第3章-随机变量的数字特征
概率论第三章部分习题解答
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
10
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 )p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
2
假定积分是绝对收敛的.
第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数(硕士).
Def 设连续型随机变量的概率密度为 fX (x)，若广义积分
x fX (x)dx收敛，则广义积分 x fX (x)dx的值称为随机变
量X的数学期望，记为E( X )，即E( X ) x fX (x)dx.
随机变量数学期望所反应的意义
随机变量数学期望E(X )反映了的随机变量X 所以可能 取值的平均，它是随机变量所有可能取值的最好代表。
F
(
x)
1
xex00源自x0N min( X1, X2 )的分布函数为
FN
(x)
1[1
F (x)]2
1
2x
e
0
x0 x0
于是，N的概率密度为
f
N
(
x)
2
e
2x
x0
0
x0
E(N
)
xf N
(x)dx
xf X
( x)dx
1 0
x
2xdx
2 3
E(Y
)
yfY
( y)dy
1 0
y
y 4
dy
13 6
随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况
设Y g( X )是随机变量 X的函数，
二、数学期望的定义
离散型随机变量
Def 设离散型随机变量的概率分布为
P(X xi ) pi i 1, 2,
如级数 xi pi收敛，则称级数 xi pi的值为随机变量X的
第3章 随机变量的数字特征(答案)
第3章 随机变量的数字特征 一.填空题1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布22{},0,1,2...!k P X k e k k −===则随机变量3Z X 2=−的数学期望E (Z)= (4)()()()()~(2),2,32323224X P E X E Z E X E X ==−=−=×−=解: 2.设随机变量X 的密度函数为 ⎩⎨⎧+=0)(B Ax x f 则且其它,127)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)解:1()112f x dx A B +∞−∞=⇒+=∫, 7117()123212EX xf x dx A B +∞−∞==⇒+∫=, 11,2A B ∴==3.(95-1-3)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2x 的数学期望 ()2E X= (18.4)解:()()()()()()222~(10,0.4), 100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E XD XE X =×==−=×−==+=+=4. (99-4-3)设~(),X P λ已知,则[(1)(2)]1E X X −−=λ= (1) 解:()()()()()22~(),,,X P E X D X E XD XE X 2λλλλ===+=λ+−0,222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ−−=−+=+=−+=⇒= 5. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1, 1()1, 010,x x f x x x +−≤≤⎧⎪=−<≤⎨⎪⎩,则方差为 DX (1/6)解:()()011123231100101111(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫=()()0111222234341100101111(1)(1)3434E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫16=()()()221/601/6D X E X E X =−=−=6.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独立,,则~(3,1),~(2,1)X N Y N −27, Z ~Z X Y =−+ (0,5)N 解:()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =−+=−−×+==+=+=∴7.设两个相互独立的随机变量和Ｙ均服从,若随机变量X (1,1/5)N X aY −满足条件， 2()[(D X aY E X aY −=−)]则a = . (1) 解:()0,()()0110E X aY E X aE Y a a ⇒−=⇒−=⇒−⋅=⇒=18.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =−则Y 与Z 的相关系数为 (0.9)解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =−==−==,,0.9YZ ρ===9.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ===，=2，试求E X Y +（）= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，()()()222,D X E X E X ∴=−= ()()()222D Y E Y E Y =−=0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ====⇒===26222222)2()()22E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（二.选择题1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协方差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ; (B ) ; (C ) X 与Y 独立; (D ) X 与Y 不独立 ()()(D XY D X D Y =))()D X Y DX DY +=+2.若随机变量X 与Y 的协方差，则下列结论必正确的是( ). 解C (,)0Cov x y =(A ) X 与Y 独立; (B ); (C )()()(D XY D X D Y =()D X Y DX DY +=+; (D ). ()D X Y DX DY −=−3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则的值( ). 解B ,n p (A ); (B ) ; (C ) 4,0.6n p ==6,0.4n p ==8,0.3n p ==; (D ) . 24,0.1n p ==解:()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====−==⇒==4.(97-1-3)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差为4和2,则随机变量32X Y −的方差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析:()329()4()944244D X Y D X D Y −=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独立同分布,记,则U 和V 必然( ) 解D ,U X Y V X Y =−=+(A )独立; (B)不独立; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独立同分布,()(),D X D Y =cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=−+=+−−=−=⇒=6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=∼∼，则（ ）. 解D (A). (B). (C)(21)P Y X =−−=111(21)P Y X =−=(21)P Y X =−+=. (D).