12最大公因数与最小公倍数二
12的最大公因数
12的最大公因数
12的最大公因数 1
24和12的最大公约数是12，而24和12的最小公倍数是24。
公因数亦称“公约数”，是一个能同时整除若干整数的整数。
如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”。
最大公因数叫做最大公因数。
对于任意数量的正整数，1总是它们的公因数。
给定几个整数，如果一个数是它们的公因数，那么这个数叫做它们的公因数。
所有整数中的最大公因数称为这些整数的最大公因数。
公约数与公倍数相反，就是既是A的约数同时也是B的约数的数，12和15的公约数有1、3，最大公约数就是3。
举个例子，30和40的公约数有1、2、5、10，最大公约数是10。
最大公因数怎么求 公式
最大公因数怎么求公式最大公因数怎么求公式 1最大公因数或最大公约数是指能同时除两个或两个以上正整数的最大正整数。
最大公因数怎么求公式 2所有的质数(就是只有1和他本身2个因数的数字，例如2，3，5，7，11，13，17等）直接写1. 短除法是求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例如：求12与18的最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12。
18的因数有：1、2、3、6、9、18。
12与18的公因数有：1、2、3、6。
12与18的最大公因数是6。
这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。
于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12＝2×2×3 18＝2×3×3 12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。
所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。
从分解的结果看，12与18都有公因数2和3，而它们的乘积2×3＝6，就是12与18的最大公因数。
采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公因数和最大公因数。
如果把这两个数合在一起短除，则更容易。
从短除中不难看出，12与18都有公因数2和3，它们的乘积2×3＝6就是12与18的最大公因数。
与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公因数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。
如果不懂可以离线留言，或者直接问老师。
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最大公因数怎么求公式 3短除法，左侧所有除数之积喂最大公约数，所有除数与所有商之积为最小公倍数最大公因数怎么求公式 4两个数的最大公因数可以用短除法，详见百度百科：baike.baidu/...93brxK 如在EXCEL中计算，则输入以下公式=GCD(number1,number2, ...)最大公因数怎么求公式 5求最大公因数和最小公倍数的方法：一、特殊情况： 1 、倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数.（如； 6 和 12 的最大公因数是 6 ,最小公倍数是12 .） 2 、互质关系的两个数,最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积.（如, 5 和 7 的最大公因数时 1 ,最小公倍数是 5 × 7=35 ）二、一般情况： 1 求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法. ① 列举法：如,求 18和 27 的最大公因数先找出两个数的所有因数 18 的因数有：。
倍数与因数公因数与公倍数——基本知识点
倍数与因数公因数与公倍数——基本知识点1.倍数与因数1.1倍数：一个数a如果能够被另一个数b整除，那么a就是b的倍数。
例如，6是2的倍数，因为6能够被2整除。
1.2因数：对于一个数a来说，如果存在一些数b使得a能够被b整除，那么b就是a的因数。
例如，2是6的因数，因为6能够被2整除。
2.公因数与公倍数2.1公因数：对于两个数a和b来说，如果存在一些数c同时是a和b的因数，那么c就是a和b的公因数。
例如，4是8和12的公因数，因为4同时是8和12的因数。
2.2公倍数：对于两个数a和b来说，如果存在一些数c同时是a和b的倍数，那么c就是a和b的公倍数。
例如，24是8和12的公倍数，因为24同时是8和12的倍数。
3.公因数与公倍数的性质3.1公因数的性质：-任何一个数的因数都是它的公因数。
-0的所有因数都是任何一个数的公因数。
-两个数的公因数的集合中一定包含它们的最大公因数。
3.2公倍数的性质：-任何一个数的倍数都是它的公倍数。
-两个数的公倍数的集合中一定包含它们的最小公倍数。
4.最大公因数与最小公倍数4.1 最大公因数：对于两个数a和b来说，它们的最大公因数，记作gcd(a, b)，是同时是a和b的因数中最大的一个数。
例如，gcd(8, 12) = 44.2 最小公倍数：对于两个数a和b来说，它们的最小公倍数，记作lcm(a, b)，是同时是a和b的倍数中最小的一个数。
