}{2})$的振幅为多少？A. 1B. 2C. $2\sqrt{2}$D. $\sqrt{2}$3. 已知$\sin\alpha=-\frac{1}{3}$，$\alpha$在第四象限，则$\cos\alpha$的值是多少？A. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$B. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$4. 函数$y=2\sin(x+\frac{π}{3})$的最大值为多少？A. 2B. $\sqrt{3}$C. 2$\sqrt{3}$D. 45. 函数$y=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{π}{6})$的最小值为多少？A. 0B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$D. 1填空题1. 已知$\cos\alpha = \frac{4}{5}$，$\alpha$为第一象限角，则$\sin\alpha$ = \_\_\_\_。
2. 已知$\tan\beta = \frac{3}{4}$，$\beta$为第三象限角，则$\cos\beta$ = \_\_\_\_。
3. 函数$y=2\sin(2x-\frac{π}{6})$的周期为 \_\_\_\_。
4. 已知函数$f(x)=3\cos x$，则函数$f(-x)=$\_\_\_\_。
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析.docx
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案 )含答案解析一、锐角三角函数1．如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆走 6m 到达 B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点PQ，测得杆顶端点P 的仰角是Q 的仰角分别是60°和 30°．45°，向前（1）求∠ BPQ 的度数；（2）求该电线杆PQ 的高度（结果精确到1m ）．备用数据：，【答案】（ 1）∠ BPQ=30°；（2）该电线杆 PQ 的高度约为9m．【解析】试题分析：（ 1）延长 PQ 交直线 AB 于点 E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设 PE=x米，在直角△ APE和直角△ BPE中，根据三角函数利用 x 表示出 AE 和 BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得 x 的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得 QE 的长，则PQ 的长度即可求解．试题解析：延长PQ 交直线 AB 于点 E，（1）∠ BPQ=90°-60 °=30°；（2）设 PE=x米．在直角△ APE中，∠ A=45°，则 AE=PE=x米；∵∠ PBE=60 °∴∠ BPE=30 °在直角△ BPE中， BE=3PE=3x米，33∵A B=AE-BE=6米，则 x- 3x=6，3解得： x=9+3 3 ．则 BE=（ 3 3 +3）米．在直角△ BEQ中， QE= 3BE=3（ 33 +3）=（3+ 3 ）米．33∴PQ=PE-QE=9+3 3 -（ 3+ 3 ）=6+2 3 ≈9（米）．答：电线杆PQ 的高度约9 米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．如图 1，四边形 ABCD是正方形，点 E 是边 BC 上一点，点 F 在射线 CM 上 ,∠ AEF=90°，AE=EF，过点 F 作射线 BC 的垂线，垂足为 H，连接 AC．(1)试判断 BE与 FH 的数量关系，并说明理由；(2)求证：∠ ACF=90°；(3) 连接 AF，过 A， E， F 三点作圆，如图 2. 若 EC=4，∠ CEF=15°，求的长.图1图2【答案】（ 1） BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（ 1）由△ABE≌ △EHF（ SAS）即可得到B E=FH（2）由（ 1）可知 AB=EH，而 BC=AB， FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠ FCH为 45°，而∠ ACB也为 45°，从而可证明（3)由已知可知∠ EAC=30°， AF 是直径，设圆心为O，连接 EO，过点 E 作 EN⊥ AC于点 N，则可得△ ECN为等腰直角三角形，从而可得所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（ 1） BE=FH．理由如下：∵四边形 ABCD是正方形∴∠ B=90，°∵FH⊥ BC ∴ ∠ FHE=90 °EN 的长，进而可得AE 的长，得到半径，得到又∵∠ AEF=90°∴ ∠ AEB+∠ HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠ HEF=∠BAE ∴ ∠ AEB=∠ EFH 又∵ AE=EF∴△ ABE≌ △ EHF（ SAS）∴B E=FH(2)∵ △ ABE≌ △ EHF∴BC=EH， BE=FH又∵ BE+EC=EC+CH∴ BE="CH"∴CH=FH∴∠ FCH=45，°∴∠ FCM=45°∵AC 是正方形对角线，∴ ∠ ACD=45°∴∠ ACF=∠FCM +∠ ACD =90°（3）∵ AE=EF，∴ △ AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF 的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过 E作 EN⊥AC于点 NRt△ ENC 中， EC=4，∠ ECA=45°，∴ EN=NC=Rt△ ENA 中， EN =又∵∠ EAF=45°∠ CAF=∠ CEF=15°（等弧对等角）∴∠ EAC=30°∴AE== EF，∴AF=8Rt△ AFE中，AE=AE 所在的圆O 半径为4，其所对的圆心角为∠ AOE=90°=2π·（490·°÷ 360）°=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数D 的仰角为45°，底部点 C 的俯3．如图，平台AB 高为12m ，在 B 处测得楼房CD顶部点角为30°，求楼房CD 的高度（ 3 ＝1．7）．【答案】 32．4 米．【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．试题解析：如图，过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，根据题意，∠ DBE=45°，∠ CBE=30°．∵AB⊥ AC， CD⊥ AC，∴四边形 ABEC为矩形，∴C E=AB=12m，在 Rt△ CBE中， cot ∠ CBE=BE，CE∴BE=CE?cot30 ° =12=12×3，3在 Rt△ BDE中，由∠DBE=45°，得 DE=BE=12 3．∴CD=CE+DE=12（ 3 +1）≈32.．4答：楼房CD 的高度约为32.4m ．考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．4．如图（ 1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣ 6），点 B（6， 0）． Rt△ CDE中，∠C DE=90 ，°CD=4， DE=4 ，直角边 CD 在 y 轴上，且点 C 与点 A 重合． Rt△CDE沿 y 轴正方向平行移动，当点 C 运动到点 O 时停止运动．解答下列问题：（1）如图（ 2），当 Rt△ CDE运动到点 D 与点 O 重合时，设 CE交 AB 于点 M，求∠ BME的度数．（2）如图（ 3），在 Rt△ CDE的运动过程中，当CE经过点 B 时，求 BC的长．（3）在 Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△ OAB 与△ CDE的重叠部分的面积为S 与 h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值．S，请写出【答案】（ 1）∠ BME=15°；（2BC=4；（3） h≤2时， S=﹣h2+4h+8，当 h≥2时， S=18﹣3h．【解析】试题分析：（ 1）如图 2，由对顶角的定义知，∠ BME=∠ CMA，要求∠ BME 的度数，需先求出∠ CMA 的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图 3，由已知可知∠ OBC=∠ DEC=30°，又 OB=6，通过解直角△ BOC就可求出 BC 的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图 4，作 MN ⊥y 轴交 y 轴于点 N，作 MF⊥ DE 交 DE于点 F，S=S△EDC﹣ S△EFM；② 当 h≥2时，如图 3，S=S△OBC．试题解析：解：（ 1）如图 2，∵在平面直角坐标系中，点A（ 0，﹣ 6），点B（ 6， 0）．∴OA=OB，∴∠ OAB=45 ，°∵∠ CDE=90 ，°CD=4，DE=4，∴∠ OCE=60 ，°∴∠ CMA=∠ OCE﹣∠ OAB=60 ﹣°45 °=15 ，°∴∠ BME=∠CMA=15 °；如图 3，，∵∠ CDE=90 ，°CD=4，DE=4∴∠ OBC=∠ DEC=30 ，°∵O B=6，∴BC=4 ；（3）①h≤2时，如图 4，作 MN⊥ y 轴交 y 轴于点 N，作 MF⊥ DE 交 DE 于点 F，∵C D=4， DE=4 ， AC=h，AN=NM ，∴C N=4﹣FM，AN=MN=4+h ﹣FM，∵△ CMN∽ △ CED，∴，∴，解得 FM=4﹣，△EDC S△ EFM=× 4×4﹣（44h× 4﹣=h 2∴S=S﹣﹣）（）﹣+4h+8，②如图 3，当 h≥2时，△OBC=OC× OB=（6h）× 6=18 3h．S=S﹣﹣考点： 1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形5．已知 Rt△ABC 中， AB 是⊙ O 的弦，斜边 AC 交⊙ O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB 交⊙O 于点 E．（1）图 1 的 A、B、 C、 D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE 的长？请说明理由；（2）如图 2，过点 E 作⊙ O 的切线，交AC 的延长线于点F．①若 CF=CD时，求 sin∠ CAB的值；②若 CF=aCD（ a＞0）时，试猜想 sin∠ CAB的值．（用含 a 的代数式表示，直接写出结果）【答案】（ 1） AE=CE；（ 2）①；②．【解析】试题分析：（ 1）连接 AE、 DE，如图 1，根据圆周角定理可得∠ ADE=∠ ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接 AE、 ED，如图 2，由∠ ABE=90°可得 AE 是⊙ O 的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90 ，°从而可证到△ ADE∽ △ AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF．①当 CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在 Rt△ DEC中运用三角函数可得sin∠CED= ，根据圆周角定理可得∠ CAB=∠ DEC，即可求出 sin∠ CAB的值；②当CF=aCD （ a＞ 0）时，同①即可解决问题．试题解析：（ 1） AE=CE．理由：连接 AE、 DE，如图 1，∵ ∠ABC=90°，∴ ∠ ABE=90，∴ ∠ ADE=∠ ABE=90°，∵ AD=DC，∴A E=CE；（2）连接 AE、 ED，如图 2，∵∠ ABE=90°，∴ AE 是⊙ O 的直径，∵ EF是⊙ OO 的切线，∴∠ AEF=90，°∴∠ ADE=∠ AEF=90，°又∵ ∠ DAE=∠ EAF，∴ △ ADE∽ △ AEF，∴，∴=AD?AF．