第五章 异方差性67页
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第五章 异方差性
Qt
ALt
K
t
eut
• U为随机误差项，它包含了资本K和劳动力L
以外的因素对产出Q的影响，比如能源、环境、
政策等。由于不同的地区这些因素不同造ui 成了 对产出的影响出现差异，使得模型中的 具有
异方差，并且这种异方差的表现是随资本和劳 动力的增加而有规律变化的。
(二）样本数据的观测误差
• 一方面，样本数据的观测误差常随着时间的 推移而逐步积累，引起随机误差项的方差增 加。另一方面，随着时间的推移，样本观测 技术会随之提高，也可能使得样本的观测误 差减少，引起随机误差项的方差减小。因此， 随着时间的推移，样本数据的观测误差会发 生变化，从而引起随机误差项的变化。
Yt 1 2 X 2i 3 X 3i ui (1)
Y 1 2 X 2 3 X 3
(2)
Yt 1' 2 X 2i ui'
(3)
Y 1' 2 X 2
(4)
由(2)、(4)得:1' 1 3 X3 (5)
由(1)、(3)、(5)得:
Var(ui )
2 i
f
(X
ji )
i 1, 2, , n
则称随机误差项存在异方差.
( 即回归模型中随机误差项的方差不是常数 )
例2：使用截面数据研究储蓄函数
假设 储蓄函数模型Y i 0 1X i ui
式中：Y i第i个家庭的储蓄额，X i第i个家庭的可支配收入，ui 代表除可支配收入以外影响储蓄额的其它因素，如利率、家庭 人口、文化背景等等。这里，同方差假设显然与事实不符。
ui' 1 3 X 3i ui 1'
5异方差性
钱还很多，这些余钱可用于购买奢侈消费品，也可用于储蓄或投资，其消费支出的方差 将会很大。显然，这里存在异方差现象。
又例如，使用截面资料建立储蓄模型（可能存在异方差）
Yi 1 2 X i ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; X i : 第i个家庭的可支配收入 ui : 除可支配收入之外的其它因素(如 : 利息、家庭人口、文化背景等)
销售收入 利润总额
商店名称
X
Y
回归值
残差
1、百货大楼 2、城乡贸易中心
… 19．新街口百货商场 20．星座商厦
160.0
12.8
10.2
2.634705
151.8
8.9
9.6
-0.717881
…
…
…
…
22.2
1.0
1.0
0.033928
20.7
0.5
0.9
-0.365935
资料来源：《北京统计年鉴》1997年卷 利润总额对销售收入的线性回归, Kt增大），观测误差降低， 引起ui偏离均值的程度不同，会产生异方差。
又例如，边学边改学习模型（人们在学习过程中，其行为误差随时间而减少）。
在给定的一段时间内，打字出错个数与用于打字练习的小时数的关系。随着打字练 习时间的增加，平均打错个数及打错个数的方差都有所下降。
E(2
xi u i xi2
2)2
E(
xi u i xi2
)2
xi2
u
2 i
E(
2
i j
xi x juiu j
)
E（
xi2
u
2 i
）
(xi2 ) 2
(xi2 ) 2
xi2
第5章 异方差性
估计量不具有最佳性。 但OLS估计量不具有最佳性。 估计量不具有最佳性
5.2.3对模型参数估计值显著性检验的影响 对模型参数估计值显著性检验的影响
e′e 并非随机误差项 并非随机误差项 在异方差情况下， ˆ 在异方差情况下， σ = n − k −1 方差的无偏估计量。 方差的无偏估计量。
2
ˆ 导致在此基础上估计的 s ( b j ) 也出现偏误。
e t 来近似代表随机误差项
5.3.1图示检验法 图示检验法
的估计值） （1）用X（或Y的估计值）与残差平方的散点图进 ） （ 的估计值 行初步判断
~ ei 2 ~ ei 2
X 同方差 递增异方差
X
~ ei 2
~ ei 2
X 递减异方差 复杂型异方差
X
（2）用X-Y的散点图进行判断 ） 的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大 缩小 复杂型趋势 散点扩大、缩小 散点扩大 缩小或复杂型趋势 （即不在一个固定的带型域中）
. 0 . 0 . ... σ nn ...
