2017-2018学年北京市人大附中高一(上)期末数学试卷及答案

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北京市朝阳区2017-2018学年高一上学期期末质量检测数学试题 Word版含解析)

北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测高一年级数学学科试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：,结合交集的定义可得：，，结合选项可知，只有选项A是正确的.本题选择A选项.2. 已知平面向量，，且∥，则=A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合平面向量平行的充要条件可得：.本题选择B选项.3. 已知，，且，则A. B. C. D.【答案】C【解析】结合题意和反比例函数的单调性可知：，选项A说法错误；若，则，选项B错误；若，则，选项D错误；结合题意和指数函数的单调性可知：，选项C说法正确；本题选择C选项.4. 函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】结合函数的解析式有：，，且函数的函数图象在区间上具有连续性，据此结合函数零点存在定理可得函数的零点所在的区间为.本题选择B选项.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.5. 设奇函数的定义域为，且，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】求解不等式可得，结合奇函数的性质补全函数图象如图所示，观察可得，不等式的解集为：.本题选择C选项.6. 在△中，若，则△的形状为A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】D【解析】由题意可得：,即：,整理可得：，则向量与的夹角为钝角，即，据此可知：则△的形状为钝角三角形.本题选择D选项.点睛：处理两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7. 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则A. ，的最小值为B. ，的最小值为C. ，的最小值为D. ，的最小值为【答案】B【解析】由题意可知，为函数最高点横坐标，则：，据此可得：，函数，则将函数的图象向右平移个单位即可的函数的图象，即的最小值为.本题选择B选项.8. 定义域为的函数，满足，若函数与图象的交点为（），将每一个交点的横、纵坐标之和记为（），则A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则函数关于坐标原点对称，函数关于点对称；而函数的图象也关于点对称，结合函数的定义域可得两函数图象交点的个数为偶数个，不妨假设这些点的坐标为：，其中其中关于点对称，则：，据此可得：.本题选择A选项.点睛：如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知，，则____,____.【答案】(1). (2).【解析】由题意结合同角三角函数基本关系可得：，.10. 已知函数则___；若，则___.【答案】(1). 2(2).【解析】(1)由分段函数的解析式可得：；(2)当时，，不合题意，舍去；当时，，综上可得，若，则.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．11. 已知平面向量a，b的夹角为60°，，，则__；=___.【答案】(1). 1(2). 2【解析】由题意可得：，则：，.12. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称. 若角α的终边经过点，则____.【答案】【解析】由题意可知的终边过点，的终边过点，由三角函数的定义有：，13. 已知函数（），（1）若，则函数的零点是____；（2）若存在实数，使函数有两个不同的零点，则的取值范围是____.【答案】(1). 0(2).【解析】(1)当时，，分类讨论：当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意，综上可得，函数的零点是.(2)原问题等价于函数在上单调，在同一个平面直角坐标系中绘制函数和的图象，观察可得：当时，二次函数部分不单调，满足题意，当时，函数在定义域内单调递增，不合题意，当时，，这使得函数不单调，满足题意，综上可得：的取值范围是.14. 对任意两个非零的平面向量，定义一种运算“”为：．若平面向量的夹角，且和的值均为集合中的元素，则__.【答案】2【解析】由题中的新定义有：，，两式相乘可得：，不妨假设，则，且，由平面向量的夹角可得：，即，据此可得：，则：.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

北京人大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B． C．﹣+D．﹣﹣﹣4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=06．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x= D．x=﹣8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．11．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= ，||PF2|= ．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M的轨迹为C （I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= ．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京人大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A⊆B成立，反之判断“A⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．已知p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0 C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞0【考点】的否定．【分析】直接利用全称的否定是特称，写出结果即可．【解答】解：因为全称的否定是特称，所以，p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =， =，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=， =，=，可知： =+， =，==，=﹣+．故选：C．4．给定原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列形式正确的是（）A．逆：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为0【考点】四种间的逆否关系．【分析】根据四种之间的关系，分别写出原的逆、否、逆否，再写出原的否定即可得出结论．【解答】解：原：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C． x±y=0 D．x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】通过双曲线的离心率，求出a，b的比值，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即： x±y=0．故选：C6．已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．10【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用勾股定理，结合双曲线的定义，即可求出△PF1F2的面积．【解答】解：由题意得 a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣【考点】抛物线的标准方程．【分析】求出A，B的坐标，利用两点间的距离公式结合弦长公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】轨迹方程．【分析】根据距离相等列出方程化简求出y关于x的函数，作出图象即可得出结论．【解答】解：曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入题中的点的坐标，即可得到λ=4，将方程化成标准形式，即可得到该双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x= ．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．【解答】解：∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|= 2.5 ，||PF2|= 1.5 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，结合|PF1|﹣|PF2|=1，可得结论．【解答】解：椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，||PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．【考点】空间中的点的坐标．【分析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =（1﹣λ，2λ，0）．有⊥，可得•=0，解得λ，即可得出．【解答】解： =（﹣1，2，0）．设=λ，可得： =+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为（1，2]∪∪，∴＜，＞=．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4（1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明AC，CB，CC1两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出，的坐标，计算其数量积为0得出AB1⊥C1B；（2）求出平面ABB1A1的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）设出抛物线的方程，求出p的值，从而求出抛物线的标准方程即可；（2）通过讨论直线l的斜率，求出|AB|的表达式，求出k的值，从而求出|AB|即可．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|PA|最小时，点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，即可求出当|PA|最小时，点P的坐标；（II）由圆的方程为求得圆心C（3，0）、半径r为：1，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小，利用距离公式，结合配方法，即可得出结论．．【解答】解：（I）设P（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|PA|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|PA|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19．在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C （0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则= 3 ．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（I）利用重心的坐标计算公式即可得出．（II）利用重心的坐标计算公式可得M坐标，可得，，再利用模的计算公式即可得出．【解答】解：（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=， =，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知： =k+2， +=1，×k=﹣1，联立解出即可得出．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）取AB中点M，连结CM，DM，则∠CMD为所求二面角的平面角，计算出△CDM的边长，利用余弦定理求出∠CMD；（2）利用在余弦定理求出∠BCD，则B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD；（3）以A为原点建立空间直角坐标系，设，B到平面ACD的距离为h，求出，计算是否为0即可得出结论．【解答】解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．2016年10月28日。

北京市人大附中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科)_Word版含解析

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤02．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．57．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=______．11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为______．12．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是______．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=______．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=______；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为______．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=______；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）=______．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，2x＞0，故选：C2．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx【考点】导数的运算．【分析】直接利用求导公式判断选项的正误．【解答】解：A．（x3）'=3x2故A错误；B．（lgx）'=故B正确；C．（e x）'=e x故C错误；D．（cosx）'=﹣sinx 故D错误；故选B3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据同向不等式两边可相加，由a＞b，c＞d能得到a+c＞b+d，而a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d的情况，所以a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a ＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f（x）在x=4处的导数值．【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得x=0 或x=6，根据导数在x=0和x=6两侧的符号，判断故f （0）为极大值，从而得到f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0 或x=1，导数在x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意椭圆的焦点在x轴上，a=2且c=1，进而求得b=，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f′（）=cos=，故答案为：11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为12．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案为：（2，+∞）．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确∵函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C的方程；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0，即可求线段AB的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的方程为y2=2px（p＞0）由点M（3，﹣6）在抛物线C上可得：（﹣6）2=2p×3=6p，∴p=6．故所求抛物线C的方程为y2=12x；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，通过求导得出f′（x）＜0，解出即可；（Ⅱ）f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，求出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2∴f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f（﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f（2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f（2）＞f（﹣2）．∵x∈（﹣1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f（x）max=20，f（x）min=﹣7．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆D的标准方程．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：•=0，即x1x2+y1y2=0．利用根与系数的关系代入即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D的标准方程为： +y2=1．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．联立，化简整理可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m2﹣1）=40﹣8m2＞0，可得：＜m＜．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∴x1+x2=，x1x2=．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：OP⊥OQ．从而•=0，∴x1x2+y1y2=0．∴x1x2+y1y2=x1x2+=3x1x2+（x1+x2）+m2=3×+m×（﹣）+m2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=6；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为54．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I）求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得==，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=6，进而可得所求；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（I）双曲线C：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F1（﹣6，0），F2（6，0），∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=2；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）...（x+100），则f′（0）=1×2×3× (100)（只需列出式子即可）【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×...×（0+100）=1×2×3× (100)二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解出即可得出椭圆G的方程．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为：=1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y0）．则x0==，y0=kx0+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有k MN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），，根据函数的定义域，确定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范围，进而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt﹣1=0的唯一的解，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2018年9月28日。

北京市东城区2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题

a f (1),b f (2), c f (1) ，则 a,b, c 的大小关系是 A. a b c B. b a c C. c a b D. c b a
13 . 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快地失去新鲜度（以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度。三甲胺是一种挥发性碱性氨，是胺的类似物，它是由细菌分解作用产生的，三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）。已知某种鱼失去的新鲜度 h 与其出海后时间 t（分）满足的函数关系式为 h（t）＝m·at，若出海后 10 分钟，这种鱼失去的新鲜度为 10％，出海后 20 分钟，这种鱼失去的新鲜度为 20％，那么若不及时处理，打上来的这种鱼会在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知 lg2＝0.3，结果取整数）
4
3. 已知函数 f (x) 是奇函数，它的定义域为{x | 1 x 2a 1}，则 a 的值为
A. －1
B. 0
1
C.
D. 1
2
4. 在同一平面直角坐标系内， y 2 x 与 y log 2 (x) 的图象可能是
5. 函数 f (x) x3 x 2 的零点的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
（Ⅲ）若 f (m2 2m 7) f (2m2 4m 4) 成立，求实数 m 的取值范围。
5
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【试题答案】一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 3 分，共 39 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A D B C C D D D
10 11 12 13 ABDB
f
(x)
x
2

北京市海淀区2017年_2018年学年高中一年级上学期期末考试数学试题(WORD版]