①当 CF=CD时， AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC?3DC=，∴AE=DC，∵ EC=AE，∴EC= DC，∴ sin∠ CAB=sin∠ CED= ==；②当 CF=aCD（ a＞0）时， sin∠CAB=．=DC?（ a+2）DC=（ a+2），∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（ a+2） CD，∴∴AE=DC，∵ EC=AE，∴ EC=DC，∴sin∠ CAB=sin∠ CED==．考点： 1．圆的综合题；2．探究型； 3．存在型．kk 0 的图象与正比例函数y 2x 的图象相交于6．如图，反比例函数yxA (1,a),B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，ABC90 .(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值 .【答案】（ 1） k 2 ， B 1, 2；（ 2） 2.【解析】【分析】（ 1）先根据点 A 在直线 y=2x 上，求得点 A 的坐标，再根据点 A 在反比例函数y k k0 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A、 B 关于原点对称即可x求得点 B 的坐标；（2）作 BH⊥ AC 于 H，设 AC 交x轴于点 D，根据ABC 90，BHC 90 ，可得C ABH ，再由已知可得AOD ABH ，从而得C AOD ，求出 tanC 即可 .【详解】（ 1）∵点A(1，a )在y2x 上，∴ a =2，∴A(1，2)，把 A(1，2)代入yk2 ，得 kxkk 0y 2x 的图象交于A，B两点，∵反比例函数 y的图象与正比例函数x∴A、 B 两点关于原点 O 中心对称，∴B 1，2；（2）作 BH⊥ AC 于 H，设 AC 交x轴于点 D，∵ ABC 90 ， BHC90，∴ C ABH ，∵ CA∥y轴，∴BH∥x轴，∴AOD ABH ，∴ C AOD ，AD22 .∴ tanC tan AOD1OD【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键 . 7．如图，在⊙ O 的内接三角形A BC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝2BC，过 C 作 AB 的垂线 l 交⊙ O于另一点D，垂足为E．设P 是?AC上异于A， C 的一个动点，射线AP 交l 于点F，连接PC与 PD， PD交 AB 于点 G．（1）求证：△ PAC∽ △ PDF；（2）若 AB＝ 5，??，求 PD 的长．AP BP3 10【答案】 (1)证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据 AB ⊥ CD ， AB 是⊙ O 的直径，得到 ?? ， ∠ ACD ＝ ∠ B ，由 ∠FPC ＝ ∠ B ，得AD AC到∠ ACD ＝ ∠ FPC ，可得结论；（2）连接 OP ，由? ?，得到 OP ⊥ AB ， ∠ OPG ＝∠ PDC ，根据 AB 是 ⊙ O 的直径，得AP BP到∠ ACB ＝ 90°，由于 AC ＝2BC ，于是得到 tan ∠ CAB ＝ tan ∠ DCB ＝BC，得到ACCE BE1OG OP AE CE，求得 AE ＝ 4BE ，通过 △ OPG ∽ △ EDG ，得到，然后根据勾股定2GEED理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接 AD ，∵AB ⊥ CD ， AB 是 ⊙ O 的直径，∴?? ，AD AC∴∠ ACD ＝ ∠ B ＝ ∠ ADC ，∵∠ FPC ＝ ∠ B ，∴∠ ACD ＝ ∠ FPC ，∴∠ APC ＝ ∠ACF ，∵∠ FAC ＝ ∠ CAF ，∴△ PAC ∽△ CAF ；（2）连接 OP ，则 OA ＝ OB ＝OP ＝ 1AB 5 ，22∵ ?? ，AP BP∴OP ⊥ AB ， ∠ OPG ＝ ∠ PDC ，∵AB 是 ⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝ 90 °，∵AC ＝2BC ，∴ t an ∠ CAB ＝ tan ∠ DCB ＝BC，ACCE BE 1∴，AE CE2∴AE ＝ 4BE ，∵ A E+BE ＝ AB ＝5，∴AE ＝ 4， BE ＝ 1， CE ＝2，∴OE ＝OB ﹣ BE ＝ 2.5﹣ 1＝1.5，∵∠ OPG ＝∠ PDC ， ∠ OGP ＝ ∠ DGE ，OG OP ∴△ OPG ∽△ EDG ，∴，GEED∴ OEGE OP2.5，GE CE 2∴GE＝2，OG＝5，36∴PG＝OP2OG25，6222 GD＝DE GE，∴PD＝ PG+GD＝310 ．2【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽ △EDG是解题的关键．8．如图①，抛物线y＝ ax2+bx+c 经过点 A（﹣ 2， 0）、 B（ 4， 0）、 C（0， 3）三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA，试求5PA+4PC的最小值；（3）如图②，若直线l 经过点 T（﹣ 4，0）， Q 为直线 l 上的动点，当以A、B、 Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式．【答案】（ 1）y3x23x 3 ；（2）5PA+4PC的最小值为18；（ 3）直线 l 的解析式84为 y 3x 3或y3x 3. 44【解析】【分析】（1）设出交点式，代入 C 点计算即可（ 2）连接 AC、BC，过点 A 作 AE⊥ BC 于点 E，过点 P 作 PD⊥ BC于点 D，易证△ CDP∽ △ COB，得到比例式PCPD，得到 PD=4PC，所BC OB5以 5PA+4PC＝ 5（ PA+4PC）＝ 5（ PA+PD），当点 A、 P、 D 在同一直线上时， 5PA+4PC＝ 5 5（PA+PD）＝ 5AE 最小，利用等面积法求出AE=18，即最小值为18 （ 3）取 AB 中点 F，5以 F 为圆心、 FA 的长为半径画圆 , 当∠ BAQ＝ 90°或∠ ABQ＝ 90°时，即 AQ 或 BQ 垂直 x 轴，所以只要直线 l 不垂直 x 轴则一定找到两个满足的点 Q 使∠ BAQ＝ 90°或∠ABQ＝ 90°，即∠AQB＝ 90 °时，只有一个满足条件的点Q，∴直线 l 与⊙ F 相切于点 Q 时，满足∠ AQB＝90°的点 Q 只有一个；此时，连接FQ，过点 Q 作 QG⊥ x 轴于点 G，利用 cos∠ QFT 求出QG，分出情况Q 在 x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可【详解】解：（ 1）∵抛物线与 x 轴交点为A（﹣ 2，0）、 B（4， 0）∴y＝a（ x+2）（ x﹣ 4）把点 C（ 0， 3）代入得：﹣8a＝ 33∴a＝﹣8∴抛物线解析式为y＝﹣3（ x+2）（ x﹣ 4）＝﹣3x2+3x+3884（2）连接 AC、 BC，过点 A 作 AE⊥BC于点 E，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D ∴∠ CDP＝∠ COB＝ 90 °∵∠ DCP＝∠ OCB∴△ CDP∽ △ COBPC PD∴BC OB∵B（ 4，0）， C（ 0， 3）∴OB＝ 4， OC＝ 3， BC＝OB2OC2=54∴PD＝PC54∴5PA+4PC＝ 5（ PA+PC）＝ 5（ PA+PD）5∴当点 A、 P、 D 在同一直线上时，5PA+4PC＝ 5（PA+PD）＝ 5AE 最小∵A（﹣ 2， 0）， OC⊥ AB， AE⊥ BC11∴S△ABC＝AB?OC＝BC?AE22AB n OC 6 3 18∴AE＝BC55∴5AE＝ 18∴5PA+4PC的最小值为 18．（3）取 AB 中点 F ，以 F 为圆心、 FA 的长为半径画圆当∠ BAQ ＝ 90°或 ∠ ABQ ＝ 90°时，即 AQ 或 BQ 垂直 x 轴，∴只要直线 l 不垂直 x 轴则一定找到两个满足的点Q 使 ∠BAQ ＝ 90 °或 ∠ ABQ ＝ 90 °∴∠ AQB ＝ 90 °时，只有一个满足条件的点 Q∵当 Q 在 ⊙F 上运动时（不与A 、B 重合）， ∠ AQB ＝ 90 °∴直线 l 与⊙ F 相切于点 Q 时，满足 ∠ AQB ＝ 90 °的点 Q 只有一个此时，连接 FQ ，过点 Q 作 QG ⊥ x 轴于点 G∴∠ FQT ＝ 90 °∵ F 为 A （﹣ 2， 0）、 B （ 4， 0）的中点∴F （1， 0）， FQ ＝ FA ＝3∵ T （﹣ 4，0）∴TF ＝FQ 35， cos ∠ QFT ＝5TF∵Rt △ FGQ 中， cos ∠ QFT ＝FG 3FQ5∴FG 3 FQ ＝ 9＝ 5 59 42， QG ＝FQ2FG2329 12 ∴x Q ＝ 1﹣5555① 若点 Q 在 x 轴上方，则 Q （4 125， ）5设直线 l 解析式为： y ＝ kx+b4kb 0k3∴412 解得： 4bk5b35∴直线 l ： y33x4② 若点 Q 在 x 轴下方，则 Q （4 12 ）5，5∴直线 l ： y3x 34综上所述，直线l 的解析式为 y3x 3 或 y3 x 344【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的 Q 点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论9．如图，在正方形ABCD中， E 是边 AB 上的一动点，点 F 在边 BC 的延长线上，且CF AE，连接DE DF EF. FH平分 EFB 交BD于点H.，，（1）求证：DE DF；（2）求证：DH DF：（3）过点 H 作HM⊥EF于点 M ，用等式表示线段 AB， HM 与 EF之间的数量关系，并证明 .【答案】（ 1）详见解析；（2）详见解析；（3）EF 2 AB 2HM ，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质，CF AE 得到DE DF .（2）由△AED≌△CFD，得DE DF .由ABC90，BD平分ABC ，得 DBF45.因为FH平分EFB，所以EFH BFH .由于DHF DBF BFH45BFH ,DFH DFE EFH45EFH ,所以 DH DF .（3）过点H作HN BC 于点 N ，由正方形 ABCD 性质，得BD AB2AD 22AB .由FH平分EFB ， HM EF ,HN BC ，得HM HN .因为HBN45 ， HNB90，所以 BHHN2HN2HM . sin 45由 EFDF2DF2DH ，得EF2AB2HM . cos45【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴ AD CD ，EAD BCD ADC90 .∴ EAD FCD90 .∵ CF AE 。
第二节 三角函数及应用-学而思培优
第二节三角函数及应用-学而思培优
三角函数是数学中非常重要的一部分，其在数学以及其他科学
领域中有着广泛的应用。
在学而思培优的研究中，我们将研究三角
函数以及它的一些应用。
三角函数的定义
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别被定
义为：
- 正弦函数：sinθ = 对边/斜边
- 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边
- 正切函数：tanθ = 对边/邻边
三角函数的图像特性
三角函数的图像特性对于我们研究函数的性质非常重要。
在学
而思培优中，我们将研究正弦函数和余弦函数的图像特性，如周期、最大值、最小值等。
三角函数的应用
三角函数在现实生活中有许多应用，以下是一些常见的应用场景：
- 三角函数在物理学中有广泛的应用，例如描述波动、振动等
现象。
- 三角函数在工程学中用于解决一些几何问题，例如计算角度、测量高度等。
- 三角函数在计算机图形学中被广泛使用，用于绘制各种图形、动画等。
总结
三角函数是数学中的重要概念，它的理解和应用对于我们在学
习和实际生活中都有很大的帮助。
通过学而思培优的学习，我们可
以掌握三角函数的基本概念、图像特性以及一些常见的应用场景。
2020-2021苏州中考数学知识点过关培优训练∶锐角三角函数
