1.3 三角函数的计算 教学设计

第一章直角三角形的边角关系《三角函数的计算》教学设计一、学生知识状况分析1. 本章前两节学生学习了三角函数的定义，三角函数sinα、cosα、tanα值的具体意义，并了解了30°，45°，60°的三角函数值.2. 学生已经学会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除及平方运算，对计算器的功能及使用方法有了初步的了解.二、教学任务分析随着学习的进一步深入，当面临实际问题的时候，如果给出的角不是特殊角，那么如何解决实际的问题，为此，本节学习用计算器计算sinα、cosα、tanα的值，以及在已知三角函数值时求相应的角度.掌握了用科学计算器求角度，使学生对三角函数的意义，对于理解sinα、cosα、tanα的值∠α之间函数关系有了更深刻的认识.根据学生的起点和课程标准的要求，本节课的教学目标和任务是：知识与技能1. 经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意义.2. 能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.过程与方法在实际生活中感受具体的实例，形成三角形的边角的函数关系，并通过运用计算器求三角函数值过程，进一步体会三角函数的边角关系.情感态度与价值观通过积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐. 感悟计算器的计算功能和三角函数的应用价值教学重点：用计算器求已知锐角的三角函数值.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.教学难点：能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题三、教学过程分析三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：复习引入、探索新知、例题讲解，随堂练习、，课堂小结、布置作业、课外探究.第一环节 复习引入活动内容：用多媒体展示学生前段时间所学的知识，提出问题，从而引入课题. 直角三角形的边角关系：三边的关系: 222a c b =+，两锐角的关系: ∠A+∠B=90°. 边与角的关系:锐角三角函数 c a B A ==cos sin ，c b B A ==sin cos ，baA =tan ， 特殊角30°,45°,60°的三角函数值.、引入问题：1、你知道sin16°等于多少吗？第二环节 探索新知活动内容一：ABsin16°米中的“sin16°”是多少呢? 我们知道，三角函数中，当角的大小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定.对于特殊角30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们该怎么办？我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值.怎样用科学计算器求三角函数值呢?1sin A ?4A =∠=2、已知则1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值.用科学计算器求三角函数值，要用到和键.我们对下面几个角的三角函数sin16°，cos72°38′25″和tan85°的按键顺序如下表所示.(多媒体演示)按键顺序显示结果sin16°sin 1 6 = sin16°=0.275637355cos72°38′25″cos72°38′25″=0.2983699067tan85°tan85=11.4300523同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°，cos72°38′25″，tan85°.看显示的结果是否和表中显示的结果相同.(教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算器计算三角函数值的方法)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位,我们的教材中有一个约定.如无特别说明，计算结果一般精确到万分位.下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题.用计算器求得BC＝sin16°≈0.2756.[问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少?在Rt △ABC 中，∠α＝16°，AB=200米，需求出BC. 根据正弦的定义，sin16°=200BCAB BC, ∴BC ＝ABsin16°＝200 sin16°≈55.12m.对问题进一步探索：当缆车继续由点B 到达点D 时，它又走过了200 m ，缆车由点B 到点D 的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么?学生思考后，有如下几种解决方案：方案一：可以计算缆车从B 点到D 点垂直上升的高度.方案二：可以计算缆车从A 点到D 点，一共垂直上升的高度、水平移动的距离.用计算器辅助计算出结果：（1）在Rt △DBE 中，∠β＝42°，BD ＝200 m ，缆车上升的垂直高度DE ＝BDsin42°=200sin42°≈133.83(米).（2）由前面的计算可知，缆车从A →B →D 上升的垂直高度为BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米).（3）在Rt △ABC 中，∠α＝16°，AB=200米，AC ＝ABcos16°≈200×0.9613＝192.23(米).在RtADBE 中，∠β＝42°，BD ＝200米.BE ＝BD ·cos42°≈200×0.7431=148.63(米).缆车从A →B →D 移动的水平距离为BE+AC ＝192.23+148.63=340.86(米). 活动目的：对教材中的问题，需要求出16°角的三角函数值，由此引出一般锐角的三角函数的计算问题.实际教学效果：学生根据之前所学的三角函数的定义得出边角的关系，并对问题进行拓展，让学生对非特殊角的三角函数进行理解，对实际问题进行体会，由此感受到学习新知识的需要，产生探索的欲望.活动内容二： 课前提出的问题41sin =A ，则∠A 等于多少. 我们来看下面这个实际问题：[问题]随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方便行人推车过天桥，某市政府要在10 m 高的天桥两端修建40m 长的斜道.请问这条斜道的倾斜角是多少? (如下图所示)活动目的：通过上例创设问题情境，激发学习兴趣，学生要解决这个问题必须先求sinA ＝41=AC BC ，再求∠A ，把这个问题归结为“已知三角函数值求相应锐角的大小”.实际教学效果：学生的求知欲被激发起来，思维处于活跃状态，每个同学都积极探索解决这个实际问题的办法与途径.寻求方法活动内容：练习掌握已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin -1,cos -1,tan -1”和键.例如： ①已知sinA ＝0.9816，求锐角A. ②已知cosA ＝0.8607，求锐角A. ③已知tanA ＝56.78，求锐角A.