海淀区高一年级第一学期期末考试数学2017.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{1,5}M =，{24},P =，则下列结论正确的是 ( ) A ．1()U M P ∈ð B ．2()U MP ∈ð C ．3()U MP ∈ð D ．6()U MP ∉ð2．下列函数在区间(,0)-∞上是增函数的是 ( ) A. 2()4f x x x =- B. ()31g x x =+C. ()3xh x -= D. ()tan t x x =3. 已知向量(1,3), (3,),t ==a b 若a b , 则实数t 的值为 ( )A. 9-B. 1-C. 1D. 94. 下列函数中，对于任意的x ∈R ，满足条件()()0f x f x +-=的函数是 ( ) A. 13()f x x = B. si ()n 1f x x =+ C. 2()f x x =D. 22()log (1)f x x =+5. 代数式ππππsin()cos()2326++-的值为 ( )A. 1-B. 0C. 1D.326. 在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC == ，则向量,AE AF 的夹角为 ( )A.π6 B. π4 C. π3 D. 5π2１ 7. 如果函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点π(,0)3成中心对称(π||2ϕ<)，那么函数()f x 的一条对称轴是 ( ) A.π6x =-B.π12x =C. π6x =D. π3x = 8. 已知函数22() xx M f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，其中MP =R ，则下列结论中一定正确的是 ( )A. 函数()f x 一定存在最大值B. 函数()f x 一定存在最小值C. 函数()f x 一定不存在最大值D. 函数()f x 一定不存在最小值二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分. 把答案填在题中横线上. 9．函数()24x f x =-的定义域为_____________.10. 已知0.540.540.5,log 4，a b c ===，则,,a b c 从小到大的排列为_____________. 11. 已知角α终边上有一点(,1)P x ,且21cos -=α,则_________ta _n ___α=. 12. 已知ABC ∆中，点(20), (2,0)A B -，, (,1)C x . (i) 若ACB ∠是直角，则_____________x =；(ii) 若ABC ∆是锐角三角形，则x 的取值范围是_____________.13. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =. 若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为10/v m s =，则两岁燕子飞行速度为25/m s 时，耗氧量达到_____________单位. 14. 已知函数()|1|(1)f x ax a x =---. (i) 当１２a =时，满足不等式()1f x >的x 的取值范围为_____________； (ii) 若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_____________.三.解答题: 本大题共4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，其对称轴为y 轴(其中,b c 为常数) . (Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 记函数()()2g x f x =-，若函数()g x 有两个不同的零点，求实数c 的取值范围； (Ⅲ) 求证：不等式2(1)()f c f c +> 对任意c ∈R 成立.16．（本小题满分12分）已知下表为“五点法”绘制函数()sin()f x A x ωϕ=+图象时的五个关键点的坐标(其中0,0,πA ωϕ>><).(Ⅰ) 请写出函数)(x f 的最小正周期和解析式； (Ⅱ) 求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅲ) 求函数)(x f 在区间π[0,]2上的取值范围.xπ6-π12π37π125π6()f x 022-17．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P . (Ⅰ) 用角α的三角函数表示点P 的坐标； (Ⅱ) 当14AP BP ⋅=-时，求α的值； (Ⅲ) 在x 轴上是否存在定点M ，使得1||||2AP MP = 恒成立 ?若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由.18．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0T ≠，使得()()f x Tf x T =+对任意的x ∈R 成立，则称函数()f x 是Ω函数.（Ⅰ）判断函数()f x x =，()sin πg x x =是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（ⅰ）计分.（ⅰ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是偶函数，则()f x 是周期函数；（ⅱ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是奇函数，则()f x 是周期函数； (Ⅲ) 求证：当1a >时，函数 ()x f x a =一定是Ω函数.BAOyxPα选作题：（本小题满分10分）记所有非零平面向量构成的集合为V ，对于∈V a,b ，≠a b ，定义(){|}=∈⋅⋅V V a,b m m a =m b .(Ⅰ) 请你任意写出两个平面向量a,b ，并写出集合()V a,b 中的三个元素；（Ⅱ）请根据你在(Ⅰ)中写出的三个元素，猜想集合()V a,b 中元素的关系，并试着给出证明； (Ⅲ) 若()()=V V a,b a,c ，其中≠b c ，求证：一定存在实数12λλ,，121λλ=+，使得12λλ+a =b c .海淀区高一年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准2017.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDACBBC二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. [2,)+∞ 10. <<c b a 11. 3- 12. 3±，(2,3)(3,2)-- 13. 320 14. 1(2,), [,1)2+∞说明：12，14题每个答案两分，丢掉一个减2分三.解答题:本大题共4小题, 共44分. 15. （本小题满分12分）解: （I ）因为()f x 的对称轴为y 轴，所以()()-=f x f x 对任意的x ∈R 成立，即22++=-+x bx c x bx c 对任意的x ∈R 成立，整理有20=bx 对任意的x ∈R 成立，所以0=b . ………………………4分法二：因为()f x 的对称轴为y 轴，而()f x 的对称轴为2b x =-，所以有 02b-=，所以0=b . ………………………4分（II ）依题意2()2=+-g x x c 有两个不同的零点，即关于x 的方程220x c +-=有两个不相等的实数根，所以0>,即20c -<，2c <为所求. ………………………8分(Ⅲ) 因为2222(1)()[(1)]()+-=++-+f c f c c c c c 4222131()024c c c =++=++>恒成立，所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分法二：因为()f x 的对称轴为y 轴, 其开口向上且22131||(||)024c c c +-=-+>，即21c +到对称轴的距离大于||c 到对称轴的距离，根据二次函数的性质，所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分16．（本小题满分12分）解: （I ）5ππ()π66T =--=, ………………………2分即2ππT ω==, 所以2ω=. 又2=A , ()2sin(2)=+f x x ϕ,将π(,2)12代入()f x , 有π2sin()26ϕ+=，即πsin()16ϕ+=. 因为||π,ϕ< 所以π57(π,π)666ϕ+∈-，因此ππ62ϕ+=，即π3ϕ=.故π()2sin(2)3f x x =+. ………………………4分说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程. （II ）因为函数sin y x =的单调区间为ππ2π2π22k x k -<<+，所以令πππ2π22π232k x k -<+<+，即 5ππ2π22π66k x k -<<+，解得 5ππππ1212k x k -<<+，所以()f x 的增区间为5ππ(ππ),()1212k k k -+∈Z ，. ………………………8分 (Ⅲ) 因为π[0,]2x ∈，所以有ππ4π2[,]333x +∈，所以当 π12x =时，函数()f x 取得最大值2，当 π2x =时，函数()f x 取得最小值3-，所以函数()f x 在 π[0,]2上的取值范围为[3,2]- ………………………12分17.（本小题满分10分）解: （I ）(cos ,sin )P αα. ………………………2分（II ）13(cos ,sin ) (cos ,sin )22AP BP αααα=+=-， 213(cos )(cos )sin 22AP BP ααα⋅=+-+，223cos cos sin 41cos 4αααα=--+=-因为14AP BP ⋅=-，所以11cos 44α-=-，即1cos 2α=，因为α为锐角，所以π3α=. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+， 2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+，因为1||||2=AP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，所以2(1)cos (1)024m m α++-=对任意π(0,)2α∈成立，所以2102104mm ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2m =-. M 点的横坐标为2-. ………………………10分法二：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+， 2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+，因为1||||2=AP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，即22cos 4cos 40m m αα---=， (2)[(2)2c o s ]m m α+--=，因为α可以为任意的锐角，(2)2cos 0m α--=不能总成立，所以20m +=，即2m =-，M 点的横坐标为2-. ………………………10分18．（本小题满分10分）解: （I ）函数()f x 不是Ω函数，函数()g x 是Ω函数. ………………………2分（II ）(i)因为()f x 是Ω函数，所以()()f x Tf x T =+，所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()Tf x T Tf x T +=-+，即()()f x T f x T +=-+，所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分 (ii) 因为()f x 是Ω函数，所以()()f x Tf x T =+，所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是奇函数， ()()f x f x -=- 所以()()f x Tf x T -=--，即 ()()f x Tf x T =-，所以()()Tf x T Tf x T +=-，所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设()1x g x xa =-，所以(0)1g =-，(1)10g a =->所以至少存在一个(0,1)T ∈，满足()0=g T ，即1TTa =，所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分法二：设1()=-x g x a x，因为1a >，所以(1)10g a =-<，11()0=->ag a a a，所以至少存在一个1(,1)∈T a，满足()0=g T ，即1T a T=，所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分选作题：（I ）例如(1,0),(0,1),a a ==则(,)a b V 中的三个元素可以为(1,1),x =(1,1),y =-- (2,2)z = .……………3分（II ）猜想：(,)a b V 中的所有向量都是共线向量. 证明如下：不妨设1212(,),(,),a a a b b b ==因为a b ≠，所以1122a b a b --，中至少有一个不为0，若220a b -≠，记1122(1)a b e a b -=--，,显然()0e a b ⋅-=，即e a e b ⋅=⋅，所以e ∈(,)a b V .WORD 完美格式技术资料专业整理任取(,)v x y =∈(,)a b V ，因为v a v b ⋅=⋅，所以()0v a b ⋅-=，所以1122()()0x a b y a b -+-=，则有1122a b y x a b -=--，所以(,)v x y xe ==，所以(,){|,}a b v v e λλ==∈V R ，问题得证；若220a b -=，110a b -≠时，可证明(,){|,}a b v v e λλ==∈V R ，其中2211(1)a b e a b -=--，. 所以(,)a b V 中的所有向量都是共线向量. ………………………6分 (Ⅲ) 因为(,)a b V (,)a c =V ，不妨设12v v ∈，(,)a b V ，12v v ≠.则由(,)a b V 的定义知道，11v a v b ⋅=⋅，即1()0v a b ⋅-=, 同理2()0v a b ⋅-=, 所以1()v a b ⋅-2()v a b =⋅-，所以()a b -∈12(,)v v V ，同理得到()a c -∈12(,)v v V由（II ）得，(),()a b a c --共线，所以()()a c a b λ-=-，所以(1)a b c λλ-=-+.因为b c ≠，所以1λ≠，所以11)1)a b c λλλ=-+--（（记1211)1)λλλλλ=-=--，（（，则12+1λλ=，问题得证. ………………………10分。

