数值分析复习资料
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f (a h) f (a ) h
f (a ) f (a h) h
f ( a h) f ( a h) f ( x )在点 a 处以 2h 为步长的中心差商 2h
例3.11 2) Richardson外推 例3.12
Chap 4 方程求根
不动点迭代法 Newton迭代法
简化Newton迭代法 弦截法
例3.1, 题3.1, 题3.2
题3.11
●
利用代数精度定义构造求积公式
插值型求积公式
b
a
f ( x)dx f ( xk ) lk ( x)dx
b k 0 a
b a
Fra Baidu bibliotek
n
1) 求积系数 Ak lk ( x)dx. 2) 求积系数具有 n+1个求积节点的插值型求积公式至少具 有 n 次代数精度. 3) 中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求积公式 (各自的代数精度). 4) Newton-Cotes公式: 一类节点等距分布的插值型求积公式.
插值节点 求作一个次数不超过 n 的多项式 Pn ( x)，使之满足 f (x)的满足插值条件 (2.1)的n次插值多项式
P n ( xi ) yi (i 0,1,, n)
插值条件
(2.1)
Lagrange插值公式
1) 线性插值
插值余项
求作一个1次 已知函数 f ( x)在点 x0 , x1上的函数值 y0 , y1，
0 t t 1 1 2t , 1 t t 2 3 2t ,
2
0 t t t 1 , 1 t t 2 t 1
2
插值余项 R3 ( x) f ( x) P3 ( x)
f (4) ( ) ( x x0 )2 ( x x1 ) 2 , x [ x0 ,x1 ] 4!
3) n 次Lagrange插值
Pn ( x) yk lk ( x)
k 0
n
lk ( x)
j 0, j k
n
x xj xk x j
题2.2
满足 P n ( xk ) yk , k 0,1, 2,, n n 次Lagrange插值基函数 lk ( x)的性质:
4) 定义 1.4： 若| er ( x) | r , 则称 r 是 x 的相对误差限。
5) 定义 1.5：如果近似值 x 的误差限是它的某一位的半个单 位，就称它准确到这一位。若该位到 x 左边第一位非零
数字共有n 位，则称它有n 位有效数字。
例1.5 题1.1
用微分计算函数值误差
1 当n 2时, R2 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 )(x x2 ), [ x0 ,x2 ] 6
例2.4, 题2.5
Newton插值公式
1) 差商、差商的计算 2) Newton插值公式 例2.5
Pn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn 1 ] ( x x j ) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x x j )
f ( n1) ( ) Rn ( x) w( x) (n 1)!
n k 0
x [a, b]
其中 w( x) ( x xk ), [a, b] 与 x 有关 。
1 当n 1时, R1 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 ), [ x0 ,x1 ] 2
2) 复合Simpson公式
b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx f (a) 2 f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f (b) Sn 2 6 k 1 k 0
复合Simpson求积公式的余项为
1 h I Sn 180 2
正交，即
n
1
i 1
1
x j Ln ( x)dx 0 ( j 0,1,, n 1).
例3.7, 例3.8, 例3.9, 例3.10, 题3.9, 题3.10, 题3.11
数值微分
1) 中心差商公式
f ( x )在点 a 处以 h 为步长的向前差商
f ( x )在点 a 处以 h 为步长的向后差商
( n为奇数时, 代数精度为n; n为偶数时, 代数精度为n+1)
记
ba T1 f (a) f (b) , 2
ba S1 f (a) 4 f 6
b a 2
f (b) .
(b a)3 梯形公式余项 I T1 f "( ), 12
a, b
1) 已知 x的近似值 x ，一元函数值 y f ( x )的近似值为 y f ( x)
误差 e( y) f ( x ) f ( x) f ( x)e( x)
相对误差
f ( (x x) ) e( y ) xe ( x) er ( y ) e (x r) (x x) ) y f(
●
lk ( x)是 n 次式;
●
lk ( x j ) kj ( j 0,1, 2,, n)
●
l ( x) 1
k 0 k
n
题2.1
4) Lagrange插值余项 定理2.2 ：设 xi [a, b] (i 0,1,, n), f ( x)的 n+1阶导数 f ( n1) ( x) 在 [a, b]上存在，则
j 0 j 0 n2 n 1
Pn 1 ( x) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x x j )
j 0
n 1
例2.7, 例2.8
题2.6, 题2.7
误差 f ( x) Pn ( x) f [ x0 , x1 ,, xn , x] ( x x j )
多项式插值 Lagrange插值公式
Newton插值公式 Hermite插值 分段插值 三次样条函数
插值余项
n 次多项式插值问题：
已知[a, b]上的函数 f ( x)在点 a x0 x1 xn b上的函数值 插值区间 被插值函数
yi f ( xi ) (i 0,1,, n)
(b a)5 (4) f ( ), Simpson公式余项 I S1 2880
a, b
复合求积公式
1) 复合梯形公式
b
(复合求积的思想)
题3.5, 题3.6
a
2 h 复合梯形求积公式的余项为 I Tn f (b) f (a ) 12
n 1 h f ( x)dx f (a) 2 f ( xk ) f (b) Tn 2 k 1
例1.10 , 例1.11, 题1.5
计算方法的数值稳定性
1) 求根公式的数值稳定性 2) 递推法的数值稳定性 题1.9, 题1.10
数值计算中应注意的几个原则
避免相近数相减 ; 避免小除数, 大乘数 ; 避免大数吃小数 ; 采用数值稳定的算法 ;
减少运算次数.
