极坐标下推导柯西黎曼方程
cauchyriemann方程证解析
cauchyriemann方程证解析柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理之一。
它是由奥古斯丁·勒页(B. A. Cauchy)和乔尔久·黎曼 (B. Riemann)提出的，是解析函数理论的基石之一。
柯西-黎曼方程给出了复变函数的解析条件。
它的表述形式为：如果一个函数f(z)在某区域内连续且可导，那么该函数满足柯西-黎曼方程的必要条件。
柯西-黎曼方程可以表示为：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x其中，f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是一个复变函数，u(x, y)和v(x, y)分别表示实部和虚部。
柯西-黎曼方程的证明可以通过对复变函数的Cauchy积分定理和Green定理的运用得到。
根据Cauchy积分定理，如果函数f(z)在闭合曲线上连续可导，那么沿着该曲线的积分为零。
根据Green定理，对于一个区域内的函数f(z)，如果它的实部和虚部的一阶连续偏导数存在且连续，那么它的沿着区域边界的积分也为零。
根据这两个定理，我们可以得到柯西-黎曼方程的证明。
对于解析函数f(z)来说，它既满足柯西-黎曼方程的必要条件，又满足柯西-黎曼方程的充分条件。
这意味着当一个函数满足柯西-黎曼方程时，它就是解析函数，可以利用其定义域内的实部和虚部来计算其导数，并应用解析函数的性质进行进一步的推导和计算。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中最基本的定理之一，它在物理学、工程学和数学中的应用非常广泛。
通过深入研究和理解柯西-黎曼方程，我们可以更好地理解复变函数的性质和应用，为解决相关问题提供有效的数学工具。
试推导极坐标系中的柯西黎曼方程
试推导极坐标系中的柯西黎曼方程试推导极坐标系中的柯西黎曼方程在复变函数理论中，柯西黎曼方程是一个非常重要的概念，它描述了复函数的解析性质。
对于极坐标系中的柯西黎曼方程，我们需要从复变函数的极坐标形式出发进行推导和分析。
一、复数的极坐标形式在复数的极坐标形式中，一个复数z可以表示为z = r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
这种表示方式对于描述复数在平面上的位置和方向非常方便。
二、复函数的极坐标形式对于一个复变函数f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ)，其中u和v分别为实部和虚部，r和θ分别为极坐标系中的径向距离和角度。
我们可以通过复变函数的链式求导法则得到f(z)在极坐标系中的偏导数形式。
三、柯西黎曼方程的极坐标形式将复变函数f(z)表示为u(r,θ) + iv(r,θ)，我们可以通过对f(z)在极坐标系中进行偏导数运算，推导出柯西黎曼方程的极坐标形式。
(1) 对f(z)进行径向距离r的偏导数运算，得到u和v关于r的偏导数形式。
(2) 对f(z)进行角度θ的偏导数运算，得到u和v关于θ的偏导数形式。
(3) 将上述得到的偏导数形式带入柯西黎曼方程，通过对比实部和虚部的项，得到柯西黎曼方程的极坐标形式。
四、个人观点和理解柯西黎曼方程作为复变函数理论中的重要定理，其极坐标形式的推导和应用对于理解复函数的解析性质以及在极坐标系中的计算具有重要意义。
通过深入研究和推导柯西黎曼方程的极坐标形式，可以更好地理解复变函数在极坐标系中的性质和行为。
总结回顾在本篇文章中，我们从复数的极坐标形式出发，推导了复函数在极坐标系中的偏导数形式，进而得到了柯西黎曼方程的极坐标形式。
通过对该方程的推导和分析，我们加深了对复变函数解析性质的理解，也为在极坐标系中复函数的运算和计算提供了重要的参考依据。
结语复数的极坐标形式和柯西黎曼方程的极坐标形式是复变函数理论中的重要概念，它们对于研究和应用复函数具有重要意义。
复变函数 题库
复变函数题库第一章 复变函数 1. 复数21ii +的指数表示为 主辐角为 三角式为 , z=i ，则Arg z= , 复数z 3/5+4i/5=，则z 为( ), 复数1-的三角式为 , Arg(z+2i)=（）2. 复数的指数式 ，复数11ii -+的三角式 ，复数1i e +的三角式 ，z y ix =+的辐角为3. Im(32)i -= ，Re(32)i += ，arg(22)i += ，复数z 16/25+8i/25=的主辐角为4. 内点指 ，外点指 ，边界点指 ，闭区域指 ,柯西-黎曼方程是复变函数可导的 条件5. 推导直角坐标系和极坐标系下的柯西-黎曼第二章 复变函数的积分1. 极坐标系中的柯西-黎曼方程为2. 调和函数的表达式为3. 复连通区域柯西定理的数学表达形式为4. 单连通区域柯西定理的数学表达形式为5. 柯西公式为6.()nl z dz α-=⎰Ñ ,若z 和α为复数，则1l dz z α=-⎰Ñ7. ()()n f z =8. 已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数9. 已知一个解析函数)(z f 的实部是22u x y xy =-+，(0)0f =,求该解析函数 10. 已知一个解析函数)(z f 的实部是32u 3x xy =-，(0)0f =,求该解析函数 11. 已知一个解析函数)(z f 的虚部是22v yx y=+,求该解析函数 12. 已知一个解析函数)(z f 的实部是u (cos sin )x e x y y y =-，(0)0f =,求该解析函数。
第三章 幂级数展开1. 幂级数11()kk z i k ∞=-∑的收敛圆半径为 ，幂级数1!()k k z k k ∞=∑的收敛圆半径为 ,幂级数1!kk z k k ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑的收敛圆半径为 , 幂级数0k k k e t ∞=∑(其中t为复变数)的收敛圆半径为2. 32382(4)z z z +=-是的 阶极点，z i=是221()(1)f z z =+的 阶极点，00zz e =是的 ，若某函数的展开式为0100000!()()kk k f z z z -=-=-∑，则0z 为该函数的 ，若某函数的展开式为00()!()k f z k z z ∞=-∑，则0z 为该函数的 。
极坐标形式下柯西-黎曼条件的推导及其运用
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ，Ｈ ｕ ａ ｉ ｂ ｅ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｈ ｕ ａ ｉ ｂ ｅ ｉ ２ ３ ５ ０ ０ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
【 ‘ Ｘ
（ ¨ １曼条件为
罢： ８ ｘ ， 。 ： 一 ａ ｘ
利用复合函数求导的方法 ，通过 Ｕ ，ｖ 对Ｐ ， 求导 ，利用式 （ １ ） 、式 （ ２ ） 可以推导 出极坐标形式下柯西一
２ Ｏｌ ２ — Ｄ ９ — ２ Ｏ 收稿 日期 ：
黎曼条件是判断复变 函数可微与懈析的主要依据“ ～ ．为了学生更容易地理解极坐标形式 的柯西一 黎曼条件
的由来 ，本文用不同的方法对其进行了详细地证 明．
１ 利用坐标变换法推导极坐标形式下柯西一 黎曼条件
直角坐标系与极坐标之间的关系为
｛ １ ｐ 口 ： ＝ ￣ 胁 ／ ｘ ２ ｔ 锄 ａ ＋ 』 ｌ ｙ ２ ， ’ ｛ Ｉ ｘ Ｙ ＝ ｐ ￣ ｏ ｃ ｓ ｏ ｉ ｎ ｓ ￣ ｂ ｏ
Ｅｘ ｐ ｒ ｅ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｓ ｄ ｅ ｄ ｕ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｃａ ｕ ｃ ｈ ｙ — — Ｒｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ
ｉ ｎ ｐ ｌ ａ ｒ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ
关于柯西-黎曼方程的几点注记
数 学家柯 西 和 德 国数 学 家 黎曼 对 这 两 个 方 程 作 了更深 入 、 更 详 细 的研 究 ， 并 一 直 沿用 至今 ， 所 以
后 人又把 这 两个 方程 叫做 “ 柯西 一黎 曼 ” 方程． 柯 西 一黎曼 方 程 在 复 变 函数 论 、 物理学、 数 值计 算 等领 域 中具 有 十分 重 要 的地 位 和 应 用 价 值， 国内外 学 者关 于其 理论 和应 用 的研 究 已取 得 很 多成效 ． 文献［ １ —３ ］ 讨 论 了柯 西 一黎 曼方 程在
“ （ ， Ｙ ）＝Ｃ ， 则 曲线 Ｕ （ ， Ｙ ）＝ Ｃ 在点 （ ， Ｙ ）处
的切 线斜 率 为 ： ｋ ＝一
ｄ
ｄ ｙ
．
同理 ， 可 得 曲线 （ ， Ｙ ）＝ｃ 在点（ ， Ｙ ） 处 的
ｉ ｖ （ ｘ ， Ｙ ）的实 部 ｕ （ ｘ ， Ｙ ）＝ 一Ｙ ， 求 ｆ（ ） ．
是这样 描 述柯 西 一黎曼 方 程 的 ：
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ２—１ ６
证 明 因为
）＝
ａ咒
＋ｉ ≠０ ， 故 在点
ｏ
（ ， ） ， ）处 ， 与 不 全 为 ０ ．
国家开放大学立项重点科研课题 （ Ｑ ２ ７ Ｏ ５ Ｅ） ； 湖南省科学技术厅科技计划一般项 目（ ２ ０ １ ２ Ｆ Ｊ ４ ３ ３ ４ ）
【 摘 要 】首先介 绍 了柯 西 一黎 曼 方程 的来 源和价 值 ． 然后 给 出 了柯 西 一黎 曼 方 程 的两 个性质 定理及 证 明． 最后 利 用柯 西 一 黎 曼方程 ， 给 出一种 较 为 简单 的解 析 函数表 达式 的 求解方 法一 全微 分法 ， 并举例 说 明其应 用．
柯西—黎曼方程
• 容易看出, 这四个偏导数处处连续, 但仅当x=y=0时, 它们才满足柯西-黎曼方程, 因而函数仅在z=0可导, 但在复平面内任何地方都不解析.
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存
证：
由于偏导数连续，则二元函数u 和v 的增量可分别写为
u u u x y 1 x 2 y x y