北京市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，集合．则集合（）{}|03A x x =<<{}2B x x =≥A B = A ．B ． {}|2x x <{}2|0x x <≤C ．D ． {}|2x x ≤<3{}|2x x ≥【答案】C【分析】已知集合、集合，由集合的基本运算，直接求解.A B A B ⋂【详解】集合，集合，则集合.{}|03A x x =<<{}2B x x =≥{}|23A B x x =≤< 故选：C2．命题，则是（）:1,(1)0p x x x ∀>->p ⌝A ．B ． 1,(1)0x x x ∀>-≤()1,10x x x ∀≤->C ．D ． ()000110x x x ∃≤->，0001,(1)0x x x ∃>-≤【答案】D【分析】根据全称命题的否定是存在命题，即可得到答案.【详解】命题，则：.:1,(1)0p x x x ∀>->p ⌝0001,(1)0x x x ∃>-≤故选：D3．下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（）()0,∞+A ．B ． ()f x x x =()1f x x x=+C ．D ． ()ln f x x =()2x f x =【答案】A【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.【详解】对A ，函数，定义域为，，函数为奇函数，()f x x x =R ()()f x x x x x f x -=--=-=-当时，，在上单调递增，A 选项正确； ()0,x ∞∈+()2f x x =()0,∞+对B ，函数，，不满足在上是增函数，B 选项错()1f x x x =+1111424422f f ⎛⎫⎛⎫=+>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,∞+误；对C ，函数，定义域为，不是奇函数，C 选项错误；()ln f x x =()0,∞+对D ，函数，定义域为，值域为，函数图象在轴上方，不关于原点对称，不()2x f x =R ()0,∞+x是奇函数，D 选项错误.故选：A4．已知实数满足，则下列式子中正确的是（）,,a b c 0a b c <<<A ．B ．C ．D ．b ac b ->-2a bc <22b a --<||||a b c b <【答案】C【分析】ABD 错误的选项可以取特殊值进行判断，C 选项可以利用指数函数的性质判断.【详解】对于A 选项，例如，则，不满足，A 选项1,1,20a b c =-==2,19b a c b -=-=b a c b ->-错误；对于B 选项，例如，，，不满足，B 选项错误； 5,1,2a b c =-==225a =2bc =2a bc <对于C 选项，由可知，，结合指数函数在上递增可知，，C 0a b c <<<b a -<-2x y =R 22b a --<选项正确；对于D 选项，例如，，，不满足，D 选项错误. 5,1,2a b c =-==||5a b =||2c b =||||a b c b <故选：C5．已知，则（） 0.20.233,log 3,log 2a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>c b a >>【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，，，0.20331a =>=0.20.2log 3log 10b =<=，由，则，3log 2c =3330log 1log 2log 31=<<=01c <<所以，a cb >>故选∶B ．6．若角的终边与单位圆交于点，则下列三角函数值恒为正的是（） α01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．cos tan ααsin cos ααsin tan ααtan α【答案】A【分析】由三角函数定义结合同角三角函数关系得到正弦和余弦值，从而判断出正确答案.【详解】由题意得：， 1sin 3α=0cos x α===A 选项，， sin 1cos tan cos sin 0cos 3αααααα=⋅==>B 选项，可能正，可能负，不确定； 01sin cos 3x αα=C 选项，可能正，可能负，不确定； 20sin 1sin tan cos 9x αααα==D 选项，. sin tan cos ααα==故选：A7．函数在下列区间内一定存在零点的是（）()ln 3f x x x =-A ．B ．C ．D ． ()1,2()2,3()3,4()4,5【答案】B【分析】构建新函数，根据单调性结合零点存在性定理分析判断. ()3ln g x x x=-【详解】令，则， ()ln 30f x x x =-=3ln 0x x -=构建，则在上单调递增， ()3ln g x x x =-()g x ()0,∞+∵， ()()32ln 20,3ln 3102g f =-<=->∴在内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是，()g x ()0,∞+()2,3故函数一定存在零点的区间是.()ln 3f x x x =-()2,3故选：B.8．已知函数定义域为，那么“函数图象关于y 轴对称”是“，都存在，使()f x D ()f x 1x D ∀∈2x D ∈得成立”的（）12()()f x f x =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数性质分别验证充分性与必要性是否成立，即可得答案.【详解】解：函数定义域为D ，若函数图象关于y 轴对称，则，则，且()f x ()f x x D ∀∈x D -∈，()()=f x f x -所以，都存在，使得满足，即成立，故充分性成1x D ∀∈21x x D =-∈11()()f x f x =-12()()f x f x =立；若函数，其定义域为，满足，都存在，使得()1f x x =-R 1x ∀∈R 212R x x =-∈成立，221111()12111()f x x x x x f x =-=--=-=-=但是函数的图象不关于y 轴对称，故必要性不成立；()f x 故“函数图象关于y 轴对称”是“，都存在，使得成立”的充分不必()f x 1x D ∀∈2x D ∈12()()f x f x =要条件.故选：A.9．中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y 与x 成正比；药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为（a 为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降19x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭低到毫克以下，学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至13少需要经过（）A ．0.4hB ．0.5hC ．0.7hD ．1h 【答案】C【分析】根据函数图象经过点，求出的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即得.()0.2,1a 【详解】由题意知，点在函数的图象上，()0.2,119x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，0.2119a -⎛⎫= ⎪⎝⎭解得，0.2a =所以，0.219x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭由，可得， 0.21193x -⎛⎫< ⎪⎝⎭20.41133x -⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，20.41x ->解得，0.7x >所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的小时.0.7故选：C.10．已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在ABC 2ABC A AB 轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间x x A x A 的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：①一个周期是；6②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆； A ③完成一个周期，顶点的轨迹长度是； A 8π3④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是． A x 8π3其中说法正确的是（）A ．①②B ．①③④C ．②③④D ．①③【答案】D 【分析】依题意将沿着轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点轨迹，由题目中“一个周ABC A x A 期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可.【详解】如上图，沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：ABC A x 第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨ABC A B BC x 11B C 111A B C △A 迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由原点沿运动至位置；B AB A O A 1AA 1A第二步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点111A B C △1C 11C A x 22C A 222A B C △A 的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由沿运动至位置，落到轴，1C 11C A A 1A A 12A A 2A x 完成一个周期.对于①，∵，∴一个周期，故①正确；11222AB B C C A ===26AA =对于②，如图所示，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，不是半圆，故②错A A 1AA A12A A 误；对于③，由已知，，∴， 111111π3A B C A C B ∠=∠=11122π3A BA A C A ∠=∠=∴的弧长，的弧长， A 1AA 114π3l A BA BC =∠⋅=A 12A A 2112114π3l A C A C A =∠⋅=∴完成一个周期，顶点的轨迹长度为，故③正确； A 4π4π8π333+=对于④，如图，完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的图形为扇形，扇形与A x 1BAA 112C A A 的面积和，∵， 111A B C △11122π3A BA A C A ∠=∠=∴， 1112212π4π2233BAA C A A S S ==⨯⨯=扇形扇形∵等边边长为，∴ ABC A 2111A B C S =A∴完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是，故④错误. A x 4π4π8π333+=∴正确的说法为：①③.故选：D.【点睛】方法点睛：分步解决点轨迹，第一步是绕点滚动得到，第二步是A ABC A B 111A B C △绕点滚动得到，再将两步得到的点轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正111A B C △1C 222A B C △A 确.二、填空题11．______. 4sin 3π=【答案】【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.【详解】 4sin sin sin 333ππππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式，属基础题.12．函数___________．()f x =【答案】 1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.【详解】函数有意义，则有，解得，即函数定义域为. ()f x =01ln 0x x >⎧⎨+≥⎩1e x ≥1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭故答案为： 1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭13．函数在区间[0，3]上的值域是___________．()21f x x x =-+【答案】 3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】对二次函数配方，结合单调性得函数的值域.【详解】， 2213()1()24f x x x x =-+=-+所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，，，所以值域为. 13()24f =(0)1f =(3)7f =()f x 3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：. 3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．已知函数，若，则x 的范围是___________．()()2log 1f x x =+()f x x >【答案】()0,1【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.【详解】作出函数和函数的图像，如图所示，()2log 1y x =+y x =两个函数的图像相交于点和，当且仅当时，的图像在的图像()0,0()1,1()0,1x ∈()2log 1y x =+y x =的上方，即不等式的解集为.()>f x x ()0,1故答案为：()0,115．在平面直角坐标系中，设角的始边与轴的非负半轴重合，角终边与单位圆相交于点xOy αx α，将角终边顺时针旋转后与角终边重合，那么___________． 03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭απβcos β=【答案】##-0.6 35-【分析】先根据三角函数的定义算出，然后根据的关系结合诱导公式计算.cos α,αβcos β【详解】根据三角函数的定义，，由题意，，于是3cos 5α=πβα=-. ()3cos cos πcos 5βαα=-=-=-故答案为： 35-16．已知某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为24016000C Q =+．设年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），那么f （Q ）的最小值是___________．【答案】1600【分析】由题意得到年产量为Q 时的平均成本为，再利用基本不等式求解. ()1600040C f Q Q Q Q==+【详解】解：因为某产品总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为．24016000C Q =+所以年产量为Q 时的平均成本为， ()16000401600C f Q Q Q Q ==+≥=当且仅当，即时，取得最小值，最小值为1600， 1600040Q Q=20Q =()f Q 故答案为：1600三、双空题17．已知函数，a 为常数． ()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（1）当时，如果方程有两个不同的解，那么k 的取值范围是___________；3a =()0f x k -=（2）若有最大值，则a 的取值范围是___________．()f x 【答案】()1,7-[]0,3【分析】（1）通过讨论和的单调性得出函数在时的单调性，将方21x y =-163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x 3a =程有两个不同的解转化为函数与直线有两个不同的交点的问题，即可得出k ()0f x k -=()f x y k =的取值范围.（2）根据（1）中得出的和的单调性，分类讨论不同情况时图象的21x y =-163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a ()f x 情况，即可得出a 的取值范围.【详解】解（1）由题意，在中，函数单调递增，且，21x y =-1y >-在中，， 163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2163y x x =-+对称轴，()16832213b x a =-=-=⨯-∴函数在处取最大值，为， 83x =28168643339y ⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭函数在上单调递增，在上单调递减， 8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭在，a 为常数中， ()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩当时，， 3a =()21,316,33x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩函数在上单调递增，在上单调递减，(),3∞-[)3,+∞当时，，3x <3()21(3)217x f x f =-<=-=∵，()211x f x =->-∴当时，，3x <()17f x -<<当时，， 3x ≥()()221616333733f x x x f =-+≤=-+⨯=∴函数在处取最大值7，3x =∵方程有两个不同的解，()0f x k -=即有两个不同的解，()f x k =∴函数与直线有两个不同的交点， ()f x y k =∴，17k -<<∴的取值范围为，k ()1,7-（2）由题意及（1）得，在中，函数单调递增，且，21x y =-1y >-在中，对称轴，在处取最大值， 163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭83x =83x =649且在上单调递增，在上单调递减， 8,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭函数，a 为常数 ()21,16,3x x a f x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩∵有最大值，()f x∴在的值要不大于在的值， 21x y =-x a =16()3y x x =--x a =当时，图象在上方， a<021x y =-163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭显然在的值要大于在的值，不符题意，舍去 21x y =-x a =163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x a =当时，由（1）知，0a ≥当时在的值不大于在的值， 03a ≤≤21x y =-x a =163y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x a =综上，.03a ≤≤故答案为：；.()1,7-[]0,3【点睛】思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解决此类问题的基本思路是将问题转化为两函数的图象交点个数问题，进而作出函数图象，采用数形结合的方式来进行分析求解.四、解答题18．已知， 3cos 5α=-π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求，；sin αtan α(2)求的值. ()()cos 3ππsin tan π2ααα+⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】(1)，. 4sin 5α=4tan 3α=-(2) 34-【分析】（1）由同角三角函数的平方关系和商数关系进行运算即可；（2）结合第（1）问结果，由诱导公式进行运算即可.【详解】（1）， 222316sin 1cos 1525αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭∵，∴，∴， π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0α>4sin 5α=∴. sin tan s 43co ααα==-（2）原式 ()()()()cos 3πcos cos πsin cos tan sin tan πcos 2cos απααααααααα++-===⋅-⎛⎫⎛⎫+-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. cos 3sin 4αα==-19．已知函数()()221R f x x mx m m =+-+∈(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；()f x ()1,3-m (2)解不等式．()21f x x <+【答案】(1)(][),62,∞-∞-⋃+(2)当时，不等式的解集为，2m =-()21f x x <+∅当时，不等式的解集为，2m >-()21f x x <+(),2m -当时，不等式的解集为，2m <-()21f x x <+()2,m -【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数的取值区间；m （2）由题化简不等式，求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式()21f x x <+的解集.()21f x x <+【详解】（1）函数的对称轴， ()221f x x mx m =+-+2m x =-函数在区间上单调()f x ()1,3-依题意得或， 12m -≤-32m -≥解得或，2m ≥6m ≤-所以实数的取值范围为.m (][),62,∞-∞-⋃+（2）由，()21f x x <+即，22121x mx m x +-+<+即，()2220x m x m +--<令()()()222020x m x m x x m +--=⇒-+=得方程的两根分别为，2,m -当，即时，不等式的解集为，2m =-2m =-()21f x x <+∅当，即时，不等式的解集为，2m >-2m >-()21f x x <+(),2m -当，即时，不等式的解集为，2m <-2m <-()21f x x <+()2,m -综上，当时，不等式的解集为，2m =-()21f x x <+∅当时，不等式的解集为，2m >-()21f x x <+(),2m -当时，不等式的解集为，2m <-()21f x x <+()2,m -20．给定函数． 22()11x f x x =-+(1)求函数的零点；()f x (2)证明：函数在区间上单调递增；()f x (0,)+∞(3)若当时，函数的图象总在函数图象的上方，求实数a 的取值范围,()0x ∈+∞()f x ()3g x ax =-【答案】(1)，； 1x =12x =-(2)见解析；(3).(,2]-∞【分析】(1)令求解即可；()0f x =(2)根据函数单调性的定义证明即可； (3)由题意可得在上恒成立，令，利用函数的单调性的定221x a x x<++,()0x ∈+∞22(),01x h x x x x =+>+义可得在上单调递减，且有，即可得的取值范围.()h x (0,)+∞()2h x >a 【详解】（1）解：因为，所以， 22()11x f x x =-+1x ≠-令，则有， 22()101x f x x =-=+221x x =+即，解得或； 2210x x --=1x =12x =-（2）证明：任取，1212,(0,),x x x x ∈+∞<则, 222212122112121212121212222(1)2(1)2()()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-++-=-==++++++因为，所以， 120x x <<121212122()()0(1)(1)x x x x x x x x -++<++即，1212()()0()()f x f x f x f x -<⇔<所以函数在区间上单调递增；()f x (0,)+∞（3）解：由题意可得在上恒成立， 22131x ax x ->-+,()0x ∈+∞即在上恒成立， 221x a x x <++,()0x ∈+∞令， 22222()22,011(1)x h x x x x x x x x =+=-+=+>+++因为，， 0x >22022(1)x x +>+=+当趋于时，趋于0，趋于2， x +∞2(1)x x +22(1)x x ++所以， ()()2,(0)h x x ∈+∞>，所以由在上恒成立可得， 221x a x x<++,()0x ∈+∞2a ≤故的取值范围为.a (,2]-∞21．如图，四边形是高为2的等腰梯形．OABC //,4,2OA BC OA CB ==(1)求两条腰OC ，AB 所在直线方程；(2)记等腰梯形位于直线左侧的图形的面积为．OABC (04)x m m =<≤()f m ①当时，求图形面积的值； 12m =()f m ②试求函数的解析式，并画出函数的图象．()y f m =()y f m=【答案】(1)腰OC 所在直线方程为，腰AB 所在直线方程为；y =y=+(2)① ()f m=②，图象见解析. ()22,0134m f m m m <≤=<≤-+<≤ 【分析】(1)由已知，解三角形求点的坐标，利用待定系数法求其方程；,,,O A B C (2)①解三角形结合三角形面积公式求时的解析式，由此求时，的值； 01m <≤()f m 12m =()f m ②分别在条件，，下求，由此可得函数的解析式，作出01m <≤13m <≤34m <≤()f m ()y f m =函数的图象．()y f m =【详解】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，又，C CE OA ⊥E B BF OA ⊥F //OA BC，2BC =所以四边形为矩形，且，BCEF 2EF =因为四边形为等腰梯形，，OABC 4,2OA OC AB ===所以，1OE AF ==CE BF =所以，()((()0,0,,,4,0O C B A设直线的方程为，所以OC y kx =1k =⨯k =所以腰OC 所在直线方程为， y =设直线的方程为，则，所以， AB y sx t =+304s t s t =+=+⎪⎩s t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以腰AB 所在直线方程为，y =+（2）①当时，设直线与直线的交点分别为，则，01m <≤x m =,OA OC ,M N //MN CE所以，所以，又， ~OMN OEC A A MN OM CE OE =,1OM m CE OE ===所以，MN =所以 ()212OMN f m S m ==⨯A故当时， 12m =()f m =②由①知，当时，， 01m <≤()2f m =当时，设直线与直线的交点分别为，则，13m <≤x m =,OA OC ,G H //GH CE 由已知四边形为矩形，CEGH所以 ()(1OCE CEGH f m S S m =+=-=A当时，设直线与直线的交点分别为，则，34m <≤x m =,OA OC ,K L //KL BF 所以，~AKL AFB A A 所以，又，所以， KL AK FBAF =4,1AK m BF AF =-==)4MN m =-所以， ()()()21442OABC AKL f m S S m m =-=--=+-A所以，()22,0134m f m m m <≤=<≤-+<≤ 作函数的图象可得()y f m =22．设A 是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A 的生成集．{|||,B u v u v A =-∈}u v ≠(1)当时，写出集合A 的生成集B ；{}1,3,6A =(2)若A 是由5个正整数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集，并说明理由．{}2,3,5,6,10,16B =【答案】(1)；{}2,3,5B =(2)4；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解；（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；{}12345,,,,A a a a a a =123450a a a a a <<<<<（3）假设存在集合，可得，，，{},,,A a b c d =d a c a b a ->->-d a d b d c ->->-c a c b ->-，然后结合条件说明即得.16d a -=【详解】（1）因为，所以，{}1,3,6A =132,165,363-=-=-=所以；{}2,3,5B =（2）设，不妨设，{}12345,,,,A a a a a a =123450a a a a a <<<<<因为，21314151a a a a a a a a <<<----所以中元素个数大于等于4个，B 又，则，此时中元素个数等于4个，{}1,2,3,4,5A ={}1,2,3,4B =B 所以生成集B 中元素个数的最小值为4；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集，{},,,A a b c d ={}2,3,5,6,10,16B =不妨设，则集合A 的生成集由组成，0a b c d <<<<B ,,,,,b a c a d a c b d b d c ------又，,,d a c a b a d a d b d c c a c b ->->-->->-->-所以，16d a -=若，又，则，故，2b a -=16d a -=14d b B -=∉2b a -≠若，又，则，故，2d c -=16d a -=14c a B -=∉2d c -≠所以，又，则，而，2c b -=16d a -=18d b c a -+-={},3,5,6,10d b c a --∈所以不成立，18d b c a -+-=所以假设不成立，故不存在4个正整数构成的集合A ，使其生成集.{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

