光学教程姚启钧课后习题解答

《光学教程》（姚启钧）习题解答
第一章光的干涉
1、波长为500nm 的绿光投射在间距d 为0.022cm 的双缝上，在距离180cm 处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。

若改用波长为700nm 的红光投射到此双缝上，两个亮纹之间的距离为多少？算出这两种光第2级亮纹位置的距离。

解：1500nm λ=
7011180
500100.4090.022
r y cm d λ-∆=
=⨯⨯= 改用2700nm λ=
7022180700100.5730.022
r y cm d λ-∆=
=⨯⨯= 两种光第二级亮纹位置的距离为：
21220.328y y y cm ∆=∆-∆=
2、在杨氏实验装置中，光源波长为640nm ，两狭缝间距为0.4mm ，光屏离狭缝的距离为50cm ，试求：⑴光屏上第1亮条纹和中央亮纹之间的距离；⑵若P 点离中央亮纹为0.1mm 问两束光在P 点的相位差是多少？⑶求P 点的光强度和中央点的强度之比。

解：⑴7050
640100.080.04
r y cm d λ-∆=
=⨯⨯= ⑵由光程差公式
210
sin y
r r d d
r δθ=-== 0224
y d
r π
π
πϕδλ
λ
∆=
=
⋅=
⑶中央点强度：2
04I A =
P 点光强为：2
21cos
4I A π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
012
(1)0.8542I I =+=
3、把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏实验的一束光路中，光屏上原来第5级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，试求插入的玻璃片的厚度。

已知光波长为7610m -⨯
解： 1.5n =，设玻璃片的厚度为d
由玻璃片引起的附加光程差为：()1n d δ'=-
()15n d λ-=
()7645561061061010.5
d m cm n λ---=
=⨯⨯=⨯=⨯-
4、波长为500nm 的单色平行光射在间距为0.2mm 的双缝上。

通过其中一个缝的能量为另一个的2倍，在离狭缝50cm 的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解： 7050500100.1250.02
r y cm d λ-∆=
=⨯⨯= 由干涉条纹可见度定义：
12min
2min
1221Max Max A A I I V I I A A ⎛⎫ ⎪
-⎝⎭=
=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
由题意，设22
122A A =
，即
1
2
A A =
0.943
V =
=
5、波长为700nm 的光源与菲涅耳双镜的相交棱之间距离为20cm ，棱到光屏间的距离L 为180cm ，若所得干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm ，求双镜平面之间的夹角
θ。

解：700,20,180,1nm r cm L cm y mm λ===∆= 由菲涅耳双镜干涉条纹间距公式
()()()72sin 20180sin 700100.0035
22200.1
r L y r r L r y λ
θ
θλ-+∆=
++=
=⨯⨯=∆⨯⨯
180
sin 0.003560123.14
θθ'≈=⨯
⨯
6、在题1.6 图所示的劳埃德镜实验中，光源S 到观察屏的距离为1.5m ，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm 。

劳埃德镜长40cm ，置于光源和屏之间的中央。

⑴若光波波长
500nm λ=，问条纹间距是多少？⑵确定屏上可以看见条纹的区域大小，此区域内共
有几条条纹？（提示：产生干涉的区域P 1P 2可由图中的几何关系求得）
解：由图示可知：7
050050010,40.4, 1.5150nm cm d mm cm r m cm λ-==⨯====
①70150500100.018750.190.4
r y cm mm d λ-∆=
=⨯⨯== ②在观察屏上可以看见条纹的区域为P 1P 2间
P 2 P 1 P 0
题1.6图
010.750.2
2 1.160.750.2P P mm -=
⨯=+
020.750.22 3.450.750.2
P P mm +=⨯=-
即21 3.45 1.16 2.29P P mm =-=，离屏中央1.16mm 上方的2.29mm 范围内可看见条纹。

21
2.29120.19
P P N y =
==∆
7、试求能产生红光（700nm λ=）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。