v v v x y 3 x 源自 y x y随着 z 0 则
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i 0
5
u u v v x y i ( x y ) f u i v x y x y lim lim lim z 0 z z 0 z 0 z z u v x y 柯西—黎曼方程 u v y x u v (x i y ) i (x i y ) x lim x z 0 z
柯西—黎曼方程
张宏浩
柯西—黎曼方程（复变函数可导必要条件） 可导：对任何方向的，极限都存在并唯一。 实变数f(x)： x沿实轴逼近零。
0 实数
x
x x
复变函数f(z)：z沿任一曲线逼近零。
y 复数 z
z z
因此，复函数的可导性是比实 函数的可导性条件强得多。
z z '
x
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u v i x x
这一极限是与 z 0 的方式无关的有限值
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解析函数
解析函数的概念
若函数f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在 区域B内的每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数
说明： 1.解析与可导不等价 函数在某点解析，则必在该点可导；反之不然 但是在区域B内解析的函数则解析与可导等价.
柯西黎曼Cauchy-Riemann方程的证明
1 引言解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式．现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的．本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．2 基本概念与定理定义2．1[1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000()()limz z z Df z f z z z →∈--存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或0(z z df z dz=）．即000()()lim '()z z f z f z f z z z →-=-．有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数．定义2．2[1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析，并称()f z 是区域D 内的解析函数．如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ⊂，而()f z 在G 内解析．若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点．例1 试证明(Re f z z z =）在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 00()(0)R e limlimlim R e 00z z z f z f z z z z z→→→-===-故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =．设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限000()()R e R e limlimz z z z f z f z z z z z z z z z →→--=--0000000()()lim()()x x y y x iy x x iy x x x i y y →→+-+=-+-002200000()lim()()x x y y x x i xy x y x x i y y →→-++=-+-当z 沿平行于实轴的方向趋近0z 时，因0y y =，故 000()()l i mz z f z f z z z →--220000()limx x x x iy x x x x →-+-=-00lim [()]x x x x iy →=++002x iy =+当z 沿平行于虚轴方向趋近于0z 时，因0x x =，故 00000000()()()limlim()z z y y f z f z ix y y x z z i y y →→--==--因为0x ，0y 至少有一个不为零，于是0002x iy x +≠．故当00z ≠时，()f z 不可微．因而除00z =外，()f z 都不可微．在00z =处尽管函数()f z 可微，但不存在00z =的一个邻域，使()f z 在此邻域内每一点都可微，故()f z 在00z =点也不解析，从而()f z 在z 平面上任何点都不解析． #此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析．有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理： 定理2．3[2]设函数(,)(,)f u x y iv x y =+定义与区域D ，000z x iy D =+∈，则()f z 在点0z 处可微的必要与充分条件是：(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，且满足Cauchy-Riemann 方程,u v v uxy x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （1）证： 必要性 设0(0)z z z D z +∆=∈∆≠，w u i v ∆=∆+∆．因()f z 在点0z 可微，则有00lim'()z w f z z∆→∆=∆．令0'()w f z zε∆-=∆．即得0'()w f z z z ε∆=∆+∆ （2） 当0z ∆→时，0ε→．令0'()f z a ib =+，z x i y ∆=∆+∆，12i εεε=+，则当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．于是由（2）式，12()()()()u i v a ib x i y i x i y εε∆+∆=+∆+∆++∆+∆12()a x b y i b x a y ηη=∆-∆++∆+∆+其中112x y ηεε=∆-∆，221x y ηεε=∆+∆．则比较实部与虚部，则 1u a x b y η∆=∆-∆+， 2v b x a y η∆=∆+∆+ （3）其中a 与b 与x ∆，y ∆无关．因112zηεε≤≤+∆，而当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．故当0z ρ∆==→时，10ηρ→，于是10()ηρ=．同理20()ηρ=．由（3）即知u ，v 在点00(,)x y 处可微，且在点00(,)x y 处有u a x∂=∂，u b y∂=-∂，v b x∂=∂，v a y∂=∂，于是,u v v uxyxy∂∂∂∂==-∂∂∂∂， 因此满足Cauchy-Riemann 方程．充分性 设(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，则在点00(,)x y 处有 1u u u x y x yη∂∂∆=∆+∆+∂∂．2v v v x y xyη∂∂∆=∆+∆+∂∂．其中10lim0ρηρ→=，20lim0ρηρ→=，z ρ==∆．因Cauchy-Riemann 方程（1）成立，如令u v a xy∂∂==∂∂，v u b xy∂∂=-=∂∂，则12()w u i v a x b y i b x a y ηη∆=∆+∆=∆-∆++∆+∆+12()()()a ib x i y i a ib z ηηη=+∆+∆++=+∆+．故 w a i b zzη∆=++∆∆．其中12i ηηη=+．因12120i zzηηηηηρρ+=≤+→∆∆（当0ρ→）， 故 0l i m0z z η∆→=∆．于是 00l i m'()z w a i b f z z∆→∆=+=∆．因此()f z 在点0z 可微． #３ 几种不同形式的Cauchy-Riemann 方程3．1 梯度形式定理3．1[3] 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，(,)u x y ，(,)v x y 的Cauchy-Riemann 方程等价于(),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩ （4）证：若实形式的C-R 条件成立，即,u v xy ∂∂=∂∂,u v yx ∂∂=-∂∂那么有(),gradu gradv =12,12u u v vu v u ve e e e xyxy x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂++=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ()0v u u vC R y y y y⎛⎫∂∂∂∂--+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭条件， 其中1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正向相同的单位矢量．