例如，lcm(8, 12) = 245.两个数的最大公因数与最小公倍数的关系对于两个数a和b来说，有以下关系成立：a *b = gcd(a, b) * lcm(a, b)6.公因数与公倍数的计算方法6.1公因数的计算方法：-可以将两个数的所有因数列举出来，然后找出它们的公因数。
-使用辗转相除法来计算最大公因数，具体步骤如下：-用较大的数除以较小的数，得到商和余数。
-若余数为0，则较小的数就是最大公因数。
-若余数不为0，则将较小的数作为被除数，余数作为除数，继续进行除法运算，直到余数为0为止。
最小最大公倍数和公因数
几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a,b],自然数a、b的最大公因数可以记作(a、b)，当(a、b)=1时,[a、b]= a×b。
如果两个数是倍数关系，则它们的最小公倍数就是较大的数，相邻的两个自然数的最小公倍数是它们的乘积。
最小公倍数=两数的乘积/最大公约（因）数, 解题时要避免和最大公约（因）数问题混淆。
[1]最小公倍数的适用范围：分数的加减法，中国剩余定理(正确的题在最小公倍数内有解，有唯一的解)．因为，素数是不能被1和自身数以外的其它数整除的数；素数X的N次方，是只能被X的N-1以下次方，1和自身数整除．所以，在求A，B，C，D，E，…，Z的最小公倍数时，只需要把这些数分解为素数的N次方之间的乘积后，取各素因子的最高次方的乘积，就是这些数的最小公倍数．举例说明：求756，4400，19845，9000的最小公倍数？因756=2*2*3*3*3*7，4400=2*2*2*2*5*5*11，19845=3*3*3*3*5*7*7，9000=2*2*2*3*3*5*5*5，这里有素数2，3，5，7，11．2最高为4次方16，3最高为4次方81，5最高为3次方125，7最高为2次方49，还有素数11．得最小公倍数为16*81*125*49*11=87318000．例题1两个数的最大公因数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？15×1=15,15×6=90；当a1b1分别是2和3时,a、b分别为15×2=30,15×3=45。
所以，这两个数是15和90或者30和45。
练习一1,两个数的最大公因数是9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少？2,两个数的最大公因数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少？3,两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180,另一个数是多少？例题2两个自然数的积是360,最小公倍数是120,这两个数各是多少？上！！分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。
北师大版五年级上册数学笔记(1)
五年级上册数学笔记第一章1.表示物体的个数的数叫做自然数，如：0, 1，2, 3，4，5，...................2.负整数和自然数统称为整数，如..........-3，-2，-1，0, 1，2, 3，4，5，...................3.个位上是0,2,4,6,8，的数都是2的倍数。
如12, 24 ，36 ，48，50.........4.个位数有0或5的数都是5的倍数。
如10, 20, 15，35.5.一个数的各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
如12, 36, 48，111, 1236.是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
最小的偶数是0，最小的奇数是17.一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，如8的最小倍数是8.8.一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
9.一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。
如3的因数只有1和3.100以内的质数有2, 3，5，7, 11, 13, 17, 19, 23 ,29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,83,87,89。
10.一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫做合数。
11.质数只有两个因数，合数最少都有三个因数。
12.1既不是质数也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
13.偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，奇数+1=偶数，偶数Ⅹ偶数=偶数第二章14.平行四边形面积=底⨯高字母公式，S=a⨯h15.平行四边形底=面积÷高字母公式，a=S÷h16.平行四边形高=面积÷底字母公式，h=S÷ a17.三角形面积=底⨯高÷2 字母公式，S=a⨯h÷218.三角形底=面积⨯2÷高，字母公式，a=S⨯2÷h19.三角形高=面积⨯2÷底，字母公式，h=S⨯2÷a20.梯形面积=（上底+下底）⨯高÷2 字母公式，S=(a+b)⨯h÷221.梯形的高=面积⨯2÷（上底+下底）字母公式，h=S⨯2÷(a+b)22.等底等高的三角形的面积相等，等底等高的梯形面积相等。