中国人民大学附属中学2018-2019学年上学期高一期末测试

2018~2019学年北京海淀区中国人民大学附属中学高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共27小题，每小题3分，共81分）1.A.B.C.D.已知集合，，那么（）．2. A.B.C.﹒D.过点和点的直线的斜率为（）．3. A.B.C.D.已知角的终边经过点，那么（）．4. A.B.C.D.已知向量，，，那么的值为（）．5. A.B.C.D.函数的最小正周期是（）．6. A.B.C.D.已知直线与直线垂直，那么的值为（）．7. A.B.C.D.某学校为调查中学生对北京世园会的了解情况，计划从初一名学生和高一名学生中抽取名学生进行问卷调查，如果用分层抽样的方法抽取样本，那么高一应抽取的人数为（）．8. A. B.C.D.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）．9. A.B.C.D.直线与直线的距离为（）．10.A.B.C.D.计算：的结果为（）．11.A.B.C.D.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）．主视图侧视图俯视图12.A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位要得到函数的图象，只要将函数的图象（）．13.A.B.C.D.在中，，，，则（）．14.A.B.C.D.盒子里装有标着数字，，，的大小、材质完全相同的张卡片，从盒子里随机抽取张卡片，抽到的卡片上数字之积为奇数的概率是（）．15.A.B.C.D.若向量，满足，且，，则（）．16.A.B.C.D.函数的零点所在的区间是（）．17.A.B.C.D.函数在区间上的最大值为，那么等于（）．18.甲乙A.B.C.D.某品牌服装店周一至周五这天甲、乙两款服装的销售量（单位：件）用茎叶图表示如图所示．如果用，分别表示两款服装销售量的平均数，，分别表示两款服装销售量的标准差，那么（）．，，，，甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙19.A.B.C.D.某社区共有户住户，五月份用水量的频率分布直方图如图所示，则五月份用水量不超过的住户数为（）．立方米用水量频率组距20.A.B.C.D.任取，满足的概率为（）．21.A. B.C.D.过点且与直线平行的直线方程为（）．22.A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形在中，已知，那么这个三角形是（）．23.A.B.C.D.已知幂函数的定义域为，则的值可能为（）．24.A.①B.②C.③D.④设是直线，，是两个不同的平面，在下列四个命题中：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的命题是（）．25.A.B.C.D.假设某种设备使用的年限（年）与所支出的维修费用（万元）有以下关系：使用年限维修费用如果对的线性回归方程，那么（）．该种设备使用年限为年时，维修费用为万元该种设备使用年限为年时，维修费用为万元该种设备使用年限每增加一年，维修费用平均增加万元该种设备使用年限每增加一年，维修费用平均增加万元26.A.外离B.外切C.内含D.内切已知，，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．27.A. B.C.D.已知函数若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（）．二、解答题（本大题共4题，共19分）28.（1）（2）已知函数的一条对称轴方程为．．求的单调递减区间．29.（1）（2）如图，在三棱锥中，，．求证：．若点、分别是棱、上的点，且，求证：．30.（1）（2）（3）已知⊙，直线经过点．若直线与⊙相离，则实数的取值范围是．若直线与⊙相切，则切点的坐标为．设直线与⊙相交于、两点，为坐标原点，求证：．31.（1）（2）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，若某地上班族中的成员仅以自驾、公交、自行车三种方式通勤．研究数据表明：当中有的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间（单位：分钟）为，而公交、自行车群体的人均通勤时间不受的影响，恒为分钟．当时，自驾群体比公交、自行车群体的人均通勤少．求该地上班族的人均通勤时间的表达式；分析的单调性及其实际意义．三、不定项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）32.A.B.C. D.将一组数据在平面直角坐标系中画成散点图，则图中直线最有可能是这组数据的回归直线的是（）．33.A.B.C.D.已知实数，满足，则当时，的可能取值是（）．34.A.B.C.D.如图，一张矩形纸张长，宽，，，，分别是其四边的中点，现将其沿途图中虚线折起，使得，，，四点重合为一点，得到一个多面体，下列关于该多面体的说法中，正确的有（）．面数小于体积小于外接球的半径为四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）35.（1）（2）各个面为全等的正多边形的多面体称为正多面体，以正多面体的每个面的中心为顶点的多面体称为的“伴生多面体”．若正多面体的“伴生多面体”为正四面体，则的棱数为．棱长为的正方体的“伴生多面体”的体积是．36.（1）（2）已知直线，，可以围成一个三角形，则：实数的取值范围是．所围成的三角形面积的最小值为．37.（1）（2）在一副没有大小王的扑克牌中，把看成，看成，看成，看成．对于其中五张扑克牌：如果它们的花色都相同，则称这种组合为“同花”；如果它们是连续的，如，，，，，则称这种组合为“顺子”小波先从这副扑克牌中抽取了三张牌，牌面如下：他再从剩下的牌中抽取两张（不考虑抽取顺序），构成一个五张牌的组合．该组合为“同花”的情形共有种．该组合为“顺子”的概率是．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）38.12（1）（2）已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点为棱的中点．记过点且与垂直的平面为，过点且与垂直的平面为．设平面与正方体的表面相交形成的图形为．请在图中直接画出图形．图形的周长为．设，证明：．39.（1）（2）在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，圆与轴相切，且与轴的正半轴交于、两点，在的上方，且．求圆的标准方程．设点是以原点为圆心、为半径的圆上一动点，且点不在轴上，直线与圆相交于另一点，判断是否存在，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。

北京师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题(含精品解析)