(21)P Y X =+=10分析:,1,XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+⇒=⋅+⇒=∵,选D三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1x x F x x x <−−≤<=≤<≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求EX ， （0.3，0.61）DX X -1 0 1解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律1/3 0.2 0.3 0.5（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）()10.210.50.3EX =−×+×=，，()22210.210.50.7EX =−×+×=2220.70.30.61DX EX E X =−=−=2. 若已知是分布函数，求()0, 10, 011, 1x F x x x x −≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩EX ， （1/2，1/12）DX (思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，，()1, 01'()0, x F x f x ≤<⎧==⎨⎩其他1120 011122EX x dx x =⋅==∫， 112230 011133EX x dx x =⋅==∫，222111321DX EX E X ⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠23.(89-4-3)设随机变量2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独立，令32132X X X X +−=,求EX , (12, 46) DX 解:12306()()2()3()2033122E X E X E X E X +=−+=−×+×= 22123(60)()()4()9()42934612D X D X D X D X −=++=+×+×=4、设[]~2,6X U ，对进行20次独立观测，Y 表示20次观测值中事件X {}5X >发生的次数，求()2Y E （115/4）.解：[]~2,6X U ，()1, [2,6]40, x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意 ，(,)Y B n p ∼120,4n p ==13154205,544EY np DY npq ==×===×=()，222153528E Y DY E Y =+=+=5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)解:0.6,EX =20.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =−=−=,()10.1510.350.2EY =−×+×=(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy −=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴=6、已知随机变量服从区域),(Y X ()}{,01,D x y x x y x =<<−<<上的均匀分布，求(),,,EX DX Cov X Y .解：依题意，()11, (,),0, x y Df x y d ⎧=∈⎪=⎨⎪⎩其他（注意，函数区间利用二重积分计算）2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞+∞−∞−∞+∞+∞−∞−∞+∞−−∞===−==∫∫∫∫∫()(,EXY xyf Cov X Y EXY +∞∞+∞+∞−∞−∞==−∫∫∫7. (05-1,3,4-9)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独立性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01x <<，()()20,12xX f x f x y dy dy x +∞−∞==∫∫=2, 01()0, Xx x f x <<⎧∴=⎨⎩其他 02y <<,()()1/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞−∞===−∫∫,1, 02()20, Y yy f y ⎧−<<⎪∴=⎨⎪⎩其他2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅,X Y ∴，不独立.3) 121122002()(,)23xxE X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=, 1211222000012()(,)223xx E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=1211223000011()(,)222xx E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=1显然相关.(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠∴Y X ,8. (07-1,3,4-11)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,0,0,x y x y f x y −−<<<⎧=⎨⎩其他<}1) 求, 2)判断X,Y 的独立性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独立.相关) {2P X Y >解1) ()1/21/220001{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >=−−=−−∫∫∫120515()822424x x dx =−=−=∫7112001301()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞−∞≤≤==−−=−−=−∫∫，3/2, 01()0, X x x f x −≤⎧≤2),∴=⎨⎩其他112001301,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞−∞≤≤==−−=−−=−∫∫3/2, 01()Y y y f y −≤⎧≤∴=⎨显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅, X Y ∴，不独立3)112300331()()()()243X E X xf x dx x x dx x x +∞−∞==−=−∫∫512=,112300331()()()()2435Y E Y yf y dy y y dy y y +∞−∞==−=−=∫∫121111122232000001121()(,)(2)()()2332E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞−∞−∞==−−=−−=−∫∫∫∫∫∫16= (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设且22~(1,3),~(0,4)X N Y N ,1,2XY ρ=−设32X YZ =+， 1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,(1/3,3, 0)解:1) 22~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=−32X Y Z =+11()()()32E Z E X E Y ⇒=+=13 1(,)3462XY Cov X Y ρ==−××=−,111111()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+−=2)111111(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=⋅+−=cov ,0XZ X Z ρ∴==。
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
概率论第三章
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、应用实例
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§3.1
数学期望
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望
因而其数学期望E(X)不存在.
§3.2 数学期望的性质 一、性质
性质3.1 设C是常数, 则有ECC. 证
E X E C 1 C C . E CX CE X .
性质3.2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证 E CX Cxk pk C xk pk CE X .
数学期望, 记为EX, 即
E X
xp x dx .