已知肥皂膜折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。

解：2700, 1.33nm n λ==
由等倾干涉的光程差公式：22
λ
δ=
222
λ
λ=
426d nm =
=
8、透镜表面通常镀一层如MgF 2（ 1.38n =）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。

为了使透镜在可见光谱的中心波长（550nm ）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？
解： 1.38n =
物质薄膜厚度使膜上下表面反射光产生干涉相消，光在介质上下表面反射时均存在半波损失。

由光程差公式：
122nh δλ==
555099.611044 1.38
h nm cm n λ-====⨯⨯
9、在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧，玻璃片l 长10cm
，纸厚为
0.05mm ，从600
的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目是
多少？设单色光源波长为500nm
解：
02cos602
o n h
δ
=+
相邻亮条纹的高度差为：60500500101
2cos60
212
o
h nm mm n λ
-∆=
=
=⨯⨯⨯
可看见总条纹数60.0510050010
H N h -=
==∆⨯ 则在玻璃片单位长度内看到的干涉条纹数目为：
1001010
N n l =
== 即每cm 内10条。

10、在上题装置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相邻两条暗纹间距为1.4mm 。

已知玻璃片长17.9cm ，纸厚0.036mm ，求光波的波长。

解：
当光垂直入射时，等厚干涉的光程差公式：
22
nh λ
δ=+
可得：相邻亮纹所对应的厚度差：2h n
λ∆=
由几何关系：
h H l l ∆=∆，即l
h H l ∆∆= 40.14
22210.00360.563110563.117.9
l n h n H cm nm l λ-∆=∆==⨯⨯⨯=⨯=
11、波长为400760nm 的可见光正射在一块厚度为61.210m -⨯，折射率为1.5的薄玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强。

解：6
1.210, 1.5h m n -=⨯=
由光正入射的等倾干涉光程差公式：22
nh λ
δ=-
使反射光最强的光波满：足22
nh j λ
δλ=-
=
()41
72002121
nh nm j j λ=
=⨯++
5,654.5j nm λ== 6,553.8j nm λ== 7,480.0j nm λ== 8,423.5j nm λ==
12、迈克耳逊干涉仪的反射镜M 2移动0.25mm 时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。

解：
光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式：22nh h δ== 移动一级厚度的改变量为：2
h λ∆=
60.25109092
nm
λ
⨯=
M 1
M 2
60.25102550.0909
nm λ⨯⨯==
13、迈克耳逊干涉仪的平面镜的面积为244cm ⨯，观察到该镜上有20个条纹，当入射光的波长为589nm 时，两镜面之间的夹角为多少？
解：
由光垂直入射情况下的等厚干涉的光程差公式：
22nh h δ==
相邻级亮条纹的高度差：2
h λ∆=
由1M 和2M '构成的空气尖劈的两边高度差为：
2010H h λ∆=⨯∆=
7
10589100.0001472530.3944
H rad α-∆⨯⨯''====
14、调节一台迈克耳逊干涉仪，使其用波长为500nm 的扩展光源照明时会出现同心圆环条纹。

若要使圆环中心处相继出现1000条圆环条纹，则必须将移动一臂多远的距离？若中心是亮的，试计算第一暗环的角半径。

（提示：圆环是等倾干涉图样，计
算第一暗环角半径时可利用21
sin ,cos 12
θθθθ≈≈-的关系。

）
解：500nm λ=
出现同心圆环条纹，即干涉为等倾干涉 对中心
2h δ=
72
210001100050010 2.5100.252h h cm mm
λ
--∆=∆=⨯⨯⨯=⨯=
15、用单色光观察牛顿环，测得某一亮环的直径为3mm ，在它外边第5个亮环的直径为4.6mm ，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m ，求此单色光的波长。

1M
2M '
解：由牛顿环的亮环的半径公式：r =
()2
2132122j R r λ
⎛⎫
+== ⎪⎝⎭
()2
2
2
4.62(5)122j R r λ
⎛⎫++== ⎪⎝⎭
以上两式相减得：
12.16
54R λ=
33
12.16
0.590310590.345 1.0310
mm nm λ-==⨯=⨯⨯⨯
16、在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环间距为
1mm ，求第19和20级亮环之间的距离。