2020-2021苏州中考数学知识点过关培优训练∶锐角三角函数一、锐角三角函数1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG=，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴22108-=6（cm ），∵OD 垂直平分线段AC ，∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°，∵CD ∥AB ，∴∠BAC=∠DCO ，∵∠DOC=∠ACB ，∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC OC CD OD ==， ∴61083CD OD==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ），∵PB=t ，PE ⊥AB ， 易知：PE=34t ，BE=54t ， 当点E 在∠BAC 的平分线上时，∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，∴PE=EC ，∴34t=8-54t ， ∴t=4． ∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上．（2）如图，连接OE ，PC ．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）=1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<． （3）存在． ∵28568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683． （4）存在．如图，连接OQ ．∵OE ⊥OQ ，∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQOC OG=，∴358544345ttt-=-，整理得：5t2-66t+160=0，解得165t=或10（舍弃）∴当165t=秒时，OE⊥OQ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.2．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F ,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan ==0．60， 解得=2．5，答：DM 和BC 的水平距离BM 为2．5米．考点：解直角三角形．3．如图，反比例函数() 0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=︒.(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)求tanC 的值.【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2.【解析】【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数()0k y k x=≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可.【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上，∴a =2，∴A (1，2)，把A (1，2)代入 k y x =得2k =， ∵反比例函数()0k y k x=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称，∴()12B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，∵90ABC ∠=︒ ， 90BHC ∠=︒ ，∴C ABH ∠∠=，∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 22OD 1tanC tan AOD =∠===.【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键.4．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，且AC ＝80，BD ＝60．动点M 、N 分别以每秒1个单位的速度从点A 、D 同时出发，分别沿A→O→D 和D→A 运动，当点N 到达点A 时，M 、N 同时停止运动．设运动时间为t 秒．(1)求菱形ABCD 的周长；(2)记△DMN 的面积为S ，求S 关于t 的解析式，并求S 的最大值；(3)当t=30秒时，在线段OD 的垂直平分线上是否存在点P ，使得∠DPO=∠DON ？若存在，这样的点P 有几个？并求出点P 到线段OD 的距离；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）在菱形ABCD 中，∵AC⊥BD，AC=80，BD=60，∴。
九年级数学下--锐角三角函数培优练习2(2021年整理)
九年级数学下--锐角三角函数培优练习2(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下--锐角三角函数培优练习2(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学下--锐角三角函数培优练习2(word版可编辑修改)的全部内容。
九年级数学下——锐角三角函数培优练习2题型：锐角三角函数基本概念（1）例:已知α为锐角,下列结论：(1)sin α+cos α=1； （2)若α>45°,则sin α〉cos α;（3）若cos α>21，则α〈60°;(4）ααsin 1)1(sin 2-=-。
正确的有（ ）A.（1) （2）（3)(4）B.(2）（3)（4) C 。
（1)(3）(4） D 。
（1）(2)（3）变式：1、下列各式中，不正确的是（ ） A 、160cos 60sin 0202=+ B 。
130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ）A.0°〈∠A ≤90° B 。
90°〈∠A<180° C 。
0°≤∠A 〈90° D 。
0°≤∠A ≤90°3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。
若sin53018\=0。
8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2)例:已知sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ) A 。
第二节 与三角形有关的角-学而思培优
第二节与三角形有关的角一、课标导航二、核心纲要1.三角形内角和定理及其应用180(1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是.(2)三角形内角和定理的应用①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；②证明角之间的关系．2．三角形的外角(1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．(2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．360(3)三角形外角和定理：三角形外角和是.(4)三角形外角的性质的应用①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”；②可证一个角等于另两个角的和；③利用它作为中间关系式证明两个角相等；④利用它证明角的不等关系．3．几何模型4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想，本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）．三、全能突破基 础 演 练1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )．75.A o B 60. 65.C o D 55.2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )．36.A 72.B 108.C 144.D3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40则这个等腰三角形的顶角 为( )．40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D4．(1)在△ABC 中，若,4:3:2::=∠∠∠C B A 则=∠A =∠B , =∠C , (2)在△ABC 中，若,3121C B A ∠=∠=∠则=∠C (3)若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形按角分是 三角形．5．已知：如图11-2 -3所示，AB CE ⊥于点BC AD E ⊥,于点,30,=∠A D 则C ∠的度数为6．已知：如图11—2-4所示，一轮船在海上往东行驶，在A 处测得灯塔C 位于北偏东,60在B 处测得灯塔C 位于北偏东,25则=∠ACB7．如图11-2—5所示，已知D C B A F E EGF ∠+∠+∠+∠∠+∠=∠求,的度数．8．(1)已知，如图11—2-6所示，AD 是高，AE 是∠BAC 的平分线，试说明：).(21B C DAE ∠-∠=∠(2)如图11-2 -7所示，在△ABC 中，已知三条角平分线AD 、BE 、CF 相交于点,,BC IH I ⊥垂足为H ，HIC BID ∠∠与是否相等？并说明理由．能 力 提 升9．在三角形中，最大角口的取值范围是( )．900.<<αA 18060.<<αB 9060.<≤αC 18060.<≤αD10.直角三角形中两锐角平分线所成的角的度数是( )．45.A 135.B 45.C 或 135 D ．都不对11.如图11-2 -8所示，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则21∠+∠∠与A 之间有一种数量关系始终保持不变，那么，你发现的规律是( )．21.∠+∠=∠A A )21(21.∠+∠=∠A B )212(31.∠+∠=∠A C )21(32.∠+∠=∠A D12.已知△ABC 的三个内角为,C B A ∠∠∠、、且C A C B B A ∠+∠=∠+∠=∠+∠=γβα,,则γβα,, 中，锐角的个数最多为( )．0.A 1.B 2.C 3.D13.在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，C B ∠∠,越来越大，若A ∠减少B ∠,α增加C ∠,β增加,γ则γβα,,三者之间的关系是14.在△ABC 中，高BD 、CE 所在的直线相交于点H ，且点H 与点B 、C 不重合，,50=∠A 则=∠BHC15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰成20角，则这个三角形的顶角是16.如图11-2 -9所示，在△ABC 中，B A 1平分C A ABC 1,∠平分,ACD ∠B A 2平分C A BD A 21,∠平分B A CD A 31,∠平分C A BD A 32,∠平分,2CD A ∠若,64 =∠A 则=∠3A ；依此类推，若=∠=∠n A A ,α17．(1)如图11—2-10所示，在△ABC 中，么ABC 的咒等分线与么ACB 的咒等分线分别相交于,,21G G,,,13-n G G 试猜想：C BG n 1-∠与A ∠的关系．（其中咒是不小于2的整数）．首先得到：当2=n时，如图(a)所示，=∠C BG 1 ，当3=n 时，如图(b)所示，=∠C BG 2 ，…，如图(c)所示，猜想=∠-C BG n 1(2)如图(d)所示，在四边形ABCD 中，BP 、CP 仍然是BCD ABC ∠∠,的角平分线，则D A P ∠∠∠,与 之间的数量关系为18.如图11-2 -11所示，在△ABC 中，AE BC AD ,⊥平分CG AE AG BAC ,,⊥∠是△ABC 的外角么ACF 的平分线，若,60=∠-∠DAE G 则ACB ∠=19.阅读材料：如图11-2 -12所示，AD 与CB 相交于0点，在△AOB 和△COD 中，=∠+∠+∠AOB B A,180 ,180 =∠+∠+∠COD D C ,COD AOB ∠=∠所以,D C A B ∠+∠=∠+∠图形类似于数字“8”，所以我们称之为“8”字形．