5.1.2产生异方差的原因 产生异方差的原因
1、解释变量的遗漏。 2、来自不同抽样单元的因变量观察值的差异。 3、异常观测值的出现。 4、时间序列数据中，观测技术的改进引起的观测值的变化。
注意： （1）时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差，其 中截面样本中更为常见。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时 间序列中的异方差常表现为自回归条件异方差。
yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut
1、用普通最小二乘法估计模型，求出残差平方序 2 列：e t
2、以残差平方作为因变量，以原方程中所有解释变 解释变 解释变量的平方项和交叉积项 量以及解释变量的平方项 交叉积项 解释变量的平方项 交叉积项做辅助回归：
计量经济学第五章 异方差
第五章
异方差性
引子：更为接近真实的结论是什么？
根据四川省2000年21个地州市医疗机构数与人口数资料，分 析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的 回归模型。模型估计的结果如下：
Yˆi 563.0548 5.3735Xi （291.5778） (0.644284)
t =(-1.931062) (8.340265)
二、加权最小二乘法
以一元线性回归模型为例：
Yi 1 2 Xi ui
(5.18)
经检验 u存i 在异方差，
var(ui )
2 i
2
f
(Xi)
（一）基本思路
区别对待不同的 。对2i 较小的 给予e较i2 大的权
数，对较大的 e给i2 予较小的权数，从而使 更e好i2 地
反映 对i2 残差平方和的影响程度。
Yi 1 2 Xi ui
其中: Y表i 示卫生医疗机构数，表示 人X口i 数。
四川省2000年各地区医疗机构数与人口数
地区
成都 自贡 攀枝
花 泸州 德阳 绵阳 广元 遂宁 内江 乐山 南充
人口数 （万人）X
10133 315 103
463.7 379.3 518.4 302.6 371 419.9 345.9 709.2
2、求使满足 min
wiei2 的
* i
根据最小二乘原理，若使得加权残差平方和最小，则：
ˆ1* Y * ˆ2* X *
ˆ2*
wi ( Xi X * )(Yi Y * ) wi ( X i X * )2
其中： X * wi Xi ,Y * wiYi
异方差性
引子：更为接近真实的结论是什么？
根据四川省2000年21个地州市医疗机构数与人口数资料，分 析医疗机构与人口数量的关系，建立卫生医疗机构数与人口数的 回归模型。模型估计的结果如下：
Yˆi 563.0548 5.3735Xi （291.5778） (0.644284)
t =(-1.931062) (8.340265)
二、加权最小二乘法
以一元线性回归模型为例：
Yi 1 2 Xi ui
(5.18)
经检验 u存i 在异方差，
var(ui )
2 i
2
f
(Xi)
（一）基本思路
区别对待不同的 。对2i 较小的 给予e较i2 大的权
数，对较大的 e给i2 予较小的权数，从而使 更e好i2 地
反映 对i2 残差平方和的影响程度。
Yi 1 2 Xi ui
其中: Y表i 示卫生医疗机构数，表示 人X口i 数。
四川省2000年各地区医疗机构数与人口数
地区
成都 自贡 攀枝
花 泸州 德阳 绵阳 广元 遂宁 内江 乐山 南充
人口数 （万人）X
10133 315 103
463.7 379.3 518.4 302.6 371 419.9 345.9 709.2
2、求使满足 min
wiei2 的
* i
根据最小二乘原理，若使得加权残差平方和最小，则：
ˆ1* Y * ˆ2* X *
ˆ2*
wi ( Xi X * )(Yi Y * ) wi ( X i X * )2
其中： X * wi Xi ,Y * wiYi
计量经济学五异差性
计量经济学五异差性————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第五章 异方差性用OLS 法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验摸型是否满足假定条件。
由第二章知，只有模型的5个假定条件都满足时，用OLS 法得到的估计量才具有最佳线性无偏特性。
当一个或多个假定条件不成立时，OLS 估计量将丧失上述特性。
本节讨论当假定条件不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。
以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。