解：牛顿环的反射光中所见亮环的半径为：
r =
即：2r =
3r =
19r =
20r =
则：)
2019320.16
0.40.4r r r r r mm ∆=-==
-==
第2章光的衍射
1、单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。

求第k 个带的半径。

若极
点到观察点的距离0r 为1m ，单色光波长为450nm ，求此时第一半波带的半径。

解：
由公式
2
011H
R k r R λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
对平面平行光照射时，波面为平面，即：R →∞
20H R kr λ=
26301450101100.45H R kr λ-==⨯⨯⨯⨯=
H R
2、平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。

问：⑴小孔半径应满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小孔中心4m 的P 点的光强分别得到极大值和极小值；⑵P 点最亮时，小孔直径应为多大？设此光的波长为500nm 。

解：⑴04400r m cm ==
H
R===
当k为奇数时，P点为极大值
当C数时，P点为极小值
⑵由()
1
1
2
P k
A a a
=±，k为奇，取“+”；k为偶，取“-”
当1
k=，即仅露出一个半波带时，P点最亮。

1
0.141,(1)
H
R cm k
==，0.282
D cm
=
3、波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和
1mm的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强
I之比。

解：
()
1
2
3
2
1
19
0.5
0.510
1111
1
5001011
H
H
R mm
R
k
r R
λ
-
-
=
⨯
⎛⎫⎛⎫
=+=+=
⎪ ⎪
⨯⎝⎭
⎝⎭
()
2
2
3
2
2
29
1
110
1111
4
5001011
H
H
R mm
R
k
r R
λ
-
-
=
⨯
⎛⎫⎛⎫
=+=+=
⎪ ⎪
⨯⎝⎭
⎝⎭
即从透光圆环所透过的半波带为：2，3，4
设
1234
a a a a a
====
234
P
A a a a a
=-+=
没有光阑时
()111
,2
,011
22
P k k P
A a a k a A a a '=±→∞→'== 光强之比：22
04
1
12I a I a ==⎛⎫ ⎪⎝⎭
4、波长为632.8nm 的平行光射向直径为2.76mm 的圆孔，与孔相距1m 处放一屏，试问：⑴屏上正对圆孔中心的P 点是亮点还是暗点？⑵要使P 点变成与⑴相反的情况，至少要把屏分别向前或向后移动多少？
解：
由公式
2
011H
R k r R λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
对平面平行光照射时，波面为平面，即：R →∞
2
290 2.7623632.8101
H R k r λ-⎛⎫ ⎪⎝⎭===⨯⨯， 即P 点为亮点。

则 0113k r R ⎛⎫
=⨯+
⎪⎝⎭
， 注：0,r R 取m 作单位
13
k r = 向右移，使得2k =，03
1.5, 1.510.52r m r m '==∆=-= 向左移，使得4k =，03
0.75,10.750.254
r m r m '==∆=-=
5、一波带片由五个半波带组成。

第一半波带为半径1r 的不透明圆盘，第二半波带是半径1r 和2r 的透明圆环，第三半波带是2r 至3r 的不透明圆环，第四半波带是3r 至4r 的透明圆环，第五半波带是4r 至无穷大的不透明区域。

已知1234:::r r r r =用波长500nm 的平行单色光照明，最亮的像点在距波带片1m 的轴上，试求：⑴1r ；⑵像点的光强；⑶光强极大值出现在哪些位置上。

解：
由1234:::r r r r =⑴
片具有透镜成像的作用，2
Hk
R f k λ
'=
波带
2
129111150010,0.07r m r r cm
λ
λ-=
⨯==⨯= ⑵2242,
4A a a a I a =+==
无光阑时，2
2011
24I a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
即：016I I =，0I 为入射光的强度。

⑶由于波带片还有11,35f f ''…等多个焦点存在，即光强极大值在轴上11
,35
m m …
6、波长为λ的点光源经波带片成一个像点，该波带片有100个透明奇数半波带（1,3,5,…,199）。

