高考数学 第六章 第4讲 数列求和 理
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(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前 n 项和．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 d＝a4－3 a1＝12－ 3 3＝3， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)． 设等比数列{bn－an}的公比为 q，由题意得 q3＝bb41－－aa41＝240－－132＝8，解得 q＝2. 所以 bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 从而 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
(2)令 Sn＝kn(n＋1)， 因为 S2＝6，得 k＝1，即 Sn＝n2＋n， 当 n＝1 时，a1＝S1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n. 综合可得 an＝2n(n∈N*)． 又由(1)有，cn＝12(cn－1－1)，即 cn＋1＝12(cn－1＋1)， 所以{cn＋1}是以 2 为首项，以12为公比的等比数列， 所以 cn＋1＝2·(12)n－1，即 cn＝(12)n－2－1.
(2)由(1)知 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． 数列{3n}的前 n 项和为32n(n＋1)，数列{2n－1}的前 n 项和 为11－－22n＝2n－1. 所以，数列{bn}的前 n 项和为32n(n＋1)＋2n－1.
ห้องสมุดไป่ตู้
二 裂项相消法求和
【例 2】(2014·广东茂名一模)已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn.
【思路点拨】 (1)利用等差中项的概念，进行转化， 再结合TSnn＝A2nn＋＋71，可求出 A 的值；
由(1)求的 A，可令 Sn＝kn(n＋1)，由 S2＝6 求出 k，则 Sn 可求，分 n＝1 和 n≥2 求得 an.把给出的 cn＝g(cn－1)变形， 得到数列{cn＋1}是12为公比，以 c1＋1＝2 为首项的等比数 列，由等比数列的通项公式求出 cn＋1，从而得到 cn；
A.nn2＋1＋2－21n
B.nn2＋1＋1－21n
C.n2＋2n＋4－2n1－1
D.n2－2n＋4－2n1－1
解析：先把数列的前 n 项和分解成等差数列和等 比数列的前 n 项和，进而根据等差数列和等比数列的 求和公式求出答案．
4. 若 Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则 S50＝
(1)请写出数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，并推导其公式； (2)若 an＝n，数列{an}的前 n 项和为 Sn，求S11＋S12＋…＋S1n 的和．
【解答过程】(1)Sn＝na1＋2 an或 Sn＝na1＋nn－2 1d. 证明：设等差数列{an}的公差为 d， 因为 Sn＝a1＋a2＋…＋an， 所以 Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，① Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，② 由①＋②得：2Sn＝n(a1＋an)． 所以 Sn＝na1＋2 an.
(3)当 n＝2k＋1 时， d1＋d2＋…＋dn ＝(a1＋a3＋…＋an)＋(c2＋c4＋…＋cn－1) ＝(2＋6＋…＋2n)＋[1＋(12)2＋…＋(12)n－3－n－2 1] ＝n＋2 12＋43[1－(12)n－1]－n－2 1 ＝n2＋2n＋2＋43[1－(12)n－1]．
当 n＝2k 时， d1＋d2＋…＋dn ＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(c2＋c4＋…＋cn) ＝[2＋6＋…＋2(n－1)]＋[1＋(12)2＋…＋(12)n－2－n2] ＝n22＋43[1－(12)n]－n2 ＝n2－2 n＋43[1－(12)n]．
所以 d1＋d2＋…＋dn＝ n2＋2n＋2＋43[1－12n－1] n为正奇数 n2－2 n＋34[1－12n] n为正偶数
【温馨提示】奇数项和偶数项分别构成等差数列或者 等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或 等比数列的求和公式．
【跟踪训练 1】(2014·北京)已知{an}是等差数列，满足 a1 ＝3，a4＝12，数列{bn}满足 b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等 比数列．
一 分组求和及并项法求和
【例 1】设等差数列{an}，{bn}前 n 项和 Sn，Tn 满足TSnn＝ A2nn＋＋71，且b4＋a3b6＋b2＋a7b8＝25，S2＝6；函数 g(x)＝12(x－1)，且 cn＝g(cn－1)(n∈N，n＞1)，c1＝1.