最大公因数和最小公倍数知识点与解方程步骤
最大公因数和最小公倍数知识点与解方程步骤1、甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
168×4÷24=282、已知甲、乙两数的最大公因数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。
36÷6=66=1×6（1×6=66×6=36）6=2×3 （2×6=123×6=18）3、两个数最大公因数是12，最小公倍数是180，且大数不是小数的倍数，求这两个数。
180÷12=1515=3×5（3×12=365×12=60）4、两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且两个数的和是714，这两个数各是多少？2940÷42=70714÷42=1770=7×10（7×42=29410×42=420）5、已知两个自然数的和为72，它们的最大公因数是12，求这两个数。
72÷12=6 6=1＋5 （1×12=125×12=60）7、把长20厘米，宽42厘米的长方形铁片剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁片，并且没有剩余，至少可剪多少块？（20，42）=2 （20÷2）×（42÷2）=2109、排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为长方形，最少需要多少人参加团体操的排练？[10，15，18，24]=360列方程解应用题步骤(1)审题（弄清题意）；(2)找准等量关系；(3找出包含未知数与已知量之间的数量关系并设出未知数；(4)列出方程；(5)解出方程；一、题目中固有的等量就是等量关系例如：4支圆珠笔的钱与3支钢笔的钱数相等，已知每支钢笔8元，每支圆珠笔多少元？题中原有的等量是“4支圆珠笔的钱数等于3支钢笔的钱数”，等量关系即：每支圆珠笔钱数* 4 =每支钢笔钱数* 3二、题中的某些关键句就是等量关系例如：红花有24朵，黄花比红花的2倍还多功能1朵，黄花有几朵？关键句：“黄花比红花的2倍多1朵”，等量关系即：红花朵数* 2 + 1朵= 黄花的朵数。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数一.教学重点和难点：教学重点：1.掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。
2.介绍辗转相除的方法计算最大公因数和最小公倍数。
3.最大公因数和最小公倍数的性质。
4.利用最大公因数和最小公倍数解决生活中的实际问题。
5.利用最大公因数和最小公倍数解决一些有特点的数字的问题。
教学难点：1.掌握计算三个数的最大公因数和最小公倍数的区别。
2.能够通过分解质因数方法的分析，理解最大公因数和最小公倍数之间存在的性质。
3.利用最大公因数和最小公倍数解决问题时，对数字特点的观察。
二简要知识介绍：最大公因数和最小公倍数在计算的时候我们一般采用的方法是短除的方法，它们在计算时的最大区别在于所需要的质因数是不同的，最大公因数是取公有的质因数，最小公倍数是公有的质因数（代表）和独有的质因数都要。
但是在两个数不容易看出公因数的时候，我们也可以采取辗转相除的方法进行计算。
具体的方法是：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数，再用第一个余数除小的一个数，得到第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数，这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么最后一个除数就是所求的最大公约数。
最大公因数和最小公倍数之间还存在着性质：两个自然数的乘积等于这两个自然数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
若a、b表示两个自然数，则a×b=（a，b）×[a，b]在利用最大公因数和最小公倍数解决实际生活中的问题的时候，首先要分清计算的是哪个？然后再进行计算。
三.知识教学：（一）求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法。
例1.求20、30和36的最大公因数和最小公倍数（1）我们先来计算这三个数的最大公因数列举法20的因数有：1、2、4、5、10、2030的因数有：1、2、3、5、6、10、15、3036的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36三个数的最大公因数是2分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3（20，30，36）=2短除的方法（20，30，36）=2（2）我们再来计算它们的最小公倍数列举法20的倍数有：20、40、60、80……30的倍数有：30、60、90、……36的倍数有：36、72、……分解质因数的方法20=2×2×530=2×5×336=2×2×3×3[20，30，36]=2×2×3×5×3=180短除的方法（20，30，36）=2[20，30，36]=2×2×3×5×3=180（3）对比比较分解质因数的方法20=2×2×530=2 ×5×336=2×2 ×3×3（20，30，36）=2[20，30，36]=2×2×3×5×3=180比较短除的方法（20，30，36）=2 [20，30，36]=2×2×3×5×3=180（4）小结：在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候，最大公因数要找三个数的公有的质因数，如果其中的两个商还有质因数的话，也不要往下除。