根据上述材料解决下列问题如图11-2 -13所示，BE 平分DE ABC ,∠ 平分BE C A ADC ,46,48,=∠=∠∠与AD 相交于点G ，BC 与DE 相交于点H ． (1)仔细观察图11-2 -13中有 个“8”字形． (2)求BED ∠的度数．(3)试探究C F A ∠∠∠,,之间的关系．（直接写出结论）20.如图11-2 -14所示，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B 、A 分别为OM 、ON 上一动点，(1)若BAN ABM ∠∠,的平分线交于点C ．问：点B 、A 在OM 、ON 上运动过程中，C ∠的度数是否改 变？若不改变，直接写出结论；若改变，说明理由． (2)如图11-2 -15所示，若BAN ABO ∠∠、的平分线所在的直线相交于点C ，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？若成立，求出其值；若不成立，说明理由．21.如图11-2 -16所示，在△ADE 和△ABC 中，=∠=∠=∠=∠=∠BAD BCA BAC AED EAD o,45 BCF ∠(1)求ECA DAC ECF ∠+∠+∠的度数；(2)判断ED 与FC 的位置关系，并对你的结论加以证明．22.如图ll-2-17(a)所示，在平面直角坐标系中，△DEQ 的一个顶点在x 轴的负半轴上，边DQ 交x 轴于点C ，且CE 平分,DEQ ∠过点D 作直线交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，使,BDC ADE ∠=∠已知),0,(),0,(n E m C 其中m ，n 满足.0)4(|3|2=++-n m(1)求点C 、E 的坐标．(2)若,30=∠ABC 求Q ∠的度数．(3)如图11-2-17 (b)所示，在平面直角坐标系中，若直线AB 绕点D 旋转，过D 作,AB DH ⊥交x 轴 于点G ，交y 轴于点H.直线AB 绕点D 转动时，下列结论：①Q ∠的大小不变；②OHDQ∠∠的值不变，选择一个正确的结论，求其值，并证明你的结论．中 考 链 接23.（2011．四川绵阳）将一副常规的三角尺按图11-2 -18所示方式放置，则图中∠AOB 的度数为( )．75.A 95.B 105.C 120.D24.（2012．烟台）一副三角板叠在一起，按图11-2 -19所示方式放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．如果,100=∠ADF 那么BMD ∠的度数为巅 峰 突 破25.如图11-2 - 20所示，在Rt△ABC 中，,31,90DAB DAF C ∠=∠=∠,31EBA EBG ∠=∠则射线AF 与BG( )．A ．平行B ．延长后相交C ．反向延长后相交D ．可能平行也可能相交26.如图11-2 - 21所示，DC 平分∠ADB ，EC 平分,,βα=∠=∠∠B A AEB 若则=∠C ．（用βα、 表示）。
初三数学 锐角三角函数的专项 培优练习题含详细答案
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题含详细答案一、锐角三角函数1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米【解析】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．∴DC=BC•cos30°=3=⨯=米，639∵CF=1米，∴DC=9+1=10米，∴GE=10米，∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)【答案】2.5m.【解析】试题分析：设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．试题解析：解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，∴CF=tan·DF=，又∵CB=4，∴BF=4－，∵AB=6，DE=1，BM= DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，tan==0．60，解得=2．5，答：DM和BC的水平距离BM为2．5米．考点：解直角三角形．3．问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【答案】解：（1）2．（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，∴．∴BE+EF的最小值为【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．∴∠C′AE=45°．又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=2．∴AP+BP的最小值是22（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．4．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD 的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；（3）①MN=；②证明见解析；（4）MN取得最大值2．【解析】试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN•sin∠MQN，从而可得MN=OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；（4）由（3）②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图二，∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考点：圆的综合题．5．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt △BEP 2中，P 2E=BE•tan60°=•=3，∴P 2（﹣m ，﹣3）；易知△ADP 3、△BDP 4均为等边三角形，∴DP 3=DP 4=AB=2，且P 3P 4∥x 轴．∴P 3（﹣﹣m ，3）、P 4（3﹣m ，3）．综上所述，到△ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有4个， 其坐标为：P 1（﹣m ，1），P 2（﹣m ，﹣3），P 3（﹣﹣m ，3），P 4（3﹣m ，3）．【考点】二次函数综合题．6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】 【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，∴BT TO =，∵90BTO ∠=︒，∴90TPO TOP ∠+∠=︒，∵PO BM ⊥，∴90BNO ∠=︒，∴BQT TPO ∠=∠，∴QTB PTO ∆≅∆，∴QT TP =，PO BQ =，∴PQT QPT ∠=∠，∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =，∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒，∴BPN x ∠=︒，∵2PMB KPB ∠=∠，∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠，OD BO PD MO =，442t t t=+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒，∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形，∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .故答案为32.【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．7．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD ．延长PD 交圆的切线BE 于点E(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA 的长；(3)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，由AB 是圆O 的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD 为⊙O 的切线；（2）根据BE 是⊙O 的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD 为⊙O 的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD ，由勾股定理得OP ，即可得出PA ；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF ，由AB 是圆O 的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE 是等边三角形．进而证出四边形DFBE 为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．8．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得9．如图，已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）；（2）点P （7，0）；（3）点N （-75，145）． 【解析】【分析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）利用S △ABC =12×AC×BH= 12×BC×y A ，求出sinα= 222105BH AB ==，则tanα= 12，在△PMD 中，tanα= MD PM 1222x =+，即可求解； （3）作点A 关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ，此时AM+MN 最小，即可求解．【详解】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式得：96332102b b c ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：132b c =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故：抛物线的表达式为：y =12x 2-x -32， 令y =0，则x =-1或3，令x =0，则y =-32， 故点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）； （2）过点B 作BH ⊥AC 交于点H ，过点P 作PG ⊥x 轴交于点G ，设：∠DPC=∠BAC=α，由题意得：AB=210，AC=62，BC=4，PC=22，S△ABC=12×AC×BH=12×BC×y A，解得：BH=22，sinα=BHAB=22210=5，则tanα=12，由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，在△PMD中，tanα=MDPM=22x+=12，解得：x=22，则CD=2x=4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：84-=-2，则直线A′N表达式中的k值为12，设直线A′N的表达式为：y=12x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b=72，故直线A′N的表达式为：y=12x+72…①，当x=1时，y=4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，联立①②两个方程并求解得：x=-75，故点N（-75，145）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．10．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．【答案】（1）证明见解析（2）613 65【解析】【分析】（1）根据▱ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值．