河南省郑州市2018年高三毕业年级第一次质量预测——数学(理)

郑州市2018年高三毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x ｜x ＞1}，B ＝{x ｜2x ＜16}，则A ∩B ＝A ．（1，4）B ．（－∞，1）C ．（4，＋∞）D ．（－∞，1）∪（4，＋∞） 2．若复数z ＝（2a －a －2）＋（a ＋1）i 为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 A ．－2 B ．－2或1 C ．2或－1 D ．2 3．下列说法正确的是A ．“若a ＞1，则2a ＞1”的否命题是“若a ＞1，则2a ≤1” B ．“若a 2m ＜b 2m ，则a ＜b ”的逆命题为真命题 C ．0x ∃∈（0，＋∞），使03x＞04x成立 D ．“若sin α≠12，则α≠6π”是真命题 4．在()nx x＋的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则2x 的系数为 A ．50 B ．70 C ．90 D ．120 5．等比数列{n a }中，a 3＝9，前3项和为S 3＝3320x dx ⎰，则公比q 的值是A ．1B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或－126．若将函数f （x ）＝3sin （2x ＋ϕ）（0＜ϕ＜π）图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到y ＝g （x ）的图象，若函数y ＝g （x ）是奇函数，则函数y ＝g （x ）的单调递增区间为A ．[k π－4π，k π＋4π]（k ∈Z ） B ．[k π＋4π，k π＋34π]（k ∈Z ）C ．[k π－23π，k π－6π]（k ∈Z ）D ．[k π－12π，k π＋512π]（k ∈Z ）7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是A ．（30，42]B ．（30，42）C ．（42，56]D ．（42，56）8．刍甍（chú h ōng ），中国古代算数中的一种几何形体．《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广。

