北大1996年数学分析试题及解答

an+1 aN
⩾ qn+1−N
=⇒ |an+1| ⩾ qn+1−N aN
=⇒ lim an = +∞, n→∞
矛盾.
6. 详细过程请参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 512 页例 5.2.37.
2
北京大学 1996 年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答
微信公众号：数学十五少 2019.05.21
× 1.
判断下列命题的真
√ ()
伪
(
), 不必说明理由. (共 25 分)
∑n (1) 对数列 {an} 作和 Sn = ak, 若 {Sn} 是有界数列, 则 {an} 是有界数列.
k=1
(2) 数列 {an} 存在极限 lim an 的充分必要条件是: 对任一自然数 p, 都有 lim |an+p − an| = 0.
3. (20 分)
∑ ∞ (1) 求幂级数 nxn−1, (|x| < 1) 的和.
n=1
(2) 求级数 ∑ ∞ 2n 的和. 3n
n=1
∫∫∫
4. (12 分) 求积分 I =
(x + y + z) dx dy dz 的值. 其中 D 是由平面 x + y + z = 1 以及三个坐标平面所
D
围成的区域.
5.
(20
分)
设
an
̸= 0,
(n =
1, 2, . . . ),
且
lim an
n→∞
= 0,
若存在极限
lim an+1 n→∞ an
= l,
证明:
|l| ⩽
1.
6. (10 分) 设在 [a, b] 上, fn(x) 一致收敛于 f (x), gn(x) 一致收敛于 g(x), 若存在正数列 {Mn} 使得 |fn(x)| ⩽ Mn, |gn(x)| ⩽ Mn, (x ∈ [a, b], n = 1, 2, . . . ), 证明: fn(x)gn(x) 在 [a, b] 上一致收敛于 f (x)g(x).
3n = 3
n 3
=. 2
n=1
n=1
4.
转化为累次积分可以算出结果为
1 .
参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第
867
页练习
8
题 3.
5. 由题设可知 lim an+1 = |l| . 若 |l| > 1, 则 ∃q > 1, N > 0, 当 n ⩾ N 时, n→∞ an
an+1 > q =⇒ an
n→∞
n→∞
(3) 设 f (x) 是 [a, +∞) 上的递增连续函数, 若 f (x) 在 [a, +∞) 上有界, 则 f (x) 在 [a, +∞) 上一致连续.
(4)
设
f (x)
在
[a, b]
上连续,
且在
(a, b)
上可微,
若存在极限
lim f ′(x) = l,
x→a+0
则右导数
f+′ (a)
存在且等于
l.
∫ +∞
(5) 若 f (x) 是 [a, +∞) 上的非负连续函数, 且积分
f (x) dx 收敛, 则 lim f (x) = 0.
a
x→+∞
2.
(13 分) 设 f (x) 在 x = a 处可微, f (a) ̸= 0, 求极限
lim
( f (a
+
1 n
)
)n
.
n→∞ f (a)
f ′(a)
= e f(a) .
注 也可参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 46 页例 1.1.13.
3. (1) 因为 逐项求导得
(2)
∑ ∞ xn =
x ,
|x| < 1.
1−x
n=1
∑ ∞ nxn−1
=
(1
1 − x)2 ,
|x| < 1.
n=1
∑ ∞ 2n 2 ∑ ∞ ( 1 )n−1 3
1
1.
(1)
√ .
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只需注意到
an
= Sn − Sn−1,
|an| ⩽ |Sn| + |Sn−1|.
× (2)
.
取
an
=
∑n
1 k
.
k=1
(3)
√ .
只需注意到极限
lim
f (x) 存在.
x→+∞
(4)
√ .
导函数极限定理.
详细过程见谢惠民等人的《数学分析习题课讲义》上册第 194
页命题
7.1.7.
× (5) . 反例可以参考谢惠民等人的《数学分析习题课讲义》上册第 386 页例 12.2.5. 也可参考裴礼文的
《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 413 页的总结.
2.
原式 = e lim n ln n→∞
f
(a+
1 n
)
f (a)
= e lim n→∞
n
f
(a+
1 n
)−f
f (a)
(a)