【详解】（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC，∴BC＝CE，AC⊥CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC⊥CE，∴四边形ACED是矩形．（2）解：方法一、如图1所示，过点A 作AF ⊥BD 于点F ， ∵BE ＝2BC ＝2×3＝6，DE ＝AC ＝4，∴在Rt △BDE 中， 2222BD BE DE 64213=+=+=∵S △BDE ＝12×DE•AD＝12AF•BD ， ∴AF ＝613213=， ∵Rt △ABC 中，AB ＝2234+＝5，∴Rt △ABF 中，sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝61361313655AF AB ==．方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ， 同理可得，OB ＝1132BD =， ∵S △AOB ＝11OF AB OA BC 22⋅=⋅， ∴OF ＝23655⨯=， ∵在Rt △BOF 中，sin ∠FBO ＝0613513F OB ==， ∴sin ∠ABD ＝613．【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin∠ABD．11．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数≈≈）．据：2 1.414,3 1.73【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度．【解析】AB=-73.2 (米)．…6分解：（1）100(31)(2) 此车制速度v==18.3米/秒12．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据tan∠ADC==即可求出AB的长度【详解】解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m在Rt△ADC中，tan∠ADC==∴tan50°= =1.19∴AB7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用13．已知：如图，直线y＝－x＋12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．(1)求AE的长及sin∠BEC的值；(2)求△CDE的面积．【答案】（1）2，sin∠BEC=35；（2）754【解析】【分析】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B，点A坐标，继而可得∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，2，设AE=CE=x，则222-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得S△CDE=S△AED=2，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求出y，继而可求得答案.【详解】（1）如图，作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，又∵点C是OB中点，∴OC=BC=6，CF=BF=32，设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，解得：x=52，故可得sin∠BEC=35CFCE，AE=52；（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，则S△CDE=S△AED=12AD•EM=12AD×AEsin∠EAM=12AD•AE×sin45°=24AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，解得：y=152，即AD=152，故S△CDE=S△AED=24AD×AE=754．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.14．如图，正方形ABCD2+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F，（1）求证：△ABF∽△ACE；（2）求tan∠BAE的值；（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为 ．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC 22AB BC +2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC 22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH 2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝22+．． ∴PE+PF 22+【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．15．已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35时，求BF CF 的值； (2)如图2,当tan ∠ABC=12时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值； (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积【答案】(1)17；（2）80；（3）100. 【解析】【分析】 (1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故17BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积.【详解】解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,∵sin ∠BEF ＝35,sin ∠FAK ＝35, ∴35FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a ,∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴BK =CK =4a ,∴BF =a ,又∵CF =7a , ∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，∵∠AGE =∠DHE =90°,∴△EGA ∽△EHD , ∴EH ED EG EA=， ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC ＝12，cos ∠ABC ＝5， ∴BA ＝BC · cos ∠ABC ＝5， BK= BA·cos ∠ABC ＝855⨯= ∴EG =8,另一方面：ED =BC =10,∴EH ·EA =80 (3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,∵BC ∥KT ,BF AF FG KE AE ED ==， ∴BF KE FG DE =，同理：FG ED CG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG FG CG =， ∴ED 2= KE ·DT ∴KE ED DE DT= ， 又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CD BE DT=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.。
北京大学附属中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》(培优提高)
一、选择题1．下列说法中，正确的有（ ）个①a 为锐角，则1sina cosa +>；②314172︒+︒=︒cos cos cos ﹔③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形﹔④坡度越大，则坡角越大，坡越陡； ⑤1302==︒sinA ； ⑥当Rt ABC ∆的三边长扩大为2倍时，则sinA 的值也相应扩大2倍． A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E ． F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75︒；③BE+DF=EF ；④正方形对角线AC=1+3，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．①②C ．②③④D ．①③④ 3．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos ∠ACB 值为（ ）A ．355B ．175C ．35D ．454．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（ ）．A ．3米B ．3米C ．2米D ．1米 5．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．36．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，下面四个结论：①CF=2AF ；②tan ∠CAD=22 ；③DF=DC ；④△AEF ∽△CAB ；⑤S 四边形CDEF =52S △ABF ,其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．在ABC 中，(2sinA-1)2+1cos 2B -=0，则ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 8．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长CA 到点D ，使AD AB =，连接BD .根据此图形可求得tan15︒的值是( )A ．23B ．23C 3D 39．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（ ）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα10．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是1013+ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 11．如图，在△ABC 中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC 的长为（ ）A ．2B ．52C ．5D ．212．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（ ）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x 13．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（ ）A ．26B ．2626C ．2613D ．131314．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠CAB ＝45°，BC ＝4，点D 为AB 边上一个动点，连接CD ，以DA 、DC 为一组邻边作平行四边形ADCE ，则对角线DE 的最小值是（ ）A ．2+6B ．1+3C ．4D ．2+23 15．河堤横断面如图所示，迎水坡10AB =米，迎水坡AB 的坡比为1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平度AC 之比)，则AC 的长是（ ）A ．53米B ．102米C ．15米D ．10米第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题16．如图，四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 所成的锐角为60,10AC BD +=，则四边形ABCD 的面积最大值为_______________________．