分为5个步骤。
（1） 回顾假定条件。
（2） 假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。
（3） 定性分析假定条件是否成立。
（4） 假定条件是否成立的检验（定量判断）。
（5） 假定条件不成立时的补救措施。
5.1 异方差性的含义与产生的原因 5.1.1 同方差假定-224681012050100150200XY图5.1 同方差情形 图5.2 同方差情形模型的假定条件⑴ 给出Var(u ) 是一个对角矩阵，Var(u ) = E(u u ' ) = σ 2I = σ 210101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (5.1) 且u 的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定），当这个假定不成立时，Var(u ) 不再是一个纯量对角矩阵。
Var(u ) = σ 2 Ω = σ 211220..00...0 00...TT σσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦≠σ 2 I (5.2)当误差向量u 的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差，即误差向量u 中的元素u t 取自不同的分布总体。
非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。
比如 Ω 中的 σi j 与σ 2的乘积 ,（i ≠ j ）表示与第i 组和第j 组观测值相对应的u i 与 u j 的协方差。
异方差性及后果
V (ui ) E(ui2) ui 2 常数
(5.1.2)
异方差性的数学表达式，可写成自变量 xi 的函数，
即
2 ui
f (xi )
(5.1.3)
§5.2 异方差性的后果 一、线性和无偏性
ˆ ki ui
ki
xi xi2
ˆ 是ui的线性函数显然成立
(5.2.1)
由(2.3.7)知α的OLS估计量为
对于多元线性回归模型
y 0 1 x1 k xk u
若异方差的结构不知道，可以证明有下列估计式
n
Vˆ (ˆ
j)
rˆi2j uˆi2
i1
ESS2j
(5.2.9)
其中 ESS j rˆi2j
式中 rˆij 为xj将对所有其它自变量作回归所得到的第i个
残差；ESSj则为这个回归的残差平方和。 (5.2.9)的算 术根称为 ˆ j 的异方差—稳健标准差(heteroskedasticity -robust standard error )。（参看武德263页）
(5.2.8)的结果是线性模型(5.2.5)具有异方差情况下，
参数β估计值的方差。用
ˆ
2 u
代替
u2便有估计值
Vˆ
(ˆ
)
ˆ
2 u
xi2
xi2
( xi2 )2
可以证明：u具有异方差时，参数的方差失去了最 佳性。（参看课本108页）
如果存在异方差性而仍然采用OLS估计参数β， 由于参数的估计值的方差并非最小，在对β进行显 著性检验时将低估t值可能导致错误的统计判断， 在对参数β进行区间估计时就会不必要地扩大置信 区间。 甚至统计量T失去t
ˆ
(1 n
x
第五章异方差性
∑
2
ˆ σ 2 = ∑ ei2 n − k 是有偏的，在此基础上的区间估 是有偏的，
计和假设检验都将不可靠。 计和假设检验都将不可靠。
第三节 异方差性的检验
一. 图形分析法
基本思想： 基本思想： 异方差性的表现是 u i 的方差随某个解释变量的变 化而变化， 的分散程度随X的变化而变化 化而变化 ， 或 Y的分散程度随 的变化而变化 。 因此可 的分散程度随 的变化而变化。 与某解释变量的散布图， 利用 u i 的代表 ei 与某解释变量的散布图，观察是否存 在异方差及其异方差的形式。 在异方差及其异方差的形式。 具体方法： 具体方法： ●假定不存在异方差，进行回归，并计算剩余平方 e 2,描绘 假定不存在异方差，进行回归， 假定不存在异方差
⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
Yi
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅
C个
Xi
●将前后两部分分别作回归，分别计算出各部 将前后两部分分别作回归， 分剩余 ei ， 2 ● 比较前后两个回归的剩余平方和 ∑ ei ： ei2 之比接近于 ，为同方差； 如果两个 ∑ 之比接近于1，为同方差； ei2 之比不同于 ，为异方差 如果两个 ∑ 之比不同于1， 前提条件： 前提条件： ●样本容量较大 服从正态分布， ● ui 服从正态分布，并除异方差外满足其他 基本假定
具体步骤： 具体步骤：
