第五章 异方差性67页

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一、图形分析法(补充）
图形分析法是利用残差序列绘制出各种图形，以供分析 检验使用，包括：
** 1、解释变量为X 轴，残差的平方e2（或因变量Y）为Y轴的散点图。 （另有：2、时间为X 轴，残差e 为Y 轴的残差序列图；
3、因变量估计值y 为X 轴, 残差e 为Y 的Y-e 散点图）
异方差的类型 分大 为致 递可 增以 异方 异差 方、 差递 、减 复杂 三种。 Y用 X作散点分布图 渐的 变区 宽域 、逐 变窄 变、 化不 ，规 存在异方差 ei2 ； X作 （散 用点分e布 2并图 不上 近似于某 则一 认常 存在异方差）。
第五章 异方差性
违反古典假定回归模型的研究方式
☻问题的概念 ☻问题的后果 ☻对问题的检验 ☻对问题的修正
本章讨论
☻异方差性的含义与产生背景 ☻异方差性对模型的影响 ☻异方差性的检验 ☻异方差性的补救措施
第一节异方差性的含义与产生背景
一个实例
例1：2019年北京市规模最大的20家百货零售商店 的商品销售收入X和利润总额Y资料如下表所示:
t
ˆ 2 Sˆe ( ˆ 2 )
从而导致了方差不正常的偏小，而t统计量不正常的偏大， 假设检验失效。
三、预测精度降低
由于异方差的存在，使得参数估计值的方差低估了其真实方差，
造成参数的区间估计失真，进一步影响Y的预测区间，使其预测精
度降低。
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第三节 异方差性的检验
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xi yi
x
2 i
xi ( 2 xi
x
2 i
ui )
2
x
2 i
xiui
x
2 i
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2
xiui
x
2 i
Yi Y(12Xi ui)Y
(12Xi ui)(12X)
2(Xi X)ui 即 yi 2xi ui
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1、该估计量为无偏估计
E(ˆ2)2
E(ˆ2)
E(2
xiui xi2
)
2
E（ xxi2iui）2
2、参数估计量的方差非最小
记存在异方差 2的 情 O况 L估 S下 计ˆ为 2* 不存在异方差 2的 情 O况 L估 S下 计ˆ为 2 则有 : Va（ rˆ2*)Va（ rˆ2)
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二、解释变量显著性检验失效
存在异方差时，如果继续用经典假定下的方差公式求估计量的 方差，则低估了真实方差。
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二、产生异方差性的原因
1、模型中缺少了某些解释变量
1）由于一些客观原因，使得某些重要的解释变量无法包括在模型中； 2）由于一些主观原因，在变量的选择上遗漏了某些重要的解释变量（设定 偏误）。
例如，用截面上不同收入组的收入X和消费支出Y样本数据建模：
Y i 12Xi ui
由于各户的收入X不同，消费观念和习惯有差异，通常情况下，模型会 存在异方差性：
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2、样本数据的观测误差
样本数据的观测误差常随时间的推移逐步积累； 或随着数据 采集技术的改进，随机干扰项的方差减小。
例如，以时间序列数据为样本建立生产函数模型
Q t f(L t,K t) u t A tK L te u t
(Q：产出； L:劳动力； K：资本)
由于不同时间 术的 、观 评测 价技 标准 时不 间同 的； 推随 移， 的投资环境、 、管 生理 产水 规L 平 t模 ,Kt增 （大 如），观测 ，误 引起 ui偏离均值的程 会度 产不 生同 异， 方差。
对于低收入家庭来说，除去购买生活必需品后的余钱不多，其消费支出 的方差将不会很大；而对于高收入家庭来说，家庭购买行为差异性就很大。 除去购买生活必需品以后的余钱还很多，这些余钱可用于购买奢侈消费品， 也可用于储蓄或投资，其消费支出的方差将会很大。存在异方差现象。
注：有重要的解释变量没有（或无法）引入模型，可能产生异方差性。
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表明：不同规模的商店，其利润总额的方差是不相同的， 从而模型中随机误差的方差不是常数，这里存在着异方差现象。
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2
RESID
0
-2
-4 0
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50
100
150
200
X
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一、异方差性的定义
设线性回 Y i归 12X 模 2i 型 kXk为 i ui ： i1,2,,n
商店名称
1、百货大楼 2、城乡贸易中心
…
19．新街口百货商场 20．星座商厦
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销售收入
X 160.0 151.8
…
22.2 20.7
利润总额
Y 12.8 8.9 …
1.0 0.5
回归值
10.2 9.6 …
1.0 0.9
残差
2.634705 -0.717881
…
0.033928 -0.365935
注：除上述原因外，模型的函数形式不正确、异常值的出现等都可能产生异方差性。
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第二节 异方差性对模型的影响
一、参数估计量不再具有最小方差特性
考虑一个简单的线性回归模型：
Yi 12Xiui
利用普通最小二乘法，可得回归系数的最小二乘估计
ˆ2 xxiiy2i 2 xxiu i2i
复习：
ˆ 2
经典线性回归模型的一个重要假定是：总体回归函数中的随 机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差
V(a u i)r 2 i 1 ,2 , ,n
随机误i的 差方 项差随某个 Xj的 i 解变 释化 变而 ,即 量变化
V( u ia ) r i22 f(X ) i 1 ,2 , ,n
则称随机误差项存在异方差(方差非齐性).
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纺锤型（cloudy graph） Y
e
2 i
X
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X
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反纺锤型（哑铃型）
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百度文库
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漏斗型
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16
反漏斗型
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其它有规律可寻的图形
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通过Eviews作x- e2 散点图
1、键入 LS y c x 作回归（点击 resid ） 2、键入 genr e1=resid 调用残差 3、键入 genr e2=e1^2 生成残差平方 4、键入 Scat e2 X（或键入Scat e1 X）
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利润总额对销售收入的线性回归方程为：
Yˆ 0.515950.06676X （0.622） 4 （0.008） 5 R2 0.7759
将销售收入X作为横坐标, Y（或残差e）作为纵坐标，作散点图:
从残差图看出: 销售收入小的商店，其残差一般也较小； 销售收入大的商店，其残差一般也较大；残差有随着商店 规模增大而增大的倾向。