gradu =,gradv == (),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩反之，若（4）式成立，则有22220,.u v u vx x y y u u v v x y x y ∂∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ （5） 设,u v u v p q xyyx∂∂∂∂=-=+∂∂∂∂那么，方程组（5）化为0,0.v v p q x y u v u v p q x y y x ∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪++-= ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎩（6）其中0,0.u v u v xyyx∂∂∂∂+≠-≠∂∂∂∂此方程组的系行列式为J =vx u v x y ∂⎛∂∂∂ + ∂∂⎝vy u v y x ∂⎫⎪∂⎪∂∂⎪-⎪∂∂⎭=v u v v u v x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂--+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=--+≠⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦事实上，若220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 由（5）式可知220v u v u u u x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故我们有222220,v u v u u u v v x y y x x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫--+-+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦220,u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+--= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭即22u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+=- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭． 这是一个矛盾的结论，所以方程组（6）只有零解．于是0,0,.uv q x y p u v yx ∂∂⎧=⎪=∂∂⎧⎪⎨⎨=∂∂⎩⎪=-⎪∂∂⎩即3.2 复形式若考虑二实变数,x y 的复值函数(),f x y ，引进复变数,,z x iy z x iy =+=-则()()11,22x z z y z z i =+=-． 于是()(),,.22z z z zw f z f x y f i ⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭这里形式地把(),f x y 考虑为z 与z 的函数，而把z 与z 视为独立的自变量，因此()f z 可以对自变量z 与z 求导数．定理3．2[4]()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程0f z∂=∂．证：1212f f x fy f f i z x z y z x y f f x f y f f i x y x y z z z⎧⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+=+⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎪=+=- ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎩（7）()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程u v xy∂∂∂∂=，.u v yx∂∂∂∂=-而'()u v u v xxyyf z ii∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-+，所以f(z)应满足偏微分方程.f f xyi∂∂∂∂= （8）将（7）和（8）比较，得0f z∂=∂．因此解析函数f （z)是以条件0f z∂=∂为其特征，即Cauchy-Riemann 方程的复形式可表示为0f z∂=∂．（7）式在作为极限定义时并没有什么方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于z 及z 的形式导数．这里值得一提的是，实际上z 与z 并不是独立变量，因为他们是互相共轭的．也就是说，一个解析函数与z 无关，而是z 的独立函数．这也是我们把一个解析函数看作确实是一复数的函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由．3．3 极坐标形式 定理3． 3． 1[4]：()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是()cos sin z r i φφ=+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的极坐标形式，即11u vr r v u rr φφ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （9） 证：因为cos ,sin ,cos ,sin ,u R v R x r y r θθφφ====所以cos sin u R R rrrθθθ∂∂∂=-∂∂∂， （10）cos sin u R R θθθφφφ∂∂∂=-∂∂∂， （11）sin cos v R R rrrθθθ∂∂∂=+∂∂∂， （12）sin cos v R R θθθφφφ∂∂∂=+∂∂∂， （13）将(10)cos (12)sin (11)cos θθθ⨯+⨯+⨯得cos sin ,cos sin .u v R r r r u v R θθθθφφφ∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪+=∂∂∂⎪⎩将（9）式代入得1(cos sin ),(cos sin ).v u R r r v u R r r r θθφφθθφ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪--=⎪∂∂∂⎩（14）再把()()()()13cos 11sin ,12cos 10sin ,θθθθ⨯-⨯⨯-⨯得cos sin ,cos sin .vu r v u R rr rθθθφφφθθθ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪-=⎪∂∂∂⎩ （15） 比较（14）式与（15）式，得,.RrR r R r rR θφθφ∂∂∂∂∂∂∂∂⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （16）（16）就是我们所需要的Cauchy-Riemann 方程．定理3． 3． 2[5] 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程,.R R x y R R y x θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩证： 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的实形式,u v u vxy y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂． 而cos ,sin ,u R v R θθ==所以cos sin ,u R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R yyrθθθ∂∂∂=-∂∂∂cos sin ,u R R yyyθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂故cos sin sin cos ,R R R R x xy y θθθθθθ∂∂∂∂-=+∂∂∂∂ (17)cos sin sin cos .R R v R R yyx xθθθθθ∂∂∂∂-=--∂∂∂∂（18） 将（17），（18）两式分别乘以cos θ，sin θ或sin θ，cos θ-再相加，得,.R R x y R R yx θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （19）（19）式就是所需求的Cauchy-Riemann 方程．下面推导在条件之下的()f z 的导数表达式．因为(cos sin )(sin cos )11'()()(cos sin )(cos sin )uv R R i R i R Rx x x x x x f z if z R i R i R x x θθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-++∂∂∂∂∂∂∂∂===+++∂∂，所以1'()()()R f z f z i R x xθ∂∂=+∂∂． 若我们应用（19）式，则有1'()()()Rf z f z i y R y θ∂∂=-∂∂．参考文献：[1]刘声华，潘吉富，郑基允．复变函数[M]．长春：吉林教育出版社 1988．[2]钟玉泉．复变函数论(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1988．[3]L V 阿尔福斯．复分析[M]．上海：上海科学出版社，1984．[4]谭小江，伍胜健复变函数简明教程[M]．北京：北京大学出版社，2006．[5]Jerrld E Maislen． Basic complex analysis[M]．Freeman W H ahd Company， 1973致谢本论文是在湖州师范学院张孝惠老师精心指导下完成的．从最初的论文选题到论文初稿的修改乃至最后的定稿都倾注了这位老师的大量心血．整个毕业论文阶段的学习使我受益非浅，特此向张老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！此外，还要感谢刘太顺教授，是他给我打下了坚实的复变函数基础，在理论上给予我很大的帮助；感谢同寝室一起学习的同学给予我的关心和支持，感谢湖州师范学院多年来对我的教育、培养．在此，我向各位给予我帮助支持的领导、老师、同学、亲人致以最真挚的谢意，谢谢大家！。
第二章第一节：解析函数的概念与柯西-黎曼方程
当沿着x轴方向趋向z时，极限为 1； 当沿着y轴方向趋向z时，极 限为2. 所有，极限不存在。
z x
例
解
求f ( z) x 2 2iy 2在点z 1 i处的导数 .