2017-2018学年北京师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角2.下列函数中，在R 上为奇函数的是（）A. B. C. D. f(x)=cosxf(x)=sinxf(x)=e x f(x)=lgx 3.函数的一个对称中心是（）f(x)=sin(x ‒π4)A.B. C. D. (π2,0)(π4,0)(‒π4,0)(‒π2,0)4.设全集U =R ，集合，B ={x |ln x ＞0}，则A ∩B =（）A ={x|12＜2x ＜8}A. B. C. D. (‒1,+∞)(‒1,3)(1,3)(1,+∞)5.已知a =2log 32，b =log 35，，则（）c =(13)0.2A. B. C. D. c <b <aa <b <c b <a <c c <a <b 6.已知，则“”是“”的（）π3＜α＜πα=π2sin(α+π6)=32A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.把函数的图象经过怎样的平移可得到函数y =cos3x 的图象（）y =cos(3x ‒π4)A.向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位π4π4C.向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位π12π128.设f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，有f （x +7）•f （x ）=-1．当0≤x ＜7时，f （x ）=log 2（9-x ），则f （-100）的值为（）A. B.C. D. 2‒1212‒2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：=______．log 124+(‒8)2310.当时，函数f （x ）=tan x 的值域为______．x ∈(π3，π2)11.角α终边上一点的坐标为（1，2），则tan2α=______．12.已知a ＞0，则不等式ax 2+（1-a ）x -1＜0的解集为______．13.若存在x ＞0，使得，则实数a 的取值范围是______．x +2x ‒a ＜014.已知函数y =f （x ）是定义在区间[a ，b ]上的增函数，其中a ，b ∈R ，且0＜b ＜-a ．设函数F （x ）=|f （x ）|-|f （-x ）|，且F （x ）不恒等于0，则下列命题中正确的是______（写出所有正确命题的序号）①F （x ）的定义域为[-b ，b ]；②F （x ）是奇函数；③F （x ）的最小值为0；④F （x ）在定义域内单调递增．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知，且α∈（0，π）．sinα‒cosα=12（Ⅰ）求cosα；（Ⅱ）求的值．sin(α+π4)sin2α+cos2α+116.已知函数．f(x)=sin 2x +3sinxcosx （Ⅰ）求；f(3π4)（Ⅱ）当时，求函数f （x ）的最值及对应x 的值．x ∈[0，π2]17.已知函数的部分图象如图所示，N 为f （x ）图象的一个最f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)高点，M 、Q 为f （x ）图象与x 轴的交点．（Ⅰ）若，，求函数f （x ）的解析式；M(π6，0)N(5π12，3)（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ 为直角三角形，求A •ω的值．18.某港口的水深y （单位：m ）是时间t （0≤t ≤24，单位：h ）的函数，下面是该港口的水深表：t 0…3…9…15…y 10…13…7…13…经过长时间的观察，描出的曲线如图所示，已知该曲线可近似的看成函数y =A sinωt +B 的图象．（Ⅰ）试根据水深表和曲线，求A ，ω，B 的值；（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）请说明理由．19.已知函数．f(x)=ln x ‒2x +2（Ⅰ）若f （a ）=1，求a 的值；（Ⅱ）试判断函数f （x ）的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）写岀方程f（x）=sin x+2根的个数（不需证明）．20.给定函数f（x），对于实数t，若存在a＞0，b＞0，满足：对任意的x∈[t-a，t+b]，|f（x）-f（t）|≤2，则记a+b的最大值为H（t）．（Ⅰ）是否存在函数f（x），使得H（t）是R上的常值函数？试说明理由；（Ⅱ）若f（x）=x2，当t∈[l，2]时，①求函数H（t）的解析式；②求函数H（t）的值域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）是偶函数，对于B，f（x）是奇函数，对于C，D，f（x）是非奇非偶函数，故选：B．根据函数的奇偶性的定义判断即可．本题考查了函数的奇偶性，熟练掌握函数的单调性的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：令x-=kπ，k∈Z，求得x=kπ+，故函数的对称中心为（kπ+，0），令k=0，可得函数的一个对称中心是（，0），故选：B．利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的一个对称中心．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵=（-1，3），B={x|lnx＞0}=（1，+∞），∴A∩B=（1，3）．故选：C．求解指数不等式和对数不等式化简A，B，再由交集运算得答案．本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查交集运算，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵1=log33＜a=2log32=log34＜b=log35＜log39=2，＜（）0=1，∴c＜a＜b．故选：D．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，是基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴＜＜，又“”∴α+=，解得α=．∴“”是“”的充要条件．故选：C．由，知＜＜，又可得α+=，解得α．即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：把函数的图象向左平行移动个单位，可得函数y=cos（3x+3•-）=cos3x 的图象，故选：C．由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，得出结论．本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵对任意实数x，有f（x+7）•f（x）=-1．∴对任意实数x，有f（x+7）•f（x+14）=-1．即f（x）=f（x+14），即函数是周期为14的周期函数，故f（-100）=f（-2），∵当0≤x＜7时，f（x）=log2（9-x），∴f（5）=2，∵f（-2）•f（5）=-1．，故f（-100）=f（-2）=-，故选：A．先由已知得到函数是周期为14的周期函数，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，对数运算，难度不大，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：=-2+4=2．故答案为：2．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式的化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．310.【答案】（，+∞）【解析】解：当时，函数f（x）=tanx单调递增，故：当时，函数在x=时，函数存在最小值，即：y=．所以f（x）的值域为：．故答案为：直接利用正切函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：正切函数的性质的应用．11.【答案】‒4 3【解析】解：角α终边上一点的坐标为（1，2），则tanα=2，tan2α===-．故答案为：．求出角的正切函数值，然后利用二倍角公式求解即可．本题考查任意角的三角函数以及二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】(‒1a，1)【解析】解：不等式ax2+（1-a）x-1＜0，即（ax+1）（x-1）＜0，∵a＞0，∴，不等式ax2+（1-a）x-1＜0的解集为：故答案为：利用因式分解，结合二次函数的性质即可求解．本题考查不等式的解法，主要考查二次不等式，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】a＞22【解析】解：存在x＞0，使得，则a＞x+，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴a＞2，故答案为：．分离参数则a＞x+，求出x+的最小值即可得到a的取值范围．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题14.【答案】①②【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，对于F（x）=f2（x）-f2（-x），有a≤x≤b，a≤-x≤b，而又由0＜b＜-a，则F（x）=f2（x）-f2（-x）中，x的取值范围是-b≤x≤b，即其定义域是[-b，b]，则①正确；对于②，F（-x）=f2（-x）-f2（x）=-F（x），且其定义域为[-b，b]，关于原点对称，则F（x）为奇函数，②正确；对于③，由y=f（x）无零点，假设f（x）=2x，F（x）=22x-2-2x=22x-无最小值，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，则F（x）在[-b，0]上与[0，b]上的单调性相同，故F（x）在其定义域内不一定单调递增，④错误；故答案为：①②对于①，根据F（x）的解析式以及f（x）的定义域，可得a≤x≤b，a≤-x≤b，又由0＜b＜-a，可得F（x）定义域，可得①正确；对于②，先求出F（-x），可得F（-x）=-F（x），再结合F（x）的其定义域，可得F（x）为奇函数，②正确；对于③，举出反例，当f（x）＞1时，可得F（x）的最小值不是0，故③错误；对于④，由于F（x）是奇函数，结合奇函数的性质，可得④错误；综合可得答案本题考查函数的性质，涉及函数的定义域、奇偶性、单调性、最值等性质，判断②时，注意要结合函数F（x）的定义域．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，sinα‒cosα=12∴可得：sinα=cosα+，12∵sin 2α+cos 2α=1，∴（cosα+）2+cos 2α=1，可得：8cos 2α+4cosα-3=0，12∴cosα=，‒1±74∵α∈（0，π）．cosα=sinα-∈（-，），121212∴cosα=．7‒14（Ⅱ）∵cosα=，sinα=．7‒147+14∴sin2α=2sinαcosα=，cos2α=2cos 2α-1=-，3474∴===．sin(α+π4)sin2α+cos2α+12(sinα+cosα)sin2α+cos2α+11447‒7414+26【解析】（Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可得8cos 2α+4cosα-3=0，结合范围α∈（0，π）．可求cosα的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求sinα，sin2α，cos2α的值，利用两角和的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）函数．f(x)=sin 2x +3sinxcosx 那么=（sin ）2+sin cos ==；f(3π4)3π433π43π412+3×22×(‒22)1‒32（Ⅱ）由函数=cos2x +sin2x =sin （2x -）+，f(x)=sin 2x +3sinxcosx 12‒1232π612∵时，x ∈[0，π2]∴2x -∈[，]，π6‒π65π6∴当2x -=，即x =0时，有最小值为0，π6‒π6当2x -=，即时，有最大值．π6π2x =π332【解析】（Ⅰ）将x=带入计算即可；（Ⅱ）利用二倍角和辅助角化简，时，求解内层函数范围，结合三角函数的性质可得最值及对应x 的值．本题考查三角函数的最值的求解，考查转化思想以及计算能力．属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）若，，M(π6，0)N(5π12，3)则A =3，=-==，T 45π12π63π12π4即周期T =π，又=π，则ω=2，2πω则f （x ）=3sin （2x +φ），∵f （）=3sin （2×+φ）=3，5π125π12∴sin （+φ）=1，5π6即+φ=+k π，k ∈Z ，5π6π2则φ=-+k π，π3∵|φ|＜，π2∴当k =0时，φ=-，π3则f （x ）=3sin （2x -）．π3（2）由2k π+≤2x -≤2k π+，k ∈Z ，π2π33π2得k π+≤x ≤k π+，k ∈Z5π1211π12即函数的单调递减区间为，k ∈Z ．[5π12+kπ，11π12+kπ]（Ⅲ）设M ，Q 的中点是P ，若△MNQ 为直角三角形，则AP =MP ，即△MNP 是等腰三角形，则=，即A 2==，(T 4)2+A 2(T 2)2T 24‒T 2163T 216则A =T =，3434⋅2πω则．Aω=32π【解析】（Ⅰ）根据M ，N 的坐标，找出A ，T 之间的关系求出A ，ω和φ的值即可求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）利用三角函数单调性的性质即可求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅲ）若△MNQ 为直角三角形，结合勾股定理建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由题意，．可知A ==3，B ==10．图象过（3，13）即可求解ω．13‒7213+72那么：13=3sin3ω+10，可得：sin3ω=1，∴ω=π6故得：A =3，，B =10．ω=π6（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么水深y ≥11.5，即y =3sin t +10≥11.5，π6∴sin t ≥，π612∵0≤t ≤24，∴1≤t ≤5或13≤t ≤17．故：该船在凌晨1点-5点，或13点-17点能够安全进港；若该船当天港内停留的时间最长，应从凌晨1点进港，17点前离港，最长停留时间为16小时．【解析】（Ⅰ）由题意提供函数y=Asinωt+B 的图象．可知A==3，B==10．图象过（3，13）即可求解ω．（Ⅱ）航行时船底同海底的距离不少于4.5m 时是安全的．如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m ，那么水深y≥11.5，结合三角函数的性质即可求解；本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系19.【答案】解：（Ⅰ）由f （a ）=ln =1，a ‒2a +2即=e ，a ‒2a +2解得a =；2+2e1‒e （Ⅱ）函数f （x ）为奇函数．由＞0，解得x ＞2或x ＜-2，x ‒2x +2故函数f （x ）的定义域是（-∞，-2）∪（2，+∞），关于原点对称，而f （-x ）=ln =ln =-ln =-f （x ），‒x ‒2‒x +2x +2x ‒2x ‒2x +2故函数是奇函数；（Ⅲ）1个．【解析】（Ⅰ）由f （a ）=1，结合对数的定义，解方程可得a 的值；（Ⅱ）函数f （x ）为奇函数．运用函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质可得；（Ⅲ）结合f （x ）的图象和y=sinx+2的图象，可得根的个数．本题考查函数的奇偶性和方程的根的个数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）存在一次函数f （x ）=kx +m （k ≠0），使得H （t ）是R 上的常值函数．事实如下：当f （x ）=kx +m 时，由|f （x ）-f （t ）|≤2，得|kx +m -kt -m |≤2，即|k |•|x -t |≤2，解得t≤x ≤t +，‒2|k|2|k|则a =，b =，‒2|k|2|k|∴H （t ）=a +b =0为R 上的常值函数；（Ⅱ）①由|f （x ）-f （t ）|≤2，得f （t ）-2≤f （x ）≤f （t ）+2，即t 2-2≤x 2≤t 2+2，（*）当时，解（*）得：，此时；1≤t ≤2‒t 2+2≤x ≤t 2+2a ‒b =2t 2+2当＜t ≤2时，解（*）得：，此时．2‒t 2‒2≤x ≤t 2+2a ‒b =t 2+2‒t 2‒2综上，有H （t ）=．{2t 2+2(1≤t ≤2)t 2+2‒t 2‒2(2＜t ≤2)②由函数单调性可得H （t ）∈．[6‒2，2)∪[23，4]∴函数H （t ）的值域为．[6‒2，2)∪[23，4]【解析】（Ⅰ）根据题意，当f （x）=kx+m （k≠0）时，由不等式|f （x ）-f （t ）|≤2可得t ≤x≤t+，则a=，b=，得出H （t ）为常值函数；（Ⅱ）①根据题意，当f （x ）=x 2且t ∈[1，2]时，不等式|f （x ）-f （t ）|≤2化为|x 2-t 2|≤2，利用不等式的性质求出x 的取值范围，写出函数H （t ）的解析式；②由函数的单调性求解H （t ）的值域．本题考查了新定义函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是中档题．。

