1.3 条件概率解析

例3 在标有1,2,3,4,5这5个数字的卡片里,无放回 地抽取两次,一次一张,求
(1)第一次取到奇数卡片的概率;
(2)已知第一次取到偶数,求第二次取到奇数卡片 的概率; (3)第二次才取到奇数卡片的概率. 解 设A, B分别表示第一次和第二次取到奇数 卡片这两个事件, 则
3 P(A)= 5
3 (2) P( B A) 4
3 (2) P( AB) 10
例4 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, P ( AB) P ( B A) . 则有 P ( A) 因为 P ( A) 0.8, P ( B ) 0.4, P ( AB ) P ( B ), P ( AB) 0.4 1 . 所以 P ( B A) 0.8 2 P ( A)
因为P A＝0.90718，P AB＝P B＝0.90135
P AB 0.90135 所以，P B A＝ ＝ 0.99357 P A 0.90718
二、 乘法公式
设 P ( A) 0, 则有 P ( AB) P ( B A) P ( A).
设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) 0, 则有
A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P ( B )
{ HH , HT , , TH TT }. . 设 H 为正面 T, 为反面
2. 定义
设 A, B 是两个事件 , 且 P ( A) 0, 称 P ( AB ) P ( B A) P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
例2 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废
品，为慎重起见，某采购员对产品进行不放回的抽 样检查。如果在被他抽查的5件产品中至少有一件 是废品，则他拒绝购买这一批产品，求采购员拒绝 购买这批产品的概率。 解：设 Ai 被抽查的第i件产品是废品，i 1, 2,3, 4,5
A 采购员拒绝购买
同理可得
P ( AB) P( A B) P( B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
3. 性质
(1) 非负性 : P ( B A) 0;
(2) 规范性 : P( B) 1, P( B) 0;
(3) P ( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B);
则
A= Ai
i 1
5
因为A=A1 A2 A3 A4 A5， 95 94 93 由题意P A1 = ，P A2 A1 = ，P A3 A1 A2 = ， 100 99 98 92 92 P A4 A1 A2 A3 = ，P A5 A1 A2 A3 A4 = 97 97






Biblioteka Baidu

由乘法定理得 P A =P A1 A2 A3 A4 A5 =P A5 A1 A2 A3 A4 P A4 A1 A2 A3 P A3 A1 A2 P A2 A1 P A1 95 94 93 92 91 0.7696 100 99 98 97 96
男,男 , 男,女 , 女,男 , 女,女 ,
A表示事件“其中有一个是女孩”,B表示“两个都是女孩”
则有 A 男,女 ， 女,女 ，B＝女,女 女,男，
3 1 所以，P A ＝ , P AB 4 4
P AB 1 4 1 P B A P A 3 4 3
(4) P ( A B ) 1 P ( A B ).
(5) 可列可加性 : 设 B1 , B2 , 是两两不相容的事 件 , 则有
P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中至少有一个
是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ 解：由题意，样本空间为
P ( ABC ) P (C AB ) P ( B A) P ( A).
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2,
且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有 P ( A1 A2 An ) P ( An A1 A2 An1 )
P ( An1 A1 A2 An 2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ).
第三节 条件概率
一、条件概率 二、乘法公式
三、全概率公式与贝叶斯公式
四、小结
一、条件概率 1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反
两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析
2 1 . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB) P ( B ). P ( B A), 则 P ( B A) 3 34 P ( A)
例1 一袋中有a个白球和b个红球，现依次不放回的
从袋中取两球，试求两次均取到白球的概率。 解：记 Ai 第i次取到白球，i 1,2，要求P A1 A2
a a 1 显然P A1 = , P A2 A1 ab a b 1 a a 1 所以P A1 A2 =P A1 P A2 A1 = a b a b 1
例2 人寿保险公司常常需要知道存活到某一年龄
的人在下一年仍然存活的概率。根据统计资料可知， 某城市的人有出生活到50岁的概率为0.90718，存活 到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能 够活到51岁的概率是多少？
解：记A＝活到50岁，B＝活到51岁，显然B A，
因此AB B