另外100
个不透明偶数半波带。

比较用波带片和换上同样焦距和口
径的透镜时该像点的强度比0:I I 。

解：由波带片成像时，像点的强度为：
()2
100I a =
由透镜成像时，像点的强度为：
()2
0200I a =
即014
I I =
7、平面光的波长为480nm ，垂直照射到宽度为0.4mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距为
60cm 。

分别计算当缝的两边到P 点的相位差为/2π和/6π时，P 点离焦点的距离。

解：
对沿θ方向的衍射光，缝的两边光的光程差为：sin b δθ= 相位差为：22sin b π
π
ϕδθλ
λ
∆==
对使2
π
ϕ∆=
的P 点
2sin 2
b π
π
ϕθλ∆=
=
sin 4b
λ
θ=
6
148010tan sin 6000.18440.4
y f f f mm b λ
θθ-⨯'''=⨯≈⨯==⨯=⨯
对使6
π
ϕ∆=
的P `
点
2sin 6
b π
π
ϕθλ
∆=
=
sin 12b
λ
θ=
6
148010tan sin 6000.0612120.4
y f f f mm b λ
θ
θ-⨯'''=⨯⨯==⨯=⨯
8、白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm 的光波的第二个次最大值重合，求该光波的波长。

解：对θ方位，600nm λ=的第二个次最大位
1sin 22b
λθθ⎛
⎫≈=+ ⎪⎝
⎭
对
λ'的第三个次最大位
1sin 32b λθθ'⎛
⎫≈=+ ⎪⎝
⎭
即：
5722b b
λλ'⨯=⨯ 55600428.677
nm λλ'==⨯=
9、波长为546.1nm 的平行光垂直地射在1mm 宽的缝上，若将焦距为100cm 的透镜紧贴于缝的后面，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到⑴第一最小值；⑵第一最大值；⑶第三最小值的距离分别为多少？
解：⑴第一最小值的方位角1θ为：1sin 1b θλ=⋅
6
111546.110tan sin 10000.551
y f f f mm b λ
θθ-⨯'''=≈==⨯=
⑵第一最大值的方位角1θ'为：
11sin 12b
λ
θ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭
6
111546.110tan sin 1.431000 1.430.781
y f f f mm b λ
θθ-⨯''''''=≈=⨯=⨯⨯=
⑶第3最小值的方位角3θ为：3sin 3b
λ
θ=⋅
6
333546.110tan sin 310003 1.651
y f f f mm b λ
θθ-⨯'''=≈=⨯=⨯⨯=
10、钠光通过宽0.2mm 的狭缝后，投射到与缝相距300cm 的照相底片上。

所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm ，问钠光的波长为多少？若改用X 射线（0.1nm λ=）做此实验，问底片上这两个最小值之间的距离是多少？
解：
单缝衍射花样最小值位置对应的方位θ满足：
sin ,1,2,3,....k
k b
λ
θ==±±±
则 11sin 1b
λ
θθ≈=⋅
22sin 2b
λ
θθ≈=⋅
()21x L L
b
λ
θθ∆=⋅-=
40.28.85 5.9105903000
b x mm nm L λ-=
∆=⨯=⨯= 740.110300 1.5100.02
x L cm b λ
--⨯'∆==⨯=⨯
11、以纵坐标表示强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝与缝之间的干涉）图样。

