数学建模模糊数学方法
2--模糊数学建模方法
28
模糊集合及其运算
几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b} （2）取大、乘积算子 (,)
a b max{a,b},a b ab （3）代数和、乘积算子 (ˆ ,)
a ˆ b a b ab,a b ab
2021年4月9日
u U
(2)A与B的代数和记作A +^ B，运算规则 由下式确定：
A +^ B(u)= A(u)+B(u) A(u)B(u) u U
2021年4月9日
27
定义：称 • 、为有界算子，对a,b[0,1],有： a • b= max(0,a+b-1) a b= min(1,a+b)
可以证明： a,b[0,1], 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1
100
19
再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样， Zadeh给出它的隶属函数：
Y
(u)
(1
(
u
1 25)2 5
)1
0 u 25 25 u 100
1 0
2021年4月9日
B（u）
25
50
U
20
则模糊集O（年老）
O 0
(1 (u 50)2 )1 5
29
模糊集合及其运算
（4）有界和、取小算子 (,)
a b 1 (a b),a b min{a,b}
（5）有界和、乘积算子 (,)
a b 1 (a b),a b ab
（6）Einstain算子 ( , )
a b
ab
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模3股票反弹率的模糊聚类法
§3 股票反弹率的模糊聚类法将模糊集理论应用于聚类分析，便产生了模糊聚类法。
一、模糊聚类法介绍若矩阵A 的各元素ij a 满足10≤≤ij a ，则称A 为模糊矩阵。
设p n ij a A ⨯=)(和m p ij b B ⨯=)(为两个模糊矩阵，令m j n i b a c kj ik pk ij ,,2,1,,,2,1),(1 ==∧∨== 则称矩阵m n ij c C ⨯=)(为模糊矩阵A 与B 的乘积，记为B A C ∙=，其中∨和∧的含义为},max{b a b a =∨， },min{b a b a =∧ 显然，两个模糊矩阵的乘积仍为模糊矩阵。
设方阵A 为一个模糊矩阵，若A 满足A A A =∙，则称A 为模糊等价矩阵。
模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲象乙，乙象丙，则甲象丙”这样的关系。
设n n ij a A ⨯=)(为一个模糊等价矩阵，10≤≤λ为一个给定的数，令⎩⎨⎧=<≥=n j i a a a ij ij ij ,,2,1,,0,1)( λλλ则称矩阵n n ij a A ⨯=)()(λλ为A 的λ—截阵。
模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先计算变量间的相似系数矩阵（或样品间的距离矩阵），将其元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵，进一步改造成模糊等价矩阵，最后取不同的标准λ，得到不同的λ—截阵，从而可以得到不同的类。
具体步骤如下：1、计算相似系数矩阵R 或样品的距离矩阵D其中n n ij d D ⨯=)(和p p ij r R ⨯=)(的算法与第四章§4.7消费分布规律的分类中相同。
2、将R （或D ）中的元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵我们统一记为n n ij a A ⨯=)(；例如对相似系数矩阵p p ij r R ⨯=)(，可令p j i r a ij ij ,,2,1,),1(21 =+= 对于距离矩阵n n ij d D ⨯=)(，可令n j i d d a ij n j i ij ij ,,2,1,,max 11,1 =+-=≤≤ 3、建立模糊等价矩阵一般说来，上述模糊矩阵n n ij a A ⨯=)(不具有等价性，这可以通过模糊矩阵的乘积将其转化为模糊等价阵，具体方法是：计算,,,2242 A A A A A A ∙=∙=直到满足k k A A =2，这时模糊矩阵k A 便是一个模糊等价矩阵。
模糊数学方法在数学建模中的应用
鲁棒控制是控制理论的一个重要分支，它主要研究如程中具有广泛的应用价值。
03
模糊数学方法在数学建模中的具体应用案例
基于模糊逻辑的决策支持系统设计
总结词
模糊逻辑是一种处理不确定性、不完全性信息的数学工具，通过引入模糊集合 和模糊逻辑运算，能够更好地描述现实世界中的复杂现象和决策问题。
模糊逻辑在决策分析中的应用
01
模糊逻辑用于处理不确定性
模糊逻辑通过引入模糊集合的概念，能够处理不确定性和不精确性，使
得决策分析更加合理和可靠。
02
模糊推理系统
模糊推理系统是模糊逻辑的重要应用之一，它基于模糊逻辑的原理，通
过模糊集合和模糊规则进行推理，适用于复杂的决策问题。
03
模糊决策分析
模糊决策分析方法能够综合考虑多种因素，包括模糊因素，从而做出更
模糊数学方法的优势
处理不确定性和模糊性
模糊数学方法能够处理不确定性和模糊性，这在许多实际问题中是常见且必要的。
提高建模精度
通过引入模糊集合和隶属函数，模糊数学方法能够更准确地描述事物的模糊性和不确定性 ，从而提高建模精度。
增强模型适应性
模糊数学方法允许模型参数具有一定的模糊范围，增强了模型的适应性和鲁棒性，能够更 好地应对实际问题的复杂性和不确定性。
模糊数学方法在数学建模中的 应用
目
CONTENCT
录
• 模糊数学方法简介 • 模糊数学方法在数学建模中的应用
领域 • 模糊数学方法在数学建模中的具体