刍，草也。

甍，屋盖也。

”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为A ．24B ．5C ．64D ．69．如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且AP ＝（m ＋211）AB ＋211BC ，则实数m 的值为 A ．1 B ．13 C ．911 D ．51110．设抛物线2y ＝4x 的焦点为F ，过点M 50）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与线的准线相交于C ，｜BF ｜＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFACFS S △△＝ A ．34 B ．45 C ．56 D ．6711．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2ccosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为S 3，则ab 的最小值为A ．28B ．36C ．48D ．5612．已知函数f （x ）＝3x －92x ＋29x －30，实数a ，b 满足f （m ）＝－12，f （n ）＝18，则m ＋n ＝ A ．6 B ．8 C ．10 D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设变量x ，y 满足约束条件14040x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥，＋－≤，－3＋≤，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为___________．14．已知函数f （x ）＝21ln(1)2x x x x ⎧⎨⎩，≤－，1＜≤，若不等式f （x ）≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值范围是_______________．15．如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为___________．16．已知双曲线C ：22221x y a b－＝的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若7FM ＝3FN ，则双曲线的渐近线方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且a 2＋a 5＝25，S 5＝55． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设n a n b ＝131n －，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4 日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励 民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员 工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日 到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图 如下：（Ⅰ）若甲单位数据的平均数是122，求x ；（Ⅱ）现从右图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为 ζ1，ζ2令η＝ζ1＋ζ2，求η的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABC ； （Ⅱ）若PA 与平面ABC 所成的角为4，求平面PAC 与 平面PDE 所成的锐二面角．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by 3＝0相切．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于两点P ，Q ，若△PQF 2的周长为2，求2F P ·2F Q 的最大值．21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝lnx ＋1ax 一1a，n ∈R 且a ≠0． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性； （Ⅱ）当x ∈[1e，e]时，试判断函数g （x ）＝（lnx —1）xe ＋x —m 的零点个数．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝28cos 1cos θθ－． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若α＝4π，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．23．（本小题满分10分）（选修4—5：不等式选讲） 设函数f （x ）＝｜x ＋3｜，g （x ）＝｜2x －1｜． （Ⅰ）解不等式f （x ）＜g （x ）；（Ⅱ）若2f （x ）＋g （x ）＞ax ＋4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．2018年郑州高三第一次质量预测理科数学 参考答案一、选择题1-6ADDCCB 7-12ABDDCA 二、填空题 13.-1;14. 50,;2⎡⎤⎢⎥⎣⎦15. 12;3516. .210x y ±= 17.解析：（1）⎩⎨⎧=+===+=+5510552552135152d a a S d a a a ，求得.23,3,51+=∴⎩⎨⎧==n a d a n ...............6分 （2）).231131(31)23)(13(1)13(1+--=+-=-=n n n n n a b n n ...............8分),23121(31)23113181515121(3121+-=+--++-+-=++=n n n b b b T n n .)23(269161+=+-=∴n nn T n ...............12分 18.解析：（1）由题意12210141134132)120(126119115113107105=++++++++++x ，解得8=x ；..........4分（2）随机变量η的所有取值有0,1,2,3,4.;457)0(2102102627===C C C C p η ;22591)1(210210261317===C C C C C p η;31)2(2102101416131724272623=++==C C C C C C C C C C p η;22522)3(210210241317141623=+==C C C C C C C C p η ;2252)4(2102102423===C C C C p η...............9分η∴的分布列为：η0 1 2 3 4P457 22591 31 22522 225257225242252233122259114570)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ηE ........12分 19.（1）证明：连接DE ，由题意知,2,4==BD AD.90,222 =∠∴=+ACB AB BC AC.33632cos ==∠ABC .8cos 322212222=∠⨯⨯-+=∴ABC CD .22=∴CD222AC AD CD =+∴,则AB CD ⊥,...............2分又因为ABC PAB 平面平面⊥，所以,,PD CD PAB CD ⊥∴⊥平面 因为AC PD ⊥，CD AC ,都在平面ABC 内，所以⊥PD 平面ABC ；...............4分（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D xyz -， 且PA 与平面ABC 所成的角为4π，有4=PD ， 则)4,0,0(),0,2,0(),0,0,22(),0,4,0(P B C A -∴)4,4,0(),0,4,22(),0,2,22(--==-=PA AC CB 因为,//,2,2AC DE EB CE DB AD ∴==由（1）知,BC AC ⊥⊥PD 平面ABC ，∴ CB ⊥平面DEP ...........8分 ∴)0,2,22(-=为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,PA n AC n∴⎩⎨⎧=--=+0440422z y y x ，令1=z ，则1,2-==y x ，.......10分∴)1,1,2(-=n 为平面PAC 的一个法向量. ∴.2312424,cos -=⋅-->=<CB n故平面PAC 与平面PDE 的锐二面角的余弦值为23, 所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30................12分20.解析：（1）由题意c b a ab =+-2243，即).4)(()4(3222222222b a b a b a c b a +-=+=所以222b a =，22=∴e ................4分 （2）因为三角形2PQF ∆的周长为24，所以,2,244=∴=a a由（1）知12=b ，椭圆方程为1222=+y x ，且焦点)0,1(),0,1(21F F -， ①若直线l 斜率不存在，则可得l x ⊥轴，方程为)22,1(),22,1(,1----=Q P x ，)22,2(),22,2(22--=-=Q F P F ，故2722=⋅Q F P F ................6分 ②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，由⎩⎨⎧=++=22),1(22y x x k y 消去y 得0224)12(2222=-+++k x k x k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则.1222,12422212221+-=+-=+k k x x k k x x ........8分 ,)1)(1(),1(),1(2121221122y y x x y x y x Q F P F +--=-⋅-=⋅则.1))(1()1(221221222+++-++=⋅k x x k x x k F F 代入韦达定理可得,)12(292712171)124)(1(1222)1(222222222222+-=+-=+++--++-+=⋅k k k k k k k k k k F F 由02>k 可得)27,1(22-∈⋅Q F P F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1(22-∈⋅F F ，所以F F 22⋅最大值是27...............12分 21.解析：（1）)0(,1)(2>-='x ax ax x f当0a <时，0)(>'x f 恒成立，所以函数()f x 是()0,+∞上的单调递增函数；当0a >时，()210ax f x ax -'=>，得1x a>，01)(2<-='ax ax x f ，得a x 10<<， 函数单调递增区间为),1(+∞a ，减区间为).1,0(a综上所述，当0a <时，函数()f x 增区间为()0,.+∞.当0a >时，函数单调递增区间为),1(+∞a ，减区间为).1,0(a............4分（2）∵],1[e ex ∈，函数m x e x x g x -+-=)1(ln )(的零点，即方程m x e x x=+-)1(ln 的根. 令()()ln 1e xh x x x =-+，()1ln 1e 1.x h x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭'............6分 由（1）知当1a =时， ()1ln 1f x x x=+-在)1,1[e 递减，在[]1,e 上递增，∴()()10f x f ≥=.∴1ln 10x x+-≥在],1[e e x ∈上恒成立.∴()1ln 1e 1010x h x x x ⎛⎫=+-+≥+>⎪⎭'⎝，.............8分 ∴()()ln 1e xh x x x =-+在],1[e ex ∈上单调递增. ∴()1min112e h x h e e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，e x h =max )(.........10分所以当112em e e <-+或e m >时，没有零点，当112e e m e e-+≤≤时有一个零点.....12分22.(1)直线l 的参数方程为：1cos ,(sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）.……2分28cos sin θρθ=，2sin 8cos ,ρθθ∴=22sin 8cos ,ρθρθ∴=28.y x =即 ……5分（2）当4πα=时，直线l的参数方程为：1,(2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）,…6分代入28y x =可得2160,t --=12,,A B t t 设、两点对应的参数分别为则11t t +=1216t t =-128 3.AB t t ∴=-==……8分1sin4O AB d π=⨯=又点到直线的距离11222AOB S AB d ∆∴=⨯=⨯=……10分23.（本小题满分10分）解：(1)321,x x +<-由已知，可得22321.x x +<-即……1分21080,x x -->则有：3 24.3x x ∴<->或 ……3分 2(,)(4,).3-∞-+∞故所求不等式的解集为： ……4分45,3,1(2)()2()()23217,3,2145,.2x x h x f x g x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=+=++-=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩由已知，设……6分 3454,49,x x ax ax x ≤--->+<--当时，只需恒成立即499304x x a x x --≤-<∴>=--恒成立.,1,)94(max ->∴-->∴a x a ……7分1374,302x ax ax -<<>+-<当时，只需恒成立即恒成立..61,61,0321033≤≤-∴⎩⎨⎧≤-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--a a a a a 只需 ……8分1454,4 1.2x x ax ax x ≥+>+<+当时，只需恒成立即14110,42x x a x x+≥>∴<=+恒成立.414>+x ,且无限趋近于4，.4≤∴a ……9分综上，a 的取值范围是(1,4].- ……10分。