4. 数学期望不存在的实例
例3
设随机变量X的分布律为 1 PX n , n 1,2,, nn 1
求证: 随机变量X没有数学期望.
证 由定义, 数学期望应为
1 E X npn . n1 n 1 n 1
求EX, EY, E (Y / X ), E[( X Y )2 ]. 思考： X2的分布律？
例7 设随机变量X ~ N0,1, Y ~U0,1, Z~B5,0.5, 且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y4Z1
的数学期望.
概率统计 第3章随机变量的数字特征1节
2020/9/21
3
1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2，，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1,, k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加 权平均
2020/9/21
12
(2)随机变量函数数学期望的计算 方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
2020/9/21
13
方法2 (公式法):
定理 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
k1 k1
2020/9/21
17
(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在， 则E(XY ) E(X )E(Y ).
证：仅就连续随机变量情形
EXY xyf x, ydxdy
xy f X x f Y y dxdy
xf
X
x
dx
y fY y dy
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15
补充： 函数
( ) x 1exdx 0
函数有下列结论：
(1) ( 1) ();
(2) Γ(n 1) n !; (3) (1) (2) 1, (1) .
2
0
y12e y1 dy1
(3) 2! 2
2020/9/21
16
二、数学期望的性质
随机变量的数字特征
例 若随机变量X的概率密度为
f(x)(1 1x2), x
则称X服从柯西(Cauchy)分布。
但
|x|
f(x)d x (1| x|x2)dx 发散
所以柯西分布的数学期望不存在。
《医药数理统计方法》
§3.1
三、数学期望的性质
1、E(C)=C 2、E(CX)=C×E(X) 3、E(X±Y)=E(X)±E(Y)
n
n
3)设X1,X2,…,Xn相互独立，则 V(Xi)V(Xi)
i1
i1
V (1 n i n 1X i) n 1 2i n 1 V (X i) 1 n [1 n i n 1 V (X i)]
解：红细胞的变异系数为 C V(X1)4 0..1 27 98 16.965%
血红蛋白的变异系数为
10.2 C V(X2)117.68.673%
所以，血红蛋白的变异较大。
《医药数理统计方法》
§3.2
二、方差的性质
1、V(C)=0 证明：V(C)=E{[CE(C)]2} =E[(CC)2]=0
2、V(CX)=C2V(X) 证明：V(CX)=E{[CXE(CX)]2}
而 E (X 2 ) E (X X ) E (X )E (X ) 1 1 1
339
计算是错误的！！
《医药数理统计方法》
§3.2
§3.2 方差、协方差和相关系数
一、方差 二、方差的性质 三、其他数字特征
《医药数理统计方法》
§3.2
一、方差
例3.15 为了比较甲、乙两个专业射击运动 员的技术水平，令每人各射击5次，分别以 X1,X2表示他们射击的环数，结果如下：
即
E(X) xf(x)dx
概率论与数理统计 南京大学 3 第三章随机变量的数字特征 (3.4.1) 柯西 施瓦兹不等式
协方差的定义
定义： E[(X-EX)(Y-EY)]称为随机变量X与Y的 协方差，记为Cov(X, Y )。即 Cov(X, Y )= E[(X-EX)(Y-EY)]
协方差的一般计算公式： Cov(X, Y )=E(XY)- E(X)E(Y)
证明：Cov(X, Y )= E[(X-EX)(Y-EY)] =E[XY-XEY-YEX+EXEY] =E(XY)-E(XEY)-E(YEX)+EXEY =E(XY)- E(X)E(Y)
由一元二次方程的求解知： [2Cov(X,Y)]2 -4DXDY≤0
即 Cov2(X,Y) ≤DXDY
柯西-施瓦兹不等式
2018/12/15
柯西-施瓦兹不等式有多种形式：
n
n
n
1.数列形式： ( aibi )2 ai2 bi2
i1
i1
i1
ห้องสมุดไป่ตู้
b
b
b
2.积分形式： ( f (x)g(x)dx)2 f 2(x)dx g2(x)dx
a
a
a
3.概率形式……
=E(X-EX)2+E(Y-EY)2+2E[(X-EX)(Y-EY)]
=DX+DY+2Cov(X,Y)
=DX+DY
定理：（柯西 施瓦兹不等式）若随机变量X、Y的 二阶原点矩存在，则
Cov2( X ,Y ) DX DY
证明：对任意t E[t(X-EX)-(Y-EY)]2 =t2DX-2tCov(X,Y)+DY≥0
（4）若X、Y相互独立，则 Cov(X, Y )= 0；且
D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
随机变量的数字特征