17．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠ABC =60°，M 、N 分别是边BC ，CD 上的点，BM =CN ，连接MN 交AC 于P 点，当MN 最短时，PC 长度为_____．18．计算：22303060sin cos tan ︒︒︒+-=__________．19．某斜坡的坡度3:3i =，则它的坡角是__________度．20．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OH ⊥AB 于H ．若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD =60°，则OH =_____．21．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，则CD 的长度是_____.22．如图，长方形ABCD 中，BC=6，CD=3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C’处，BC’交AD 于点E ，则线段DE 的长为____.23．在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长是______．24．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，F 为DA 上一点，连接BF ，E 为BF 中点，CD=6，sin ∠10，若△AEF 的周长为18，则S △BOE =_____．25．如图，ABCD中，∠DAB=30°，AB=8，BC=3，P为边CD上的一动点，则PB+12PD的最小值等于__________.26．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是_______．三、解答题27．计算：2cos30°+tan60°﹣16+（π﹣3.14）028．小明的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝13，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1．6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0．6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．29．计算：240111260(5)2π-︒⎛⎫-++-⎪⎝⎭.30．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米． （1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．。
锐角三角函数学而思培优
A 2 A 3 A 4D ．B 1 NDMB ． 0 < m <C ． 0 < m <D ． 0 < m <第九讲锐角三角函数板块一 锐角三角函数【例 1】⑴(2010 年人大附统练△)如图，在 ABC 中， AB = AC ，∠A = 45︒ ， AC 的垂直平分线分别交 AB 、AC 于 D 、 E 两点，连接 CD ，如果 AD = 1 ，那么 tan ∠BCD =。
AD EBC⑵(2007 海淀二模)如图，四边形 ABCD 、A 1B 1BA 、…、A 5B 5B 4A 4 都是边长为 1 的小正方形。
已知∠ACB ＝α，∠A 1CB 1＝α1，…，∠A 5CB 5＝α5。
则 tanα·tanα1＋tanα1·tanα2＋…＋tanα4·tanα5 的值为( )A ．1B ． 5D AA 1 A 5C ． 4 5 5 6C BB 2 B 3 B 4 B 5⑶(2010 年济宁市)如图，是一张宽 m 的矩形台球桌 ABCD ，一球从点 M (点 M 在长边 CD 上)出发沿虚线 MN 射向边 BC ， 然后反弹到边 AB 上的 P 点。
如果 MC = n ， ∠CMN = α 。
那A B·么 P 点与 B 点的距离为。
·αC【例 2】⑴(2010 年人大附统练)已知 △ABC ，∠C = 90︒ ，设 sin A = m ，当∠A 是最小的内角时， m 的取值范围是( )A ． 0 < m <1 22 3 32 3 21⑵(十一学校2009年初三数学学习能力测试)已知sinα⋅c osα=，且45°<α<90°，则2B．-2C．4D．±⑶(北京二中分校2009学年度第一学期初三质量检测)因为sin30°=1，sin210°=-，所以sin210°=sin(180°+30°)=-sin30°；因为sin45°=2，sin225°=-，所以=+)+=2B．-2C．-2D．-3A．1B．C．sinαD．11 8cosα-sinα的值是()A．33332122222sin225°sin(180°45°=-sin45°；由此猜想并推理知：一般地，当α为锐角时，有sin(180°α)=-sinα。
著名机构初中数学培优讲义锐角三角函数性质.第03讲(B级).教师版
内容基本要求略高要求较高要求锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题1． 掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2． 知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3． 同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4． 将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．“正弦”的由来公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表．课前预习重难点中考要求锐角三角函数托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC 与∠AOC 对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB 的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib ”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus ”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus 译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．模块一 三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的cba CBA例题精讲比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，．四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B <模块一 三角函数基础【例1】 如图：在Rt ABC ∆中，810BC AC ==，．求sin A 和sin B 的值． 三角函数 0︒30︒45︒60︒90︒sin A 012 22 32 1cos A 132 2212 0 tan A3313-例题精讲【难度】2星【解析】根据正弦定义知sin BC A AB =， sin ACB AB=，因为AB 未知，所以先根据勾股定理求出AB ． 在Rt ABC ∆中，有勾股定理得AB∴sin BC A AB ===，sin AC B AB ===【巩固】（2008年威海）在ABC △中，190tan 3C A ∠=︒=，，则sin B 的值为（ ）． AB ．23C ．34D【难度】3星【解析】如图，设BC k =．因为1tan 3BC A AC ==，所以3AC k =．据勾股定理得：AB =所以sin AC B AB === 【答案】D【巩固】在ABC △中，90C ∠=︒，cos B a =则b = ． 【难度】3星【解析】由题意得：30B ∠=︒．tan tan 30b B a =︒===，所以1b = 【答案】1CBA【例2】 已知：如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒.D 是AC 边上一点，DE AB ⊥于E 点，:1:2DE AE =．求：sin B 、cos B 、tan B【难度】3星【解析】由题意得：90A B A EDA ∠+∠=∠+∠=o ，所以B EDA ∠=∠ 在Rt ADE △中，sin ,cos ,tan AE DE AEEDA EDA EDA AD AD AD∠=∠=∠=即sin ,cos ,tan AE DE AEB B B AD AD AD===【答案】见解析【巩固】（2011甘肃兰州）如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ACB △绕着点A 逆时针旋转得到''AC B △，则'tan B 的值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D【难度】3星【解析】过点C 作CD AB ⊥于D ,由题意得：'B B ∠=∠ 在Rt CDB △中，1tan 3CD B BD == 即1tan '3B =【答案】BEABDC【例3】 （2011江苏南京）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos AOB ∠的值等于_________．【难度】2星【解析】根据圆的性质可知：OAB △是等边三角形 ，即60OAB ∠=︒，所以1cos 2AOB ∠=． 【答案】12【巩固】已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为（1，0），以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA x ⊥轴交OM 于C 点．设AOM α∠=．求：P 点和C 点的坐标．（用α的三角函数表示）【难度】3星【解析】过点P 作PD OA ⊥于D ，由题意得：1OA OP ==在Rt POD △中，cos cos OD OP αα=⋅=，sin sin PD OP αα=⋅=，所以点(cos sin )P αα，． 在Rt AOC △中，1tan tan OA AC OA A A ==⋅=，，所以点(1tan )C A ，．BA O αy POCBA【答案】 见解析【例4】 已知cos1930'︒=09426．，则sin7030'︒= ． 【难度】2星【解析】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 【答案】09426．【巩固】在ABC △中90C ∠=︒，若sin A +cos BA ∠等于（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒【难度】2星【解析】解法一：代特殊值法知：当45A B ∠=∠=︒时，满足+所以45A ∠=︒ 解法二：因为，所以sin cos A B =，即2sin A =45A ∠=︒ 【答案】B【例5】 如图，两条宽都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，他们的交角为α，求他们的重叠部分的面积（即图像的阴影部分的面积）【难度】4星sin A cos B 90C ∠=︒DαCBA【解析】如图，易知四边形ABCD 是平行四边形，作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，因两纸条宽相等，故1AE AF ==，在直角三角形ABE 中，1ABC AE α∠==，，由sin AE B AB =得1sin AB α=，从而重叠部分的面积为111sin sin S AB AF αα=⋅=⋅=【答案】1sin α【巩固】（2009吉林）如图所示，将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）cm ． ABCD ．2【难度】3星【解析】分别过点P Q 、作PN OQ ⊥于N ，QM OP ⊥于M ，则2PN QM cm ==所以sin 60PN OP OQ ===︒60PON ∠=︒，所以PQ OP OQ === 【答案】BFEABCαD模块二 比较大小【例6】 已知：如图，90AOB AO OB C D ∠=︒=，，、是»AB 上的两点，AOD AOC ∠>∠．