最新人教版高中数学选修1-1《导数的概念》教材梳理

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、函数的平均变化率、瞬时变化率

1.对于函数y=f(x)，我们把式子2

122)()(x x x f x f -- 称为函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率，这种变化率还可以写成2

121)()(x x x f x f --. 习惯上用Δx 表示x 2-x 1，即Δx= x 2-x 1.可把Δx 看作相对于x 1的一个“增量”，可用x 1+Δx 代替x 2；类似的，Δy=f （x 2）-f （x 1）.于是函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率可以表示为x y ∆∆.显然函数的平均变化率的几何意义是过（x 1，f （x 1））、（x 2，f （x 2））两点的斜率.

误区警示 x

y ∆∆中Δx 、Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0.Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，Δy 也如此. 2.瞬时变化率：当Δx→0时，

x y ∆∆→m （常数）即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()( →m （常数）

求瞬时变化率的一般步骤：求函数y=f(x)的增量Δy=f （x+Δx ）-f （x ）；求函数y=f(x)的平均变化率x y ∆∆；求函数y=f(x)的瞬时变化率，当Δx→0时，x

y ∆∆→（常数). 二,函数y=f(x)在x=x 0处的导数

一般地，函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是

x

x f x x f r ∆-∆+→∆)()(lim 000=x f r ∆∆→∆0lim ，我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数.记作f′(x)或 y′|x =x 0. 函数y=f(x)在x=x 0处的导数的概念包括两层含义：①x f r ∆∆→∆0lim

存在则称y=f(x)在x=x 0处可导并且导数即为极限值； ②x

f r ∆∆→∆0lim 不存在则称y=f(x)在x=x 0处不可导. 由导数的定义知，求函数y=f(x)在x 0处的导数的步骤：求函数y=f(x)的增量Δy=f （x+Δx ）-f （x ）；求函数y=f(x)平均变化率

x y ∆∆； 取函数y=f(x)平均变化率x

y ∆∆的极限，得导数f′(x). 深化升华 Δx 称为自变量的增量，Δx 可正可负，但不能为0. 令x=x 0+Δx,得Δx=x -x 0.于是f′(x 0)=00)

()(lim 0x x x f x f x x --→与定义中的

f′(x 0)=x

x f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 000意义相同. 问题·探究

问题 试举例说明平均变化率、瞬时变化率与导数的概念之间的关系.例如：物体自由落体的运动方程是s=s(t)=2

1gt 2.其中位移单位是m,时间单位是s,g=9.8 m/s 2.怎样求物体在t=3这一时刻的速度呢?

探究：物体在t=3临近时间间隔内的平均速度可以看作物体在t=3这一时刻速度的近似值.取一小段时间［3,3+Δt ］,物体的位置改变量Δs=21g(3+Δt)2-2

1g·32=g2 (6+Δt)Δt,相应的平均速度2

)6(2g t t t g t s v =∆∆∆+=∆∆=(6+Δt). 当Δt=1时v =3.5g ；当Δt=0.1时,

v=3.05g ；当Δt=0.01时,v =3.005g ；……当这段时间很短,也就是Δt 很小时,这个平均速度就接近时刻t 的速度,Δt 越小,v 就越接近时刻t 的速度,当Δt→0时,这个平均速度的极限v=2

lim lim

00g t s t t →∆→∆=∆∆(6+Δt)=3g=29.4(m/s)就是物体在t=3这一时刻的速度,也叫做瞬时速度. 由以上例子可以看出,平均速度t s v ∆∆=,在某一时刻的瞬时速度为t s t ∆∆→∆0lim 就是在该时刻的导数.

对任一函数f(x)来说在x 0到x 0+Δx 的平均变化率为

x x f x x f ∆-∆+)()(00 .瞬时变化率为x

x f x x f r ∆-∆+→∆)()(lim 000. 在x=x 0处的导数为f′(x 0)=x

x f x x f r ∆-∆+→∆)()(lim 000. 典题·热题

例1如果一个质点从定点A 开始运动,在时间t 的位移函数为y=f(t)=t 3+3.

(1)当t 1=4且Δt=0.01时,求Δy 和

t y ∆∆. (2)当t 1=4时,求x

y t ∆∆→∆0lim 的值. 思路分析：主要利用Δy=f(t 0+Δt)-f(t 0).

解：(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=Δt 3+48Δt+12Δt 2

=(0.01)3+48(0.01)+12(0.01)2=0.481 201. ∴

01

.0481201.0=∆∆t y =48.120 1. (2)当Δt=0.001时,t

y ∆∆=48.012 01, 当Δt=0.000 1时,t

y ∆∆=48.001 201. 所以当Δt→0时t y t ∆∆→∆0lim =48. 方法归纳 平均变化率指函数值的增量与自变量的增量的比,即

t

y ∆∆,而瞬时速度指平均变化率的极限,两者应区别开. 例2在自行车比赛中,运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系s=10t+5t 2(s 的单位：m,t 的单位：s),求:

(1)t=20,Δt=0.1时的Δs 与t

s ∆∆； (2)求t=20时的速度.

思路分析：主要利用平均变化率与瞬时速度的求法.Δs=s(20+Δt)-s(20)代入s=10t+5t 2. 解：Δs=s(20+Δt)-s(20)=10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10×20-5×202

=1+20+5×0.01=21.05. ∴1

.005.21=∆∆t s =210.5. (2)由导数的定义,在t=20时的瞬时速度即为 v=t

t t t t t t t s t t ∆--∆++∆+=∆∆→∆→∆2

200510)(5)(10lim lim t

t t t t t ∆∆+∆+∆=→∆1010lim 20=0lim →∆t (Δt+10t+10)=10×21=210(m). 例3 (1)已知质点运动方程是s(t)=2

1gt 2+2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度,其中s 的单位是m,t 的单位是s.

(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t 2-2t+1,求质点在t=10时的①瞬时速度；②动能(设物体的质量为m).

思路分析：瞬时速度是路程对时间的变化率,而动能=

2

1mv 2. 解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为 v (t=4)t

g t t g t t s t s t t ∆+⨯-•--∆++∆+=∆-∆+=→∆→∆1424211)4(2)4(2

1lim )()4(lim 2200 020lim 2421lim →∆→∆=∆∆+∆+∆=t t t

t t g t g (21gΔt+4g+2)4g+2. 所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2(m/s).

(2)质点在t=10时的瞬时速度,

v (t=10) t

t t t s t s t t ∆-⨯+⨯-+∆++∆+=∆-∆+=→∆→∆11021031)10(2)10(3lim )10()10(lim 2200 00lim 583lim →∆→∆=∆∆+∆=t t t

t t (3Δt+58)=58. 所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58(m/s),所以质点在t=10时的动能为u=

21mv 2=21m×582=1 682m(J). 拓展延伸 瞬时速度是路程对时间的变化率,某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导