第三章、随机变量的数字特征一、选择题：1．设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则EX= （ C ）A ．140x dx ⎰ B ．15014x dx ⎰ C ．1404x dx ⎰ D ．1401x dx xdx +∞+⎰⎰2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ）A ．220()()E X x E X EX -=-B ．220()()E X x E X EX -≥-C ．220()()E X x E X EX -<-D ．20()0E X x -=3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （ B ）A ．n = 4，p = 0.6B ．n = 6，p = 0.4C ．n = 8，p = 0.3D ．n = 24，p = 0.14．设X 是随机变量，且EX a =，2EX b =，c 为常数，则D （CX ）=（ C ）A ．2()c a b -B ．2()c b a -C ．22()c a b -D ．22()c b a -5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （ B ）A ．a = 0，b = 6B ．a = 1，b = 5C ．a = 2，b = 4D ．a = -3，b = 36．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ）A ．2B ．1/2C ．4D ．1/47．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ）A ．N （1，4）B ．N （0，1）C ．N （1，1）D ．N （1，2）8．设随机变量X 的方 差DX =2σ，则()D aX b += （ D ）A ．2a b σ+B ．22a b σ+C ．2a σD ．22a σ9．若随机变量X 的数学期望EX 存在，则[()]E E EX = （ B ）A ．0B ．EXC ．2()EXD ．3()EX10．若随机变量X 的方差DX 存在，则[()]D D DX = （ A ）A ．0B ．DXC ．2()DXD ．3()DX11．设随机变量X 满足D （10X ）=10，则DX= （ A ）A ．0.1B ．1C ．10D ．10012．已知1X ，2X ，3X 都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)E X X X -+= （ D ）A ．1B ．2C ．3D ．413．若1X 与2X 都服从参数为1泊松分布P （1），则12()E X X += （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．414．若随机变量X 的数学期望与方差均存在，则 ( B )A ．0EX ≥B ．0DX ≥C ．2()EX DX ≤D ．2()EX DX ≥15．若随机变量2~(2,2)X N ，则1()2D X = （ A ）A ．1B ．2C ．1/2D ．316．若X 与Y 独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y ）= （ D ）A ．9B ．15C ．21D ．2717．设DX = 4，DY = 1，XY ρ= 0.6，则D(2X-2Y) = （ C ）A ．40B ．34C ．25.6D ．17.618．设X 与Y 分别表示抛掷一枚硬币n 次时，出现正面与出现反面的次数，则XY ρ为（ B ）A ．1B ．-1C ．0D ．无法确定19．如果X 与Y 满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ B ）A ．X 与Y 独立B ．XY ρ= 0C ．DX-DY = 0D ．D X DY=020．若随机变量X 与Y 的相关数XY ρ=0，则下列选项错误的是 （ A ）A ．X 与Y 必独立B ．X 与Y 必不相关C ．E (XY ) = E(X) EYD ．D (X+Y ) = DX+DY二、填空题：1. 设X 表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX = 18.4 .2. 若随机变量X ~ B （n, p ），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 8 ，P = 0.2 .3. 若随机变量X 服从参数为p 的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DX EX =<，则EX = 1/3 .4. 若随机变量X 在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 2 ,b = 4 .5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX = 8 .6. 若随机变量X 服从参数为λ泊松分布 ~()X P λ，且EX = 1，则DX = 1 .7. 若随机变量X 服从参数为λ指数分布~()X e λ，且EX = 1，则DX = 1 .8. 若随机变量X 服从参数为2与2σ的正态分布2~(2,)X N σ，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = 0.2 .9. 若X 是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D （2X - 3）= 4 .10. 若X 是一随机变量，D （10X ）= 10，则DX = 0.1 .11. 若X 是一随机变量，2(1)2X E -= 2，1(1)22X D -=，则EX = 2或—2 . 12. 若随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布X ~ B （n, p ），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}p X < = .13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N ，则1()2D X = . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2()E X X += 1 .15. 