(1)求 A； (2)求数列{an}及{cn}的通项公式； (3)若 dn＝acnnnn为为偶奇数数 ，试求 d1＋d2＋…＋dn.
(3)分 n＝2k 和 n＝2k＋1 两类写出 d1＋d2＋…＋dn，然 后利用分组求和．
【解答过程】 (1)因为{an}、{bn}是等差数列， 由b4＋a3b6＋b2＋a7 b8＝25，知ab34＋＋ab76＝25， 即ab11＋ ＋ab99＝25， 所以TS99＝ab11＋ ＋22 ab99× ×99＝ab11＋ ＋ab99＝25， 所以A2××99＋＋71＝25，解得 A＝1.
项和为 Sn，则 Sn 等于( D )
A．2n
B．2n－n
C．2n＋1－n
D．2n＋1－n－2
解析：依题意可知数列的每一项是由等比数列的和构成 的，设为 Tn，则 Tn＝22n－－11＝2n－1，所以数列是由等比数列 和等差数列构成的，则 Sn＝222－n－11－n＝2n＋1－n－2.
3. 数列 2,212，314，418，…，n＋2n1－1，…的前 n 项和为( C )
第4讲 数列求和
1. 等差数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，其前 n 项和为
Sn，则数列{Snn}的前 10 项的和为( C )
A．120
B．70
C．75
D．100
解析：因为Snn＝n＋2，所以{Snn}的前 10 项和为 10×3＋ 102×9＝75.
2. 设数列 1，(1＋2)，…，(1＋2＋…＋2n－1)，…的前 n
.
解析：S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25 ＝－25.
5. 数列 0.5,0.55,0.555,0.5555，…的前 n 项和为________.
解析：先表示出数列 0.5,0.55,0.555,0.5555，…的通项公式 an ＝59(1－10－n)，然后再根据等比数列前 n 项和公式计算．
解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，由题意得 d＝a4－3 a1＝12－ 3 3＝3， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)． 设等比数列{bn－an}的公比为 q，由题意得 q3＝bb41－－aa41＝240－－132＝8，解得 q＝2. 所以 bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 从而 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
(2)令 Sn＝kn(n＋1)， 因为 S2＝6，得 k＝1，即 Sn＝n2＋n， 当 n＝1 时，a1＝S1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n. 综合可得 an＝2n(n∈N*)． 又由(1)有，cn＝12(cn－1－1)，即 cn＋1＝12(cn－1＋1)， 所以{cn＋1}是以 2 为首项，以12为公比的等比数列， 所以 cn＋1＝2·(12)n－1，即 cn＝(12)n－2－1.
(2)由(1)知 bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． 数列{3n}的前 n 项和为32n(n＋1)，数列{2n－1}的前 n 项和 为11－－22n＝2n－1. 所以，数列{bn}的前 n 项和为32n(n＋1)＋2n－1.
ห้องสมุดไป่ตู้
二 裂项相消法求和
【例 2】(2014·广东茂名一模)已知等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn.
【思路点拨】 (1)利用等差中项的概念，进行转化， 再结合TSnn＝A2nn＋＋71，可求出 A 的值；
由(1)求的 A，可令 Sn＝kn(n＋1)，由 S2＝6 求出 k，则 Sn 可求，分 n＝1 和 n≥2 求得 an.把给出的 cn＝g(cn－1)变形， 得到数列{cn＋1}是12为公比，以 c1＋1＝2 为首项的等比数 列，由等比数列的通项公式求出 cn＋1，从而得到 cn；
A.nn2＋1＋2－21n
B.nn2＋1＋1－21n
C.n2＋2n＋4－2n1－1
D.n2－2n＋4－2n1－1
解析：先把数列的前 n 项和分解成等差数列和等 比数列的前 n 项和，进而根据等差数列和等比数列的 求和公式求出答案．
4. 若 Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则 S50＝
(1)请写出数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式，并推导其公式； (2)若 an＝n，数列{an}的前 n 项和为 Sn，求S11＋S12＋…＋S1n 的和．
【解答过程】(1)Sn＝na1＋2 an或 Sn＝na1＋nn－2 1d. 证明：设等差数列{an}的公差为 d， 因为 Sn＝a1＋a2＋…＋an， 所以 Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d]，① Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d]，② 由①＋②得：2Sn＝n(a1＋an)． 所以 Sn＝na1＋2 an.