f (1 i) lim
Dz 0
f (1 i Dz) f (1 i) Dz
2Dx 4iDy (Dx) 2 2i (Dy ) 2 lim Dx 0 Dx iDy
研究函数 f ( z ) z Re( z ) 的可导性与解析性 . f ( 0 Dz ) f ( 0 ) Dz Re(Dz ) 解 (1) z 0, lim lim 0, Dz 0 Dz Dz 0 Dz 故 f ( z ) z Re( z ) 在 z 0 处可导.
例: 问f ( z ) x 2 yi是否可导？ y Df f ( z Dz ) f ( z ) Dy 0 lim 解 lim z Dz 0 D z Dz 0 Dz o ( x Dx ) 2( y Dy )i x 2 yi Dx 2Dyi lim lim Dz 0 Dz 0 Dx Dyi Dz 设z Dz沿着平行于 x 轴的直线趋向于z， Dx 2Dyi Dx lim lim 1, Dz 0 Dx Dyi Dx 0 D x 设z Dz沿着平行于 y 轴的直线趋向于z， y Dx 0 Dx 2Dyi 2Dyi lim lim 2, Dz 0 Dx Dyi Dy 0 Dyi Dy 0
所以 f '(z)=2z.
例: f(z)=x+2yi是否可导？
解：
f ( z Dz ) f ( z ) ( x Dx) i 2( y Dy) ( x 2 yi) lim lim Dz 0 Dz 0 Dz Dx iDy y Dx 2iDy lim Dz 0 Dx iDy
数学物理方法复习题
第一部分:填空题1复变函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点z x iy =+可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_______3 复变函数2()f z z z =在____z =处可导4复变函数()f z xy iy =+在____z =处可导5 ln(1)_____-=6 指数函数()z f z e =的周期为______7 221_____1()z dz z z==-⎰ 8 31_____3z z e dz z -==-⎰ 9 221_____4z dz z -==-⎰ 10 51cos _________(1)z z dz z π>=-⎰ 11 在01z =的邻域上将函数11()z f z e -=展开成洛朗级数为__________12 将1/z e 在00z =的邻域上展开成洛朗级数为_____________13 将1sin 1z -在01z =的邻域上展开成洛朗级数为________________ 14 00z =为函数sin 2z z的________________ 15 00z =为函数1sin z 的________________ 16 01z =为函数11z e-的____________________ 17 00z =为函数4cos z z 的______阶极点 18 00z =为函数4sin z z的______阶极点19 函数231()ze f z z -=在00z =的留数Re (0)________sf = 20 函数11()z f z e -=在01z =的留数Re (1)________sf =,在无限远点的留数Re ()________sf ∞=21 函数21/()z f z e =在00z =的留数Re (0)________sf =22 函数3cos ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 23 函数3sin ()z f z z=在00z =的留数Re (0)________sf = 24 积分0()()______ba f t d τδττ-=⎰ ((,))t ab ∈ 25 两端固定的弦在线密度为(,)()sin f x t x t ρρω=Φ的横向力作用下振动,泛定方程为_______________.26 两端固定的弦在点0x 受变力0(,)sin f x t f t ρρω=的横向力的作用,其泛定方程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力t F Ru =-（R 为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_______________。
柯西-黎曼的四种不同形式
1 研究柯西-黎曼不同形式的目的1.1 柯西-黎曼定义在一对实值函数),(y x u 和),(y x v 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：u v x y ∂∂=∂∂ (1) u v y x ∂∂=-∂∂ (2)柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。
通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：),(),()(y x iv y x u iy x f +=+。
假设u 和v 在开集C 上连续可微。
则iv u f +=是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。
1.2 柯西-黎曼不同形式形式一：在复变函数中，设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则柯西-黎曼方程形式是y v x u ∂∂=∂∂， xvy u ∂∂-=∂∂，简称..R C -方程，是它的实形式[1]。
形式二：设函数)sin (cos ),(),()(θθi R y x iv y x u z f +=+=是)sin (cos ϕϕi r z +=在D 区域的解析函数，..R C -也可写成,1ϕ∂∂=∂∂u r v u ϕ∂∂-=∂∂ur r v 1， 称之为它的极坐标形式[1]。
形式三：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，iy x z +=,iy x z -=_则)(21),(21__z z iy z z x -=+=于是有).2,2(),()(__i zz z z f y x f z f -+===ωz 和_z 视为独立变量且为函数，最终形式为0_=∂∂zf ，称之为它的复形式[1]。
形式四：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其可写成(,)0gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩的形式，称之为它梯度形式[1]。
分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。
柯西黎曼方程
柯西黎曼方程我们已经对复变函数的概念有了基本的认识。
但是，在物理学的研究中，在工程技术的应用计算中，人们往往不是对所有的复变函数感兴趣，而是只对一类有特殊性质的复变函数感兴趣，这一类有特殊性质的复变函数被称为解析函数。
设w=f(z)是区域G内的单值函数，如果在G内某点z处以下的极限存在：则函数在该点可导，称此极限是函数在该点的导数，记为f'(z)。
需要注意的是，只有当Δz以任意方式趋于零时，极限值相等，极限才会存在。
利用这个要求就能够得到函数可导的必要条件。
考虑自变量的两种特殊的变化方式：第一种变化方式是让自变量的增量Δz沿着平行于实轴的方向趋于零。
在这种情况下，上述极限如果存在，就可以写成第二种变化方式是让自变量的增量Δz沿着平行于虚轴的方向趋于零。
在这种情况下，上述极限如果存在，就可以写成另一方面，上述极限如果存在，那么，自变量按这两种方式变化得到的两个极限值必须相等！由此得到：我们把这两个等式称为柯西―黎曼方程。
如果一个函数在区域G内每一点都可导，它就是G内的解析函数。
由这个定义可知，解析函数在其定义域内处处满足柯西―黎曼方程。
或者可以这样说，如果一个复变函数在某个区域内处处满足柯西—黎曼方程，这个复变函数就是一个定义在这个区域内的解析函数。
柯西—黎曼方程把一个解析函数的实部与虚部联系起来，这意味着并不是随便找两个二元实变函数就可以构造出一个解析函数。
一个特定的二元实变函数，只能与另一个特定的二元实变函数配对，才能成为某个解析函数的实部和虚部。
利用解析函数的实部和虚部的这种相互关联性，对一个特定的二元实变函数，可以通过柯西—黎曼方程找到与它配对的另一个二元实变函数。
