2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】

2014年江苏高考数学试题

数学Ⅰ试题

参考公式:

圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．

. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ． 【答案】{13}-，

2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】21

3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5

4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13

5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3

π

的交点，则ϕ的值是 ． 【答案】

6

π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24

7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ．

【答案】4

8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且

1294S S =，则12V

V 的值是 ． 【答案】32

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 255

10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】20⎛⎫ ⎪⎝⎭

11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b

y ax x

=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在

点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3-

12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，

32CP PD AP BP =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的

值是 ． 【答案】22

13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21

()22

f x x x =-+．若函

数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()

102

，

14．若ABC ∆的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答, 解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15．(本小题满分14 分)已知()

2

απ∈π，

，5sin α=． （1）求()

sin 4

απ+的值；

（2）求()cos 26

α5π-的值．

【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能

力. 满分14分.

（1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，，

∴225

cos 1sin αα=--=

(

)

210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；

（2）∵2243

sin 22sin cos cos 2cos sin 55

αααααα==-=-=，

∴()()

3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=

16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =． （1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．

【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系， 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，

中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，

中点 ∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，

中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E =I ∴DE ⊥平面ABC

∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．

17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆

2

222

1(0)

y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于

点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()

4133

，，且22BF ，求椭圆的方程；

（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力. 满分14分.

（1）∵()

41

33C ，，∴22161

999a b

+=

∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =

∴椭圆方程为2

212

x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，

∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b y

b c x

+=--，即0bx cy bc --=①

∵1

FC AB ⊥，∴1y

b x

c c

⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2

22

2

2

22ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩

∴()

2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴

()(

)2

2

2222

22

2

2

21a c

bc b c b c a b --+

=，

化简得225c a =，∴

5c a = 5

18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的