按键顺序如下表:按键顺序显示结果sinA=0.9816sin -10.9816=78.99184039cosA=0.8607cos -10.8607=30.60473007tanA=56.78tan -156.78=88.99102049 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、秒”为单位的结果.这一环节的引例中sinA=41＝0.25.按键顺序为 .显示结果为sin -10.25=14.47751219°，再按 键可显示14°28′39″,所以∠A=14°28′39″.（以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，结果精确到1″即可.）(教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用的计算器，探索具体操作步骤.)活动目的：前一环节课已经学习如何利用科学计算器求已知角的三角函数值，通过本环节学习，使学生掌握如何利用科学计算器由锐角三角函数值求相应的锐角的大小，即已知三角函数值求角度，要用到、、键的第二功能 “sin -1,cos -1,tan -1”和 键.此外，通过这一环节促进学生的可逆性联想.实际教学效果：学生能够利用科学计算器由已知锐角三角函数值反过来求相应的锐角的大小，并从中体会用科学计算器解决问题的优势，体会了三角函数值和对应角度的对应关系.活动内容（练一练）：下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示). 1、用计算器求下列各式的值. (1)sin56°；(2)cos20.5°；(3)tan44°59′59″；(4)sin15°+cos61°+tan76°. (以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确) 答案：(1)sin56°≈0.8290； (2)cos20.5°≈0.9367； (3)tan44°59′59″≈1.0000；(4)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544. 2.已知sin θ＝0.82904，求锐角θ的大小. 答案:θ≈56°活动目的：通过上面的练习，使学生通过亲手操作掌握利用计算器由已知锐角三角函数值求相应锐角大小的方法，并能进行不同角度单位之间的转换.实际教学效果：学生能够正确使用计算器解决已知锐角三角函数值求相应锐角的大小的问题（包括函数值为无理数的情形）.第三环节：例题讲解例1.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).解：∵2050tan ,2056tan BCBD =︒=o∴︒=56tan 20BD ︒=50tan 20BC∴m BC BD CD 82.550tan 2056tan 20≈-=-=︒︒例题2:工件上有一V 形槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm,求V 形角(∠ACB)的大小(结果精确到1°).第四环节：随堂练习练习1： 某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽CD=3m,斜AD=16m,坝高8m,斜坡BC 的坡比为1:3,求斜坡BC 的坡角∠B 和坝底宽AB.A B N2. 如图,根据图中已知数据,求△ABC 的面积.BC3. 如图,根据图中已知数据,求AD.D32°4cm 46°AB C第五环节课堂小结活动内容：谈一谈：这节课你学习掌握了哪些新知识？通过这节课的学习你有哪些收获和感想？活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，从数学方法、数学思维与科学工具等方面谈自己的收获与感想.实际教学效果：学生畅所欲言谈自己的学习感受和实际收获：学会了运用计算器计算已知锐角的三角函数值以及由三角函数值求角；运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题；三角函数的有关知识与现实生活有密切的联系.进一步认识数学方法、数学思维与科学工具的功能，增强在解决问题的过程中综合运用三个方面解决问题的意识.第六环节布置作业习题1.4.第七环节课外探究活动内容：拓展创新演练：如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度(结果精确到0.01 m) .四、教学反思本节课让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，鼓励学生用计算器完成复杂的计算，从而让学生能够利用工具进行数学的解答.本节课的目的是让学生体会对于实际问题，一旦建立了数学模型，在已知边和角的关系求边，或者已知边和边的关系求角，都可以用科学计算器完成.在教学过程中，首先教会学生怎样使用科学计算器，然后多给几个例子计算，以便熟练的掌握.学生在抽象三角函数的模型是关键，这里应多给时间让学生思考，不能操之过急.备选练习一、选择题1、王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m（B ）100 m（C ）150m （D ）3100m2、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ） A.82米 B.163米 C.52米 D.70米3、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，图145︒30︒BAD C则A、C两地相距（）．（A）30海里（B）40海里（C）50海里（D）60海里4、利用计算器求sin30°时，依次按键则计算器上显示的结果是( )A．0．5 B．0．707 C．0．866 D．15、王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C 地，此时王英同学离A地( )（A）150m （B）350m（C）100 m （D）3100m6、一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的60AOP∠=°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B F D，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P''∠=°，那么小山的高度CD约为（）Ａ．68米Ｂ．70米Ｃ．121米Ｄ．123米（注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）二．解答题1．οοοο30tan45cos60sin430cos22-•+2．οοο60cos260tan345sin+-3．οοοο30sin245tan60sin2145cos-+4．160sin260sin60tan3230sin45tan222+---οοοοο5．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D 在AC上，且AD＝BD，利用此D CBA11图，求tan15°的值。