如果有一个二元实变函数u(x,y)，我们希望用这个函数做实部构造一个解析函数，就可以通过柯西—黎曼方程得到这个解析函数的虚部的全微分：同样，如果有一个二元实变函数v(x,y)，我们希望用这个函数做虚部构造一个解析函数，就可以通过柯西—黎曼方程得到这个解析函数的实部的全微分：我们知道，只要知道了一个函数的全微分，就可以通过积分求出这个函数本身。
§41 柯西黎曼积分
第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广与牛顿-莱布尼茨积分不同，柯西-黎曼积分是建立在近代极限理论的基础上。
由于本篇中暂时避开了近代极限理论，所以我们也只能用“无限接近”的说法来定义柯西-黎曼积分。
同样，关于柯西-黎曼积分的性质，我们也只能用几何图形来说明。
§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质1.柯西-黎曼积分的定义 设函数)(x f 定义在区间[,]a b 上.首先用分点：01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=把区间[,]a b 划分成n 个小区间，并用n x ∆表示最大小区间的长度.柯西在19世纪初，建议把函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为“极限”1101lim()()()d n i nbi i i x ai f xx x f x x =--∆→=-=∑⎰（图4-1）【注意】不能把其中的0nx ∆→改写为n →∞，因为n →∞时不一定有0nx ∆→.后来，德国数学家黎曼(Riemann ，1826─1866 )又把柯西关于积分的定义做了修改.现在，国内多数教科书中都采用黎曼关于积分的下述定义(图4-2)：设函数)(x f 定义在有限(开、闭或半开半闭)区间b a ,上. 第一步，用任意划分方法(记为P )把区间,a b 划分成n 个小区间：-图4-11n -1x图4-2n -1i -1i 1§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质14301211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=第二步，在每一个小区间上都任意取一点，如在第i 个小区间],[1i i x x -上取的那一点记为i ξ，做出积分和121(P;,,,)()i nn n n iii f x σσξξξξ====∆∑1()iii x x x-∆=-第三步，让所有小区间都无限变小，即让最大小区间的长度0nx∆→，若有极限1lim()n i niix i f x ξσ=∆→=∆=∑而且与区间的划分方法P 和每一个小区间上那一点(1)i i n ξ≤≤的选取方法都无关，则称函数()f x 在区间,a b 上可积分(简称可积)，并称极限值1lim()()d n i nbiix ai f x f x xξσ=∆→=∆==∑⎰(4-1)为函数)(x f 在区间b a ,上的积分.上述定义比较长，你可按“划分区间⇒做出积分和⇒取极限”记忆它.请读者注意．．．．．，极限(4-1)不是第1章中说的函数极限，因为其中的积分和12(P;,,,)n n n σσξξξ=不仅与划分区间的方法P 有关，而且也与每个小区间上取的那一点(1)i i n ξ≤≤有关.要进一步说明白它，需要用近代极限概念的“εδ-”说法，即极限(4-1)的定义是读者可以暂时不管它.但是，你要阅读本篇有的注释和第二篇时，就必须记住它.柯西-黎曼积分同牛顿-莱布尼茨积分是有区别的[见后面的注释③].为了把两者区别开来，后来人们把它们分别记成了(C-R)()d b af x x ⎰与 (N-L)()d b af x x ⎰现在，除数学史书外，人们说的积分都是指柯西-黎曼积分.因此，以后若不特别声明，记号()d b af x x ⎰就表示柯西-黎曼积分.特别，对于有限区间b a ,上的常值函数c x f ≡)(来说，因为对于区间b a ,的任意划分方法P ，总有111()()i n i n i niiiii i i f x c x c x c b a ξ======∆=∆=∆=-∑∑∑第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广144所以d b ac x ⎰1lim()n i nix i c x c b a =∆→==∆=-∑特别，把1=c 时的积分1d b ax ⎰简记成d b ax ⎰.于是，d b ax b a =-⎰.例1 设函数()f x 在区间[,]a b 上可积.证明：11()1lim ()d i nb n ai i b a f a f x x nn b a =→∞=⎡⎤-⎛⎫+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑⎰证 如图4-3:因为函数是可积的，所以可将区间[,]a b 分成n 等份，而每份的长度为()i x b a n ∆=-.于是，积分和数为11()()i ni ni i i i i b a b a f x f a n n ξ====--⎛⎫∆=+ ⎪⎝⎭∑∑()i i b a a n ξ-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦因此，111()1()lim lim i ni nn n i i i b a i b a b a f a f a nn b a n n ==→∞→∞==⎡⎤---⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑111lim ()()d i nb i i n ai f x f x x b a b aξ=→∞==∆=--∑⎰柯西指出，积分的存在性是要证明的，并且他最早证明了闭区间上的连续函数是可积分的.按照柯西-黎曼积分的定义，无界函数不可积[见后面注释①]，有界函数也不一定可积[见后面注释②].因此，关于函数可积性的讨论只限制在有界函数就可以了.在柯西之后，由他的同胞达布(J.G.Darboux,1842-1917)证明了有界函数可积的充分必要条件(可积准则).根据它可以证明：只有有限个间断点的有界函数或单调有界函数也都是可积分的.请注意．．．，可积函数也可能有无穷多个间断点！上面指出的这些结论，将放到第二篇中来证明. 【注释】① 无界函数不可积(或可积函数必有界) 设)(x f 在有限区间,a b 上是无界函数.不妨认为它在点],[b a c ∈的近旁是无界的，即只要x 足够接近点c ，就能够使()f x 大于预先给出的任何正数.因此，当把区间,a b 任意划分成n 个小区间时，可以适当地选择点c 所在的小区间上那个点ξ，使|)(|x f ∆ξ足够a [ ]b · · · · · · · · · · · · · xb a n- 2()b a n-3()b a n - (1)()n b a n -- ()i b a n-图4-3§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质145大，以致使积分和数1()i n n i i i f x σξ===∆∑的绝对值也足够大(如大于预先给出的任何正数M ).因此，当最大小区间的长度0nx∆→时，积分和数n σ的绝对值(随着那个点ξ的适当选择)就会无限制地变大.这就是说，不可能会有极限1lim()n i ni i x i f x ξ=∆→=∆∑即函数)(x f 在区间,a b上是不可积的.这个结论也可以说成(逆否命题)：可积函数必有界.② 有界函数不一定可积 例如狄利克雷函数(见第0章)：1)(=x D (x 为有理数)，0)(=x D (x 为无理数).将区间,a b)(b a <任意划分成n 个小区间后，总有(小和)11()00i n i nn iiii i s D x xξ=====∆=⋅∆=∑∑（i ξ为无理数）； (大和)11()1i n i nn iiii i S D x xb a ξ=====∆=⋅∆=-∑∑（i ξ为有理数）.因为n x n x S s n n 0lim lim →∆→∆≠，所以狄利克雷函数)(x D 在任意有限区间,a b 上不可积分.③ 函数1,()0,x cf x x c=⎧=⎨≠⎩（见图4-4） 在含点c 的任何区间[,]a b 上没有原函数(见§2-4)， 因此它在这个区间上没有牛顿-莱布尼茨积分.