数值分析—第6章 数值积分与数值微分

b a
f ( x )dx f ( xi ) li ( x )dx
b i 0 a
n
ωi
机械求积公式
i ( x x ) dx
a j i
i j
b
( x x j )
由节点决定，与 f (x)无关。
式中 xi 称为求积节点； ωi 称为求积系数.
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数值分析
数值积分
近似计算 I f ( x )dx
a b
为什么要进行数值积分？
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
I ( f ) f ( x)dx F (b) F (a)
a
b
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
2019年1月25日4时40分
a
b
Ln ( x )dx
a
b
思 利用插值多项式L ( x) f ( x) 则积分易算。 n 路
在[a, b]上取 a x0 < x1 <…< xn b，做 f 的 n 次插值
多项式 Ln ( x ) f ( xi )li ( x ) ，即得到
i 0 n
插值型积分公式
数值分析
例6-1

1 0
1 1 1 3 f ( x )dx f ( ) f ( ) , 求其代数精度。 2 3 2 4
解 逐次检查公式是否精确成立
取 f(x) = 1 ： 取 f(x) = x ：
1 dx 1 =
0
1
1 1 1 2 2

1 0
x dx
1 1 1 1 3 13 2 3 2 4 24 2
3h
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数值分析
例3 给定形如 f ( x)dx A0 f (0) A1 f (1) B0 f (0) 的 0 求积公式，试确定系数 A0 , A1 , B0 ，使公式具有尽可能高的 代数精度. 2 令 分别代入求积公式使它精确成立 f ( x ) 1 , x , x 解 解: 当 f ( x) 1 时，得 A0 A1 1dx 1; 0 1 当 f ( x) x 时，得 A1 B0 xdx 1 ; 0 2 1 1 当 f ( x) x 2 时，得 A1 x 2 dx . 0 3 2 1 1 解得A0 , A1 , B0 ,于是得
对于代数精度为m的求积公式，若f(x)是不超过m
次的代数多项式，则求积公式是精确成立的．
确定代数精度的方法
一般地，欲使求积公式

b
a
f ( x )dx

i0
n
i
f ( x i )具有m次代数
精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，
而对于xm +1不成立。
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∴ 此求积公式的代数精度为0
定理6-1 对任给的n+1个互ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的求积节点x0 ,x1 ,… ,xn,
一个机械求积公式的代数精度有 n 次 该公式为插
值型求积公式。
插值型求积公式是代数精度最高的求积公式
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数值分析
例2 试构造形如 0 f(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值 求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数. 解: 求积公式有 A0, A1, A2三个未知数, 令公式对 f(x)=1, x, x2 均准确成立, 则有 3h=A0+ A1+ A2 9 h2=0 + A h+ A 2h 1 2 2 9h3=0 + A1h2+ A24h2 3 9 解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 4 4 3h 9h 故求积公式的形式为 0 f(x)dx 3h f(0) + f(2h) 4 4 由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度; 当f(x)=x3时, 公式的左边= 81 h4, 右边=18h4, 公式的左边右边, 4 3 说明此公式对 f(x)=x 不能准确成立. 因此, 公式只具有2次代数精度.
b n M R[ f ] x xi dx a ( n 1)! i 0
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第6章 数值积分与数值微分
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数值分析
6.1.3 求积公式的的代数精度
定义6-1 若求积公式对于任意次数≤m次的多项式均能
准确地成立，但对于m+1次多项式不能准确成立，则
称该求积公式的代数精度为m．
1 1 x2 2 x 1 1 1 x 4 dx 4 2 ln x 2 2 x 1 2 2 [arctan( 2 x 1) arctan( 2 x 1)]
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数值分析
6.1 插值型求积公式
近似计算
I f ( x )dx
数值分析
6.1.2 插值型求积公式的余项
R[ f ] [ f ( x ) Ln ( x )]dx
a b
Rn ( x )dx
a
b
b a
f ( n1) ( x ) n ( x xi ) dx ( n 1)! i 0
当 f ( n1) ( x ) M ( x [a , b]) 时，可得到
第6章 数值积分与数值微分
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数值分析
但是在许多实际问题经常遇到下列情况：
☎ f(x)没有解析表达式，只有数表形式
x f(x) 1 4 2 4.5 3 6 4 8 5 8.5
e.g.
☎ f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 1 sin x 1 e.g. x2 0 x dx 0 e dx 它们的原函数都不是初等函数. ☎ f(x)有表达式，原函数是初等函数，但表达式相当复杂. e.g.
数值分析
第6章 数值积分与数值微分
Numerical Integration And Numerical Derivation 6.1 插值型求积公式 6.2 三个常用的求积公式及其误差
6.3 复化求积公式
6.4 Romberg求积公式
6.5 Gauss求积公式
6.6 数值微分法
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