求证：（1）0sin sin 1AOC AOD <∠<∠<；（2）0cos cos 1AOD AOC <∠<∠<；（3）锐角的正弦函数值随角度的增大而______； （4）锐角的余弦函数值随角度的增大而______．【难度】3星【解析】（1）分别过C D 、作CE OA ⊥于E ，DF OA ⊥于F ．如图，sin CE AOC OC ∠=，sin DFAOD OD∠=． 又AOD AOC ∠>∠，OC OD =，所以CE DFOC OD<．即sin sin AOC AOD ∠<∠ 因为C D 、是»AB 上的两点，所以CE 、DF 不可能与半径（OA OC OD OB 、、、）相等 所以0sin sin 1AOC AOD <∠<∠< （2）方法同（1） （3）增大 （4）减小【答案】见解析【巩固】已知：如图，CA AO ⊥，E F 、是AC 上的两点，AOF AOE ∠>∠．ODCBAF EODCBA（1）求证：tan tan AOF AOE ∠>∠；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而______．【难度】3星【解析】（1）在Rt AOF △中，tan AF AOF OA ∠=；在Rt AOE △中，tan AEAOE OA∠= 又AOF AOE ∠>∠，E F 、是AC 上的两点，所以AF AE > 所以AF AEOA OA>，即tan tan AOF AOE ∠>∠． （2）增大 【答案】见解析【例7】 (2011广东茂名)如图，已知：4590A ︒<<︒，则下列各式成立的是（ ）A ．sin cos A A =B ．sin cos A A >C ．sin tan A A >D ．sin cos A A <【难度】2星【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质 解法二：代入特殊值法 【答案】BC E FAOCBA【巩固】已知α为锐角，且2cos 3α=，则α的取值范围是 ( )． A ．030α︒<<︒ B ．3045α︒<<︒ C ．4560α︒<<︒ D ．6090α︒<<︒【难度】3星【解析】锐角三角函数的性质、代入特殊值法 【答案】C模块三 化简求值【例8】 （1）（2009义乌）计算：2(2)tan 452cos60-+︒-︒（2）（2010北京）计算：101()2010tan603--+--︒【难度】3星【解析】（1）原式141242=+-⨯=（2）原式312=-+=+【答案】见解析【巩固】（1）（2010湖南）计算：11()12sin 60tan 602-+-︒⋅︒（2）（201004sin 45(3)4π︒+-+- 【难度】3星【解析】（1）原式212=+-=（2）原式4142=⨯++ 5= 【答案】见解析【例9】 化简计算（1）22(2sin cos )(2cos sin )αααα++-； （2）2222sin 1sin 2....sin 88sin 89︒+︒++︒+︒；【难度】3星【解析】（1）2222(2sin cos )(2cos sin )5(sin cos )5αααααα++-=+= （2）2222sin 1sin 2...sin 88sin 89︒+︒++︒+︒()()22222sin 1sin 89...sin 44sin 89sin 45=︒+︒++︒+︒+︒()2221sin 1cos 1...sin 45442=︒+︒++︒=【答案】（1）5 （2）1442（其中090α︒<<︒） 【难度】4星【解析】原式sin cos αα=- 当4590α︒<︒„时，原式sin cos αα=-； 当45α=︒时，原式0=；当045α︒<︒„时，原式cos sin αα=-． 【答案】见解析【巩固】已知α为锐角，sin cos αα-=sin cos αα+=____________； 【难度】4星【解析】∵sin cos αα-=∴()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 2αααααααα-=+-=-= ∴12sin cos 2αα=∵α为锐角，∴sin cos 0αα+>∴sin cos αα+==．【例10】 （2011湖北襄阳）先化简再求值：22121(1)24x x x x ++-÷+-，其中tan601x =︒-． 【难度】3星 【解析】原式21(2)(2)22(1)1x x x x x x x --+--=⋅=-+++当tan 6011x =︒-=时，原式1===模块四 三角函数与代数综合【例11】 求适合下列条件的锐角α：sin 2α= 【难度】3星【解析】∵sin 45︒=∴245α=︒.∴22.5α=︒. 【答案】22.5α=︒【巩固】求适合下列条件的锐角α：2cos(10)α+︒=【难度】3星【解析】∵2cos(10)α+︒=∴cos(10)α+︒=.∵cos30︒=，∴1030α+︒=︒，∴20α=︒. 【答案】20α=︒【例12】 已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数. 【难度】4星【解析】∵22sin cos 1αα+=∴22(1cos )5cos 10αα--+=，即：22cos 5cos 30αα+-=. ∴(2cos 1)(cos 3)0αα-+=.解得：cos 3α=-或1cos 2α=. ∵0cos 1α≤≤，∴1cos 2α=，∴60α=︒. 【答案】60α=︒【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数. 【难度】4星【解析】由α为锐角，可知0sin 1α<<. 又由22cos 7sin 50αα+-=，22sin cos 1αα+=可知22sin 7sin 30αα-+=，解之得1sin 302αα=⇒=︒. 【答案】30α=︒模块五 三角函数与几何综合【例13】 （2011四川南充市）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE △沿BE 折叠为BFE △，点F 落在AD 上.（1）求证：ABE DFE △∽△（2）若1sin 3DFE ∠=，求tan EBC ∠的值.【难度】3星【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴90A D C ∠=∠=∠=o ∵BCE △沿BE 折叠为BFE △ ∴90BFE C ∠=∠=o∴18090AFB DFE BFE ∠+∠=-∠=o o 又90AFB ABF ∠+∠=o ∴ABF DFE ∠=∠EFD CB A∴ABE DFE △∽△(2) 解：在Rt DEF △中，1sin 3DE DFE EF ∠==.设DE a =则3,EF a DF === ∵BCE △沿BE 折叠为BFE △∴3,4,4,CE EF a CD DE CE a AB a EBC EBF ===+==∠=∠ 又ABE DFE △∽△∴2FE DF BF AB ==∴tan tan tan FE EBF EBC EBF BF ∠==∠=∠=【答案】 见解析【例14】 （2011江苏淮安）如图，在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=︒∠=︒将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转15︒后得到1111,AB C B C △交AC 于点D ，如果AD =则ABC △的周长等于（ ）．【难度】3星【解析】在Rt ABC △中，90,30,ABC ACB ∠=∠=o o 所以60BAC ∠=o 因为115∠=o ，所以2145BAC ∠=∠-∠=o又在1Rt AB D △中，AD =所以12AB AB ==，所以4BC AC == 即ABC △的周长：6AB BC AC ++=+【答案】6+【例15】 （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，5BC =，3CD =，则tan C 等于（ ）．A .34 B .43 C .35D . 45 21DC1B1C BA【难度】3星【解析】连结BD ，则24BD EF ==，又5BC =，3CD =，所以BCD △是直角三角形，90BDC ∠=︒ 所以4tan 3BD C CD ==【答案】B【例16】 （2011四川内江）如图，在等边ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且60ADE ∠=︒， 44,3BD CE ==，则ABC △的面积为 （ ）． A． B ．15 C． D．【难度】4星【解析】因为ADC B BAD ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，60B ADE ∠=∠=o ，所以BAD EDC ∠=∠ 所以ABD DCE △∽△，所以AB BD CD CE =，即4434ABAB ÷=-，所以6AB = 所以等边ABC △的面积：166sin 602⨯⨯=oFEDCBACABCDE【巩固】（2011山东临沂）如图，ABC △中，3cos 5B C ==，5AC =，则ABC △的面积是（ ）A ．212B ．12C ．14D .21 【难度】4星【解析】过点A 作AD BC ⊥于D .由题意得：45B ∠=o ， 所以AD BD = 又在ADC △中，3sin 5AD C AC ==，5AC =，所以4,3CD AD BD === 所以ABC △的面积：11121()732222BC AD BD CD AD ⋅=+⋅=⨯⨯=【答案】A【例17】 已知：如图，O e 的半径16,OA cm OC AB =⊥于C点，tan AOC ∠=． 求：AB 及OC 的长．AB CCBA【解析】在Rt OAC △中，tan AC AOC OC ∠==所以3sin 416AC ACAOC OA ∠===所以12AC cm =.根据垂径定理得：224AB AC cm ==OC AC == 【答案】 见解析【例18】 用几何方法求sin15︒的值． 【难度】4星【解析】如图所示，画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，1AC =，2AB =，30ABC ∠=︒，BC =延长CB 到D ，使2BD BA ==，连接AD ，则15ADC ∠=︒． 在Rt ACD ∆中，15ADC ∠=︒，1AC =，2DC =. ∵222AD DC AC =+2(21=+862=+=+22=+2=∴AD .依定义得：sin15︒=；cos15︒==；tan152︒==cot152︒=.【答案】见解析D15︒30︒CBA【巩固】用几何方法求cos15tan15︒︒、的值． 【难度】4星 【解析】见“例题” 【答案】见“例题”1． 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ）． A ．3sin A =B ．1tan 2A = C ．3cosB = D ．tan 3B =【难度】2星【解析】考查勾股定理和锐角三角函数的定义，由勾股定理得：3AC =．根据三角函数定义：1sin 2BC A AB ==，3tan BC A AC ==，1cos 2BC B AB ==，tan 3ACB BC==．【答案】D2． （2011安徽芜湖）计算： 2011315(1)()(cos68)338sin 602π---+︒+︒+-︒【难度】2星【解析】原式=1813--++=83-+ 【答案】83-+C BA课堂检测3． 点(sin60cos60)-︒︒，关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ． 312⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．312⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， D ．1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 【难度】3星【解析】由题意得：点31()2-，关于y 轴对称的点坐标是31()2，． 【答案】A1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．② ．③ ．1． 已知：如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥于E ，1216sin 13BE cm A ==，．求此菱形的周长．【难度】3星【解析】设AE x =．在Rt ADE △中，12sin 13A =，所以5cos 13A =，即5cos 1613AE x A AD x ===+ EDCBA课后作业总结复习解得：10x = 所以该菱形的周长是40cm ． 【答案】40cm2． 四边形ABCD ，BEFM 都是正方形，设FCM AFE αβ∠=∠=，，若5sin 13α=，求tan β．【难度】4星 【解析】由5sin 13α=得513FM FC =，设513FM k FC k ==，， 由勾股定理得12MC k =，所以1257BC AB k k k ==-=，5FE FM k ==，则2AE k =，在Rt AFE ∆中， 22tan 55AE k EF k β=== 【答案】253． 求下列各式的值：（1）22cos 302sin60cos45︒-︒︒；（2）22211cos 45cos 30sin 45cos60sin90︒-++︒+︒︒︒【难度】2星【解析】(1)22cos 302sin60cos45︒-︒︒222=⨯-32=(2)22211cos 45cos 30sin 45cos60sin90︒-++︒+︒︒︒MFEDCBA22221=-+++ 1311242=-++ 34=【答案】（1）32 （2）344． 已知α为锐角，且2cos 3α=，则α的取值范围是 ( ) A ．030α︒<<︒ B ．3045α︒<<︒ C ．4560α︒<<︒ D ．6090α︒<<︒ 【难度】3星【解析】锐角三角函数的性质、代入特殊值法 【答案】C5． 已知：如图，ABC △中，9,6,AB BC ABC ==△的面积等于9，求sin B .【难度】3星【解析】过点C 作CD AB ⊥于D ，由题意得：19922ABC S AB CD CD =⋅==△，所以2CD = 在Rt BCD △中，21sin 63CD B BC ===【答案】13CBAA。
