初三数学解直角三角形通用版

初三数学解直角三角形通用版

【本讲主要内容】

解直角三角形

包括解直角三角形的意义以及所用到的关系式

【知识掌握】 【知识点精析】

1. 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形。

2. 在解直角三角形中用到的一些关系式： （1）三边之间的关系：

a b c 222+=

（2）两锐角之间的关系： ∠A ＋∠B ＝90° （3）边角之间的关系

sin sin A a c B A B b

c =

==∠∠=的对边斜边的对边斜边

，； cos cos A A b c B B a

c =

∠==∠=的邻边斜边，的邻边斜边

； tan tan A A A a b B B B b

a

=∠∠==∠∠=的对边的邻边，的对边的邻边。

【解题方法指导】

例1. 在Rt ABC ∆中，∠C ＝90°，c ＝42，∠B ＝60°，解这个直角三角形，并求出它的面积。

分析：我们可以画出图来，帮助我们进行思考。由∠B ＝60°，则∠A 可求。由c ＝42，

则由sin B b c =

，则b 可求；再由cosB a

c

=，则a 可求。 解：∵∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＝60°， ∴∠A ＝30°。

∵sin B b

c

=，

∴b c B =⋅=⋅︒=⨯=sin sin 4260423

2

26。

∵cosB a

c

=，

∴a c B =⋅=⨯=cos 421

2

22。

∴S ab ∆==⨯⨯=121

2

222643。

评析：在解直角三角形中，尽可能用一些原始数据，可以减少由计算错误而造成的累计错误。如求a 时，既可以用c B ⋅cos ，也可以用c b 22-，显然用第一个方法好一些。

例2. 已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，a ＋b ＝3＋3。求a 、b 、c 。 分析：由a b +=+33，它不属解直角三角形的基本类型，因此设法再找出a 、b 之间的一个关系，从而利用二元一次方程组加以解决。 解：在△ABC 中，

∵∠C ＝90°，∠A ＝60°，

∴tan A a

b

=

=3。 ∴a b =3 ① 又a ＋b ＝3＋3， ② 将①代入②，得 333b b +=+，

∴（），3133+=+b ∴b =

++=

+-+-=

=33313331313123

2

3（）（）

（）（）

， a b ==33。 ∵a b c 2

2

2

+=，

∴c a b =+=+=22223323（）。

评析：此题用到了tan A a

b

=

，找出了a 、

b 之间的一个关系式，再结合a b +=+33求出a 、b ，这样把解直角三角形与二元一次方程组结合在一起解决问题，体现了综合运用知识的能力。

例3. 已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 、AC 的长。

分析：此题中出现两个直角三角形，但BC 却不在某个直角三角形中，直接解直角三角形显然有些困难。若设AD ＝x ，则DC ＝x ，BD ＋DC ＝2，于是可列出一个关于x 的方程。 解：设AD ＝x ，则DC ＝x 。

在△ABD 中，tan B AD

BD

=

， ∴BD AD B x x

=

=︒=tan tan 603

， ∴BD x

=

33

。 又BD ＋DC ＝2，

∴33

2x

x +=。

∴（），13

3

2+=x

∴x =

+

=

+=

+=-21332

3336

33

33。

∴CD AD x =

︒==tan6033

3

3。 ∴DC =-33。 则AD =-33。

∴BD =

-=-3

3

3331（）。 ∴AB BD ==-2231（）。

又cosC DC

AC =，

∴AC DC =

︒=-=-=-cos453322

623

2

326。 评析：此题也是用到了方程解出AD 或DC ，最后求出AB 、AC 。

【考点突破】

【考点指要】

解直角三角形体现了利用直角三角形中角之间、边之间，边角之间的关系，灵活加以解决；同时，又可能构造出方程加以解决，体现了一定的综合运用知识的能力。在解题中，要认真审题，尽可能结合图形，增强直观效果。正由于解直角三角形可以考查灵活运用知识的能力，因此在中考时各省市都给予高度的重视。希望广大同学把解直角三角形的基本方法掌握好，而且注意结合图形加强分析，找出已知和未知的联系。

【典型例题分析】

例1. （2004年昆明市）如图，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C 点用测角器测得旗杆顶A 点的仰角∠AFE ＝60°，再沿直线CB 后退8米到D 点，在D 点又用测角器测得旗杆顶A 点的仰角∠AGE ＝45°；已知测角器的高度是1.6米，求旗杆AB 的高度（3近似值取1.7，结果保留小数）

分析：由测角器的高度为1.6米，最后加上它的高度即可，关键是用好两个直角三角形。不妨设AE ＝x 米，则GE ＝x 米，EF ＝3

3

x 米，由GF ＝8米，可列出方程。 解：设AE ＝x 米，

在Rt △AEF 中，∠AFE ＝60°，tan60︒=

AE

EF

。 ∴EF AE x x =

︒==tan 603

3

3。

在Rt △AGE 中，∠AGE ＝45°，