找最大公因数和最小公倍数
找三个数的最大公因数和最小公倍数五年级数学下册，我们学习了因数和倍数，而且在人教版的第四单元，我们知道了怎么找两个数的因数和倍数，不过，自第六单元分数的加减及混合运算中，经常会遇到三个及以上异分母分数的加减运算，所以我们在运用列举法，分解质因数法和短除法找三个数的最大公因数（简称大因）和最小公倍数（简称小倍）就有些困难了。
以下是我整理的找三个数的大因和小倍的小技巧，希望能够帮助你。
一、三个数，任意两个数是互质数。
互为互质数的数，他们的大因是1；小倍是他们的乘积。
例如：找3.4.5的大因和小倍，他们三个数任意两个数都是互质数，所以他们的大因是1，小倍是3×4×5=60.二、三个数中，有两组数是互质数。
它们的大因是：1；它们的小倍：先找出不是互质数的那两个数的最小公倍数，然后用找出来的最小公倍数与第三个数相乘，得到的积就是这三个数的最小公倍数。
例如：找5.8.12的大因和小倍，同第一种，互为互质数的数，大因是1；而这三个数中只有12和14不是互质数，所以先找12和14的小倍，是24；然后5×24=120。
所以5.8.12的最小公倍数是120。
三、三个数中，有一组数是倍数关系。
它们的大因：倍数关系中较小的数与第三个数的大因就是这三个数的大因；它们的小倍：倍数关系中较大的数与第三个数的小倍就是这三个数的小倍。
例如：找5.8.10的大因和小倍。
它们的大因就是5和8的大因：1；他们的小倍就是8和12的小倍：24。
四、三个数中，有两组倍数关系。
它们的大因：最小的那个数就是三个数的大因；它们的小倍：那两个大数的最小公倍数就是三个数的小倍。
例如：找5.10.15的大因和小倍。
它们的大因就是最小的数：5；它们的小倍就是10和15这两个大数的小倍：30 。
五、三个数中，既没有互质数，有没有倍数关系。
它们的大因：先找出两个数的大因，再用找出来大因与第三个数组合，找出它俩的大因，最后的大因就是这三个数的大因。
数学公倍数和公因数的知识点
数学公倍数和公因数的知识点数学公倍数和公因数的知识点公倍是指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。
公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数，以下是店铺为大家整理的数学公倍数和公因数的知识点，仅供参考，希望能够帮助大家。
数学公倍数和公因数的知识点11、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。
一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数倍数的个数是无限的。
一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，用符号[ ，]表示。
几个数的公倍数也是无限的。
3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号( ，)。
两个数的公因数也是有限的。
4、两个素数的积一定是合数。
举例：35=15，15是合数。
5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24是2的倍数。
6、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的.数。
举例：15和5，[15，5]=15，(15，5)=5素数关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
举例：[3，7]=21，(3，7)=1一个素数和一个合数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[5，8]=40，(5，8)=1相邻关系的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
[9，8]=72，(9，8)=1特殊关系的数(两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数1)，比如4和9、4和15、10和21，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
(详见课本31页内容)数学公倍数和公因数的知识点2一、公因数和最大公因数概念：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
五年级下册数学：找最大公因数和最小公倍数的几种方法
找最大公因数和最小公倍数的几种方法（质数又叫做素数，公因数又叫做公约数）一、找最小公倍数的方法1、列举法方法1、先分别写各自的（倍数），再找它们的（公倍数），然后在公倍数里找它 们的（最小公数）。
方法2： 先找较大数的（倍数），再找其中哪些是（较小）的倍数，最后找它们 的（最小公倍数）这种方法是分解质因数后，找出二个数相同的（质因数） ，及二个数各自 独有的（质因数），然后把二个数相同的（质因数，只取一个。
）和二个数各自 独有的（质因数），全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
6862、60 禾口 42的最小公倍数=2X 3 X 2X 5X 7=420。