可是， 它有柯西-黎曼积分，因为1lim()0()d n i nb i i x ai f x f x x ξ=∆→=∆==∑⎰而函数221sin ,0()0,0x x G x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 的导数221212sin cos ,0()0,0x x G x x x xx ⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩ 有原函数()G x ，所以函数()()g x G x '=在任何区间[,]a b 上有牛顿-莱布尼茨积分，但它在含点0的区间上没有柯西-黎曼积分[因为()()g x G x '=在点0近旁是无界的！].2.柯西-黎曼积分的性质 柯西-黎曼积分具有下面这些性质： ⑴ 当b a >时，()d ()d b a abf x x f x x =-⎰⎰(调换上下限时添负号).（积分的有向性）这是因为在积分的定义中，01211i i n n a x x x x x x x b --=>>>>>>>>=图4-4第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广146从而10i i i x x x -∆=-<的缘故.作为合理的规定，()d 0a af x x =⎰(上下限相同时，积分等于0)关于柯西-黎曼积分的下述性质⑵，除了“可积性”问题外，它与牛顿-莱布尼茨积分中的结论在形式上是一样的.⑵ 若函数()f x 和()g x 在有限区间b a ,上可积，α和β为常数，则[()()]f x g x αβ±在区间b a ,上也可积，而且有[]()()d ()d ()d b b b aaaf xg x x f x x g x x αβαβ+=+⎰⎰⎰(积分运算的线性性质)下面的性质⑶，从几何上说是很明显的，可是要证明其中的“可积性”，需要第二篇中讲的可积准则.⑶ 设b c a <<. 函数)(x f 在区间[,]a b 上可积的充分必要条件是)(x f 在区间[,]a c 和[,]c b 上都可积，而且有()d ()d ()d b c b aacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰(积分对区间的可加性)它的几何解释见图4-5.需要指出，当b a c <<或c b a <<时，只要函数)(x f 在最大的区间上可积，则上面的等式仍然成立.譬如，函数)(x f 在区间],[b c ()c a b <<上可积时，因为()d ()d ()d ()d ()d b a b c b ccaaaf x x f x x f x x f x x f x x =+=-+⎰⎰⎰⎰⎰移项，所以有()d ()d ()d b c baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰⑷ 若()()f x g x ≤,且有积分()d b af x x ⎰和()d b ag x x ⎰，则有()d ()d b b aaf x xg x x ≤⎰⎰(图4-6，积分运算的单调性)图4-5②①③§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质147特别，若M x f m ≤≤)(，根据积分单调性，则有()()d ()b am b a f x x M b a -≤≤-⎰(图4-7，积分值的估计)下面的性质⑸⑹，证明在第二篇中.⑸ 若)(x f 在区间],[b a 上可积，则()f x 在区间],[b a 上也可积(相反的结论不成立．．．．．．．．)，而且()d ()d ()b b aaf x x f x x a b ≤<⎰⎰⑹ 若)(x f 和)(x g 在区间],[b a 上都可积，则乘积()()f x g x 在区间],[b a 上也可积. ⑺ 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上可积.若另有函数()F x 在闭区间],[b a 上连续且在开区间(,)a b 内是函数)(x f 的原函数，即()()()F x f x a x b '=<<，则有()d ()()b af x x F b F a =-⎰(柯西-黎曼积分中的牛顿-莱布尼茨公式)证 将区间[,]a b 划分成n 等份：01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=则()()F b F a -[][][]11210()()()()()()n n n n F x F x F x F x F x F x ---=-+-++-[]()1111()()()()i ni ni nii i i i i i i i F x F xF x f x ξξ===-==='=-=========∆=∆∑∑∑微分中值定理当n →∞时，最大小区间的长度()0nxb a n ∆=-→，所以（注意左端是常数）有1()()lim()()d i nb iin ai F b F a f x f x xξ=→∞=-=∆=∑⎰⑻ 若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则作为变上限的积分()d ()x af t t a x b ≤≤⎰关于上限x 是连续函数.证 令()()d ()x aF x f t t a x b =≤≤⎰，则()()()()d ()d x x x aaF x F x x F x f t t f t t +∆∆=+∆-=-⎰⎰x第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广148()d ()d ()d ()d x x x x x x axaxf t t f t t f t t f t t +∆+∆⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰注意()f x 在区间[,]a b 上有界（设()f x M ≤），所以有()()d ()d 0(0)x x x x xxF x f t t f t t M x x +∆+∆∆=≤≤∆→∆→⎰⎰即0lim ()0x F x ∆→∆=.因此，函数()F x 是连续函数.例2 设函数0,0()1,0t u t t <⎧=⎨≥⎩（单位跃阶函数，图4-8）.求变上限积分0()()d xU x u t t =⎰，并研究函数()U x 的连续性和可微性.解 当0x <时，0()()d 0xU x u t t ==⎰；而当0x ≥时，0()()d 1d xxU x u t t x x ===⎰⎰.即0,0(),0x U x x x <⎧=⎨≥⎩.可见，尽管()u t 不是连续函数，但()U x 是连续函数(图4-9).其次，显然函数()U x 在任意点0x ≠都是可微分的，而在点0是不可微分的，因为(0)0(0)1U U -+''=≠=. 习题和选解1.若()(0)y f x x =≥为增函数，且(0)0f =，则有10()d ()d (0,0)a b f x x f y y ab a b -+≥>>⎰⎰[杨格(Young)不等式]证 增函数的反函数也是增函数，而单调有界函数是可积的.当()b f a =时[图①]，则10()d ()d a b f x x f y y ab -+=⎰⎰①②x③第1题图x图4-8 图4-9§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质149当()b f a <时[图②]，则10()d ()d a b f x x f y y ab -+>⎰⎰同理，当()b f a >时[图③]，则也有10()d ()d a b f x x f y y ab -+>⎰⎰【注】用杨格不等式可以证明赫尔窦(Holder)不等式p qa b ab p q≤+其中,,,a b p q 均为正数，且111q p+=. 事实上，在杨格不等式中，令1()(0,1)p y f x x x p -==≥>，则111()p f y y--=. 于是，就有1110()d ()d d d a b a b p q ab f x x fy y xx y y ---≤+=+⎰⎰⎰⎰abp q p q x y a b pqp q=+=+ 2.证明：若函数()f x 和()g x 在闭区间[,]a b 上都可积，则有柯西积分不等式()()d b af xg x x ≤⎰提示：因为对于任意实数t ，积分[]2()()d 0baf x tg x x +≥⎰. 3.利用积分求极限：112121lim (0)lim p p p p p pp n n n n p n n n nn +→∞→∞⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 提示：取函数()(0)p f x x p =>，并把区间[0,1]分成n 等份. 答案：11p +.。
x04-1柯西-黎曼积分的定义
−
+
−
例1 利用定义计算积分
∫0
1
x 2dx .