●排序 将观测值按解释变量 大小顺序排列 排序:将观测值按解释变量 排序 将观测值按解释变量X大小顺序排列 数据分组:去掉中间的 去掉中间的C个 ●数据分组 去掉中间的 个（约1/4）观测值，分别 ）观测值， 进行前后两部分 (n − c) 2 个观测值的回归 ●提出假设:分别进行前后两部分回归的基础上，提出 提出假设 分别进行前后两部分回归的基础上， 分别进行前后两部分回归的基础上 检验假设： 检验假设： o : ui H 即
5 异方差
异方差性的后果
(heteroskedasticity :Consequences)
计量经济学模型一旦出现异方差性(heteroskedasticity )，如 果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量仍然具有无偏性(unbiased) ) 2、参数估计量非有效(does not have minimum variance) 由于非有效， 3、由于非有效，因而变量的显著性检验失去意义 (t statistics are unreliable) )
1
ˆ 如果出现了异方差，se(β1) 出现偏误(偏大或偏小)， t检验失真。
三、异方差诊断
(heteroskedasticity detection)
? 用什么来表示随机误差项的方差 用什么来表示随机误差项的方差? (how to indicate the variance of stochasic?) • 在同方差假定下(homoskedasticity assumption)，随机误差项的方差用 σ 2 表示。 • 事实上，关于模型是否满足同方差假定，我们 在估计模型时并不知道，是需要通过异方差性 诊断(detecting heteroskedasticity)才能知道的。 • 要诊断模型是否存在异方差，首先需要找到一 个用以表示随机误差项方差的“量”。
第五章 异方差性 （Heteroskedasticity）
本章内容
• 异方差性的含义及异方差产生的原因(Nature and causes) • 异方差性对模型的影响(Practical consequences) • 检验异方差性方法(Detection) • 处理和消除异方差的办法(Remedies)
OLS估计结果
Dependent Variable: TX Method: Least Squares Date: 05/27/09 Time: 00:37 Sample: 1 30 Included observations: 30 Variable C SR R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 38.75161 0.041419 0.544467 0.528198 67.01587 125751.5 -167.6811 2.009705 Std. Error 39.64001 0.007160 t-Statistic 0.977588 5.785021 Prob. 0.3366 0.0000 256.8727 97.56583 11.31208 11.40549 33.46646 0.000003
《异方差性》课件
03
异方差性的后果
模型预测的准确性下降
异方差性会导致模型的预测值偏 离真实值，降低预测的准确性。
在异方差性存在的情况下，模型 的预测结果可能变得不可靠，因 为模型没有充分考虑到数据的不
确定性。
异方差性可能导致模型在预测新 数据时表现不佳，因为模型没有 充分学习到数据的内在结构和变
化规律。
模型推断的可靠性降低
详细描述
社会数据在不同群体之间的分布往往存在显著的差异，这种差异反映了不同群体之间的异方差性。这 种异方差性可能与社会经济地位、文化背景等多种因素有关，需要深入分析其产生的原因和影响。
社会数据的异方差性分析
总结词
异方差性对社会政策制定和实施具有重 要影响。
VS
详细描述
社会政策的制定和实施需要考虑不同群体 的差异和特点，而异方差性的存在为社会 政策的制定提供了重要的参考信息。通过 对异方差性的分析和研究，我们可以更好 地了解不同群体的需求和诉求，制定更为 公正和有效的社会政策。
总结词
金融数据的异方差性分析有助于提高投资策略的有效性。
详细描述
通过对金融数据的异方差性进行分析，投资者可以更好地 理解市场的波动规律和风险特征，从而制定更为有效的投 资策略。这种基于异方差性的投资策略能够更好地适应市 场的变化，提高投资的收益和风险控制能力。
社会数据的异方差性分析
总结词
社会数据在不同群体之间存在显著的异方差性。
平方根变换
当数据分布不均，特别是偏度较大时，平方根变换可以改善数 据的正态性。
Box-Cox变换
是一种通用的数据变换方法，通过选择一个适当的λ值，使数据 达到最佳的正态分布状态。
模型选择和调整
混合效应模型
05- 异方差性.
