命题逻辑中几种常见的推理证明方法

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辑

学

论

文

数学科学学院

09级3班

吴洁琼

学号**********

命题逻辑中几种常见的推理证明方法

吴洁琼

哈尔滨师范大学

（黑龙江·哈尔滨 150025）

【摘 要】：命题逻辑的推理证明是《离散数学》课程的重点难点内容，其主要原因有两个： 一是内容比较抽象且方法较独特，其灵活性很大, 故很难掌握；二是题型以证明题居多, 大多数题的知识面涉及较广, 故习题较难。而命题逻辑又是数理逻辑的基础, 熟练而灵活地掌握好命题逻辑中推理证明的方法既是学习命题逻辑的重点, 又会为进一步学习谓词逻辑打下良好的基础。本文结合适当的例题讲解，总结了命题逻辑中几种常见的推理证明方法，并进行了分析和探讨,以加深学生的理解，以及知识的灵活使用。 以期在帮助学生掌握命题逻辑的推理证明方法的同时, 又能对学生进行逻辑思维能力的训练,培养学生分析问题和解决问题的能力。

【关键词】：命题逻辑；推理；证明方法

数理逻辑是《离散数学》课程的主要内容之一，它主要包括命题逻辑和谓词逻辑两大部分, 而命题逻辑又是谓词逻辑的基础,其中的内容也比较抽象，所以学好命题逻辑又是学好数理逻辑的关键。学好数理逻辑既能加强学生的逻辑思维能力，又同时能够帮助同学学习数字电路和人工智能等其它课程。数理逻辑中关于命题逻辑证明题比较多，学好数理逻辑的关键是能不能很好的掌握这些证明题。

一、命题逻辑中推理的相关概念

定义1：一个命题公式序列1α，2α， ，n α；β，即βααα→ΛΛΛ)(21n 称为推理形式，其中序列最后一项β称为推理的结论，1α，2α， ，n α称为推理的条件。 定义2：对于命题公式序列1α，2α， ，n α；β的命题变元组);,,,(21p p p p n 的任意指派);,,,(21t t t t n 存在使n αααΛΛΛ 21为真，而β为假，则称此推理为无效推理，否则是有效推理。

证明命题公式β为有效结论的过程就是命题逻辑推理证明的过程。而证明推理形式1α，2α， ，n α；β是有效的充要条件是βααα→ΛΛΛ)(21n 为重言式。

二、常见证明方法

命题逻辑的推理证明有六种常用证明方法，分别是直接证明法，真值表法,范式法，间接证明法。其中间接证明法里面常见的是CP 规则证明法和反证法，本文就这几种方法进行论述。

1、直接证明法

直接证明法就是由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或者蕴含公式，推演得到有效的结论。在学生熟悉了逻辑恒等式和常用的推理规则后，大多数证明题都可以用直接证明法方便证明出。

例1、用直接证明法证明)(q p ∨，)(r p →，)(s q →推导出r s ∨.

分析：本题目需要证明的结论是个析取式可以用过蕴含表达式转换为蕴含式， 即r s r s →⇔∨，所以本题实际只要推导出r s →为真即可得证。

具体证明过程如下：

证明：

(1)q p ∨ 前提 (2)q p → (1)置换

(3)s q → 前提 (4)s p → (2)、(3)假言三段论 (5)p s → (4)置换

(6)r p → 前提 (7)r s → (5)、（6)假言三段论

(8)r s ∨ (7)置换

2、真值表法

推理是从条件推出结论的过程, 条件是已知的命题公式, 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式. 由于判断推理正确的方法就是判断重言蕴含式的方法, 因此可用真值表去判断推理是否正确的问题.

例2、证明逻辑等价式)()()(r p q p r q p →→→=→→

证明逻辑等价式是有两种方法，一种是真值表法，一种是利用逻辑等价式替换，这里就介绍用真值表法来证明。)()()(r p q p r q p →→→=→→的真值表如下：

显然, 不论p 、q 、r 的真假情况怎样,p→(q→r)总是和(p→q)→(p →r)的真假相同，所以有)()()(r p q p r q p →→→=→→。

3、范式法

析取范式和合取范式是命题公式的两种等价形式, 在等价的意义下, 任何一个命题公式都有唯一的一个析取范式和一个合取范式, 析取范式和合取范式可以用于判断某个命题公式是否为重言式或矛盾式。而证明某个推理形式是有效的充要条件是这个推理形式为重言式。所以我们可以把这种唯一的范式形式用于推理论证中, 去证明一些命题公式。

例3、证明)())()((r p r q q p →→→∧→.

证：即判断)())()((r p r q q p →→→∧→是否为重言式。

先求合取范式：)())()((r p r q q p →→→∧→)())()((r p r q q p ∨∨∨∧∨= )())()((r p r q q p ∨∨∧∨∧=)())(())((r p r q p q q p ∨∨∨∧∧∨∧= )())()()()((r p r q q q r p q p ∨∨∨∧∨∧∨∧∨= )()()()(r p r q r p q q r p r p r p q p ∨∨∨∧∨∨∨∧∨∨∨∧∨∨∨= 得到的结果中，四个合取项都为重言式，从而该命题公式为重言式，得证。

4、CP 规则法

CP 规则的内容：前提是1H ,2H , ,n H ，欲证明结论S R →成立（结论是条件式），则将条件式作为附加前提证得S 即可。设n H H H H ∧∧∧= 21,由前提H 证明S R →，即证明)(S R H →→永真，而)(S R H →→等价于S R H →∧，因此证明S R H →∧永真即可。

这种证明方法比较适用于证明结论中带有蕴含连接词，也就是说结论是形如q p →的命题公式，用CP 规则证明可能比较简便。再复杂的结论如形如)(r q p →→的命题公式，也可以通过连续使用两次CP 规则的方式来证明。

例4、证明r s q p s r q p →⇒∧∨∧→→)())((.

证：（1）s 附加前提

（2）p s ∨ 前提

（3）p （1）（2）否析规则

（4）)(r q p →→ 前提

（5）r q → （3）（4）分离规则

（6）q 前提