10北京市清华附中2017-2018学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析

北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】写出与50°的角终边相同的角的集合，取k＝﹣1得答案．【详解】与50°的角终边相同的角的集合为{α|α＝50°+k•360°，k∈Z}．取k＝﹣1，可得α＝﹣310°．∴与50°的角终边相同的角是﹣310°．故选：D．【点睛】本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.设向量，则的夹角等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，∴，∴的夹角等于，故选A考点：本题考查了数量积的坐标运算点评：熟练运用数量积的概念及坐标运算求解夹角问题是解决此类问题的关键，属基础题3.已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．【详解】∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴p到原点的距离为5∴sinα，cosα∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.4.为了得到函数y=cos（2x-）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由条件利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】函数cos2（x），故把函数y＝cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.已知非零向量与满足=且，则△ABC为（）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】根据得出B＝C，得出A，由此判断△ABC是等边三角形．【详解】△ABC中，，∴，∴cos，cos，，∴B＝C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cos A，∴cos A，A，∴△ABC是等边三角形．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，是基础题．6.同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在[，]上是增函数”的一个函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．【详解】“①最小正周期是π，可得ω＝2，排除选项A；②图象关于直线x对称，可得：2，cos，排除选项B，2，cos，排除选项D；对于C，函数y＝sin（2x），最小正周期为π，且2，sin1，函数图象关于x对称；x∈[，]时，2x∈[，]，∴y＝sin（2x）是单调增函数，C满足条件．故选：C．【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A. fB. fC. fD. f【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，据此分析可得f（x）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f（x）在（0，1）上是增函数即可得出f（sinα）＞f（cosβ），即可得答案．【详解】根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），则有f（﹣x）＝f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β，则有αβ，则有sinα＞sin（β）＝cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．8.若定义[-2018，2018]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-2018，2018]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2017，且当x＞0时，有f（x）＞2017，设f（x）的最大值、最小值分别为M，m，则M+m的值为（）A. 0B. 2018C. 4034D. 4036【答案】C【解析】【分析】计算f（0）＝2017，构造函数g（x）＝f（x）﹣2017，判断g（x）的奇偶性得出结论．【详解】令x1＝x2＝0得f（0）＝2f（0）﹣2017，∴f（0）＝2017，令x1＝﹣x2得f（0）＝f（﹣x2）+f（x2）﹣2017＝2017，∴f（﹣x2）+f（x2）＝4034，令g（x）＝f（x）﹣2017，则g max（x）＝M﹣2017，g min（x）＝m﹣2017，∵g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）+f（x）﹣4034＝0，∴g（x）是奇函数，∴g max（x）+g min（x）＝0，即M﹣2017+m﹣2017＝0，∴M+m＝4034．故选：C．【点睛】本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若θ为第四象限的角，且，则cosθ=______；sin2θ=______．【答案】(1). (2). -【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．【详解】∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ，sin2θ＝2sinθcosθ＝2×（）．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，则△ABC的面积为______．【答案】【解析】【分析】利用三角形的内角和解出B，使用余弦定理解出c，代入三角形的面积公式计算．【详解】∵A+C＝2B，A+B+C＝π，∴B，由余弦定理得cos B，解得c＝2或c＝﹣1（舍）．∴S△ABC sin B．故答案为：．【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．11.已知tanx=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=______【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin（π+x）cos（x）的值．【详解】∵tan x＝2，则cos2x+sin（π+x）cos（x）＝cos2x﹣sin x•（﹣sin x），故答案为：．【点睛】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.已知α∈（0，π）且sin（α+）=，则cos（α+）=______；sinα=______【答案】(1). (2).【解析】【分析】直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α）；再由sinα＝sin[（）]，展开两角差的正弦求解．【详解】∵α∈（0，π），∴α∈（），又sin（α），∴cos（α）；则sinα＝sin[（）]＝sin（）cos cos（）sin．故答案为：；．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.如图，在直角梯形中，，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】以AB为x轴，BC为y轴建立直角坐标系，则A(-3,0),C(0,2),设F(0,m)，E(n，2)故=2m-3n-4，由图可知：，所以2m-3n-4点睛：对于向量问题，最容易解答的办法就是将问题的点转化为坐标求解写表达式，然后再根据题意范围求解结果14.已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是______；②若x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=______【答案】(1). [，](2).【解析】【分析】①利用三角函数的公式化简，f（x）＝0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y＝f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解【详解】f（x）＝2sin2x﹣2sin2x﹣a＝2sin2x﹣（1﹣cos2x）﹣a＝2sin2x+cos2x﹣1﹣a1﹣a．其中tanθ①f（x）＝0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）＝a+1有解，∵∴a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y＝f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）1﹣a．其中tanθ其对称轴2x+θkπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．又[0，]，且tanθ∴对称轴x∴x1+x2．则sin（x1+x2）＝sin（）＝cosθ．∵tanθ，即，∴cosθ，则sin（x1+x2）．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+1．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）；（3）最小值为-1，最大值为2.【解析】【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简为f（x）＝2sin（2x），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．【详解】函数f（x）=4sinx（cosxcos-sinxsin）+1，=2sinxcosx-2sin2x+1，=sin2x+cos2x，=2sin（2x+），（1）f（）=2sin（+）=2sin=（2）周期T=；（3）由x在[0，]上，∴2x+∈[，]，当2x+=，即x=，f（x）取得最小值为-1；当2x+=，即x=，f（x）取得最大值为2．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，属于中档题16.已知不共线向量，满足．（1）求；（2）是否存在实数λ，使与共线？（3）若，求实数k的值．【答案】（1）；（2）；（3）k=.【解析】【分析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果；（2）利用向量的共线求出λ的值；（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．【详解】（1）不共线向量，满足||=3，||=5，（ -3）•（2+）=20．所以：，解得：，所以：•（-）=．（2）存在实数使λ+与（-2）共线由于：λ+与（-2）共线故：，所以：．（3）若（k2）⊥（k-2），则：，整理得：，∴k=.【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且sinA-cosC=cos（A-B）．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．【答案】（1）；（2）（，）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sin B的值，可得B的值．（2）化简要求的式子sin（A），根据A∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cos A+sin C的取值范围．【详解】（1）设锐角三角形中，sinA-cosC=cos（A-B），即sinA+cos（A+B）=cos（A-B），即sinA+cosAcosB-sinAsinB=cosAcosB+sinAsinB，即sinA=2sinAsinB，,∴sinB=，锐角三角形中B=．（2）cosA+sinC=cosA+sin（π-A-B）=cosA+sin（-A）=cosA+sin（+A）=cosA+cosA+sinA=sin（A+）．∵B=，∴A∈（，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，），∴sin（A+）∈（，），即cosA+sinC的取值范围为（，）．【点睛】本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ）．（1）若，求的值；（2）若记f（θ）=，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．【答案】（1）1 ；（2）--1.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案；（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）＝2cos2（θ）﹣2λcos（θ）﹣1，令t＝cos（θ），根据二次函数的性质即可求出．【详解】（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ），∴-=（cosθ-cosβ，sinθ-sinβ），∴|-|2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos（θ-β）=2-2cos=2-1=1，∴|-|=1；（2）•=cosθcosβ+sinθsinβ=cos（θ-β）=cos（2θ-），∴|+|==2|cos（θ-）|=2cos（θ-），∴f（θ）=cos（2θ-）-2λcos（θ-）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1令t=cos（θ-），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2-2λt-1=2（t-）2--1，又1≤λ≤2，≤≤1，∴t=时，f（t）有最小值--1，∴f（θ）的最小值为--1．【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数，例如要表示分段函数g（x）=总可以将g（x）表示为g（x）=xh （x-2）+（-x）h（2-x）．（1）设f（x）=（x2-2x+3）h（x-1）+（1-x2）h（1-x），请把函数f（x）写成分段函数的形式；（2）已知G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x⋅h（x-1）是R上的减函数，求a的取值范围；（3）设F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），求函数F（x）的最小值．【答案】（1）f（x）=；（2）≤a＜；（3）当a≤-时，最小值为-a+；当a≥时，最小值为为a+；当-＜a＜时，最小值为F（a）=a2+1．【解析】【分析】（1）分当x＞1、当x＝1和当x＜1时3种情况加以讨论，分别根据函数的对应法则代入，可得f（x）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f（x）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G（x），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a的范围；（3）由题意，讨论x＞a，x＝a，x＜a，求得F（x）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a、a和a的4种情况进行讨论，最后综合可得F（x）的最小值．【详解】（1）当x＞1时，x-1＞0，1-x＜0，可得f（x）=（x2-2x+3）+0•（1-x2）=x2-2x+3；当x=1时，f（x）=2；当x＜1时，x-1＜0，1-x＞0，可得f（x）=1-x2．即有f（x）=；（2）G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x⋅h（x-1）=，由y=G（x）是R上的减函数，可得，解得≤a＜；（3）F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），当x＞a时，x-a＞0，可得F（x）=x2+x-a+1；若a≥-，可得F（x）在x＞a递增，可得F（x）＞F（a）=a2+1；若a＜-，可得F（x）的最小值为F（-）=-a；当x=a时，可得F（x）=2（a2+1）；当x＜a时，x-a＜0，a-x＞0，则F（x）=x2-x+a+1．若a≥，可得F（x）在x＜a的最小值为F（）=a+；若a＜，可得F（x）在x＜a递减，即有F（x）＞F（a）=a2+1．①当a≥时，F（x）在区间（-∞，-）上单调递减，在区间（-，a）上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增，可得F（-）为最小值，且为-+a+1=a+；②当-＜a＜时，F（x）在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．F（x）的最小值为F（a）=a2+1；③当a≤-时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，-）上单调递减，在区间（-，+∞）上单调递增．所以F（x）的最小值为F（-）=-a+；综上所述，得当a≤-时，F（x）的最小值为-a+；当a≥时，F（x）的最小值为为a+；当-＜a＜时，F（x）的最小值为F（a）=a2+1．【点睛】本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断f1（x）=x，f2（x）=log2（6+2sinx-cos2x）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g（x）=lnx（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，求M的最小值；（3）若函数h（x）=sinx（x∈（0，A））是“保三角形函数”，求A的最大值．【答案】（1）见解析；（2）2 ；（3）.【解析】【分析】（1）不妨设a≤c，b≤c，由函数的值域，即可得到结论；（2）要利用“保三角形函数”的概念，求M的最小值，首先证明当M≥2时，函数h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，然后证明当0＜M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，从而求出所求；（3）A的最大值是，讨论①当A时；②当A时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．【详解】（1）不妨设a≤c，b≤c，由a+b＞c，可得f1（a）+f1（b）＞f1（c），即有f1（x）=x为“保三角形函数”；由6+2sinx-cos2x=sin2x+2sinx+5=（sinx+1）2+4∈[4，8]，可得f2（x）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f2（x）为“保三角形函数”；（2）M的最小值为2（i）首先证明当M≥2时，函数h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））是保三角形函数．对任意一个三角形三边长a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，则h（a）＝lna，h（b）＝lnb，h（c）＝lnc．因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，即lna+lnb＞lnc．同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．故函数h（x）＝lnx（x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函数…13分（ii）其次证明当0＜M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数，h（x）＝lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数因为0＜M＜2，所以M+M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnM+lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h（x）＝lnx不是保三角形函数．所以，当M＜2时，h（x）＝lnx（x∈[M，+∞））不是保三角形函数．综上所述：M的最小值为2（3）A的最大值是．①当A＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，A），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，A）不是保三角形函数．②当A=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π--=，即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sina、sinb、sinc∈（，1]．由此可得sina+sinb＞+=1≥sinc，即sina +sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a-b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sina+sinb=2sin cos＞2sin cos=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．故当A=时，h（x）=sinx，x∈（0，A）是保三角形函数，故A的最大值为．【点睛】要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于创新题．。