2018/12/15
R 2 0.89
Ama = 1661.54+ 0.135income -20.64priceama t: (14.44) (-1.18)
由于各个省市的收入差距比较大，文化娱乐支出的差距也 会比较大，因此可能存在异方差性。下面通过white检验来判 断是否存在异方差性。
22
先对该模型作OLS回归，得到残差； 然后做如下辅助回归：
e 0 1 X1i 2 X 2i 3 X 4 X 5 X1i X 2i i
2 i 2 1i 2 2i
2018/12/15
这里 X1i = income, X2i = priceama 使用EViews软件，得到辅助回归的R 2 0.812 ，因此
其中：S=储蓄
Y=收入
1951—60年，
1970—79年，
ˆ 12
2
=0.01625 =0.9725
2018/12/15
ˆ3 F0 = 0.9725/0.01625=59.9
查表得: d.f.为（8，8）时，5% Fα=3.44 ∵F0＞Fα 因而拒绝H0。 结论：存在异方差性。
从检验过程可以看出， G-Q 检验适用于检验样本容量
具体的检验步骤类似于t检验和F检验，大家看书可以知道。 思考一个问题：这2种检验方法同怀特检验的关系？
（残差回归检验法）
24
5.4、解决异方差问题的方法
解决异方差的基本思路就是：变异方差为同方差以满足经 典假设。通常用到的方法有：模型变换法和加权最小二乘法。
2018/12/15Leabharlann 5.4.1模型变换法
2 1 2 ， 3
e
2
2 ˆ3
R 2 0.89
Ama = 1661.54+ 0.135income -20.64priceama t: (14.44) (-1.18)
由于各个省市的收入差距比较大，文化娱乐支出的差距也 会比较大，因此可能存在异方差性。下面通过white检验来判 断是否存在异方差性。
22
先对该模型作OLS回归，得到残差； 然后做如下辅助回归：
e 0 1 X1i 2 X 2i 3 X 4 X 5 X1i X 2i i
2 i 2 1i 2 2i
2018/12/15
这里 X1i = income, X2i = priceama 使用EViews软件，得到辅助回归的R 2 0.812 ，因此
其中：S=储蓄
Y=收入
1951—60年，
1970—79年，
ˆ 12
2
=0.01625 =0.9725
2018/12/15
ˆ3 F0 = 0.9725/0.01625=59.9
查表得: d.f.为（8，8）时，5% Fα=3.44 ∵F0＞Fα 因而拒绝H0。 结论：存在异方差性。
从检验过程可以看出， G-Q 检验适用于检验样本容量
具体的检验步骤类似于t检验和F检验，大家看书可以知道。 思考一个问题：这2种检验方法同怀特检验的关系？
（残差回归检验法）
24
5.4、解决异方差问题的方法
解决异方差的基本思路就是：变异方差为同方差以满足经 典假设。通常用到的方法有：模型变换法和加权最小二乘法。
2018/12/15Leabharlann 5.4.1模型变换法
2 1 2 ， 3
e
2
2 ˆ3
异方差
（三）检验的步骤
1、建立模型并求 ei ˆ 根据样本数据建立回归模型，并求残差序列 ei Yi Yi 2、寻找 ei 与 X 的最佳函数形式 用残差绝对值 ei 对 X i 进行回归，用各种函数形 式去试，寻找最佳的函数形式。 3、判断 ei 对 X i 的回归，用ei 2作为 根据选择的函数形式作 ei 的替代变量，对所选函数形式回归。用回归所得到 的 、t、F等信息判断，若表明参数 显著不为零， R2 即认为存在异方差性。
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
计量经济学
第五章 异方差性
引子：更为接近真实的结论是什么？
根据四川省2000年21个地市州医疗机构数与人口 数资料，分析医疗机构与人口数量的关系，建立卫 生医疗机构数与人口数的回归模型。对模型估计的 结果如下： ˆ Yi 563.0548 5.3735X i （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265)
2 1i
2 e2i /[ n c k ] 2 F* n c k] 2 e1i /[ 2
2 e2i 2 e1i
~ F(
nc nc k, k) 2 2
（5.13）
5、判断 给定显著性水平 ，查F分布表得临界值F( nc k , nc k ) ( ) 2 2 计算统计量F*,如果F*＞ F( nc k , nc k ) ( ) 2 2 则拒绝原假设，接受备择假设，即模型中的随机误差 存在异方差。 （三）检验的特点 ●要求大样本 ●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型 ●检验结果与选择数据删除的个数c的大小有关 ●只能判断异方差是否存在，在多个解释变量的情况下， 对哪一个变量引起异方差的判断存在局限。
第五异方差性演示文稿
Var(ui ) = σ 2
（5.1）
因为方差是度量被解释变量 的Y观测值围绕回归线
E(Yi
)
1
2
X
2i
3
X 3i
...
