模块4——三角函数的化简、求值与证明

模块4——三角函数的化简、求值与证明

一、知识回顾

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、基本训练

A 组

1、已知θ是第三象限角，且44

59

sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A

、3 B

、3- C 、23 D 、23

- 2

、函数222

y sin x x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π

3、tan 70cos10(3tan 201)-等于

（ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2

4、已知46sin (4)4m m m

αα-=

≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设10,sin cos 2

απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。 6、化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44

x x x x ππ-+-+ 7、设3177cos(),45124

x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。

8、求证：

sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα

+-+=

9、已知11sin()cos [sin(2)cos ],022αβααβββπ+-+-=

<<，求β的值。

10、（05北京卷） 已知tan

2α=2，求 （I ）tan()4π

α+的值； （II ）6sin cos 3sin 2cos αααα

+-的值． 11、（05全国卷Ⅲ）

已知函数2

()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.

12、(05浙江卷)已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (

256

π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41

－2，求sin α的值． B 组 1、已知1sin()43πα-

=，则cos()4

πα+的值等于 （ ） A

、3 B

、3- C 、13 D 、13- 2、已知tan α、tan β

是方程240x ++=的两根，且(,)22

ππαβ∈-

、，则αβ+等于 （） A 、

3π B 、23π- C 、3π或23

π- D 、3π-或23π 3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42

x x x x ππ+---为 （ ） A 、sin x B 、cos x C 、tan x D 、cot x 4、（全国卷Ⅲ）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα

(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12

5、（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0

,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ）

（A ）1 （B ）22,1- （C ）22- （D ）2

2,1 6、（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若

5

13sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________. 7、（北京卷）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为－

8、已知tan()34π

θ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿＿＿＿＿。

9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝＿＿.

10、求证：

21tan 1sin 2.12sin 1tan 22

αααα++=--

11、已知2sin 22sin ()1tan 42

k ααππαα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值。

123)csc12122--

13、已知tan tan αβ=

，求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值。 参考答案：

基本训练、

A 组

1、A

2、B

3、D

4、[－1，

73]

5、6、1cos 22x 7、2875- 8、略 9、2

π 10、解：（I ）∵ tan 2α=2, ∴ 2

2tan 2242tan 1431tan 2α

αα⨯===---;