人教版 八年级数学讲义 菱形的判定和性质 (含解析)

第16讲菱形的判定和性质知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习菱形的判定和性质。

菱形是四边形中非常重要的一节内容，它与矩形、正方形一起组成了特殊的平行四边形，是中考考查的重点，经常在几何大题的证明题中出现，因此至关重要，要好好掌握。

知识梳理讲解用时：20分钟菱形的判定和性质1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.菱形的性质：○1具有平行四边形的所有通性；○2.菱形的四条边都相等；○3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.性质边角对角线对称性菱形对边平行；四边相等对角相等，邻角互补互相垂直平分；且平分对角轴对称，中心对称3.菱形的判定定理：○1一组邻边相等的平行四边形是菱形；○2.四条边相等的四边形是菱形.○3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.课堂精讲精练【例题1】如图，在网格（网格的正方形边长为1）中，格点四边形ABCD是菱形，则此四边形ABCD的面积等于（）A．6 B．12 C．D．无法计算【答案】B【解析】由图可得菱形的两对角线长分别为4，6，根据菱形的面积公式：两对角线乘积的一半，求得菱形的面积．解：菱形的面积为：4×6÷2=12，故选B．讲解用时：2分钟解题思路：本题主要利用菱形的面积公式：“对角线乘积的一半”来解决．教学建议：掌握菱形的面积可以用对角线积的一半计算.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：宁波期末年份：20144.菱形的面积：○1可以用平行四边形的面积算1底高2S⎛⎫=⨯⨯⎪⎝⎭；○2.用对角线计算（面积=两对角线的积的一半）12S AC BD=••【练习1.1】若菱形两条对角线的长分别为6和8，求这个菱形的周长.【答案】20【解析】根据菱形的对角线性质求边长后计算周长．解：如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6．∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，BO=3，AO=4．∴AB=5．∴周长=4×5=20．讲解用时：2分钟解题思路：此题考查了菱形的性质：对角线互相垂直且平分；四边相等．属基础题．教学建议：熟练掌握菱形的性质并灵活运用.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：北京年份：2010【例题2】如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B【解析】首先根据平移的性质得出AC ED，得出四边形ACED为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AC ED，∴四边形ACED为平行四边形，当AC=BC时，则DE=EC，∴平行四边形ACED是菱形．故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB CD是解题关键．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定和菱形的判定.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：河池年份：2016【练习2.1】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】C【解析】要使四边形ABCD是菱形，根据题中已知条件四边形ABCD的对角线互相平分可以运用方法“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“邻边相等的平行四边形是菱形”，添加AC⊥BD或AB=BC．解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了菱形的判定方法，关键是熟练把握菱形的判定方法①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．教学建议：熟练掌握菱形的判定方法并灵活应用.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：景宁县模拟年份：2012【例题3】在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．【答案】105°或45°【解析】如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E 在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，∠ABC=∠ADC=150°，∴∠DBA=∠DBC=75°，∵ED=EB，∠DEB=120°，∴∠EBD=∠EDB=30°，∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′=30°，∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°，∴∠EBC=105°或45°，故答案为105°或45°．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．教学建议：熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质并灵活应用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】如图，在▱ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．【答案】2【解析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在▱ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．教学建议：熟练掌握平行四边形和菱形的判定、性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：邢台二模年份：2013【例题4】如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：BD=EC；（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．【答案】（1）BD=EC；（2）40°【解析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=EC；（2）解：∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°，又∵菱形ABCD，∴AC丄BD，∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．教学建议：熟练掌握平行四边形和菱形的判定、性质.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：舟山年份：2012【练习4.1】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．【答案】四边形AEDF是菱形【解析】由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO，∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．教学建议：熟练掌握平行四边形和菱形的判定、性质以及线段垂直平分线的性质.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；（2）求折痕EF的长．【答案】（1）菱形；（2）√10【解析】（1）折叠问题，即物体翻折后，翻折部分与原来的部分一样，对应边相等；（2）求线段的长度，可在直角三角形中利用勾股定理求解，题中利用其面积相等进行求解，即菱形的面积等于底边长乘以高，亦等于对角线乘积的一半．解：（1）菱形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∠AFE=∠CEF．∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，∴∠CEF=∠AEF，AE=CE∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴AECF为平行四边形，∵AE=EC，即四边形AECF的四边相等．∴四边形AECF为菱形．（2）∵AB=9cm，BC=3cm，∴AC=3cm，AF=CF∴在Rt△BCF中，设BF=xcm，则CF=（9﹣x）cm，由勾股定理可得（9﹣x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，则CF=5，BF=4，由面积可得：•AC•EF=AF•BC即3•EF=5×3∴EF=cm．讲解用时：4分钟解题思路：熟练掌握菱形的性质及判定，能够利用菱形的性质求解一些简单的计算问题．教学建议：熟练掌握菱形的性质及判定并灵活解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F 在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．【答案】（1）四边形ACEF是平行四边形；（2）∠B=30°【解析】（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC=EC，根据菱形的定义即可判断．（1）证明：由题意知∠FDC=∠DCA=90°，∴EF∥CA，∴∠FEA=∠CAE，∵AF=CE=AE，∴∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA．