人教版 八年级数学讲义 菱形的判定和性质 (含解析)

第16讲菱形的判定和性质

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初二，基础较好；

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习菱形的判定和性质。菱形是四边形中非常重要的一节内容，它与矩形、正方形一起组成了特殊的平行四边形，是中考考查的重点，经常在几何大题的证明题中出现，因此至关重要，要好好掌握。

知识梳理

讲解用时：20分钟

菱形的判定和性质

1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.菱形的性质：

○1具有平行四边形的所有通性；

○2.菱形的四条边都相等；

○3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

性质边角对角线对称性

菱形对边平行；四边相

等

对角相等，邻角

互补

互相垂直平分；

且平分对角

轴对称，中心对称

3.菱形的判定定理：

○1一组邻边相等的平行四边形是菱形；

○2.四条边相等的四边形是菱形.

○3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

课堂精讲精练

【例题1】

如图，在网格（网格的正方形边长为1）中，格点四边形ABCD是菱形，则此四边形ABCD的面积等于（）

A．6 B．12 C．D．无法计算

【答案】B

【解析】由图可得菱形的两对角线长分别为4，6，根据菱形的面积公式：两对角线乘积的一半，求得菱形的面积．

解：菱形的面积为：4×6÷2=12，故选B．

讲解用时：2分钟

解题思路：本题主要利用菱形的面积公式：“对角线乘积的一半”来解决．

教学建议：掌握菱形的面积可以用对角线积的一半计算.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：宁波期末年份：2014

4.菱形的面积：

○1可以用平行四边形的面积算1底高

2

S

⎛⎫

=⨯⨯

⎪

⎝⎭

；

○2.用对角线计算（面积=两对角线的积的一半）

1

2

S AC BD

=••

【练习1.1】

若菱形两条对角线的长分别为6和8，求这个菱形的周长.

【答案】20

【解析】根据菱形的对角线性质求边长后计算周长．

解：如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6．

∵ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，BO=3，AO=4．

∴AB=5．

∴周长=4×5=20．

讲解用时：2分钟

解题思路：此题考查了菱形的性质：对角线互相垂直且平分；四边相等．属基础题．

教学建议：熟练掌握菱形的性质并灵活运用.

难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：北京年份：2010

【例题2】

如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）

A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°

【答案】B

【解析】首先根据平移的性质得出AC ED，得出四边形ACED为平行四边形，

进而利用菱形的判定得出答案．

解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，

∴AC ED，

∴四边形ACED为平行四边形，

当AC=BC时，则DE=EC，

∴平行四边形ACED是菱形．

故选：B．

讲解用时：3分钟

解题思路：此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB CD是解题关键．

教学建议：熟练掌握平行四边形的判定和菱形的判定.

难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：河池年份：2016

【练习2.1】

如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

【答案】C

【解析】要使四边形ABCD是菱形，根据题中已知条件四边形ABCD的对角线互相平分可以运用方法“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“邻边相等的平行四边形是菱形”，添加AC⊥BD或AB=BC．

解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，

故选：C．

讲解用时：3分钟

解题思路：此题主要考查了菱形的判定方法，关键是熟练把握菱形的判定方法①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

教学建议：熟练掌握菱形的判定方法并灵活应用.

难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：景宁县模拟年份：2012

【例题3】

在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．

【答案】105°或45°

【解析】如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E 在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．

解：如图，∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，

∠ABC=∠ADC=150°，

∴∠DBA=∠DBC=75°，

∵ED=EB，∠DEB=120°，

∴∠EBD=∠EDB=30°，

∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，

当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′=30°，

∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°，

∴∠EBC=105°或45°，

故答案为105°或45°．

讲解用时：4分钟

解题思路：本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确