【精品】2017-2018学年北京市人大附中高二(上)期末数学试卷

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．104．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为．11．（5分）已知点P（1，1）在双曲线C上，C的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的方程为．12．（5分）已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），D（x，﹣1，3）共面，则x的值为．13．（5分）曲线=1（b＞0）与曲线y=|x|﹣1交于A、B两点且|AB|=6，则b的值为．14．（5分）曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=﹣1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=．三、解答题（共30分）15．（8分）如图，在棱长为a的正方体OABC﹣O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，AE=BF=x，其中0≤x≤a，以O为原点，直线OA、OC、OO1为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz．（I）直接写出E、F的坐标；（II）若x=a，求证：A1C1∥EF；（III）求证：A1F⊥C1E．16．（12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD 所在的平面与圆O所的平面相互垂直．已知AB=2，EF=1．（I）求证：平面DAF⊥平面CBF；（II）当时AD=1，求直线CF与平面ABCD所成角的正弦值；（III）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°？17．（10分）已知椭圆C的焦点分别为点F1（﹣1，0）、F2（1，0），C的离心率e=．（I）求椭圆C的方程；（II）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线C有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（III）已知点M（，0），N（0，1），在（II）的条件下，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：?x∈A，2x∈B 的否定是：￢p：?x∈A，2x?B．故选：C．【点评】本小题主要考查命题的否定、命题的否定的应用等基础知识．属于基础题．命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．（）2．（5分）已知向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，则λ＝A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出λ的值．【解答】解：∵向量=（2，﹣3，5）与向量=（3，λ，）平行，∴==，∴λ＝﹣．故选：C．【点评】本题考查了空间向量平行（共线）的问题，解题时根据两向量平行，对应坐标成比例，即可得出答案．3．（5分）已知中点在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则双曲线的虚轴长为（）A．B．5 C．2 D．10【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率等于，建立方程组，可求双曲线的几何量．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5∴双曲线方程的虚轴长为2．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（5分）“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：当a=b=1时，满足a＞0，b＞0，曲线方程ax2+by2=1为x2+y2=1为圆，不是椭圆，充分性不成立．若ax2+by2=1表示椭圆，则a＞0，b＞0且a≠b，即a＞0，b＞0，必要性成立，即“ａ＞0，b＞0”是“曲线ax2+by2=1为椭圆”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用椭圆的定义和方程是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）已知正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，则异面直线AE和CF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，则PF∥AE，从而∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE和CF所成角的余弦值．【解答】解：连结DE，到DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A﹣BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF∥AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE==a，DE==a，CF==，PF=，PC==，∴cos∠PFC==．∴异面直线AE和CF所成角的余弦值为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．【分析】根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得等于点P 到原点距离的2倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到的最小值是2．【解答】解：∵O为F1F2的中点，∴=2，可得=2||当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1∴=2||的最小值为2故选：C．【点评】本题给出点F1、F2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点P指向两个焦点所成向量的和向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选：A．【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度8．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且点P到直线AD的距离等于它到直线BB1的距离，则四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD所在直线为准线，可得当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，代入三棱锥体积公式求解．【解答】解：由题意可知，P在底面ABCD上的轨迹为抛物线，且B为焦点，AD 所在直线为准线，当P与C重合时，满足四面体P﹣AC1B1的体积最大，如图：∴四面体P﹣AC1B1的体积的最大值为V=．故选：D．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）x，y∈R，命题：“如果xy=0，则x=0”的逆否命题是若x≠0，则xy ≠0．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故答案为：若x≠0，则xy≠0【点评】本题主要考查四种命题之间关系的求解，利用逆否命题的定义是解决本题的关键．10．（5分）抛物线x2=ay的准线方程是y=2，则实数a的值为﹣8．第11页（共19页）【分析】利用抛物线x 2=ay 的准线方程是y=﹣即可得出．【解答】解：∵抛物线x 2=ay 的准线方程是y=2，开口向下，∴﹣=2，解得a=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了抛物线的性质，确定抛物线x 2=ay 的准线方程是关键，属于基础题．11．（5分）已知点P （1，1）在双曲线C 上，C 的渐近线方程为y=±x ，则双曲线C 的方程为．【分析】设出曲线的标准方程利用双曲线的性质，求解即可．【解答】解：设双曲线C 的方程为，由题意点P （1，1）在双曲线C 上可得，解得m=．故所求双曲线的方程为．故答案为：．【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及其性质是解题的关键．12．（5分）已知空间四点A （4，1，3），B （2，3，1），C （3，7，﹣5），D （x ，﹣1，3）共面，则x 的值为11．【分析】根据空间四点A （4，1，3），B （2，3，1），C （3，7，﹣5），D （x ，﹣1，3）共面，可得存在实数m ，n 使得=m +n ，解出即可得出．【解答】解：=（﹣2，2，﹣2），=（1，4，﹣6），=（x ﹣4，﹣2，0），∵空间四点A （4，1，3），B （2，3，1），C （3，7，﹣5），D （x ，﹣1，3）共面，∴存在实数m ，n 使得=m +n，。

2017-2018年北京大学附中高一上学期数学期末试卷带答案

2017-2018学年北京大学附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（）A．a=b，b=a B．a=c，b=a，c=b C．a=c，b=a，c=a D．c=a，a=b，b=c 2．（5分）从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A．1 000名学生是总体B．每个被抽查的学生是个体C．抽查的125名学生的体重是一个样本D．抽取的125名学生的体重是样本容量3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．34．（5分）一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A．抽签法B．分层抽样法C．随机数表法D．系统抽样法5．（5分）下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本6．（5分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）A．42名B．38名C．40名D．120名7．（5分）当x=5，y=﹣20时，下面程序运行后输出的结果为（）A．22，﹣22 B．22，22 C．12，﹣12 D．﹣12，128．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．1610．（5分）读程序，当输出的值y的范围大于1时，则输入的x值的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）11．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．5112．（5分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，≤则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）给出一个算法：根据以上算法，可求得f（﹣1）+f（2）=．14．（5分）把89化为五进制数为．15．（5分）某小学三个年级共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254．其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为．（填序号）16．（5分）执行下边的程序框图，输出的T=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．18．（12分）某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表：很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？19．（12分）画出计算12+32+52+…+9992的程序框图，并编写相应的程序．20．（12分）某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量．21．（12分）已知函数f（x）=编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值，画出程序框图并编写相应的程序计算．22．（12分）如图所示，利用所学过的算法语句编写相应的程序．2017-2018学年北京大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（）A．a=b，b=a B．a=c，b=a，c=b C．a=c，b=a，c=a D．c=a，a=b，b=c【解答】解：由算法规则引入中间变量c，语句如下c=aa=bb=c故选：D．2．（5分）从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A．1 000名学生是总体B．每个被抽查的学生是个体C．抽查的125名学生的体重是一个样本D．抽取的125名学生的体重是样本容量【解答】解：从某年级1 000名学生中抽取125名学生进行体重的统计分析，在A中，1000名学生的体重是总体，故A错误；在B中，每个被抽查的学生的体重是个体，故B错误；在C中，抽查的125名学生的体重是一个样本，故C正确；在D中，125是样本容量，故D错误．故选：C．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=4；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选：B．4．（5分）一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（）A．抽签法B．分层抽样法C．随机数表法D．系统抽样法【解答】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．故选：D．5．（5分）下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本【解答】解：系统抽样的特点是从比较多比较均衡的个体中抽取一定的样本，并且抽取的样本具有一定的规律性，在所给的四个抽样中，从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本或从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本，它们都是一个简单随机抽样；对于某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本，由于个体是由差别明显的几部分组成，故采用分层抽样，只有在从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本，这是一个最适宜用系统抽样法的．故选：C．6．（5分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生是（）A．42名B．38名C．40名D．120名【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400，由分层抽样原理，应抽取120×=40名．故选：C．7．（5分）当x=5，y=﹣20时，下面程序运行后输出的结果为（）A．22，﹣22 B．22，22 C．12，﹣12 D．﹣12，12【解答】解：由题意，该程序运算的原理是若x＜0，则用y﹣3的值赋给x；否则，即当x≥0时，则用y+3的值赋给y最后将算出的x﹣y，y﹣x的值输出．由此，可得∵x=5＞0，∴y+3=﹣20+3=﹣17，赋值给y后得y=﹣17因此，x﹣y=5+17=22，y﹣x=﹣17﹣5=﹣22．故选：A．8．（5分）现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（）A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样【解答】解；观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，故选：A．9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：S﹣12n248故S=2时，输出n=8．故选：C．10．（5分）读程序，当输出的值y的范围大于1时，则输入的x值的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【解答】解：由图可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．当x≤0时，输出值y＞1时，2﹣x﹣1＞1，得x＜﹣1，当x＞0时，＞1，可得x＞1，综上所述，输入值x的取值范围是x＜﹣1或x＞1，即输入的x值的取值范围是：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故选：C．11．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选：D．12．（5分）如图给出了一个程序框图，其作用是输入x值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，≤则这样的x值有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：当x≤2时，x2=x，有x=0或x=1；当2＜x≤5时，2x﹣3=x，有x=3；当x＞5时，x=，x无解．故可知这样的x值有3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）给出一个算法：根据以上算法，可求得f（﹣1）+f（2）=0．【解答】解；由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数f（x）=的值，当x=﹣1时，满足x≤0，可得f（﹣1）=﹣4，当x=2时，满足x＞0，可得f（2）=4，∴f（﹣1）+f（2）=﹣4+4=0．∴输出的f（x）值为0．故答案为：0．14．（5分）把89化为五进制数为324．【解答】解：89÷5=17+4，余数是4，17÷5=3+2，余数是2，3÷5=0+3，余数是3．=324（5）故89（10）故答案为：324．15．（5分）某小学三个年级共有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要用抽样方法抽取10人形成样本，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，如果抽得号码有下列四种情况：①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；④11，38，60，90，119，146，173，200，227，254．其中可能是由分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为①④．（填序号）【解答】解：先考虑那种情况为分层抽样，分层抽样需按年级分成三层，一年级抽4个人，二三年级个抽3个人，也即1到108号抽4个，109到189号抽3个，190到270号抽3个，可判断①②④是分层抽样，在判断①②④中那几个是系统抽样，系统抽样需把1到270号分成均与的10部分，每部分按事先约定好的方法抽取1个，则②为系统抽样．故答案为：①④．16．（5分）执行下边的程序框图，输出的T=30．【解答】解：根据程序框图，运行如下：S=0 N=0 T=0S=5 N=2 T=2S=10 N=4 T=6S=15 N=6 T=12S=20 N=8 T=20S=25 N=10 T=30此时T＞S，故输出T=30．故答案为：30．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）分别用辗转相除法和更相减损术求282与470的最大公约数．【解答】解：辗转相除法：470=1×282+188，282=1×188+94，188=2×94，∴282与470的最大公约数为94．更相减损术：470﹣282=188，282﹣188=94，188﹣94=94．∴470与282的最大公约数为94．18．（12分）某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表：很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？【解答】解：可用分层抽样方法，其总体容量为12000，“很喜爱”占，应取（人），“喜爱”占，应取（人），“一般”占，应取（人），“不喜爱”占，应取（人），因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2435人、4567人、3926人和1072人中分别抽取12人，23人，20人和5人．19．（12分）画出计算12+32+52+…+9992的程序框图，并编写相应的程序．【解答】解：程序框图如下图：程序如下：S═0i=1WHILE i＜=999s=s+i2i=i+2WENDPRINT SEND （l2分）20．（12分）某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量．【解答】解：因为系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n是36的约数，且是6的约数，即n是的倍数，或n=6，12，18，n+1是35的约数，故n只能是4，6，34，综合得n=6，即样本容量为6．21．（12分）已知函数f（x）=编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值，画出程序框图并编写相应的程序计算．【解答】解：用变量x，y分别表示自变量和函数值，步骤如下：第一步，输入x值．第二步，判断x的范围．若x≥0，则用解析式y=x2﹣1求函数值；否则，用y=2x2﹣5求函数值．第三步，输出y值．程序框图如图所示：程序如下：I NPTU“x=“；xIF x＞=0 THENy=x^2﹣1ELSEy=2*2^2﹣5ENDIFPRINT“y=“；yEND22．（12分）如图所示，利用所学过的算法语句编写相应的程序．【解答】解：程序为： INPUT x ，n m=0，N=0，i=0 WHILE i ＜nN=x*10^i +N m=m +N i=i +1 WEND PRINT m END赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =yxa y =y定义域R值域 (0,)+∞过定点图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