k
X
（5.2）
ki
的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值的
分散程度相同。
第六页，共66页。
异方差性的含义
设模型为
Yi 1 2 X 2i 3 X3i ... k X ki ui
2i
第九页，共66页。
（二）模型的设定误差
模型的设定主要包括变量的选择和模型数学形式的确定。模型中略去
了重要解释变量常常导致异方差，实际就是模型设定问题。除此而外，
模型的函数形式不正确，如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，
也可能导致异方差。
（三）数据的测量误差
X 3i
u
* i
样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩大
第三十一页，共66页。
四、ARCH检验
（一）ARCH 过程
设ARCH 过程为
σt2 = 0 +1σt2-1 + ...+ pσt2- p + vt
0 > 0,i > 0 i = 1, 2,..., p
p为ARCH过程的阶数,并且
（二）检验的基本思想
为v随t 机误差。
在时间序列数据中，可认为存在的异方差性为ARCH过程，
X
2t
,
X
3t
,
X
2 2t
,
X
2 3t
,
X
2t
X的3t 辅助回归，即
eˆt2
=
αˆ1
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2020/6/22
6
二、产生异方差性的原因
1、模型中缺少了某些解释变量
1）由于一些客观原因，使得某些重要的解释变量无法包括在模型中； 2）由于一些主观原因，在变量的选择上遗漏了某些重要的解释变量（设定 偏误）。
例如，用截面上不同收入组的收入X和消费支出Y样本数据建模：
Y i 12Xi ui
由于各户的收入X不同，消费观念和习惯有差异，通常情况下，模型会 存在异方差性：
2020/6/22
13
纺锤型（cloudy graph） Y
e
2 i
X
2020/6/22
X
14
反纺锤型（哑铃型）
2020/6/22
15
漏斗型
2020/6/22
16
反漏斗型
2020/6/22
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其它有规律可寻的图形
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通过Eviews作x- e2 散点图
1、键入 LS y c x 作回归（点击 resid ） 2、键入 genr e1=resid 调用残差 3、键入 genr e2=e1^2 生成残差平方 4、键入 Scat e2 X（或键入Scat e1 X）
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表明：不同规模的商店，其利润总额的方差是不相同的， 从而模型中随机误差的方差不是常数，这里存在着异方差现象。
4
2
RESID
0
-2
-4 0
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50
100
150
200
X
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一、异方差性的定义
设线性回 Y i归 12X 模 2i 型 kXk为 i ui ： i1,2,,n
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利润总额对销售收入的线性回归方程为：
Yˆ 0.515950.06676X （0.622） 4 （0.008） 5 R2 0.7759
将销售收入X作为横坐标, Y（或残差e）作为纵坐标，作散点图:
从残差图看出: 销售收入小的商店，其残差一般也较小； 销售收入大的商店，其残差一般也较大；残差有随着商店 规模增大而增大的倾向。
商店名称
1、百货大楼 2、城乡贸易中心
…
19．新街口百货商场 20．星座商厦
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销售收入
X 160.0 151.8
…
22.2 20.7
利润总额
Y 12.8 8.9 …
1.0 0.5
回归值
10.2 9.6 …
1.0 0.9
残差
2.634705 -0.717881
…
0.033928 -0.365935
2、参数估计量的方差非最小
记存在异方差 2的 情 O况 L估 S下 计ˆ为 2* 不存在异方差 2的 情 O况 L估 S下 计ˆ为 2 则有 : Va（ rˆ2*)Va（ rˆ2)