3、短除法。
用短除法求两个数的最小公倍数，一般用这两个数除以它们的（公因数）一直除到所得的两个商（只有公因数 1）为止。
把所有的（除数）和最后的两个4、特殊方法（观察法）1）两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中（较大）的数。
2）两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数 1）,它们的最小公倍数是 二个数的（乘积）。
2 1为 18和24的最小公倍数是 2X 3X 3X 4=72（商）连乘起来，就得到这两个数的 （最小公倍二、找最大公因数的方法1、列举法先找出两个数的（因数），再找出两个数的（公因数），最后找出二个数的（最大公因数）2、分解质因数法。
用分解质因数方法找二个数的最大公因数，是分解质因数后，找出相同的（质因数），把相同的（质因数）相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
3、短除法。
用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商（只有公因数1）为止。
然后把最后所有的（除数）连乘，就得到了二个数最大公因数。
例题9:用短除法求16和24的最大公因数：2 16 24 .2 8 12 .2 4 62 3最后所有的除数有2、2、2.所以16和24的最大公因数是2^2X2=84、观察法1）两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中（较小）的数。
小学数学 五年级 最大公因数和最小公倍数 PPT+作业(带答案)
出现两两互质 [15，20，30]=5×3×2×1×2×1=60
总结：求三个数的最大公因数时，只要商出现互质即可； 求三个数的最，24，48）和 [18，24，48]。 （2）求（16，24，32）和 [16，24，32]。
2 18 24
48
39 3
例6
已知两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是120，求这两个自然数。 已知最大公因数和最小公倍数，通过短除法反推
分析芒果数量和梨的数量与小朋友人数的关系。
芒果和梨都能恰好平均分给小朋友们说明： 小朋友的人数是芒果数量和梨的数量的公因数 小朋友最多时，即求最大公因数
（24，32）=8 最多8个小朋友 芒果：24÷8=3（个） 梨：32÷8=4（个） 答：小朋友最多8个人，这时每个小朋友分到3个芒果，4个梨。
总结：区分题目中要求的量是“最小公倍数”还是“最大公因 数”。
总结：配对法找因数——使用乘积的形式一对一对地寻找因数。
例2
（1）求（12，18，24）和 [12，18，24]。 （2）求（15，20，30）和 [15，20，30]。
短除法找最大公因数与最小公倍数
5 15 20
30
3
4
6
出现互质 （15，20，30）=5
5 15 20
30
33
4
6
21
4
2
1
2
1
不满足“互质”
④a=4，b=8 ⑤a=5，b=7
不符合 符合 A=5×3=15 B=7×3=21
总结：两个自然数分别除以他们的最大公因数，所得的商互质。
练习5
运用短除法求A、B的最大公因数时，过程如下:
如果a+b=15，且a<b，那么A、B分别可能等于多少？
五年级最大公因数和最小公倍数
五年级最大公因数和最小公倍数公因数问题1：用短除法求下列各组数的最大公因数。
①12和18 ②34和102 ③15和50 ④12、24和36想：用短除法求两个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这两个数的最大公因数。
两个数的最大公因数用（ ）表示。
试一试：求下列各组数的最大公因数（用短除法）①20和30 ②28和84 ③54和90 ④30、45和60问题2：求24、60和132三个数，共有多少个公因数？其中最大的公因数是多少？想：这道题可用列举法来解答，但比较麻烦。
我们可以用短除法求出这三个数的最大公因数，然后根据几个自然数最大公因数的因数个数等于这几个自然数公因数的个数的规律，找到这三个数的公因数。
2460132 2123066261533325（24、60、132）= 2×2×3=12，因为24、60和132的最大公因数是12，而12=22×3，得（2+1）×（1+1）=6，所以，24、60和132共有6个公因数，最大公因数是12。
解：1112 18 26 93 2 3①②341022 17 51 171 3③④155053101224362612182369312（34、102）= 2×17＝34（15、50）= 5（15、24、36）= 2×2×3=123解： 同时除以公因数2 同时除以公因数2 同时除以公因数3 除到三个商只有公 因数1为止（12、18）= 2×3＝6试一试：先用短除法求出每一组数的最大公因数，再求出每组数中公因数的总个数。
①16和24 ②28和70 ③150和180 ④60、75和150问题3：有三根木棒，分别长12厘米，44厘米，56厘米，把它们都截成同样长的小棒（整厘米），不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？想：把每根木棒截成同样长的小棒后不许有剩余，每根小棒的长度必须是各自木棒长度的因数；把三根小棒截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒的长就是这三根小棒的公因数；每根小棒最长多少厘米，就是求这三根小棒的最大公因数。