题1.7
Chap 2
插值法与最小二乘法
Newton下山法
不动点迭代法
1) f ( x) 0 x ( x) 求 f ( x) 0的根等价于求 x ( x)的不动点
2) 不动点迭代格式 xk 1 ( xk ), k 0,1, 2, (4.5)
3) 迭代收敛条件
定理 4.1：设 ( x)是闭区间 [a, b] 上的压缩函数，则 ( x)在 ，且对任意 x0 [a, b], 迭 [a, b] 中有唯一不动点 x* 代公式(4.5)都收敛 . (全局收敛) 推论 ：设 ( x) C1[a, b]，且 1) x [a, b] 总有 ( x) [a, b]; 2) 存在 L (0,1)，使 ( x) L, x, y [a, b] 则定理4.1结论成立 . (全局收敛)
混合型Hermite插值
例2.9, 题2.8, 题2.10
分段插值
( 如何确定其解析式, 光滑性, 误差估计? )
1) 分段线性插值 2) 分段3次Hermite插值
题2.11, 题2.12
3次样条函数
1) 什么是3次样条函数, 3次样条插值 2) 比较3次多项式插值(不含导数条件), 分段3次Hermite插值, 3次样条插值
例1.9
2) 已知自变量误差 e( x), er ( x), e( y)和 er ( y). 求二元函数值u = f (x,y)
的误差e(u) 和 er (u).
u u e(u ) du e( x ) e( y ) x y
e(u ) u x u y er (u ) er ( x) er ( y ) 例1.10 ,例1.11 u x u y u
2) 抛物插值 已知函数 f ( x)在点 x0 , x1 , x2上的函数值 y0 , y1 , y2，求作 一个2次多项式 P2 ( x)，使得
P2 ( x0 ) y0 , P2 ( x1 ) y1, P2 ( x2 ) y2
x x0 x x2 x x0 x x1 x x1 x x2 P2 ( x) y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
Chap 3 数值积分与数值微分
机械求积公式 插值型求积公式
复合求积公式 Gauss求积公式 数值微分
机械求积公式
●
b
a
求积系数 f ( x)dx Ak f ( xk )
n k 0
求积节点
代数精度: 若一个机械求积公式对 f ( x) x j ,( j 0,1,, m)
准确成立,但对 f ( x) xm1 不准确成立, 就说它具 有m次代数精度.
多项式P 1 ( x) a0 a1 x，使得
P 1 ( x0 ) y0 , P 1 ( x1 ) y1
x x1 x x0 P y1 y0l0 ( x) y1l1 ( x) 1 ( x) y0 x0 x1 x1 x0
Review
Chap 1
数值计算中的误差
误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性
误差 误差限 有效数字
设 x 是准确值， x 是 x的近似值 1) 定义 1.1： 称 e( x) x x 为 x 的绝对误差(简称误差)。
定义 1.2 ： | x x | ，则称 是 x 的误差限。 若 2) x x 为 x 的相对误差。 3) 定义 1.3：称单位量上的误差 er ( x) x
4
(3) (3) f ( b ) f (a)
Gauss求积公式
1) 什么是Gauss求积公式? 2) Gauss点的性质? 定理3.4： xi 1 是Gauss点的充分必要条件是以 xi 1为零点
n
n
的多项式 Ln ( x) ( x xi ) 与所有次数不超过 n-1的多项式
3) 和、差、积、商的误差
e( x y) e( x) e( y)
e( xy) ye( x) xe( y) x 1 x e e( x) 2 e( y) y y y
er ( x y )
x y er ( x) er ( y) x y x y
er ( xy ) er ( x) er ( y ) x er er ( x) er ( y ) y
j 0
n
f ( n ) ( ) 差商与微商的关系 f [ x0 , x1 , , xn ] n!