若随机变量X 的概率密度为 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则EX = 2/3 ，DX = 1/18 . 16. 若随机变量X 的分布函数为300(),011,1y F x y y y <⎧⎪=<<⎨⎪>⎩， ，则EX = 3/4 .17. 若随机变量1X 与2X 都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()E X X += 2 .18. 人的体重是随机变量X ，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y ，则EY = a .19. 若X 与Y 独立，且DX = 6，DY = 3，则D （2X-Y ）= 21 .20. 若随机变量X 与Y 独立，则X 与Y 的相关系数为R （X ，Y ）= 0 。
随机振动--第3章-3-5随机变量的数字特征
xf ( x )dx 绝对收敛, 则称此积分为
即
E( X )
x f ( x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1 f ( x) 1 x 2 0
解 E( X )
1
x 1 x 1
求数学期望。
xf ( x)dx
1
x 0 dx x
1
1
1 x
2
dx
1
x 0 dx
0
数学期望的意义
E(X)反映了随机变量X取值的“概率平均”,是X的 可能值以其相应概率的加权平均。 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 在E(X)附近摆动
x
x E( X )
1 ( t ) 2 e
dt
指数分布的期望
分布密度 数学期望
e x x 0 f ( x) x0 0
E( X )
xf ( x)dx
x
0
x e x dx
x
xe 1
|
0
E (Y ) E [ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1
连续型
概率密度为f ( x)
E (Y ) E[ g( X )]
g( x ) f ( x )dx
例
已知 X 服从 0,2 上的均匀分布，求
Y sin X 的数学期望。
解
E (Y ) E sin X
因为
第三章 随机变量的数字特征
第三章 随机变量（向量）的数字特征
§3.1 随机变量的数学期望 §3.2 随机变量的方差 §3.3 协方差与相关系数
为了完整的描述随机变量的统计特性，自然应该知道 其分布函数，因为随机变量的分布函数可以反映随机变量 取值的规律。但是在实际问题中，一方面随机变量的分布 或分布函数并不都是容易求得的，另一方面，往往也不需 要知道随机变量的详尽的概率分布，而仅需要知道其某些
四、随机变量函数的数学期望 1. 一元随机变量函数的情况 设Y g( X )是随机变量 X的函数， （1）离散型
如果随机变量X 的概率函数为 P{ X xk } pk k 1, 2, 则有E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1
（2）连续型
x2
1 n
Pk
n
… xi … 1 n
… xn … 1 n
E ( X ) x1 1 x2 1 ... xn 1 1 xi n n n n
i 1
2.两点分布 由数学期望的定义
E( X ) p
X pi
0
1
q
p
3. 二项分布 若随机变量 X ~ B(n, p) ，其概率函数为
xR
( x )2 2 2
1 E ( X ) xf ( x)dx xe 2 t2 (x ) 1 令t ( t )e 2 dt 2 t2 1 e 2 dt 2
dx
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v)dv kv dv ka a 3 0
2 2 a
例3.6 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为
概率论与数理统计第3章随机变量的数字特征2-5节精品文档
1
D(X ) 21002
1
7002 21002
1 (1)2 3
8. 9
即P(5200X9400)8. 9
2019/10/16
n
n
D( CiXi) Ci2D(Xi).
i1
i1
(4) 对于任意实数C∈R，有 （书P93. 8题）
E ( X-C )2≥D( X )
当且仅当C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值D(X).
2019/10/16
19
求证
E ( X-C )2≥D( X )
证： E(XC)2 E {X [E]X [E X C )]2}
证: D(C)E{C [E(X)2 ]}E{C [ C]2} 0.
(2 )若 D (X )存则 在 D (C) , X C 2D (X )C ,为； 常
证: D(CX) E{C [ X E(C)X2]}
E{C [ X C(E X)2]} E{C2[XE(X)2 ]}
C2E{X [E(X)2]}C2D(X).
复习: 数学期望
它反映随机变量取值的平均水平，是随机变量的 一个重要的数字特征.
EX xk pk, k1
X离散型
E X xf(x )d x,
X 连 续 型
EYE[g(X)]
g(xk)pk,
k1
X离散型
g(x)f(x)dx, X连续型
2019/10/16
0
E(X 2)
函数有下列结论：
(1 ) (1 ) ();
(2Γ()n1 )n!;
tx
1
2
t2etdt
随机变量的数字特征
12
E (e 2 X ). 例 设随机变量X~E (1)，求
解 X的概率密度为
e x , x 0 p ( x) 0, x 0E(e2 XFra bibliotek) e
2 x
p( x)dx e3 x dx
0
1 1 3 x e 3 3 0
10000
0.5
20000
0.2
E( X ) 40000 0.3 10000 0.5 20000 0.2 13000
存入银行的利息: 8000 故应选择股票投资.