最大公因数和最小公倍数的综合练习
01
把1到100排成一行，先圈出 6 的倍数，再圈出8的倍数， 如果某个数已经被圈了，就不 再圈，那么一共要画几个圈？
02 思考题：
03
大厅里有100盏电灯，分别编 上1到100号，每盏灯都有一 个拉线开关，每拉一下开关， 电灯就由关变成开，由开变成 关，现在全部处于关闭状态。 现在有个对数学充满好奇的学 生，他先把编号是6 的倍数的 开关拉一下，再把编号是8 的 倍数的开关拉一下。请问现在 大厅里有几盏灯亮着？
是多少厘米？
二．用长12厘米，宽20厘米的长方形纸，拼成一个大正方形， 最少需要多少个这样的长方形？这时边长是多少厘米？
一．红花64朵，黄花48朵，用这两种花搭配成同样的花束，最少可以扎成多少束？ 每束有多少朵花？
二．两个义工社团分别有56人和48人，现在要分别分成若干个人数相等的小组， 每组最多有多少人？可以分成几个小组？
独立练习：
一、 用短除法求最大公因数和最小公倍数 20和32 24和30 64和48 12、28和56
二、解决问题 1.把32块橡皮和40枝铅笔全部平均分给同样 数量的小朋友，最多可以分给几个小朋友？每 人分到几块橡皮几只铅笔？ 2.有一批地砖，每块长45厘米，宽30厘米。 至少用多少块砖才能铺成一个正方形？ 3.一批书不论分给10人还是15人，都多3本， 这批书至少多少本？ 4.红花56朵，黄花42朵，用这两种花搭配成 同样的花束，最少可以扎成多少束？
三．学校要做团体操表演，排成每行32人或每行28人都刚好不多不少，参加这次 团体操表演的最少有多少人？
辨析：
拓展：
一．一个数既是6的倍数，又是8的倍数，还是10的倍 数，这个数最小是多少？
二．一个数除以6余2，除以8也余2，除以10还是余2， 这个数最小是多少？
最大公因数与最小公倍数
第一章最大公因數與最小公倍數1-1 因數與倍數一、因數與倍數※學習單一◎定義:1、對於兩個不為0的整數A、B，如果A可以被B 整除﹙餘數為0﹚A ÷ B = C 0我們就可以說A是B的倍數，B是A的因數2、對於A、B、C三個不為0的整數，如果A =B × CA是B、C的倍數，B、C都是A的因數被除數÷除數= 商數，被除數= 除數×商數EX：12 ÷ 3 = 4… 0 12 = 3 × 412是3的倍數，3是12的因數12是3、4的倍數，3、4是12的因數例：1、判別18是否為432的因數2、下列何者是3的倍數﹖﹙1﹚1234﹙2﹚2468﹙3﹚4680﹙4﹚57803、曉華把36個蘋果分成數堆﹙包含分成一堆﹚，每堆的個數相同，總共有幾種分法﹖請一一寫出4、下列何者是2的倍數也是3的倍數﹖﹙1﹚166﹙2﹚216﹙3﹚386﹙4﹚496◎性質:1、一個大於1的整數，至少有1和他自己本身兩個因數2、1是最小的正因數3、1的特性：1是任何整數的因數﹙1能整除任何數﹚，而任何整數都是1的倍數4、0的特性：﹙除數不能為0﹚0不是任何整數的因數，而0是任何不是0的整數的倍數例：1、396是下列哪些數的倍數﹖1、4、11、19、36、3962、273被一整數整除，所得的商數不可能是下面哪一個數﹖﹙1﹚273﹙2﹚21﹙3﹚26﹙4﹚13、下列敘述那一個是正確的﹖﹙1﹚0是2的因數﹙2﹚5是1的因數﹙3﹚1是3的因數﹙4﹚0是0的倍數二、2、3、4、5、8、9、11的倍數的判別法※學習單二◎定義:﹙一﹚、2的倍數判別法：如果一個整數的個位數字是偶數﹙0、2、4、6、8﹚例：1、判別下列何者為2的倍數﹖12、37、124、311、2724、94682、如果四位數237□是2的倍數，那麼□內可以填入哪些數字呢﹖3、如果四位數2□70是2的倍數，那麼□內可以填入哪些數字呢﹖﹙二﹚、5的倍數判別法：如果一個整數的個位數字是0或5例：1、判別下列何者為5的倍數﹖2340、218763、5559、99999952、1234、1235、……、1248等數中，哪些是5的倍數﹖﹙三﹚、3的倍數判別法：如果一個整數的各位數字總和是3的倍數例：1、判別下列何者為3的倍數﹖12、37、124、311、2724、94682、1000011與3721這兩個數，哪一個是3的倍數﹖3、如果四位數27□4是3的倍數，那麼□內可以填入哪些數字呢﹖﹙四﹚、9的倍數判別法：如果一個整數的各位數字總和是9的倍數例：1、判別下列何者為9的倍數﹖12、37、126、378、2724、94682、27369與100012這兩個數，哪一個是9的倍數﹖3、如果五位數73□84是9的倍數，那麼□內可以填入哪些數字呢﹖※補充﹙五﹚、4的倍數判別法：一個整數末兩位數字是4的倍數或均為0 例：1、判別下列何者為4的倍數﹖12、37、124、311、2724、94682、如果四位數27□4是4的倍數，那麼□內可以填入哪些數字呢﹖﹙六﹚、8的倍數判別法：一個整數末三位數字是8的倍數或均為0 例：1、判別下列何者為8的倍數﹖2724、3824、5311、5408、94682、如果四位數2□64是8的倍數，那麼□內可以填入哪些數字呢﹖﹙七﹚、11的倍數判別法：一整數的奇位數字和與偶位數字和的差為0或11的倍數例：1、判別下列何者為11的倍數﹖1547、217481、314822、如果六位數86□170是11的倍數，那麼□內可以填入哪些數字呢﹖三、練習1、下列哪些是3的倍數﹖5的倍數﹖11的倍數﹖3456、3465、285714、20303042、下列敘述是否正確﹖請在適當的□中打「ˇ」正確不正確﹙1﹚5是15的因數□□﹙2﹚6是12的倍數□□﹙3﹚1是10的因數□□﹙4﹚2是13的倍數□□3、有一個七位數432□905，﹙1﹚如果他是3的倍數，那麼□裡可以是多少﹖﹙2﹚如果他是11的倍數，那麼□裡可以是多少﹖4、填填看，在每個□內填入一個適當的數字，15□ = 2 ×□□請將所有可能的情形都列出來。