应用案例 • 模糊数学方法在数学建模中的优势
和局限性 • 结论
01
模糊数学方法简介
模糊数学方法的起源和发展
起源
模糊数学方法起源于20世纪60年代，由L.A.Zadeh教授提出，旨 在解决传统数学方法无法处理的模糊性问题。
数学建模-模糊数学
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
A ( x ) 称为 x 对 A 数， 的隶属程度，简称隶属度。 ~
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
A 。 是等同的。为简单见，通常用A来表示 A 和 ~
模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
c
0.6 1 B 0.7 0.8
c
模糊集合及其运算
（2）模糊矩阵的合成 定义：设 A (aij )ms , B (bij )sn , 称模糊矩阵
A B (cij )mn
为A与B的合成，其中 cij max{(aik bkj ) 1 k s}。 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 , B 0.3 0.4 , 则 例：设A 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.1 0.2 0.2 0.5 0.6 A B B A 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
模糊聚类分析
（1）标准差标准化
对于第 i 个变量进行标准化，就是将 xij 换成
x ij ，即
xij xi x ij Si (1 j m )
模糊数学在数学建模中的应用
则称R为U上的等价关系 。
特殊的等价关系
例10： 设Ｕ={u1,u2,u3}, 则 U×U={(u1, u1),(u1, u2),(u1, u3),(u2, u1),(u2, u2),(u2, u3) ,(u3, u1),(u3, u2),(u3, u3)}全称关系; I ={(u1, u1),(u2, u2), (u3, u3)}恒等关系。 用方阵表示如下：
模糊集合的表示方法
Zadeh 表示法
(1)
若论域U 为有限集，即U ={u1 , u2 , … , un}，
则 A F ( U ) 可表示为
Au1 u1 Au2 u2 Aun un
A
例4：设U ={u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }，
A 0.87 u1 0.75 u2 0.96 u3 0.78 u4 0.56 u5
(2)如果RT= R；则称R为对称的；
(3) 如果R ◦ R R ，则称 R 为传递的。 自反的，对称的，传递的模糊关系称为模糊等价关系。
模糊等价关系
例17： 设Ｕ={u1,u2,u3,u4,u5}, 如下R为模糊等价关系
1 0.80 R 0.80 0.20 0.85
１、模糊聚类分析
(１)、模糊数学的基本思想； (２)、普通关系与布尔矩阵；
(３)、模糊关系与模糊矩阵；
(４)、模糊聚类分析原理。
模糊数学的基本思想
经典 集合：是指具有某种特定属性的对象集体。
例1：“延大09级的学生”； 模糊集合： 例2：“延大09级个子高的学生”。 区别: 是否满足排中率。
经典集合与特征函数
若记 P ( U )和 F ( U )分别为 U 上的所有经典集合和所有模糊集合
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模2小麦品种的模糊模式识别
§2 小麦品种的模糊模式识别把一批来自同一品种的小麦称为一个小麦亲本。
小麦有各种不同的品种，某一品种的小麦有它自己的很多特性，如抽穗期、株高、有效穗数、主穗粒数和百粒重量等数量性质。
然而对于小麦的一个亲本，我们不能凭其中某一粒或某一株小麦去鉴定它的品种。
实际上，同一品种的小麦中，各株小麦的抽穗期显然是不完全相同的。
在同一种小麦中，百粒重量的每一次样本也是不完全相同的，但总是在各自的均值附近摆动。
这样我们就可以把某一品种的小麦看成是一个模糊集。
不同品种的小麦就对应着不同的模糊集。
如果能肯定待识别小麦亲本的模糊集与某一已知品种小麦的模糊集最贴近，那就可以断言它属于该种小麦了。
由于模糊集合是用隶属函数来表示的，而隶属函数又不同于普通的函数，怎样来度量模糊集的模糊性以及怎样比较两个模糊集是否相贴近还是差别很大，这就要引入一些有关模糊集度量的概念。
一、单个模糊集度量 1、模糊度在论域U 上的任意模糊子集~A 的模糊度)(~A D 应满足：（ⅰ）对任意的U x ∈，当且仅当x 对~A 的隶属度)(~x A μ只取0和1时，)(~A D =0 ；（ⅱ）当)(~x A μ=0.5时，)(~A D 应取最大值，即)(~A D =1；（ⅲ）对任意的U x ∈，设U 的两个模糊子集~A 和~B ，若5.0)()(~~≥≥x x B A μμ或5.0)()(~~≤≤x x B A μμ，则有)()(~~A D B D ≥。
2、模糊熵在模糊数学中，用模糊熵描述模糊度，是模糊集合所含模糊性大小的一种度量，这里仅介绍较其它方法为好的仙农函数引出的模糊熵定义。
设~A 是论域U 上的任意模糊子集，当U x ∈时，记))((2ln 1)(~1~i Ai x S n A H μ∑∞==叫做模糊集~A 的熵，此处)1ln()1(ln )(x x x x x S ----=。
容易验证，上述模糊熵满足模糊度的三个条件。
二、多个模糊集度量 1、海明距离设论域U 上的两个模糊子集~A 和~B ，它们之间的海明距离定义为∑=-=ni i B i A x x B A d 1~~)()(),(~~μμ这个定义适用于论域为有限集时，n 是论域中元素的个数，它又称为绝对海明距离。