(3)当 n＝2k＋1 时， d1＋d2＋…＋dn ＝(a1＋a3＋…＋an)＋(c2＋c4＋…＋cn－1) ＝(2＋6＋…＋2n)＋[1＋(12)2＋…＋(12)n－3－n－2 1] ＝n＋2 12＋43[1－(12)n－1]－n－2 1 ＝n2＋2n＋2＋43[1－(12)n－1]．
当 n＝2k 时， d1＋d2＋…＋dn ＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(c2＋c4＋…＋cn) ＝[2＋6＋…＋2(n－1)]＋[1＋(12)2＋…＋(12)n－2－n2] ＝n22＋43[1－(12)n]－n2 ＝n2－2 n＋43[1－(12)n]．
所以 d1＋d2＋…＋dn＝ n2＋2n＋2＋43[1－12n－1] n为正奇数 n2－2 n＋34[1－12n] n为正偶数
【温馨提示】奇数项和偶数项分别构成等差数列或者 等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或 等比数列的求和公式．
【跟踪训练 1】(2014·北京)已知{an}是等差数列，满足 a1 ＝3，a4＝12，数列{bn}满足 b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等 比数列．
一 分组求和及并项法求和
【例 1】设等差数列{an}，{bn}前 n 项和 Sn，Tn 满足TSnn＝ A2nn＋＋71，且b4＋a3b6＋b2＋a7b8＝25，S2＝6；函数 g(x)＝12(x－1)，且 cn＝g(cn－1)(n∈N，n＞1)，c1＝1.
(1)求 A； (2)求数列{an}及{cn}的通项公式； (3)若 dn＝acnnnn为为偶奇数数 ，试求 d1＋d2＋…＋dn.
(3)分 n＝2k 和 n＝2k＋1 两类写出 d1＋d2＋…＋dn，然 后利用分组求和．
【解答过程】 (1)因为{an}、{bn}是等差数列， 由b4＋a3b6＋b2＋a7 b8＝25，知ab34＋＋ab76＝25， 即ab11＋ ＋ab99＝25， 所以TS99＝ab11＋ ＋22 ab99× ×99＝ab11＋ ＋ab99＝25， 所以A2××99＋＋71＝25，解得 A＝1.
项和为 Sn，则 Sn 等于( D )
A．2n
B．2n－n
C．2n＋1－n
D．2n＋1－n－2
解析：依题意可知数列的每一项是由等比数列的和构成 的，设为 Tn，则 Tn＝22n－－11＝2n－1，所以数列是由等比数列 和等差数列构成的，则 Sn＝222－n－11－n＝2n＋1－n－2.
3. 数列 2,212，314，418，…，n＋2n1－1，…的前 n 项和为( C )
第4讲 数列求和
1. 等差数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1，其前 n 项和为
Sn，则数列{Snn}的前 10 项的和为( C )
A．120
B．70
C．75
D．100
解析：因为Snn＝n＋2，所以{Snn}的前 10 项和为 10×3＋ 102×9＝75.
2. 设数列 1，(1＋2)，…，(1＋2＋…＋2n－1)，…的前 n
.
解析：S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50 ＝(－1)×25 ＝－25.
5. 数列 0.5,0.55,0.555,0.5555，…的前 n 项和为________.
解析：先表示出数列 0.5,0.55,0.555,0.5555，…的通项公式 an ＝59(1－10－n)，然后再根据等比数列前 n 项和公式计算．