数学建模模糊数学方法

• 模糊矩阵的合成 设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，称模糊矩阵 A ° B = (cij)m×n， 为A 与B 的合成，其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} . 1 0.7 0. 4 0. 7 0 设A 1 0.8 0.5 , B 0.4 0.6 , 则 0 0.3
例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U 上定义两个模糊集： A =“商品质量好” B =“商 品质量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0). 则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”. Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1). 可见Ac B, Bc A. 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
• 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵，定义 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n.
• 模糊矩阵的λ －截矩阵
设A = (aij)m×n,对任意的∈[0, 1]，称 A= (aij())m×n,为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中 当aij≥ 时，aij() =1； 当aij＜ 时，aij() =0. 显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.
1 0.5 0.2 0 0.5 1 0.1 0.3 A , 0.2 0.1 1 0.8 0 0.3 0.8 1
例
设论域 E x1 , x2 , x3 , x4
0.2 0 0.6 1 B 百度文库 x1 x2 x3 x4
，
0.5 0.3 0.4 0.2 A x1 x2 x3 x4
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高， 那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 A(x)可定义为 x 140 A( x) 190 140 也可用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
还可用向量表示法 A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
•模糊集的运算 相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)； 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x).
0.7 0.7 0.5 0.4 0.6 A B 1 0.7 , B A 0.6 0.6 0.5 0.3 0.3 0.3
模糊方阵的幂 定义：若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.
模糊数学方法
• 模糊集的基本概念 • 模糊综合评判 • 模糊聚类分析
模糊集的基本概念
• 模糊子集与隶属函数 • 隶属函数的确定 • 模糊矩阵及运算与性质
• 模糊子集与隶属函数
设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的 隶属函数，它表示x对A的隶属程度. 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具 模糊性. 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典 子集，而A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集 就是模糊子集的特殊情形.
• 隶属函数的确定
1.模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率统计 比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不 动的点”. 2. 指派方法
一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表 达式。 3. 借用已有的“客观”尺度
•模糊矩阵及运算与性质
• 模糊矩阵
1 1 A0.3 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
•模糊综合评价模型
• 对方案、人才、成果的评价，人们的考虑 的因素很多，而且有些描述很难给出确切 的表达，这时可采用模糊评价方法。它可 对人、事、物进行比较全面而又定量化的 评价，是提高领导决策能力和管理水平的 一种有效方法。
0.1 0.3 0.3 0.3 0.1 0.3 0.3 0.3 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7 0.4 0.7
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• 模糊矩阵的转置
定义 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转置 矩阵，其中aijT = aji. 转置运算的性质： 性质1：( AT )T = A； 性质2：( A∪B )T = AT∪BT， ( A∩B )T = AT∩BT； 性质3：( A ° B )T = BT ° AT；( An )T =( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：A≤B AT ≤BT .