数学建模-模煳数学理论
精选ppt课件
4
1.2 模糊集与隶属函数
• 论域：如果将所讨论的对象限制在一定范围 内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U， 称之为论域。
•普通集合——特征函数
设U是论域，A是U的子集,定义如下映射为集合 A的特征函数 :（集合A可由特征函数唯一确定）
精选ppt课件
5
•模糊集合——隶属函数
1.2.1模糊集与隶属函数的概念
模糊数学
1 模糊数学的基本概念
2 模糊关系与模糊矩阵
3 模糊聚类分析
4 模糊模式识别
5 模糊综合评判
精选ppt课件
1
1 模糊数学的基本概念
1.1 模糊数学概述
模糊数学是研究和处理模糊性现象（或 概念）的数学方法，而不是把数学变成 模模糊糊的东西，它所要处理事物的概 念本身是模糊的，即一个对象是否符合 这个概念难以确定，我们称这种不确定 性为模糊性。
的一个数来表示。这就是Zadeh的隶属函数的
想法。
精选ppt课件
6
2）隶属函数 设在论域U上给定了一个映射，
则定义了U上的一个模糊子集A，映射 称为模糊
集A的隶属函数，
称为x对模糊集A的隶属
程度，也可表示为A(x)。
精选ppt课件
7
3）模糊集的表示
精选ppt课件
8
4）模糊集的运算
模糊集与普通集一样，有相同的运算和相应的运 算规律。
精选ppt课件
2
• 它与普遍性不同，普遍性是是指一种可用 来表达整个明确定义的现象和活动的特性。
• 它与随机不确定性不同，随机的不确定性 也是概率的不确定性，其研究的事件本身有 着明确的含义，只是由于发生的条件不充分， 而使得在条件与事件之间不能出现决定的因 果关系，从而事件的出现与否表现出不确定 性，这种不确定性称为随机性。例如“掷一 个骰子时出现4点”是一个明确的事件，但 掷骰子时并非只出现4点，我们说出现4点的 概率是1/6。
数学建模 模糊数学方法
模糊数学方法1965年美国加利福尼亚大学控制论专家扎德（Zadeh L ．A ．）教授在《Information and Control 》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets ”，这标志着模糊数学的诞生。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。
众所周知，经典数学是以精确性为特征的。
然而，与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的。
甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好。
例如，要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”。
尽管这里只提供了一个精确信息——男人，而其他信息——大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用。
§1 模糊集的基本概念要想掌握模糊数学方法，必须先了解模糊集的基本概念，特别是隶属函数的建立方法。
1.1 模糊子集与隶属函数定义1 设U 是论域，称映射():[0,1]A x U →确定了一个U 上的模糊子集A ，映射()A x 称为A 的隶属函数，它表示x 对A 的隶属程度。
使()0.5A x =的点称为A 的过渡点，此点最具模糊性。
当映射()A x 只取0或1时，模糊子集A 就是经典子集，而()A x 就是它的特征函数。
可见经典子集就是模糊子集的特殊情形。
例 1 设论域123456{(140),(150),(160),(170),(180),(190)}U x x x x x x =（单位：cm ）表示人的身高，那么U 上的一个模糊集“高个子”（A ）的隶属函数()A x 可定义为140()190140x A x -=-，也可用Zadeh 表示法：12345600.20.40.60.81A x x x x x x =+++++， 上式仅表示U 中各元素属于模糊集A 的隶属度，不是普通分式与求和运算。
模糊数学方法_数学建模ppt课件
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
数学建模模糊数学讲义
模糊数学经历了数十年的发展， 逐渐形成了完善的理论体系，并 在各个领域得到广泛应用。
当前模糊数学的研究热点包括模 糊逻辑、模糊推理、模糊系统优 化等方向。
模糊数学的应用前景与挑战
应用前景
模糊数学在人工智能、模式识别、决策分析等领域具有广阔的应用前景，为解决复杂问题 提供了新的思路和方法。
挑战与问题
数学建模模糊数学讲义
• 引言 • 模糊集合论基础 • 模糊逻辑与模糊推理 • 模糊聚类分析 • 模糊决策分析 • 模糊控制系统 • 总结与展望
01
引言
模糊数学简介
模糊数学是一门研究模糊现象和模糊事物的数学分支，它提供了一种处理 不确定性和不精确性的方法。
模糊数学通过引入模糊集合的概念，将经典集合论中的确定性界限扩展到 模糊性界限，从而能够更好地描述现实世界中的模糊现象。
尽管模糊数学取得了一定的成果，但仍面临一些挑战和问题，如模糊规则的制定、模糊推 理的精度和稳定性等。
未来发展方向
未来模糊数学的发展方向包括与其他数学分支的交叉融合、模糊系统与机器学习的结合等 ，以推动其在更多领域的应用和发展。
THANKS
感谢观看
模糊逻辑运算
模糊逻辑运算是对传统逻辑运算的扩展，如并、 交、非等运算。
模糊逻辑的运算与推理
模糊集合的运算
包括模糊集合的交、并、补等基 本运算，以及更复杂的运算如模 糊化、去模糊化等。
模糊推理
基于模糊逻辑的推理方法，通过 建立模糊规则和模糊前提，得出 模糊结论。
模糊推理系统