i 解: (1)分割 将[0,1] n 等分，分点为 x i = ，( i = 1,2,L , n ) 分割 等分， n 1 小区间[ x i −1 , x i ]的长度∆x i = ，( i = 1,2,L , n ) n （2）代替 取ξ i = x i ，( i = 1,2,L , n ) ）
i =1
二、柯西 黎曼积分 定积分 柯西-黎曼积分 定积分) 柯西 黎曼积分(定积分
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b ]上有界， [a , b]中任意插入 上有界， 在
若干个分点
a = x < x < x < L< x < x = b
0 1 2 n−1 n
个小区间， 把区间[a , b ]分成 n 个小区间， 各小区间的长度依次为
2
设函数f(x)在区间 在区间[a,b]上可积，证明 上可积， 例 2 设函数 在区间 上可积
解
i (b − a) 等分， 将[a,b] n等分，分点为 xi = a + n ，( i
1 b 1 n i (b − a ) y= ∫a f ( x)dx. = lim n ∑ f (a + n ) n →∞ b−a i =1
0
1
两边积分
a = ∫ f (x)dx = ∫
0 1 1 0 1 0 1 1 dx + a∫ 2 0 1+ x
1− x2 dx
a = arctan x + a a = ∫ f (x)dx =
0 1
π
π
4
4 −π
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼微分方程是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。
这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。
后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。
然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。
黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。
柯西黎曼方程是偏微分方程，柯西-黎曼微分方程是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程。
柯西黎曼方程如此命名是为了纪念法国数学家柯西(A. L. Cauchy) (1789-1857)，他发现并应用了它们，同时也是为了纪念德国数学家黎曼(G. F. B. Rie-mann ) ( 1826-1866)，他以此为基本原理发展了单复变函数论。
柯西-黎曼方程是复变函数在一点可微的必要条件，证明不难。
因为可微，所以就列出线性主部表出的一个式子，实部对实部，虚部对虚部，可以求得∂ᵤ/∂ₓ=∂ᵥ/∂ᵧ，∂ᵤ/∂ᵧ=-∂ᵥ/∂ₓ，这个方程式很简单，随时可以推导出来。
来复函数中可导就是一个很强的概念，它与可微等价。
在某一点的导数，对应的自变量从四面八方任意方逼近该点，其自变量与因变量的改变量的夹角和模的比例分别相等。
即各向同性，与柯西黎曼方程的要求一致。
数理方法答案
[
]
(6) sin ix 解 sin ix = e−x − e x e x − e−x =i = ishx 2i 2
第13页
试推导极坐标系中的柯西
黎曼方程(1.3.4)
解 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 或写成 f ( z ) = u ( ρ , ϕ ) + iv( ρ , ϕ ) f ( z + ∆z ) − f ( z ) u ( ρ + ∆ρ , ϕ ) + iv(ρ + ∆ρ , ϕ ) − (u + iv) = lim ∆z ∆ρe iϕ ∆ρe iϕ → 0 即∆z = ∆ρe iϕ → 0 (∆ϕ = 0) 若∆z沿径向趋于零 ∴ lim
---end---
(
)
)
得f (z ) = 2C1 ln ρ + C 2 + i 2C1ϕ + iC 3 = 2C1 (ln ρ + iϕ ) + C 2 + iC 3
数学物理方法
附加 解 1 用柯西公式求
第 2 章 作业解答
1 ez ∫ c z 1 − z 3 dz 2π i v c 不经过 0 1 讨论所有的曲线
(4 x
∂ 2u ∂ 2u 2 = ... = 2 F '+4 y 2 F " = = + ... 2 ' 4 " F x F 2 2 ∂y ∂x + 4 y 2 F "+4 F ' = 0
2
)
dF ' F" 1 1 1 dt = − =− 2 = − 即左边 F' t F' t x + y2 dF ' 1 ∴ = − dt F' t C1 F= t F = C1 ln t + C 2 = C1 ln x 2 + y 2 + C 2
复变函数2
1 (12) [tan z ] 2 ； cos z (13) [sh z] ch z ； (14) [ch z ] sh z .
1.4 解析函数
解析函数是本章的重点内容，有着广泛 的应用基础。本节着重讲解解析函数的概 念及判断方法；然后介绍一些常用的初等 解析函数，说明它们的解析性；
0 0
2．函数解析与可导、连续、极限的关系
由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在 区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和 在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数 在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一 点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻 域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的 要求要严格得多. 区域解析区域可导 在某点解析该点可导该点连续该点 极限存在，反之均不一定成立。
（2）沿平行于虚轴的方向趋于零 ( x 0, z iy 0 )
f ( z ) lim f ( z z ) f ( z ) z 0 z u ( x, y y ) u ( x, y ) i[v ( x, y y ) v ( x, y)] lim y 0 iy 1 u v u v = i i y y y y
复变函数在某点解析
某点可导
某点极限存在
某点连续
3. 解析函数的法则 （1） 、定理 在区域 D 内解析的两 个函数 f ( z ) 与 g ( z ) 的和、 积、 （除 差、 商 去分母为零的点）在 D 内解析.
(2).几个常用结论 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内解析，证明：若满足下列条 件之一， f ( z ) 在 D 内必为一常数. 其中 c1 为实常数，c 2 则 （ 为非负实常数） ① f ( z ) 0 ; ② Re f ( z) c1 ; ③ | f ( z ) | c2 .
数理方法题解 梁昆淼
∂u ∂ρ
=
1 ρ
∂v ∂ϕ
1
ρ
∂u ∂ϕ
=
−
∂v ∂ρ
第18页 2 .已知解析函数f (z)的实部u(x, y)或虚部v(x, y), 求该解析函数 以下题目可以有多种解法 这里只列其中之一
(1) u(x, y) = e x sin y
解 已知实部或虚部 一般意味它们已经是调和函数 可以验证
=
x2
x +
y2
=2
得
x2
+
y2
−
x 2
=
0
即
x −
1 4
2
+
y2
=
1 16
=
1 4
2
以上即为园方程 圆心在 1/4, 0 半径 1/4.