Hermite插值
3次Hermite插值
P 3 ( x) 0 ( x) y0 1 ( x) y1 0 ( x) y0 1 ( x) y1
3次Hermite插值基函数 (插值基函数的性质)
f (a ) f (a h) h
f ( a h) f ( a h) f ( x )在点 a 处以 2h 为步长的中心差商 2h
例3.11 2) Richardson外推 例3.12
Chap 4 方程求根
不动点迭代法 Newton迭代法
简化Newton迭代法 弦截法
例3.1, 题3.1, 题3.2
题3.11
●
利用代数精度定义构造求积公式
插值型求积公式
b
a
f ( x)dx f ( xk ) lk ( x)dx
b k 0 a
b a
Fra Baidu bibliotek
n
1) 求积系数 Ak lk ( x)dx. 2) 求积系数具有 n+1个求积节点的插值型求积公式至少具 有 n 次代数精度. 3) 中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求积公式 (各自的代数精度). 4) Newton-Cotes公式: 一类节点等距分布的插值型求积公式.
插值节点 求作一个次数不超过 n 的多项式 Pn ( x)，使之满足 f (x)的满足插值条件 (2.1)的n次插值多项式
P n ( xi ) yi (i 0,1,, n)
插值条件
(2.1)
Lagrange插值公式
1) 线性插值
插值余项
求作一个1次 已知函数 f ( x)在点 x0 , x1上的函数值 y0 , y1，
0 t t 1 1 2t , 1 t t 2 3 2t ,
2
0 t t t 1 , 1 t t 2 t 1
2
插值余项 R3 ( x) f ( x) P3 ( x)
f (4) ( ) ( x x0 )2 ( x x1 ) 2 , x [ x0 ,x1 ] 4!
3) n 次Lagrange插值
Pn ( x) yk lk ( x)
k 0
n
lk ( x)
j 0, j k
n
x xj xk x j
题2.2
满足 P n ( xk ) yk , k 0,1, 2,, n n 次Lagrange插值基函数 lk ( x)的性质:
4) 定义 1.4： 若| er ( x) | r , 则称 r 是 x 的相对误差限。
5) 定义 1.5：如果近似值 x 的误差限是它的某一位的半个单 位，就称它准确到这一位。若该位到 x 左边第一位非零
数字共有n 位，则称它有n 位有效数字。
例1.5 题1.1
用微分计算函数值误差
1 当n 2时, R2 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 )(x x2 ), [ x0 ,x2 ] 6
例2.4, 题2.5
Newton插值公式
1) 差商、差商的计算 2) Newton插值公式 例2.5
Pn ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn 1 ] ( x x j ) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x x j )
f ( n1) ( ) Rn ( x) w( x) (n 1)!
n k 0
x [a, b]
其中 w( x) ( x xk ), [a, b] 与 x 有关 。
1 当n 1时, R1 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 ), [ x0 ,x1 ] 2
2) 复合Simpson公式
b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx f (a) 2 f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f (b) Sn 2 6 k 1 k 0
复合Simpson求积公式的余项为
1 h I Sn 180 2
正交，即
n
1
i 1
1
x j Ln ( x)dx 0 ( j 0,1,, n 1).
例3.7, 例3.8, 例3.9, 例3.10, 题3.9, 题3.10, 题3.11
数值微分
1) 中心差商公式
f ( x )在点 a 处以 h 为步长的向前差商
f ( x )在点 a 处以 h 为步长的向后差商
( n为奇数时, 代数精度为n; n为偶数时, 代数精度为n+1)
记
ba T1 f (a) f (b) , 2
ba S1 f (a) 4 f 6
b a 2
f (b) .
(b a)3 梯形公式余项 I T1 f "( ), 12
a, b
1) 已知 x的近似值 x ，一元函数值 y f ( x )的近似值为 y f ( x)
误差 e( y) f ( x ) f ( x) f ( x)e( x)
相对误差
f ( (x x) ) e( y ) xe ( x) er ( y ) e (x r) (x x) ) y f(
●
lk ( x)是 n 次式;
●
lk ( x j ) kj ( j 0,1, 2,, n)
●
l ( x) 1
k 0 k
n
题2.1
4) Lagrange插值余项 定理2.2 ：设 xi [a, b] (i 0,1,, n), f ( x)的 n+1阶导数 f ( n1) ( x) 在 [a, b]上存在，则
j 0 j 0 n2 n 1
Pn 1 ( x) f [ x0 , x1 , , xn ] ( x x j )
j 0
n 1
例2.7, 例2.8
题2.6, 题2.7
误差 f ( x) Pn ( x) f [ x0 , x1 ,, xn , x] ( x x j )
多项式插值 Lagrange插值公式
Newton插值公式 Hermite插值 分段插值 三次样条函数
插值余项
n 次多项式插值问题：
已知[a, b]上的函数 f ( x)在点 a x0 x1 xn b上的函数值 插值区间 被插值函数
yi f ( xi ) (i 0,1,, n)
(b a)5 (4) f ( ), Simpson公式余项 I S1 2880
a, b
复合求积公式
1) 复合梯形公式
b
(复合求积的思想)
题3.5, 题3.6
a
2 h 复合梯形求积公式的余项为 I Tn f (b) f (a ) 12
n 1 h f ( x)dx f (a) 2 f ( xk ) f (b) Tn 2 k 1
例1.10 , 例1.11, 题1.5
计算方法的数值稳定性
1) 求根公式的数值稳定性 2) 递推法的数值稳定性 题1.9, 题1.10
数值计算中应注意的几个原则
避免相近数相减 ; 避免小除数, 大乘数 ; 避免大数吃小数 ; 采用数值稳定的算法 ;
减少运算次数.