一种基于模糊逻辑的控制系统， 通过建立模糊控制器和模糊规则 库来实现对系统的控制。
根据系统特性和要求，设计合适的模糊逻辑 和推理规则。
系统仿真与优化
数学建模算法大全模糊数学模型
-257- 第二十二章 模糊数学模型模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。
这门学科经过多年的发展。
它在现实世界中的应用越来越广泛。
§1 模糊数学基本知识1.1 集合与特征函数集合是现代数学的重要概念。
一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。
不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。
由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。
若集合Ω⊆A ，则将集合},|{Ω∈∉x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。
集合及其性质可用所谓特征函数来描述。
定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μV A →Ω:μ)(x x A μ→其中对应规则A μ满足⎩⎨⎧∉∈=Ax A x A 01μ 集合的特征函数具有以下性质：)}(),(max{)(x x x B A B A μμμ= ，记作)()(x x B A μμ∨)}(),(min{)(x x x B A B A μμμ= ，记作)()(x x B A μμ∧)(1)(x x A A cμμ-= 1.2 模糊集合1.2.1 模糊集合的概念对于普通集合A 及其余集c A ，任何元素A x ∈或cA x ∈，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。
然而，客观-258-世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。
为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由}1,0{两个数扩展到闭区间]1,0[，这就是建立模糊集合的基本思想。
下面我们把所讨论对象的全体称为论域。
数学建模方法详解__模糊数学
数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
模糊综合评价法数学建模
模糊综合评价法数学建模在这篇文章里，我们将聊聊“模糊综合评价法”这种听起来挺高大上的数学建模方法。
别担心，我们会用最简单的语言，让它变得像聊天一样轻松。
准备好了吗？那就一起往下看吧！1. 什么是模糊综合评价法？好，首先咱们得明白模糊综合评价法到底是个啥。
简单来说，它是一种处理那些不太确定、模糊不清的数据的工具。
打个比方吧，就像你在选择一部新手机时，可能会考虑多个方面：价格、性能、外观、品牌等。
可是这些方面有时候很难量化，模糊综合评价法就是用来帮你把这些“模糊”的因素综合起来，从而做出一个比较合理的决策。
1.1 基本概念模糊综合评价法的核心在于“模糊”。
什么是模糊？就是那些不完全确定的东西。
比如，今天你觉得这个手机的外观“很不错”，但并没有具体到说“好到什么程度”。
这种感觉就属于模糊的范围。
模糊综合评价法通过一些数学技巧，把这些模糊的感觉变成一个可以分析的结果。
1.2 应用场景这种方法在许多地方都能用上，比如在评估公司员工的绩效、选择投资项目、甚至在一些医学领域的决策中。
它特别适合那些信息不完全、评价标准多样化的情况。
可以说，模糊综合评价法就像一个能把复杂情况简化的超级工具。
2. 模糊综合评价法的步骤接下来，我们来看一下使用模糊综合评价法的具体步骤。
虽然步骤听起来有点复杂，但其实也没那么难搞。
2.1 确定评价指标首先，你得列出所有需要考虑的评价指标。
以选手机为例，可能包括价格、性能、外观、品牌等。
这里的每一个指标都是用来帮助你做出决策的关键因素。
2.2 建立模糊评价矩阵接下来，咱们就要建立一个模糊评价矩阵。
这个矩阵就是把每个指标的“模糊感”转化为一个可以处理的数据形式。
例如，你可以把“外观好”转化为一个模糊数值，像“7分”，然后在评价矩阵中填上这些数值。
2.3 综合评价最后一步就是综合这些模糊数据。
你需要把所有的模糊数值综合在一起，得出一个总的评价结果。
这一步有点像拼图，把各个小部分都拼在一起，最终你会得到一个清晰的总体评价。
数学建模——模糊数学方法
• 模糊矩阵的λ－截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中
当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0
1 1 0 0
A
0.5 0.2 0
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为
(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为
(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为
（0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同样对声音有：0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为： （0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：
0.3 0.5 0.2 0 P 0.4 0.3 0.2 0.1
0.1 0.1 0.3 0.5