【期末试卷】北京市海淀区2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案

海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =I （） A ．∅ B ．{}1 C ．{}3 D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．．12- C ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（）A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x = 5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A ．CD =uu u r u rB ．0CA CE ⋅=u u r u u rC ．AB uu u r 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u r6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位 C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x c < D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++uu r uu r uu u r uu u r的说法正确的是（）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =r，写出一个与a r 共线的非零向量的坐标．10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b r r 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=r r．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =，（ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间：；（ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可）（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2l o gy x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数；（Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r， ∴()sin f x a b x k =⋅=+r r.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos α==，tan α=. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=.∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。

2017-2018学年北京大学附属中学高一数学上期末考试试题

第一学期高中新课程模块考试一试题（卷）高一数学第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知变量a、b已被赋值，要互换a、 b 的值，采纳的算法是（）A ．a b，b a B．a c，b a ， c bC．a c，b a ，c a D ．c a，a b ， b c2.从某年龄 1000 名学生中抽取 125 名学生进行体重的统计剖析，就这个问题来说，以下说法正确的选项是（）A ． 1000 名学生是整体B．每个被抽查的学生是个体C．抽查的 125 名学生的体重是一个样本D．抽取的 125 名学生的体重是样本容量3.阅读下面的程序框图，运转相应的程序，则输出s 的值为（）A．-1B．0C．1D． 34.一个年级有12 个班 ,每个班有50 名同学 ,随机编号1,2，， 50，为了认识他们在课外的兴趣，要求每班第40 号同学留下来进行问卷检查,这里运用的抽样方法是（）A. 抽签法B.有放回抽样C.随机抽样D. 系统抽样5.以下抽样实验中,最适合用系统抽样的是（）A. 某市的 4 个区共有2000 名学生,且 4 个区的学生人数之比为3: 2 :8 :2,从中抽取200 人入样B 从某厂生产的2000 个电子元件中随机抽取 5 个入样C.从某厂生产的2000 个电子元件中随机抽取200 个入样D.从某厂生产的20 个电子元件中随机抽取 5 个入样6.某学院A、B、C三个专业共有1200 名学生 ,为了检查这些学生勤工俭学的状况，拟采纳分层抽样的方祛抽取一个容量为120 的样本 ,已知该学院的 A 专业有380 名学生,B专业有420 名学生，则在该学院的 C 专业应抽取的学生人数为（）A．30 B． 40 C. 50 D．607.当x 5 ，y 20 时，下面程序运转后输出的结果为（）A ． 22， -22B ．22,22 C. 12， -12D． -12,128.现要达成以下 3 项抽样检查 :①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有32 排，每排有40 个座位，有一次报告会恰巧坐满了听众，报告会结束后，为了听取建议，需要请32 名听众进行会谈;③东方中学共有160 名教员工，此中一般教师120 名 ,行政人员16 名 ,后勤人员24 名 ,为了了解教员工对学校在校务公然方面的建议，拟抽取一个容量为20 的样本。

人大附中高一2017-2018高一第二学期期末数学

人大附中深圳学校2017-2018学年第二学期高一年级数学学科期末考试试卷命题人：张红红审题人：王欢庆说明：本本试卷共有3道大题22道小题，考试时长120分钟，满分150分。

请用专用答卷纸答卷，选择题用2B 铅笔填涂，要求要把选项填黑填满，主观题要答写在对应题框内，不在框内答卷无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填写在答题卡相应指定位置）1.下列命题正确的是（）A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.同底等高的圆柱和圆锥的体积比为3:1C.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D.两条异面直线所成角可以是135°2.若直线2680x y ++=和0x ky +=垂直，则（）A.-2B.3C.2D.13- 3.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700。

从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 40 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45A.623B.328C.253D.0074.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在走私为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为（）B.34πC.2πD.4π 5.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（）A.11A E DC ⊥B.1A E BD ⊥C.11A E BC ⊥D.1A E AC ⊥6.如图所示的程序框图输出的结果为30，则判断框内的条件是，该循环结构属于结构，横线上所填内容正确的选项为（）A.5?n ≤；当型循环B.5?n <；当型循环C.5?n <；直到型循环D.6?n ≤；直到型循环7.设圆心为1C 的圆的方程为22(5)(3)9x y -+-=，圆心为2C 的圆的方程为224290x y x y +-+-=，则两圆的关系为（）A.相离B.相切C.相交D.内含8.在区间[0,]π上随机选取一个实数x ，则事件“sin 2x ≥”发生的概率为（） A.1 B.14 C.13 D.169.五四青年节活动中，高一（1）、（2）班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：）分，其中高一（2）班得分有一个数字被污损，无法确诊，假设这个数字x 具有随机性()x N ∈，那么高一（2）班的平均得分大于高一（1）班的平均得分的概率为（）A.34B.13C.35D.2510.已知动点P 在直线0x y -+=上移动，由点P 向圆221x y +=引切线，则切线段长的最小值为（）D.211.某同学有一圆锥状的木块，想把它车成“球状珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，母线长为10cm ，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是（）A.9πcm 3B.12πcm 3C.36πcm 3D.72πcm 3 12.对于任意实数a ，点(,2)P a a -与圆22:2C x y +=的位置关系的所有可能是（）A.都在圆内B.都在圆外C.在圆上或圆外D.在圆上、圆内或圆外二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷(一)

北京市2017—2018学年高一数学上学期期末考试试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．设集合A={0，1，2，3}，集合B={﹣1，1}，则A∩B=（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}2．函数y=log2（x+2）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣2，+∞）D．[﹣2，+∞）3．sin240°等于（）A．B．﹣ C．D．﹣4．为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象上每一点（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）7．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）元．A．10.5 B．10 C．11.5 D．118．已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=2x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，1]C．[1，3]D．[3，+∞]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量与的夹角为60°，且||=1，||=2；则=．10．已知α∈（0，），sinα=，则cosα=．11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）一个周期的图象（如图），则这个函数的解析式为．12．如图，在正方形ABCD中，E为BC边中点，若=λ+μ，则λ+μ=．13．已知函数y=a x，y=x b，y=log c x的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）14．已知函数，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①；②|x1|＞x2；③x1＞|x2|；④．其中能使g（x1）＞g（x2）恒成立的条件序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．已知α为锐角，且tanα=．（Ⅰ）求tan（α+）的值；（Ⅱ）求的值．16．已知向量，．（Ⅰ）若，共线，求x的值；（Ⅱ）若⊥，求x的值；（Ⅲ）当x=2时，求与夹角θ的余弦值．17．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值和最大值．18．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．19．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．（Ⅰ）若方程f（x）﹣x=0有唯一实数根，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值；（Ⅲ）当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．20．如果定义在R上的函数f（x），对任意的x∈R，都有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“β函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=2x+1；③y=x2﹣2x﹣3，是否为“β函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“β函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“β函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．参考答案一、单项选择题：1．A．2．C．3．D．4．B．5．C．6．A．7．C．8．A．二、填空题：9．答案为：1．10．答案为：．11．答案为：f（x）=．12．答案为：．13．答案为：b＜a＜c．14．答案为：③④．三、解答题：15．解：（I）tan（α+）===2 …（II）因为=，所以cosα=3sinα….=…==8．…16．解：（I）根据题意，向量，，若，则有﹣2x=4，解可得x=﹣2．（II）若，则有•=0，又由向量，，则有4×x+（﹣2）×1=0，即4x﹣2=0，解可得，（III）根据题意，若，则有=（8，0），，∴．17．解：（I）函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，∴函数f（x）的最小正周期为：T==π；（Ⅱ）由，解得，∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；（III）由，得，令2x+=﹣，解得x=﹣，∴f（x）min==×（﹣）+1=0，令2x+=，解得x=，∴f（x）max==×1+1=+1．18．解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．19．解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x）…（I）方程f（x）﹣x=0有唯一实数根，即方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，…∴（2a+1）2=0，解得…∴…（II）∵a=1∴f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣1，2]若f（x）max=f（﹣1）=3…若f（x）min=f（1）=﹣1…（Ⅲ）解法一、当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，即：在区间[2，+∞）上恒成立，…设，显然函数g（x）在区间[2，+∞）上是减函数，…g max（x）=g（2）=2…当且仅当a≥g max（x）时，不等式f（x）≥2﹣a2在区间[2，+∞）上恒成立，因此a≥2…解法二、因为当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，所以x≥2 时，f（x）的最小值≥2﹣a…当a＜0时，f（x）=a（x2﹣2x）在[2，+∞）单调递减，f（x）≤0恒成立而2﹣a＞0所以a＜0时不符合题意．…当a＞0时，f（x）=a（x2﹣2x）在[2，+∞）单调递增，f（x）的最小值为f（2）=0所以0≥2﹣a，即a≥2即可综上所述，a≥2…20．解：（Ⅰ）①、②是“β 函数”，③不是“β函数”．…（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0，．因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a．故f（﹣x）+f（x）=2cosx+2a由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx．…故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．…（Ⅲ）（1）对任意的x≠0（a）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍），（b）若x∈B且﹣x∈B，则f﹣（x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“β函数”矛盾，（舍）．此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B．（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）．（a）若，则f（）=，矛盾，（b）若，则f（）=，矛盾．综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A．（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾．故0∈A故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0）．符合题意…。