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第九讲 锐角三角函数板块一 锐角三角函数【例1】⑴(2010年人大附统练)如图，在ABC △中，AB AC =，45A =︒∠，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E 两点，连接CD ，如果1AD =，那么tan BCD =∠ 。
⑵(2007海淀二模)如图，四边形ABCD 、A 1B 1BA 、…、A 5B 5B 4A 4都是边长为1的小正方形。
已知 ∠ACB ＝α，∠A 1CB 1＝α1，…，∠A 5CB 5＝α5。
则tanα·tanα1＋tanα1·tanα2＋…＋tanα4·tanα5的值 为( ) A ．1 B ．5C ．45D ．56⑶(2010年济宁市)如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一 球从点M (点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点。
如果MC n =，CMN α∠=。
那么P 点与B 点的距离为 。
【例2】⑴(2010年人大附统练)已知ABC △，90C =︒∠，设sin A m =，当A ∠是最小的内角时，m 的取值范围是( ) A ．102m <<B ．202m <<C ．303m <<D ．302m <<B 5B 4B 3B 2B 1A 5A 4A 3A 2A 1BA C D E DC B A BC · ·Nα12︒5︒DCBA⑵(十一学校2009年初三数学学习能力测试)已知1sin cos 8αα⋅=，且4590α<<°°，则cos sin αα-的值是( )A 3B ．3C ．34D ．3⑶(北京二中分校2009学年度第一学期初三质量检测)因为1sin 302=°，1sin 2102=-°，所以 ()sin 210sin 18030sin 30=+=-°°°°；因为2sin 452=°，2sin 2252=°，所以 ()sin 225sin 18045sin 45=+=-°°°°；由此猜想并推理知：一般地，当α为锐角时，有()sin 180sin αα+=-°。
由此可知sin 240=°( )A ．12-B ．2C ．3D ．3板块二 解直角三角形及应用【例3】(2009浙江台州)如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角12CBD ∠=︒，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5︒。
⑴求坡高CD ；⑵求斜坡新起点A 与原起点B 的距离(精确到0.1米) (参考数据：sin120.21cos120.98tan50.09︒≈︒≈︒≈，，)【例4】面积专题：题源：(2010年人大附统练)如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( )A ．1sin α B ．1cos αC ．sin αD ．1α总结：如图，若平行四边形一组邻边为a ，b ，且一内角为α，则平行四边形的面积为 。
应用：小高有两道题目，一直百思不得其解，你能应用上面的方法帮助小高解决下面两道题目吗？①如图，已知三角形的两边为a 、b ，且其夹角为β，则三角形的面积为 。
②如图，已知一四边形两对角线长为a 和b ，且对角线的夹角 为β，则四边形的面积为 。
题目做完了，同学们请你指导小高在解决这类题只要_________ 就行了。
【例5】⑴(2009—2010年一零一月考改编)如图，在小正方形组成的网格中，则tan ABC =∠ 。
⑵(2009—2010年一零一月考)如图，在小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 、E 都在小正方形的顶点上，则 tan ADC =∠ 。
⑶(2010年人大附统练)如图，如果APB △绕点B 按逆时针方 向旋转30︒后得到11A PB △，且2BP =，那么1PP 的长度 为 。
(保留根号)αba平行四边形βb aβab BEDCBAP 1A 1PBA⑷如图，正方形ABCD 的边长为5，直线1234l l l l ∥∥∥，且直线2l 和直线3l 之间的距离为1，如果 正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则tan α= 。
α15A BCDl 1l 2l 3l 4⑸如图，在正方形ABCD 中，分别以A 为圆心，AB 为半径的圆和以B 为圆心，AB 为半径的圆相 交于点E ，求tan ECB ∠；AB CDE⑹如图，在正方形ABCD 中，以BC 的中点为圆心，2BC为半径作圆，以点A 为圆心，以AB 为半 径作圆，两圆相交于点E ，求tan ECB ∠的值。
AB DEC【例6】(2009辽宁本溪)如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面。
已知山坡的坡角23AEF ∠=︒，量得树干倾斜角 38BAC ∠=︒，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠=︒=，。
⑴求CAE ∠的度数；⑵求这棵大树折断前的高度。
(结果精确到个位，参考数据：2 1.43 1.76 2.4===，，)。
【例7】(2009宁夏)如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB (与地面平行)或绕定点P (固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转动(转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，)。
通过向下踩踏点A 到'A (与地面接触点)使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转(DH 为旋转半径)至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠。
如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =。
测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，。
要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？(结果保留两位有效数字)C 60° 38° BDE 23°A F （图1）A P BD H H ′B ′A ′（图2）A PBDH H ′B ′MC （图3）【例8】(十一学校2009年初三数学学习能力测试)阅读下列材料并解决后面的问题。
材料一：在锐角ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c 。
过A作AD BC ⊥于D (如图)，则sin AD B c =，sin AD c b =，即sin AD c B =，sin AD b C =于是sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =。
同理有sin sin c aC A=，sin sin a bA B =。
∴sin sin sin a b cA B C==………(※) 即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
同样地，我们还可以证明在任意的三角形中，上述结论也成立。
材料二：在锐角ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c 。
ABC △的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b c R A B C===。
直接用前面阅读材料中命题的结论解题。
⑴在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、A ∠，运用上述结论(※)和有关定理就可以求出 其余三个未知元素c 、B ∠、C ∠，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步，由条件a ，b 、sin sin a b A B A B ∠−−−−→=−−−→∠用关系式求出；第二步，由条件 −−−−→用关系式 −−−→求出C ∠；第三步，由条件 −−−−→用关系式 −−−→求出c 。
⑵已知a ，b ，c 分别为ABC △的角A ，B ，C 的对应边，①()()()::4:5:6b c a c a b +++=，则sin :sin :sin A B C = ； ②若60A =°，3a =sin sin sin a b cA B C++=++ ；③若cos cos b A a B =，判断ABC △是 三角形。
⑶2006年9月22号至23号，中塔首次联合反恐军事演习在塔吉克斯坦特隆州库利亚布市举行。
这是中国军队首次成建制组织赴境外与外 军进行联合军事演习。
这次代号“协作-2006”的演习内容是组织和实 施在山地条件下对恐怖组织联合围歼作战行动。
我炮兵阵地位于地面 A 处，两所观察所分别位于地面C 和D 处，已知6000DC =米， 45ACD ∠=°，75ADC ∠=°，目标出现在地面B 处，测得30BCD ∠=°，15BDC ∠=°(如图所示)。
求炮兵阵地到目标的距 离。
(结果保留根号)⑷在锐角ABC △中，3BC 2CA =，60A ∠=°，求ABC △的外接圆半径R 及C ∠。
D CBA DC B AA CDB1234测 试 题1．（2010年人大附统练）使5tan 1x -有意义的锐角x 的取值范围是（ ）A ．45x =︒B ．45x ≠︒C ．4590x ︒<<︒D ．045x ︒<<︒2．在ABC ∆中，90C ∠=︒，14a b +=，10c =，>6a ，求a ，b ，tan B 。
3．如图，MN 表示某隧道挖掘工程的一段设计路线，MN 的方向为南偏东30︒。
在M 的南偏东60︒方向上有一个点A ，以点A 为圆心、600米为半径的圆形区域为土质疏松地带（危险区）。
取MN 上一点B ，测得BA 的方向为南偏东75︒。
已知400MB =米，请你通过计算回答，如果不改变方向，挖掘路线是否会通过这一危险区？ （2 1.414≈，3 1.732≈）4．（2010玉溪市）在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图，若4AB =，10AC =，60ABC =︒∠， 求B 、C 两点间的距离。
C BA CBA5．（2009内蒙古赤峰）公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒。
请你求出这块草地的面积。
答 案1．C2．8a =； 6b =；3tan 4B =3．不会通过这危险区4．2222+5．(150253+平方米。