o1
2
即
x
>
1 2
的半平面
Y Z
O
1
X
2
第5页 2 . 把下列复数用代数式 三角式和指数式几种形式表示出来
(4) 1 − cosα + i sinα (α 是实常数)
其中
ρ = x2 + y2
ϕ
=
arctg
y x
(6) e1−i
解 e1+i = e × ei = e(cos1 + i sin1)
第9页 2 .计算下列数值 a和b为实常数 x为实变数
(3) ln(−1)
[ ] 解 ln(−1) = ln 1ei(π +2nπ ) = ln1 + i(2n + 1)π = i(2n + 1)π
解 1 − cosα + i sinα = ρ(cosϕ + i sinϕ ) = ρeiϕ
数学物理方法第一章作业答案
第一章 复变函数 §1.1 复数与复数运算1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1）2≤z解：以原点为心，2为半径的圆内，包括圆周。
（2）b z a z −=−，（a 、b 为复常数）解：点z 到定点a 和b 的距离相等的各点集合，即a 和b 点连线的垂直平分线。
（3）z Re ＞1/2解：直线2/1=x 右半部分，不包括该直线。
（4）1Re ≤+z z解：即122≤++x y x ，则1≤x ， x y 212−≤，即抛物线x y 212−=及其内部。
（5）α＜z arg ＜β，a ＜z Re ＜b ，（α、β、a 、b 为实常数） 解： （6）4arg0π<+−<i z i z 解：2222)1(21++−−+=+−y x xi y x i z i z 因为4arg0π<+−<i z i z 所以1)1(1)1(200)1(1)1(2222222222222<++−+++−<>++−+>++−y x y x y x xy x y x y x x，即0x 21,0x 22>+−+<y x 综上所述，可知z 为左半平面x<0，但除去圆0x 2122=+−+y x 及其内部 （7）,11z 1-z ≤+解：()()[]2222222221411iy 111z 1-z y x y y x y x x iy x +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+=+++−=+ 所以()()[]2222222141y x y y x ++≤+−+化简可得0≥x （8）)/1Re(z =2解：2e x 1e )/1Re(2222=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=y x xy x iy x R iy R z 即()16/14/122=+−y x(9)22Re a Z =解：2222Re a y x Z =−=(10)222122122122z z z z z z +=−++解：()()()()()()2222212122122122122122y x y x y y x x y y x x +++=−+−++++可见，该公式任意时刻均成立。
C.-R.方程的推广及其应用
C.-R.方程的推广及其应用孙小强【摘要】利用多元函数方向导数的概念与矩阵变换等方法推广了C.-R.方程,给出了解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部与虚部关于任意两个方向v1,v2的方向导数((е)u/(е)v1,(е)v/(е)v1)与((е)u/(е)v2,(е)v/(е)v2 )之间的关系,利用所得结果对复变函数可徽的一个充要条件做了改进,相应的结论对解析函数也成立.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2008(029)003【总页数】4页(P41-44)【关键词】C.-R.方程;复变函数;可微性;极坐标;推广【作者】孙小强【作者单位】西北师范大学数学与信息科学学院,兰州,730070【正文语种】中文【中图分类】O174.5解析函数是复变函数的主要研究对象，它是一类具有某种特性的可微函数．黎曼在他的博士论文《单复变函数的一般理论基础》中，给出了解析函数的严格定义[1]：复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在一点及其邻域内解析，如果u(x,y)和v(x,y)连续可微且满足上述方程在黎曼以前已为达朗贝尔、欧拉、柯西等学者所知，特别是柯西指出“这两个方程是包含了由实部到虚部过渡的全部理论”[1]．黎曼使这两个方程真正成为复变函数论的基石．因此它们现在以“柯西-黎曼”方程著称．C.-R.方程是函数解析的主要条件，本文通过分析C.-R.方程的推导过程，利用二元函数方向导数的概念推广了C.-R.方程，给出了解析函数的实部与虚部关于两个任意方向的方向导数之间的关系，并且做了进一步的分析说明．对复变函数可微的一个充要条件进行了推广与改进，给出了一个新的充要条件，对解析函数也有相应的结论．1 C.-R.方程的推广解析的概念与复变函数导数的定义有关，复变函数导数的存在性的要求意味着：当点z0+Δz沿连接点z0的任意路径趋于点z0时，比值Δω/Δz的极限都存在，并且这些极限都相等．分析C.-R.方程的推导过程 [2]可发现，在导出C.-R.方程时实际上是选取了两个特殊的方向，即平行于实轴的方向v1和平行于虚轴的方向v2，然后沿这两个方向分别求实部与虚部的偏导数(方向导数)从而得到了解析函数实部和虚部满足的关系．现任取一方向v1=eiθ=cosθ+isinθ，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在一点z=x+iy可微，则u(x,y)和v(x,y)在z处沿v1的方向导数存在，由二元函数方向导数与偏导数之间的关系[2]知在z处成立(1)将C.-R.方程代入(1)式写成矩阵形式为(2)若另取一方向v2=eiφ=cosφ+isinφ，在z处同样成立(3)由(2)、(3)两式可得(4)那么对于任意选取的两个方向v1和v2，v2=eiθv1，θ∈[0,2π)，以θ(表示两个方向之间的夹角)代替(4)中的φ-θ可得以下方程(5)于是有下面的定理1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在一点z=x+iy可微，对于任意两个方向v1和v2，v2=eiθv1，θ∈[0,2π)，成立以下公式(6)这便是解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部与虚部关于任意两个方向的方向导数与之间满足的偏微分方程关系．当时，设即当方向s与t正交时(7)于是有下面的推论1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在一点z=x+iy可微，对于任意两个正交的方向v1和成立以下公式(8)特别地，取s为平行于实轴的方向，t为平行于虚轴的方向，则成立这就是解析函数的实虚部应满足的C.-R.方程．由此可见，C.-R.方程是定理1的特例，定理1是C.-R.方程的推广和一般形式．2 推广的C.-R.方程在极坐标系下的应用设函数f(z)=u(r,φ)+iv(r,φ)(其中z=reiφ)在点(r,φ)可微，取N=eiφ为圆周的外法线矢量，T=ieiφ为其切线单位矢量，由推论1的(8)得(9)又有(10)于是由(9)和(10)便得到(11)这便是C.-R.方程的极坐标形式．3 复变函数可微性的一个充要条件的推广与改进引理1[2] 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义,则f(z)在D内一点z=x+iy 可微的充要条件是:(Ⅰ) 二元函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微；(Ⅱ) u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)满足C.-R.方程．这是复变函数可微的一个充要条件，下面是它的一个推广与改进．定理2 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义,则f(z)在D内一点z=x+iy可微的充要条件是：(Ⅰ) 二元函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微；(Ⅱ) 存在两个方向v1和v2，v2=eiθv1，θ∈[0,2π)，使得u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处成立(12)证明先证必要性．由引理1知条件(Ⅰ)成立，由定理1知条件(Ⅱ)也成立．因此必要性显然.下证充分性．设方向v1=eiθ1，v2=eiθ2，θ1∈[0,2π)，θ2∈[0,2π)，且θ=θ2-θ1∈(0,2π)，则v2=eiθv1，θ=θ1-θ2∈(0,2π).由于二元函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，所以它们沿任何方向的方向导数都存在，特别地, 它们沿实轴与虚轴的的方向导数也存在，由二元函数方向导当选与偏导数之间的关系和(13)(14)(15)(16)(13)×sinθ2-(15)×sinθ1得(17)(14)×cosθ2-(16)×cosθ1得(18)将已知与代入下式计算得即有同理可得故此时C.-R.方程成立，由引理1的充分性知f(z)在点z=x+iy处可微．证毕．这个定理推广与改进了一般文献(如文献[2])中相应的结论，极坐标系下的充要条件也可以由定理2直接得到．相应地，上述所有结论都可平移到解析函数上，只要将条件中的点改成相应的区域即可．参考文献:【相关文献】[1] 李文林.数学珍宝——历史文献精选[M].北京:科学出版社,2000：747.[2] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,2003：132-134.[3] 杨伟奇.复变函数论[M].北京:国防工业出版社，1989：22.。