在△AEC和△EAF中，∵∴△EAF≌△AEC（AAS），∴EF=CA，∴四边形ACEF是平行四边形．（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．理由如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=AB，∵DE垂直平分BC，∴∠BDE=90°∴∠BDE=∠ACB∴ED∥AC又∵BD=DC∴DE是△ABC的中位线，∴E是AB的中点，∴BE=CE=AE，又∵AE=CE，∴AE=CE=AB，又∵AC=AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关键．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定以及菱形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG ∥DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．【答案】（1）DE∥BF；（2）四边形DEBF是菱形【解析】（1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=AB，DF=CD．∴BE=DF，BE∥DF，∴四边形DFBE是平行四边形，∴DE∥BF；（2）∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE=BE=DE，∵四边形DFBE是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．教学建议：熟练掌握平行四边形的判定以及菱形的判定.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．【答案】（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形【解析】（1）四边形ABCD是平行四边形，则BC∥AF，可得同位角∠BPE=∠F；在等腰△BEP中，∠E=∠BPE，等量代换后即可证得所求的结论；（2）由EF∥BD，可得同位角∠ABD=∠E，∠ADB=∠F；由（1）知∠E=∠F，等量代换后可证得∠ABD=∠ADB，即AB=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABCD是菱形．证明：（1）在▱ABCD中，BC∥AF，∴∠1=∠F，∵BE=BP，∴∠E=∠1，∴∠E=∠F；（2）∵BD∥EF，∴∠2=∠E，∠3=∠F，∵∠E=∠F，∴∠2=∠3，∴AB=AD，∴▱ABCD是菱形．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的性质及菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形．教学建议：熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC 于F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．【答案】（1）△ABE≌△CDF；（2）菱形【解析】（1）由平行四边形ABCD可得出的条件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线，易证得∠ABE=∠CDF④；联立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等；（2）由（1）的全等三角形，易证得DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四边形BEDF是平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．证明：由△ABE≌△CDF，得AE=CF，在平行四边形ABCD中，AD平行BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形．讲解用时：4分钟解题思路：此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法．教学建议：熟练掌握平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：乌鲁木齐年份：2010【练习7.1】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）四边形AECD是菱形；（2）直角三角形【解析】（1）根据两组对边分别平行证得四边形AECD是平行四边形，只需证明四边形AECD的两邻边相等即可．根据AC平分∠BAD，以及CE∥AD，易证得∠EAC=∠ECA，由此可知AE=CE，即四边形AECD是菱形；（2）连DE，DE交AC于F，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分有：DE垂直平分AC，则EF是△ABC的中位线，有EF∥BC，则BC⊥AC，由此可证得△ABC 是直角三角形．（1）证明：∵AB∥CD，即AE∥CD，又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，又∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，∴四边形AECD是菱形；（2）解：△ABC是直角三角形．证法一：∵E是AB中点，∴AE=BE．又∵AE=CE，∴BE=CE，∴∠B=∠BCE，∵∠B+∠BCA+∠BAC=180°，∴2∠BCE+2∠ACE=180°，∴∠BCE+∠ACE=90°．即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．证法二：连DE，由四边形AECD是菱形，得到DE⊥AC，且平分AC，设DE交AC于F，∵E是AB的中点，且F为AC中点，∴EF∥BC．∠AFE=90°，∴∠ACB=∠AFE=90°，∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形．讲解用时：5分钟解题思路：本题利用了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，以及三角形中位线的性质求解．教学建议：熟练掌握平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质并灵活应用. 难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无锡年份：2008课后作业【作业1】如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【解析】在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB=CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AD=DC，四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长=4×2=8．故选：C．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：杭州模拟年份：2014【作业2】已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为cm2．【答案】96【解析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．解：因为周长是40cm，所以边长是10cm．如图所示：AB=10cm，AC=16cm．根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=8cm，∴BO=6cm，BD=12cm．∴面积S=×16×12=96（cm2）．故答案为96．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：靖远县期末年份：2016【作业3】图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】是【解析】经判定应该是菱形，可通过构建全等三角形来证明，过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，由题意我们不难发现四边形ABCD是平行四边形，那么只要证明AB=BC就可以了，也就是证明直角三角形ABE和CBF全等即可．有了一个公共角，有了一对相等的直角，又知纸带的宽度相等即AE=CF，这样就满足了AAS的条件，也就得出这两个三角形全等了．解：四边形ABCD是菱形．证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠AEB=90度．∵AE=CF（纸带的宽度相等），∠ABE=∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：赤峰年份：2008【作业4】如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，求△AEF的周长.【答案】3cm【解析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=DF，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．连接AC，∵∠B=∠D=60°，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），∴∠BAE=∠DAF=30°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．∴AE=cm，∴周长是3cm．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：菏泽年份：2010。