练 设随机变量的分布律为
p
0
1
2
0.2
3
0.1
0.4 0.3
2
求E，E ，E 2 - 1
解：E 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 1
1 3 即A 应获得赌金的 , 而 B 只能获得赌金的 4 . 4
A胜出的概率 1/2+1/2*1/2=3/4
若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.
则X 所取可能值为:
其概率分别为:
200
3 4
0
1 4
因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
4 5 6 1/4 1/2 1/4
X2 P
2
3
5
7
8 1/8
1/8 1/8 1/2 1/8
若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？ 两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大， 如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。
概率论与数理统计讲义第三章随机变量的数字特征
概率论与数理统计讲义第三章随机变量的数字特征第三章随机变量的数字特征【授课对象】理工类本科二年级【授课时数】4学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质。
2、会计算随机变量函数的数学期望。
3、了解协方差、相关系数的概念。
【本章重点】对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算。
【本章难点】对不相关与相互独立间关系的理解。
【授课内容及学时分配】§3.0 前言从上一章我们可以看出，分布函数（或密度函数、分布列）给出了随机变量的一种最完全的描述。
因此，原则上讲，全面认识和分析随机现象就应当求出随机变量的分布，但是对许多实际问题来讲，要想精确地求出其分布是很困难的。
其实，通过对现实问题的分析，人们发现对某些随机现象的认识并不要求了解它的确切分布，而只要求掌握他们的某些重要特征，这些特征往往更能集中地反映随机现象的特点。
例如要评价两个不同厂家生产的灯泡的质量，人们最关心的是谁家的灯泡使用的平均寿命更长些，而不需要知道其寿命的完全分布，同时还要考虑其寿命与平均寿命的偏离程度等，这些数据反映了它在某些方面的重要特征。
我们把刻划随机变量(或其分布)某些特征的确定的数值称为随机变量的数字特征。
本章主要介绍反应随机变量取值的集中位置、分散程度以及随机变量之间的线性相依程度的数字特征——数学期望、方差与相关系数（矩）。
§3.1 随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望引例：甲、乙二人进行射击比赛，以、分别表示他们命中的环数，其分布列分别为～～试问谁的技术好些?解：这个问题的答案并不是一眼看得出的。
这说明了分布列虽然完整地描述了离散型随机变量的概率特征，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况，因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值。
若在上述问题中，使两个射手各射N枪，则他们打中靶的总环数大约是：甲 8N+90.1N+100.6N=9.3N乙 80.2N+90.5N+100.3N=9.1N平均起来甲每枪射中9.3环，乙每枪射中9.1环，因此可以认为甲射手的本领要好些。
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征包括均值、方差、标准差、偏度和峰度等。
其中，均值是衡量随机变量中心位置的指标，是所有取值的平均数；方差是随机变量离均值的距离平方的平均数；标准差是方差的算术平方根，也是随机变量离均值距离的度量，具有与随机变量相同的量纲；偏度是随机变量概率分布的偏斜程度，为其分布的非对称程度的度量；峰度则是随机变量概率分布的尖锐程度，衡量随机变量的概率分布在平均值附近的峰值高低。
可以通过计算公式来求解以上数字特征，例如均值的计算公式为所有取值的总和除以取值的数量；方差的计算公式为将每个取值与均值的差值平方后的总和除
以取值的数量；标准差的计算公式则是方差的算术平方根；偏度的计算公式为三阶中心矩与标准差的比值；峰度的计算公式为四阶中心矩与标准差的四次幂的比值。
了解随机变量的数字特征有助于描绘随机变量的特征与规律，进而分析和预测其行为。
同时，对于特定应用领域，也需要针对性地选择数字特征进行分析，以
更好地满足应用的需求。
第三章随机变量的数字特征
例 随机变量X的概率分布为 X 2 0 1 2
P 0.3 0.1 0.4 0.2
求E(2X 3)和E(X 2 1) 解 E(2X 3) [2(2) 3]0.3 (20 3)0.1
(21 3)0.4 (2 2 3)0.2
0.3 0.3 2.0 1.4
3.4
E(X 2 1) [(22 ) 1] 0.3 (02 1) 0.1
