袁晖坪线性代数教材习题答案提示

第一章 行列式和Cramer 法则

第一章知识清单 1.行列式定义：

()

()()

121211*********

21

212

1,n n n n

n i i i j j j n i j i j i j i j

n n nn

a a a a a a a a a a a a ττ∆

+=-∑

说明1）()()()12

1

,

n n

n k

i k

k i i

i t k t i

τ===

=∑∑ ()k k k t i i i ：在左边比打的数的个数.

说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成

2.计算方法

基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：10

n

i k jk k D

i j a A i j

==⎧=⎨

≠⎩∑

常用方法： 利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。 特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。

3.行列式性质（5条）

行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。

4.克莱姆法则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=++=++=++n

n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 221122222212111212111 .n A x b =即： 解：12,,

,

T

n D D D

x D D

D ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，.n D A = 推论：0.n n A x o A =⇔=有非零解

基本作业建议 A 组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B 组：一 （1），（6）；二（3），（4）

一（A ）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2):

()

()()

24531452131ττ+-.

一（A ）5：

()(

)

()()()

()

()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--.

一（A ）6(5)：32

1

42

2

222222223234

21

21

21

21

21212121

044444444222269696969

6

6

6

6

,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++===

====

=++++++++

一（A ）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法：

1

1123,,,n

i

i i c r r i n

D D =-=∑=========提公因式方法一：上三角式；

1

23,,,i r r i n

D -=====方法二：箭形行列式

12312

3

1231231

2

3

10

n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a D

a

a a

b

------===

--加边

方法三： 1231,2,311000100010001

n i r r i n

a a a a

b b b b

+=------=====

--

()123

2312323

1

23231

2

3

2

3

000

n

n

n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c

a a a c

D ------=-=拆解

方法四：略.

一（A ）7（3，5，6，7）同类型，见课件和课本例题1.9：。

（3）：

1

11n

i

i c c D D =∑====方法一：下三角式

，()1

11c n n D b D -=方法二：+下三角式递推式，

231

,,,n j n

j j c c D =-+=====方法三：下三角式

（5）：()1

11c n n D b D -=方法一：+下三角式递推式，1231

,,,j

j a b n

j n j j c c

D --

=-=====方法二：下三角式

（6）：1

1

n r n c D -==方法一：A+对角式，A 对角式.231,,,a b

n j n

n

c c D -======方法二：次下三角式

（7）：课本例题1.12 一（A ）7（4）：拆解。 一（A ）7（8）：见课本例题1.15.

一（A ）10：系数行列式=0.要求：耐心，细致！

一（B ）1（3）：4

1

12312234

,,i

i i c r r r r i D D D =-↔=∑=========上三角式

一（B ）1（4）：4

12131

41

1

11

,i i c r r r r

r r c x D D =+-+∑=========，三角式

一（B ）1（5），类一（A ）5：

()

()

()()()14

241

34

213231212122r r r r c r r D D D x x x x τ-+-=======

+----++

定义

+

=

()

()

()()()()

()

13213211233212121.x x x a a a ττ----=-其中:

一（B ）1（6）（7）（10）同课本例题1.15： 一（B ）1（11）类同 一A(10)

一（B ）2（1） 特例法：100,,ij ij ij i j

a a m i j

δ=⎧≡=⇒=⎨

≠

⎩取即

一（B ）2（2）类一（B ）1（5），由定义：

()

()

()()

()

314232411112211221ττ-⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯

一（B ）2（3）：排除法。请记忆结论（D ） 一（B ）2（4），同一（A ）10