设三个指标的权系数向量： A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝ ＝（0.5, 0.3, 0.2)
B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），根据运算⊙的 不同定义，可得到不同的模型
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
bj max{( ai pij ) |1 i n}( j 1,2,, n)
模型2 M（٠，ν）——主因素突出型
bj max{(ai pi j )1 i n}( j 1,2,, m)
例4： 利用模糊综合评判对20加制药厂经 济效益的好坏进行排序
因素集：
U={u1,u2,u3,u4}为反映企业经济效益的主 要指标
模糊数学建模方法
将原问题转化为普通的线性规划问题： 将原问题转化为普通的线性规划问题： 线性规划问题
max λ 3 x1 + 2 x2 + 50λ ≤ 1500 + 50 x1 + 5λ ≤ 400 + 5 s .t . x2 + 5λ ≤ 250 + 5 7 x + 3 x − 87.5λ ≤ 3250 2 1 m xZ = λ a λ , x1 , x2 ≥ 0 a ∑ x +d λ ≤ b +d
模糊线性规划转化成普通线性规划的规律
2. 模糊约束转化为普通约束 a) 当第 个模糊约束为 ix≥[bi ,di]时，转化为普通约束为 当第i个模糊约束为 个模糊约束为a 时 aix-diλ≥bi-di; b) 当第 个模糊约束为 ix ≤ [bi ,di]时，转化为普通约束为 当第i个模糊约束为 个模糊约束为a 时 aix+diλ≤ bi+di; c) 当第 个模糊约束为 ix = [bi ,di]时，现将 ix = [bi ,di]转化成 当第i个模糊约束为 个模糊约束为a 时 现将a 转化成 两个模糊约束a 两个模糊约束 ix≥[bi ,di]和aix ≤ [bi ,di]，然后按 和b)处理 和 ，然后按a)和 处理
n
j
≤b i
b <∑ ij xj ≤ b +di a i i
∑a x
j=1 ij
n
j
> b +di i
其中d 是适当选择的常数，叫做伸缩指标。 其中 i是适当选择的常数，叫做伸缩指标。
目标函数的模糊化： 目标函数的模糊化： 先求普通的线性规划问题
m Z =C ax x X A ≤ b x ≥ 0 (1)
数学建模模糊数学方法
0.7/a + 0.3/b ∧ 0.4/a + 0.6/b → 0.4/a + 0.3/b
一、模糊集合论的基础知识
U = {甲, 乙, 丙, 丁} A = ―矮子”
隶属函数 (0.9, 1, 0.6, 0) 隶属函数 (0.8, 0.2, 0.9, 1)
B = ―瘦子”
找出 C = ―又矮又瘦”
1.模糊聚类
1）数据标准化处理：
xij xij
xij x sj
平移—标准差变换法
xij min( xij )
i
平移—极差变换法
max( xij ) min( xij )
i i
1.模糊聚类
2）建立模糊相似矩阵： 设论域Ｕ={x1,x2, …,xn}，xi={xi1,xi2, …,xin}，如 果xi与xj之间的相似程度为rij=Ｒ(i, j)，则称之 为相似系数。R=(rij)n×n称为相似系数矩阵。 确定相似系数的方法有多种，常用的有数量积 法、夹角余弦法、相关系数法、最大最小值法、 距离法、专家评分法等。
一、模糊集合论的基础知识
例：设论域U={x1(140), x2(150), x3(160), x4(170), x5(180), x6(190)}（单位cm)表示身高， 那么模糊集“高个子”的隶属函数可定义为 A(u)=(x-140)/(190-140) 也可表示为(Zadeh表示法)
A=0/140 + 0.2/150 + 0.4/160 + 0.6/170 + 0.8/180+1/190 或（向量表示法）A=(0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1)
数学建模案例分析-- 模糊数学方法建模1模糊综合评判及其应用
第八章 模糊数学方法建模1965年,美国自动控制学家L.A.Zadch 首先提出了用“模糊集合”描述模糊事物的数学模型。
它的理论和方法从上个世纪七十年代开始受到重视并得到迅速发展，特别是愈来愈广泛地应用于解决生产实际问题。
模糊数学的理论和方法解决了许多经典数学和统计数学难以解决的问题，这里，我们通过几个例子介绍模糊综合评判、模糊模式识别、模糊聚类、模糊控制等最常用方法的应用。
而相应的理论和算法这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。
§1 模糊综合评判及其应用一、模糊综合评判在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。
如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。
但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。
所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。
综合评判最简单的方法有两种方式：一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分i s ，计算出评判对象取得的分数总和∑==mi isS 1按S 的大小给评判对象排出名次。
例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。