定理3.1 若已知随机变量X的概率分布，则随机变量
的连续函数Y g(X )的数学期望
1若X为离散型随机变量时，其概率分布为
p{X xi } pi ，i 1，2，
则 EY Eg( X ) g( xi ) pi i 1
2若X为连续型随机变量，其密度函数为f (x)
则 EY Eg( X ) g( x) f X ( x)dx
即对于n个相互独立的随机
变量X
1
,
X
2
,,
X
，
n
有
n
n
E( Xi ) E( Xi )
i 1
i 1
例8 设随机变量X的数学期望 E(X ) 2
求E( 1 X 3) 2
解 由数学期望的性质得
E( 1 X 3) 1 E( X ) 3 1 (2) 3 4
2
2
2
3.1.3随机变量函数的数学期望
解： 1由离散型随机变量概率分布的性质得：
2C 3C 4C 1
2X的概率分布为 X 2
C1 9
1 1
P2 9
14 39
E(X ) 2 2 1 1 1 4 939
1 3
例5 已知二维离散型随机变量X，Y 的概率分布为
求X和Y的数学期望
Y X
随机变量的数字特征-方差
方差的性质
非负性
方差总是非负的，即Var(X) ≥ 0。
确定性
当随机变量取常数值时，方差为0。
线性性质
如果随机变量X的方差为Var(X)，则aX+b的方差 为a²Var(X)。
方差的意义
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，方差越大，随机变量的取值越分 散；方差越小，随机变量的取值越集中。
方差在统计学中有着广泛的应用，如计算数据的离散程度、评估预测模型 的精度等。
方差分析是统计学的分支之一，用于比较不同总体或样本的方差是否具有 显著差异。
02
方差的计算
离差平方和的分解
实际值与期望值之差的平方的平 均值。
所有这些平方差的加总。
每个随机变量与数学期望的差的 平方。
01
03 02
方差的计算公式
方差计算公式为：$D(X) = E[(X EX)^2]$
其中，$E$表示数学期望，$X$表示随 机变量，$EX$表示随机变量的数学期 望。
03
标准差与方差的关系表明，标 准差越小，随机变量的取值越 集中；标准差越大，随机变量 的取值越离散。
方差与偏态系数的关系
偏态系数是描述随机变量取值分布形态的数字特征，表示随机变量取值的对称性。
如果偏态系数大于0，表示随机变量取值右偏分布；如果偏态系数小于0，表示随机变量取值左偏分布。
方差与偏态系数之间存在一定的关系。对于具有相同方差的两个随机变量，偏态系数越大，表示随机变 量的取值越离散；偏态系数越小，表示随机变量的取值越集中。
随机变量的数字特征-方差
目录
• 引言 • 方差的计算 • 方差与其他数字特征的关系 • 方差的应用场景 • 案例分析
01
引言
第3章随机变量的数字特征第1节 概率论
6
[例2]甲乙两人分别加工同数量同型号的产品,分别以 , 表示他们加工产品所含次品数, 如他们的概率分布为 0 1 2 3 0 1 2 3 4
p 0.2 0.5 0.2 0.1 p 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 问谁的技术好? 解 : E 0 0.2 1 0.5 2 0.2 3 0.1 1.2 E 0 0.4 1 0.2 2 0.2 3 0.1 4 0.1 1.3 [例3] 据统计, 一位 60 岁的健康者在 5 年内健在的概率为 p (0 p 1). 保险公司开办 5 年人寿保险, 投保费 a 元, 若投保者在 5 年内死亡(非自杀死亡), 保险公司负责 赔偿 b 元(b a ). 应如何确定 b 值可使保险公司获益? 解 : 以 表示保险公司从一个投保者取得的收益, 则 取值为 a, a b, 相应的概率分布为 p, 1 p 于是 E a p (a b)(1 p) a b(1 p) a 保险公司要获益, 必须 a b (1 p ) 0, 即 b 1 p
n
n m
m m n m mCn p q m 1
nC
m 1
n
m 1 n 1
p q
m
nm
m 1 m 1 n m np Cn q 1 p m 1
k k n 1 k np Cn p q 1 令k m 1 k 0
n 1
np( p q )n 1
1
17
五、期望及其性质的应用
例(P74) 设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N) ,求EX。
解 设 Xi 表示第 i 次取出的 样品数中的次品数，则 Xi服从如下的
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第三章 随机变量的数字特征
班级： 姓名： 学号： 成绩：
一、单项选择题(每小题2分,共14分)
1、已知随机变量X 、Y 都服从泊松分布且相互独立，若()16,()3E X E Y ==，则2X D Y ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）. (A) 1 (B) 5 (C) 7 (D) 11
2、若X 的期望()3E X =，()5D X =，则()
2
E X =（ ）.
