【南方新课堂】2017高考(新课标)数学(文)二轮专题复习(检测)：专题五第1讲直线与圆

专题五 解析几何 第1讲 直线与圆

一、选择题

1．(2016·北京卷)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )

A ．1

B ．2 C.2 D ．2 2

解析：圆心坐标为(－1，0)，所以圆心到直线y ＝x ＋3即x －y ＋3＝0的距离为

|－1－0＋3|

12＋（－1）

2＝2

2＝ 2.

答案：C

2．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：依题意，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行

的充要条件是⎩⎨⎧a （a －2）－3×1＝0，

3×1－3（a －2）≠0，

解得a ＝－1. 答案：C

3．(2016·惠州模拟)过点P (4，2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )

(导学号 53130129)

A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5

B ． (x －4)2＋(y －2)2＝20

C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5

D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20

解析：由题意知，O，A，B，P四点共圆，

∴所求圆的圆心为线段OP的中点(2，1)，

又圆的半径r＝1

2|OP|＝5，

所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.

答案：A

4．(2016·豫南九校联考)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y －1)2＝5的位置关系是()

A．相交B．相切

C．相离D．不确定

解析：法一：∵圆心(0，1)到直线l的距离d＝|m|

m2＋1

<1<5，故

直线l与圆相交．

法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，∵点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．

答案：A

5．(2016·河北衡水三模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝25，则过点P(2，－1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()

A．1031 B．921

C．1023 D．911

解析：易知最长弦为圆的直径10，

又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|＝2，

∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223，

故所求四边形的面积S ＝1

2×10×223＝1023.

答案：C

6．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( )

A.

62 B.32 C.9

4

D ．2 3 解析：两圆外切，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝2＋1＝3， ∴(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝9，则(a ＋b )2＝9.

由基本不等式，ab ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫a ＋b 22＝9

4.

答案：C 二、填空题

7．(2016·浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是____________．

(导学号 53130130)

解析：方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆， 则a 2＝a ＋2，故a ＝－1或a ＝2.

当a ＝2时，方程化为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，

∴⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋122

＋(y ＋1)2＝－54不成立，舍去．

当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， ∴(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 故圆心为(－2，－4)，半径r ＝5.

答案：(－2，－4)5

8．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝____．

解析：如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝

5

32＋（－4）2

＝1.

∵∠AOB＝120°，OA＝OB，

∴∠OBD＝30°，

∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.

答案：2

9．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x 轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为______________．解析：∵圆心在直线x－2y＝0上，

∴可设圆心为(2a，a)．

∵圆C与y轴正半轴相切，

∴a>0，半径r＝2a.

又∵圆C截x轴的弦长为23，

∴a2＋(3)2＝(2a)2，解得a＝1(a＝－1舍去)．

∴圆C的圆心为(2，1)，半径r＝2.

∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4

三、解答题

10．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；

(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，配方， 得(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆心C (2，3)． 当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为 y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0.

由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.

又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0. (2)直线OA 的方程为y ＝5

3x ，即5x －3y ＝0，

点C 到直线OA 的距离为d ＝|5×2－3×3|52＋32＝1

34，

又|OA |＝

32＋52＝34，

∴S ＝12|OA |d ＝1

2

.

11．(2016·天津南开模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2

＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切．

(1)求圆C 的方程；

(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．