另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令i a 表示对第i 个因素的权重，并规定∑==mi ia11，于是用∑==mi ii sa S 1按S 的大小给评判对象排出名次。
以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。
由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。
模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。
应用一级模型进行综合评判，一般可归纳为以下几个步骤：（1）建立评判对象的因素集},,,{21n u u u U =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 模糊矩阵的λ －截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0 0.5 1 0.1 0.3 A , 0.2 0.1 1 0.8 0 0.3 0.8 1
• 模糊矩阵的合成 设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，称模糊矩阵 A ° B = (cij)m×n， 为A 与B 的合成，其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} . 1 0.7 0. 4 0. 7 0 设A 1 0.8 0.5 , B 0.4 0.6 , 则 0 0.3
例
设论域 E x1 , x2 , x3 , x4
0.2 0 0.6 1 B x1 x2 x3 x4
，
0.5 0.3 0.4 0.2 A x1 x2 x3 x4
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高， 那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 A(x)可定义为 x 140 A( x) 190 140 也可用Zadeh表示法：
模糊数学方法
• 模糊集的基本概念 • 模糊综合评判 • 模糊聚类分析
模糊集的基本概念
• 模糊子集与隶属函数 • 隶属函数的确定 • 模糊矩阵及运算与性质
• 模糊子集与隶属函数
设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的 隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具 模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典 子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集 就是模糊子集的特殊情形.
1 1 A0.3 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
•模糊综合评价模型
• 对方案、人才、成果的评价，人们的考虑 的因素很多，而且有些描述很难给出确切 的表达，这时可采用模糊评价方法。它可 对人、事、物进行比较全面而又定量化的 评价，是提高领导决策能力和管理水平的 一种有效方法。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算 相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
• 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
• 隶属函数的确定
1.模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计 比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不 动的点”. 2. 指派方法
一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表 达式。 3. 借用已有的“客观”尺度
•模糊矩阵及运算与性质
• 模糊矩阵
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U 上定义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商 品质量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”. Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
0.7 0.7 0.5 0.4 0.6 A B 1 0.7 , B A 0.6 0.6 0.5 0.3 0.3 0.3
模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
0.1 0.3 0.3 0.3 0.1 0.3 0.3 0.3 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7
3
• 模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转置 矩阵，其中aijT = aji. 转置运算的性质： 性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT， ( A∩B )T = AT∩BT； 性质3：( A ° 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A≤B AT ≤BT .