最大公因数与最小公倍数应用
1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完,这些糖果最少有多少粒?解:【8，10】=402、有一包糖,不论分给8个人,还是分给10个人,都能正好分完。
这包糖至少有多少块? 解：【8，10】=40(人）3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几?解：【2,3，4，6】=12 12-1=114、五年级学生参加植树活动,人数在30～50之间。
如果分成3人一组,4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。
五年级参加植树活动的学生有多少人？解:【3，4，6，8】=24（人) 24×2=48（人）5、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。
问：拼成的正方形的面积最小是多少？解：【6，4】=12（公分）12×12=144（CM2)6、有一堆苹果，每8千克一份，9千克一份,或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？解：【8，9,10】=360 360+3=363kg7、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人,8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？解:【7，8】=56（人）56—2=54(人)8、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学?解：37-1=36（本）38+2=40（本) (36，40)=4(人)9、有24个苹果,32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？解：(24,32）=8（盘）24÷8=3（个) 32÷8=4（个）10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。
20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后,至少再过多少分钟又同时发车？解：【3，5】=15（分钟)11、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完.这个年级至少有学生多少人？解：【6，8，9】=72（人）12、有一盘水果,3个3个地数余2个，4个4个数余3,5个5个数余4个,问个盘子里最少有多少个水果？解:【3，4,5】=60 60—1=5913、有一个电子表,每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？解：【9,60】=180（分钟）80÷60=3（小时）=下午3点14、数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组,每个小组男、女同学人数分别相同,最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？解：（24,20)=4（组) 24÷4=8（个）20÷4=5（个）15、有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本.得奖的好少年有多少人？解:38-3=35（本）41+1=42（本）（35，42）=7（人）16、两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数,求这两个数。
§2最大公因数与最小公倍数——数论入门知识讲解系列
2
汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学）
二试：初等数论入门
编者：周钢
例题答案：
21n 4
例 1、试证
是既约分数.
14n 3
解：利用性质1 可得 21n 4,14n 3 7n 1,14n 3 7n 1,1 1，
所以分式分子分母互素， 21n 4 是既约分数。 14n 3
例 2、若17 | 2a 3b，试证17 | 9a 5b .
汉中市龙岗学校学科竞赛（高中数学）
二试：初等数论入门
编者：周钢
§1.2 最大公因数与最小公倍数
基础知识
若 a ， b 是两个不全为零的整数，且 d | a ， d | b ，则称 d 是 a ， b 的公因数.公因数中的最大者，
称为 a ， b 的最大公因数，记为 a,b.若 a,b 1，则称 a ， b 互素.
利用倒序相加法推导， 2S 1k 9k 2k 8k 9k 1k ， 由于 k 是正奇数，故10 | 1k 9k ，10 | 2k 8k ，···，所以10 | 2S ； 同时 2S 0k 9k 1k 8k 9k 0k ， 由于 k 是正奇数，故 9 | 0k 9k ， 9 | 1k 8k ，···，所以 9 | 2S ；
y 1 b x 1 d 因为 a c ad bc 为整数， b | bc ，所以 b | ad ，
b d bd
结合 a, b 1 和性质 7 ，可得 b | d ；同理可得 d | b ，故 d b ；
因为 a c x4 1 y 4 1 x2 1 x 1 y 2 1 y 1 Z ，所以 bd | ac ； b d y 1 x 1
