商品利润问题与二次函数典型例题解析

商品利润问题与二次函数典型例题解析

知识链接复习：

1某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500千克•经市场调查发现，

在进货价不变的情况下，若每千克涨价

1元，日销售量将减少 20千克•现该商场要保证每天盈利

6 000

元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 解：设每千克应涨价 x 元，读题完成下列填空

问题一：涨价后每千克盈利 _________________ 元； 问题二：涨价后日销售量减少 千克；

问题三：涨价后每天的销售量是 千克； 问题四：涨价后每天盈利 元？

根据题意列方程得：

解方程得： 因为商家涨价的目的是 ；所以 符合题意。

答：

。 2、 二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标是x=

y=

3、 函数y=x 2+2x-3(-2 w x w 2)的最大值和最小值分别是 新知解析：

例1、某商品现在的售价为每件 35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价 1

元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销 售额是多

少？

解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得：

2

y= ( 35-x ) (50+2x ) =-2x +20x+1750

b 20 x=-

=-

=5

2a 2 X ( 2)

因为 0<5<35 且 a=-2<0 所以 y=(35-5)(50+10)=1800

答：当降价5元时 销售额最大为1800元。

此类习题注意要点：

1、 根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为 x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。

2、 判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值

3、 根据题意求最值。写出正确答案。

例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要， 开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费 10元时， 床位可全部租出， 若每张床位每天收费提高

2元，则相应的减少了 10张床位租出，如果每张床位每天以 2

元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元？租金最高是 多少钱？

x o

解：设当张价 X 元时租金为y 元，根据题意得：y= ( 100-10 X ) (10+x ) =-5x +50x+1000

2

50

=5

因为5是奇数，不合题意。所以

x=4或6，此时总的租金y 相等。又因为目的是出租床位少，所

以价位取较高的，每张床涨价

6元。此时出租单价为 10+6=16 (元)

b

x —

—

2a 2 X (

5)

所以y 最大=(100-5 X 6)(10+6)=1020 (元)

答：当租金为16元时租金最大为1020元。

此题注意顶点坐标不是题目要求的最大值。对应练习：

1、某商品店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现销售单价是30元时，月销售量230件而销售单价上涨一元月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元，设每件玩具的销售单价上涨x 元时(x为正整数)月销售利润为y元

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围

(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为

2520元？

(3)每件玩具的售价定为多少元时可是月销售利润最大？最大的月利润为多少元？答案：

2、如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm AD=4cm点P、Q分别从A B同时出发，P在边AB上沿AB

方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为x秒，△ PBQ的面积为y (cm2).

(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)求厶PBQ勺面积的最大值.

3、某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元•设公司每日租出x辆车时，日收益为y 元.(日收益=日租金收入一平均每日各项支出)

(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元(用含x的代数式表示)；

—

(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？

(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

注：此题注意第一个空：租出x辆时，未租出车辆为(20-X)辆，注意题目中的句子：当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆。未租出车辆为(20-x )辆时，每辆车的租金增加50 ( 20-X )元，原租金为400元，所以现租金为400+50 ( 20-X ) = ( -50x+1400 )元

4、某公司营销A、B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax 2+bx .在x=1时，y=1.4 ；当

x=3时，y=3.6 .信息2:销售B种产品所获利润y (万元)与销售产品x (吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x ..

根据以上信息，解答下列问题；

(1)求二次函数解析式；

(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

注：此题注意第二问。设A种x吨，B种(10-x )吨。则B种获利为y B = 0.3 ( 10-X )元

5、为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成

本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯•已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500 •(1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？