西南交通大学 运筹学 模拟试题二

试题 二

试题代码：453 试题名称：运筹学

考生注意∶

１．本试题共 七 题，共 3 页，请考生认真检查；

一、华津机器制造厂专为拖拉机厂配套生产柴油机，今年头四个月收到的订单数量分别为3000，4500，3500，5000台柴油机。该厂正常生产每月可生产柴油机3000台，利用加班还可生产1500台。正常生产成本为每台5000元，加班生产还要追加1500元成本，库存成本为每台每月200元。华津厂如何组织生产才能使生产成本最低，建立其线性规划模型。（20分）

二、考虑线性规划问题：（25分）

⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪0

,,232524125max 321321321321≥=+-≤++++=x x x x x x x x x x x x z

X 4为松弛变量，X 5为人工变量，

1．上述模型的对偶模型为： ； 2．对偶模型的最优解为： ； 3．当两种资源分别单独增加一个单位时，目标函数值分别增加 和 ；

4．最优基的逆矩阵B -1

= ⎢⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎦⎤

5．如果原问题增加一个变量，则对偶问题的可行域将可能变大还是变小？

. 三、求解下列各题（解题方法自选）（20分）

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧)

3,2,1;3,2,1(01111111544121081065min 33231332221231211133323123222113121133323123

2221131211====++=++=++=++=++=++++++++++=j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ij 或

四、用隐枚举法求解下列0-1规划问题（20分）

⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪()

max ,,z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j j =++++-++-≥-+--+≥-+--≥==571033542263220

221011512345

12345123452345

五、用动态规划方法求解下列问题（25分）

⎧⎨⎪⎩

⎪

3

,2,10

1

)1(max 321321=≥≤+--=j x x x x x x x z j

六、今有三个仓库运送某种产品到四个市场上去，仓库的供应量是20，20和100，市场需求量是20，20，60和20，仓库与市场之间的路线上的容量如下表（容量零表示两点间无直接的路线可通）。用图论方法确定现有路线容量能否满足市场的需求，若不能，应修改哪条

七．下列叙述中正确的是 （ ）（20分）

1. 图解法与单纯形法，虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；

2. 若线性规划的原问题有多重最优解，则其对偶问题也一定具有多重最优解；

3. 如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运

方案将不会发生变化；

4. 对于极大化问题max Z =

ij

n i n

j ij

x c

∑∑==11

…令

{}ij ij ij c c b c c -==,max 转化为极小化问

题ij

n i n

j ij x b W ∑∑===11min ，则利用匈牙利法求解时，极大化问题的最优解就是极小化

问题的最优解，但目标函数相差： n+c ；

5. 如果图中从i v

至各点均有惟一的最短路，则连接至其他各点的最短路在去掉重复部

分后，恰好构成该图的最小支撑树。

试题二答案

一、解：设i x 代表第i 月正常生产的柴油机数量， i y 代表第i 月加班生产的柴油机数量， i z 代表第i 月末的库存量，则i z =4

4,3,2,1,0,,5000

35004500300020065005000min 443332221114

1

4

1

4

1

=≥=++≥++≥++≥+++=∑∑∑===i z y x y x z y x z y x z y x z y x Z i i i i i

i i i i

二、解：

1、 对偶模型 无约束2121212121,04

31225225min y y y y y y y y y y W ≥≥+≥-≥++=

2、 由

单

纯

形

表

可

看

出

，

5

29

5291)(*=--=y 由于

,00,0,0;021212211==∴≠≠=⨯=⨯s s s s y y x x x y x y 而

则对偶问题的第一、二个约束是紧的，可解出52

2-=y

将21,y y 代入第三个约束，满足约束条件，则5141

5252921*),,(),(*=-==w y y y T

3、5和2

4、=-1

B

⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-5/25/15/15/2

5、如果原问题增加一个变量，则对偶问题就增加一个约束条件，它的可行域要么减少，

要么不变，绝对不会变大。

三、解：此题可看作指派问题求解：

5 6 10 1 2 5 0 1 4 0 0 3 8 10 12 ~ 4 6 7 ~ 0 2 3 ~ 0 1 2 4 4 5 0 0 0 0 0 0 1 0 0

19*0,1,1,1331221====∴Z x x ，其余为最优解

四、解：将最大化问题化为极小化问题，并将系数转为正，即令'

1i i x x -=，整理得

)

5,2,1(103

2212236224532631075min ''5'4'3'2'5'4'3'2'1'5'4'3'2'1'

5'4'3'2'1'''

==-≤--+-≤+--+--≤-++--++++=j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z j 或

1

2

3

4

5

6

10

117812

9'1=

x 0

'1=x 1

'

2=x 1

'

3=x 0

'

3=x 0

'

2=x 1

'

2=x 0

'

2=x 1

'

3=x 1

'

3=x 0'3=x 0

'

3=x

综上，该0-1规划无可行解

五、解：按三个变量划分为三个阶段，状态转移方程

第三阶段： {}233333*,max )(s x s x s f === 330s x ≤≤

第二阶段：{}{}

2

21

'22'23'222)(max )(max )(s x s x s x s f =-==

2'20s x ≤≤ 2'

20s x ≤≤

其中 221

'2*s x = )1(2'2x x -= 第一阶段：

{

}{}

27

82

2

14

1

1

2

241

111)2(max max )(=

-⨯

=⨯=x x s x s f

201≤≤x 201≤≤x

其中 32

1*=x

27

83

2

331

32'22321**,1*1*,*=

=

=-=-==∴Z x x x x 最优解

六、解：依题意，首先给出一个可行流