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二、解释变量显著性检验失效
存在异方差时，如果继续用经典假定下的方差公式求估计量的 方差，则低估了真实方差。
t
ˆ 2 Sˆe ( ˆ 2 )
从而导致了方差不正常的偏小，而t统计量不正常的偏大， 假设检验失效。
三、预测精度降低
由于异方差的存在，使得参数估计值的方差低估了其真实方差，
造成参数的区间估计失真，进一步影响Y的预测区间，使其预测精
度降低。
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第三节 异方差性的检验
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xi yi
x
2 i
xi ( 2 xi
x
2 i
ui )
2
x
2 i
xiui
x
2 i
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2
xiui
x
2 i
Yi Y(12Xi ui)Y
(12Xi ui)(12X)
2(Xi X)ui 即 yi 2xi ui
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1、该估计量为无偏估计
E(ˆ2)2
E(ˆ2)
E(2
xiui xi2
)
2
E（ xxi2iui）2
第五章 异方差性
违反古典假定回归模型的研究方式
☻问题的概念 ☻问题的后果 ☻对问题的检验 ☻对问题的修正
本章讨论
☻异方差性的含义与产生背景 ☻异方差性对模型的影响 ☻异方差性的检验 ☻异方差性的补救措施
第一节异方差性的含义与产生背景
一个实例
例1：2019年北京市规模最大的20家百货零售商店 的商品销售收入X和利润总额Y资料如下表所示:
注：除上述原因外，模型的函数形式不正确、异常值的出现等都可能产生异方差性。
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第二节 异方差性对模型的影响
一、参数估计量不再具有最小方差特性
考虑一个简单的线性回归模型：
Yi 12Xiui
利用普通最小二乘法，可得回归系数的最小二乘估计
ˆ2 xxiiy2i 2 xxiu i2i
复习：
ˆ 2
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2、样本数据的观测误差
样本数据的观测误差常随时间的推移逐步积累； 或随着数据 采集技术的改进，随机干扰项的方差减小。
例如，以时间序列数据为样本建立生产函数模型
Q t f(L t,K t) u t A tK L te u t
(Q：产出； L:劳动力； K：资本)
由于不同时间 术的 、观 评测 价技 标准 时不 间同 的； 推随 移， 的投资环境、 、管 生理 产水 规L 平 t模 ,Kt增 （大 如），观测 ，误 引起 ui偏离均值的程 会度 产不 生同 异， 方差。
经典线性回归模型的一个重要假定是：总体回归函数中的随 机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差
V(a u i)r 2 i 1 ,2 , ,n
随机误i的 差方 项差随某个 Xj的 i 解变 释化 变而 ,即 量变化
V( u ia ) r i22 f(X ) i 1 ,2 , ,n
则称随机误差项存在异方差(方差非齐性).
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一、图形分析法(补充）
图形分析法是利用残差序列绘制出各种图形，以供分析 检验使用，包括：
** 1、解释变量为X 轴，残差的平方e2（或因变量Y）为Y轴的散点图。 （另有：2、时间为X 轴，残差e 为Y 轴的残差序列图；
3、因变量估计值y 为X 轴, 残差e 为Y 的Y-e 散点图）
异方差的类型 分大 为致 递可 增以 异方 异差 方、 差递 、减 复杂 三种。 Y用 X作散点分布图 渐的 变区 宽域 、逐 变窄 变、 化不 ，规 存在异方差 ei2 ； X作 （散 用点分e布 2并图 不上 近似于某 则一 认常 存在异方差）。
对于低收入家庭来说，除去购买生活必需品后的余钱不多，其消费支出 的方差将不会很大；而对于高收入家庭来说，家庭购买行为差异性就很大。 除去购买生活必需品以后的余钱还很多，这些余钱可用于购买奢侈消费品， 也可用于储蓄或投资，其消费支出的方差将会很大。存在异方差现象。
注：有重要的解释变量没有（或无法）引入模型，可能产生异方差性。