弹性力学-平面应力-平面应变问题

化简得到
x yxzxX0
x y z
Y 0
xyy zyY0
x y z
Z 0
xzyzz Z0
x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回顾
σb0
其中，是微分算子
x
0
0
y
0 0
y x
0
z
z
0
0
0
0
z
y x
式中，b是体积力向量，b[XYZ]T
二维问题：平衡微分方程
x yx X0
x y
xy y Y 0
已知位移 u 边界上弹性体的位移为 u、 v、 w，
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz y E 1yz x
xy
1
G
xy
yz
1 G
yz
z E 1zxy
zx
1 G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
y 1 E 1 1 2 1 x y 1 z
回顾
弹性力学目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物 理方程
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
0
0
0
0
y
0
t
0
z
T
0
y x
0
z
yห้องสมุดไป่ตู้
z
0
x
3.物理方程：应力-应变的关系
由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状
态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law） Y
弹塑性范围
弹性范围 斜率, E
应变
u=u(x, y), v=v(x, y), w=0
显然，在这种条件下构件所有横截面上对应点（x 、y坐标相同）的应力、应变和位移是相同的。这 样，我们只需从构件中沿纵向截出单位厚度的薄 片进行分析，用以代替整个构件的研究 。
平面应变问题
对于具有以下特征的构件，可作为平面应变问题看待：
(1) 构件纵向(如z轴方向)的尺寸远大于横向(x，y轴方 向)尺寸；
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力 、应变和位移必然是三向的。一般说来 ，它们都是三个坐标x、y、z的函数。这 样的问题称为弹性力学空间问题。
当构件形状有某些特点，并且受到特殊的 分布外力作用或温度变化影响，某些空间 问题可以简化为弹性力学的平面问题。这 些问题中的应力、应变和位移仅为两个坐 标（如x、y）的函数。平面问题可以进而 分为平面应变问题和平面应力问题两大类 。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
§2-2 弹性力学基本方程
回顾
b
c
zx zx
b’
zy zy
yz
c’ yz
xz
xz
a a’
xy xy
d
yx yx
d’
a’
1.平衡微分方程
回顾
由力平衡条件 X0 有
xxxdxdydzxdydzyxyyxdydxdzyxdxdz
zxzzxdzdxdyzxdxdX y dxdy0dz
z 1 E 1 1 2 1 x 1 y z
xy 21Exy
yz 21Eyz
zx
E
21
zx
若令
T x y z xyyzzx
T x y z xy yzzx
代表应变列阵和应力列阵，则应力-应变关系
可写成矩阵形式
D
其中
1
1
1
对
D
E1 1 1 2
1
0
1
0
1 0
1 2
21
称
0
00 0
1 2
21
0
00 0
0
1 2
21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回顾
弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为X 、Y 、Z 。设 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为
(2) 与纵向(z轴)垂直的各横截面的尺寸和形状均相同； (3) 所有外力均与纵轴(z轴)垂直，并且沿纵轴(z轴)没
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 弹性力学基本概念 §2-2 弹性力学的基本方程 §2-3 平面应变和平面应力问题
§2-1 弹性力学基本概念
回顾
位移 应变 应力
物体变形后的形状 物体的变形程度 物体的受力状态
弹 性 模量量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
x y
回顾
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾
B1 θ2
θ1 A1
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾 六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
几何方程式的矩阵形式为 ε tu
其中 t 为微分算子 的转置
回顾
x
平面应变问题
设一构件（如图），其 纵向（z）尺寸远大于 横向（x，y）尺寸，且 与纵轴垂直的各截面都 相同；受到垂直于纵轴 但不沿长度变化的外力（包括体积力X、Y， 同时有Z=0）的作用，而且约束条件也不沿 长度变化。
平面应变问题
这时，可以把构件在纵向作为无限长看待。因此 ，任一横截面都可以视为对称面，其上各点就不 会产生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也与坐 标z无关。则有
X Y
nxx nyxy nxyx nyy
nzxz nz yz
Z
nxzx
nyz y
nzz
其矩阵表达式为
t nσ
(在 t 上)
其中，面积力向量 t[XYZ]T，方向余弦矩阵为
nx 0 0 ny 0 nz n0 ny 0 nx nz 0
0 0 nz 0 ny nx
5. 位移边界条件
回顾