性质10
a, b
ab
a, b
，特别地，若 a,b
最大公因数与最小公倍数
1、在一条长400米的道路一边，每隔16米插上一杆彩旗 （起点和终点都要插）。现在要改为每隔10米插一杆彩 旗，如果起点的彩旗不动，那么重新插完后，不需要移 动的彩旗还有多少杆？ ［16、10］＝80，每隔80米就有一杆彩旗不动 400 ÷ 80=5（棵）
2、在一条长120米的直路的一边植树（两头都栽）原来 每4米挖一个树坑，树坑已挖好，现改为每隔6米挖一个 树坑，问共有多少个树坑可以不必重挖？ ［4、6］＝12 120 ÷ 12+1=11（个）
（42、112、70）=14
8、在一条长96米的路两侧，计划每隔4米栽一棵树，画 好记号后发现距离过近，改为每隔6米栽一棵树，还 要重新做多少个记号？ ［6、4］＝12
96 ÷6=16（个） 96 ÷12=8（个）
（16-8 ） ×2=16（个）
［2、、3、4、5、6、7］=420 420+1=421
6、园林工人在一段公路的两边每隔4米栽一棵树（路的 两端都栽），一共栽了74棵。现在要改成每隔6米栽 一棵 ，那么不用移栽的树有多少棵？ （74 ÷ 2-1）×144（米）
［4、6］＝12
(144 ÷1+1) ×2=26（棵）
7、现有语文课本42本，数学课本112本，外语课本70本， 平均分成若干摊，每堆中这三种课本的数量分别相等。 最多可以分成几堆？
［2、5］＝10，2+5=7（分） ，［7、10］＝70 总钱数是70的倍数
在5角钱
5、有一种自然数，它们加上1是2的倍数，加上2是3的 倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7 的倍数。这种自然数除1外，最小的数是多少？
如果给这种自然数减去1它就是2、3、4、5、 6、7的倍数
最大公因数和最小公倍数
上回下
五年级同学参加植树劳动，按15人一组或 18人一组都正好分完。五年级同学参加植
树的至少有多少人？
五年级同学按15人一组分，正好分完，说明 五年级同学是15人的倍数
五年级同学按18人一组分，也正好分完，说明 五年级同学也是18人的倍数 所以，五年级同学是15和18的公倍数。
两个数的最小公倍数可以用[ ]表示。
12和18的最小公倍数是36， 可以表示为[12，18]=36。
求18和30的最小公倍数。
2 18 30 3 9 15
用公有的因数2除 用公有的因数3除
3 5 除到两个商是互质数为止
2×3 ＝6
18和30的最大公因数是 2×3＝ 2×3 ×3×56＝90
18和30的最小公倍数是90
二、判断题。
两个数的最小公倍数分别是这两个 数的倍数（ ）
两个数的积一定是这两个数的公倍 数（ ）
二、判断题。
两个数的最大公因数一定比这两个数都 小（ ）
两个数的最小公倍数一定比这两个数都 大（ ）
二、判断题。
如果A÷ ÷ B=3（ ），那么A 、 B的 最大公因数是B，最小公倍数是A
（
）
男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每 排最多有多少人? 这时男、女生分别有几排?
试一试
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35
12和20的最大公因数是2×2=4。 可以表示为（12，20）=4。
用短除法求出12和20的最大公因数和最小公倍数。
2 12 20 2 6 10
35 12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。 可以表示为[12，20]=60。
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数是较大数。
12和25
最大公因数 是：1，最小 公倍数是： 12×25=300。
两个数是只有 公因数1时，最 大公因数是1， 最小公倍数是 这两个数的积。
如果a是b的5倍，那么a和b的最大公因数是 ( b )，最小公倍数是( a )。
两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数， 最小公倍数是较大数。
如果a和b只有公因数1，，那么a和b的最大公 因数是( 1 )，最小公倍数是(a×b)。
（1）两个数的最小公倍数一定比 这两个数都大。
（2）两个数的积一定是这两个数 的公倍数。
五年级下册第一单元
一、倍数与因数
最大公因数与最小公倍数二
求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
12和16
16和32
2 12 16
最大公因数
26 8 34
最大公因数是：
是：16，最 小公倍数是： 32。
2×2=4，
两个数是倍数
最小公倍数是： 关系时，最大
பைடு நூலகம்
2×2×3×4=48。 公因数是较小
数，最小公倍
两个数是只有公因数1时，最大公因数是1，最 小公倍数是这两个数的积。
如果a=2×2×3×5，b=2×3×3×5，那么a和 b的最大公因数是( 30 )，最小公倍数是(180)。
a=2 × 2 × 3 × 5 b=2 × 3 × 3 × 5
最大公因数是：2×3×5=30。 最小公倍数是：2×3×5×2×3=180。
一些演员排练开场舞，20人一排或30人
一排都没有剩余，这些演员至少有多少人？
就是求20和30的最小公倍数。 2 20 30 5 10 15 23 2×5×2×3=60(人)
答：这些演员至少有60人。
思考：求下面这组数的最大公因数和最小公倍
数。
15、20和30
课堂练习
下面的说法对吗？说一说你的理由。