(A) 7 (B) 8 (C) 13 (D) 14
3、若离散型随机变量(100,0.1)X B ，则离散型随机变量3Y X =-的数学期望、方差分别为（ ）. (A) ()30,()27E Y D Y =-= (B) ()30,()27E Y D Y == (C) ()30,()81E Y D Y =-= (D) ()30,()27E Y D Y ==
4、若离散型随机变量(100,0.1)X B ，则数学期望()
2
E X =（ ）.
(A) 2.4 (B) 109 (C) 16 (D) 18.4 5、若()~1,1X U -，则下列说法错误的是（ ）. (A) ()0E X = (B)()111P X -≤≤= (C) (
)2
13
E X
= (D) ()23
D X = 6、已知()~,X B n p ，且()1
E X =，()0.99D X =，则n ，p 的值为（ ）.
(A) 100,0.02n p == (B) 6,0.4n p == (C) 100,0.01n p == (D) 4,0.6n p ==
7、已知连续型随机变量()20,X N σ ，则数学期望()
2
E X =（ ）.
(A) 0 (B) 1 (C)
σ (D) 2σ
二、填空题(每空2分,共26分)
1、已知随机变量X 的数学期望()2E X =-，方差()5D X =，则()52E X -= ，
()25D X -+= ，()2E X = .
2、已知离散型随机变量X 的分布律为
则()21E X -= ，()21D X -= .
3、设X 为随机变量，若()11,3632X E D X ⎛⎫
-=-=
⎪⎝⎭
，则()2E X = . 4、设X 为随机变量，若数学期望()E X 存在，则数学期望()E E X =⎡⎤⎣⎦ . 5、设X 为随机变量，若数学期望()0.511E X -=， ()12E X -= .
6、已知离散型随机变量X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，则数学期望()
2
E X = .
7、若()~10,4X N ，则()35D X -= . 8、设随机变量ξ的分布律, 如下表所示,
且20.8,0.79E D ξξ==, 则=x , =y , =z .
三、计算题(每小题6分,共60分) 1、设随机变量X 的分布列为下表，
求（1）()E X ；（2）()23E X -；（3）()D X ；（4）()53D X -.
2、设连续型随机变量X 的密度函数为()23,010,
x x x ϕ⎧≤≤=⎨⎩其它，
求 (1) ()
E X ；（2）()31E X -；（3）()D X ；（4）()2100D X -+.
3、设随机变量X 的概率密度函数(),010,kx x p x α⎧<<=⎨⎩其他
，（,k α为大于零的常数），且()3
4E X =.
求（1）常数,k α的值；（2）()D X
4、设随机变量X 的概率密度函数(),010,A Bx x p x +<<⎧=⎨⎩其他
，且()1
3E X =.求,A B 的值.
5、设连续型随机变量X 服从区间[],a a -上的均匀分布，且已知1
(1)3
P X >=，求： (1) 常数a 的值； (2) 概率13P X ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
； (3) ()E X ； (4) ()D X .
6、设随机变量X 、Y 相互独立，已知()()0,()()2E X E Y D X D Y ====，求()2
2E X Y +.
7、某种型号电子元件的使用寿命X小时是一个连续型随机变量，它服从参数为
1
1000
λ=的指数分布，求：
(1) 任取1只电子元件的使用寿命超过1000小时的概率；
(2) 任取2只电子元件的使用寿命都超过1000小时的概率
8、一页书上印刷错误的个数X服从参数为(0)
λλ>的泊松分布，一本书共有400页，有20个印刷错误，求：(1) 任取1页书上没有印刷错误的概率；
(2) 任取4页书上都没有印刷错误的概率；
9、车间有5台同型号的机床，每台机床开动时所消耗的电功率皆为15单位，每台机床开动的概率皆为2
3
，
且各台机床开动与否相互独立，求：
(1) 这个车间消耗电功率恰好为60单位的概率；(2) 这个车间消耗电功率至多为30单位的概率；
(3) 同时开动机床台数的均值；(4) 同时开动机床台数的标准差.
10、某张试卷上有4道单项选择题，每道单项选择题列出四项备选答案，其中只有一项备选答案是正确的，要求将正确备选答案前面的字母填在括号内，求考生仅凭猜测至少答对一道题的概率.。