题1.7
Chap 2
插值法与最小二乘法
Newton下山法
不动点迭代法
1) f ( x) 0 x ( x) 求 f ( x) 0的根等价于求 x ( x)的不动点
2) 不动点迭代格式 xk 1 ( xk ), k 0,1, 2, (4.5)
3) 迭代收敛条件
定理 4.1：设 ( x)是闭区间 [a, b] 上的压缩函数，则 ( x)在 ，且对任意 x0 [a, b], 迭 [a, b] 中有唯一不动点 x* 代公式(4.5)都收敛 . (全局收敛) 推论 ：设 ( x) C1[a, b]，且 1) x [a, b] 总有 ( x) [a, b]; 2) 存在 L (0,1)，使 ( x) L, x, y [a, b] 则定理4.1结论成立 . (全局收敛)
混合型Hermite插值
例2.9, 题2.8, 题2.10
分段插值
( 如何确定其解析式, 光滑性, 误差估计? )
1) 分段线性插值 2) 分段3次Hermite插值
题2.11, 题2.12
3次样条函数
1) 什么是3次样条函数, 3次样条插值 2) 比较3次多项式插值(不含导数条件), 分段3次Hermite插值, 3次样条插值
例1.9
2) 已知自变量误差 e( x), er ( x), e( y)和 er ( y). 求二元函数值u = f (x,y)
的误差e(u) 和 er (u).
u u e(u ) du e( x ) e( y ) x y
e(u ) u x u y er (u ) er ( x) er ( y ) 例1.10 ,例1.11 u x u y u
2) 抛物插值 已知函数 f ( x)在点 x0 , x1 , x2上的函数值 y0 , y1 , y2，求作 一个2次多项式 P2 ( x)，使得
P2 ( x0 ) y0 , P2 ( x1 ) y1, P2 ( x2 ) y2
x x0 x x2 x x0 x x1 x x1 x x2 P2 ( x) y0 y1 y2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1 y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
Chap 3 数值积分与数值微分
机械求积公式 插值型求积公式
复合求积公式 Gauss求积公式 数值微分
机械求积公式
●
b
a
求积系数 f ( x)dx Ak f ( xk )
n k 0
求积节点
代数精度: 若一个机械求积公式对 f ( x) x j ,( j 0,1,, m)
准确成立,但对 f ( x) xm1 不准确成立, 就说它具 有m次代数精度.
多项式P 1 ( x) a0 a1 x，使得
P 1 ( x0 ) y0 , P 1 ( x1 ) y1
x x1 x x0 P y1 y0l0 ( x) y1l1 ( x) 1 ( x) y0 x0 x1 x1 x0
Review
Chap 1
数值计算中的误差
误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性
误差 误差限 有效数字
设 x 是准确值， x 是 x的近似值 1) 定义 1.1： 称 e( x) x x 为 x 的绝对误差(简称误差)。
定义 1.2 ： | x x | ，则称 是 x 的误差限。 若 2) x x 为 x 的相对误差。 3) 定义 1.3：称单位量上的误差 er ( x) x
4
(3) (3) f ( b ) f (a)
Gauss求积公式
1) 什么是Gauss求积公式? 2) Gauss点的性质? 定理3.4： xi 1 是Gauss点的充分必要条件是以 xi 1为零点
n
n
的多项式 Ln ( x) ( x xi ) 与所有次数不超过 n-1的多项式
3) 和、差、积、商的误差
e( x y) e( x) e( y)
e( xy) ye( x) xe( y) x 1 x e e( x) 2 e( y) y y y
er ( x y )
x y er ( x) er ( y) x y x y
er ( xy ) er ( x) er ( y ) x er er ( x) er ( y ) y
j 0
n
f ( n ) ( ) 差商与微商的关系 f [ x0 , x1 , , xn ] n!
Hermite插值
3次Hermite插值
P 3 ( x) 0 ( x) y0 1 ( x) y1 0 ( x) y0 1 ( x) y1
3次Hermite插值基函数 (插值基函数的性质)