设缝宽为b ，相邻缝间的距离为d ，3d b =。

注意
缺级问题。

12、一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少？（设可见光中最短的紫光波长为400nm ，最长的红光波长为760nm ）
解：每毫米50条刻痕的光栅，即1
0.0250
d mm mm == 第一级光谱的末端对应的衍射方位角1θ末为
111sin 1sin d d
θλλθθ=⋅≈=
红
末红末末
第二级光谱的始端对应的衍射方位角2θ始为
1sin 22sin d d
θλλθθ=⋅≈=
2始紫
紫2始2始 ()()66321112240010760102100.02
rad d θθθλλ---∆=-=
-=⨯⨯-⨯=⨯红始末紫
13、用可见光（760400nm ）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？
解：光谱线对应的方位角θ：sin k
d
λ
θθ≈=
21400760
21d d
θθ=⨯
>=⨯
始末 即第一级光谱与第二级光谱无重叠
237601520400120023d d d d θθ=⨯
=>=⨯=末始 即第二级光谱与第三级光谱有重叠 由215201520
3,506.73
nm nm d d
λ
θλ=
=⨯=
=末 即第三级光谱的400506.7nm 的光谱与第二级光谱重叠。

14、用波长为589nm 的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为01510'，求该光栅1cm 内的缝数是多少？
解：第20级主最大值的衍射角由光栅方程决定
20sin 20d θλ=
2020sin 20d
λ
θθ==
156010
20180603.14
d
λ⨯+=
⨯ 解得2
0.4510d cm -=⨯
1
222/N cm d
=
=条
15、用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm 的钠光谱。

试问：⑴光垂直入射时，最多功能能观察到几级光谱？⑵光以030角入射时，最多能观察到几级光谱？
解：61
,58910400
d mm mm λ-=
=⨯
⑴光垂直入射时，由光栅方程：sin d j θλ=
61
11
sin 4.24458910400
j d θλ
-=
=
⨯=≈⨯
即能看到4级光谱
⑵光以30o
角入射
()sin sin 30o d j θλ+=
()1sin sin 304162o
d
j θλ⎛⎫
=
+=+= ⎪⎝⎭
16、白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为030处会出现哪些波长的光？其颜色如何？
解：1
250
d mm =
在30o
的衍射角方向出现的光，应满足光栅方程：sin 30o
d j λ=
11111
sin 3020002502o d mm nm j j j
λ==⨯
⨯=⨯
3,667j nm λ==
4,500j nm λ== 5,
400j nm λ==
17、用波长为624nm 的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b 为0.012mm ，不透明部分的宽度a 为0.029mm ，缝数N 为310条。

求：⑴单缝衍射图样的中央角宽度；⑵单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？⑶谱线的半宽度为多少？
解：0.012,
0.029b mm a mm ==
0.041d a b mm =+= 1000N =
⑴6
062410220.1040.012
rad b λ
θ-⨯∆==⨯
= ⑵j 级光谱对应的衍射角θ为：
11sin sin 1d j d
θλ
λθθ==⨯
112 3.43d
k b
θθ∆===→
即在单缝图样中央宽度内能看到()2317⨯+=条（级）光谱 ⑶由多缝干涉最小值位置决定公式：sin j Nd
λ
θ'=⋅
6
512
62410 1.521010000.041rad Nd λ
θ--⨯∆===⨯⨯
第3章几何光学的基本原理
1、证明反射定律符合费马原理 证明：
设A 点坐标为()10,y ，B 点坐标为()22,x y 入射点C 的坐标为(),0x 光程ACB
为：
∆=
令
2sin sin 0x x d i i dx -∆'==-=
即：sin sin i
i '=
*2、根据费马原理可以导出近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等。

由此导出薄透镜的物像公式。

3、眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板（见题3.3图），平板的厚度
d 为30cm 。

求物体PQ 的像P `
Q`与物体PQ 之间的距离2d 为多少？
解：
12sin sin i n i =
由图：()121211tan tan sin sin 1sin BB d i d i d i i d i n ⎛
⎫
'=-≈-=-
⎪⎝⎭
1111130110tan sin 1.5BB BB CE d cm i i n ''⎛⎫⎛
⎫=
≈=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4、玻璃棱镜的折射角A 为060，对某一波长的光其折射率n 为1.6，计算：⑴最小偏向角；⑵此时的入射角；⑶能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：
⑴ 由()()()121
2112211i i i i i i i i i i A θ'''''=-+-=+-+=+- 当11
i i '=时偏向角为最小，即有221
302
o i i A '=== 12i A θ=-
121
sin sin 1.60.82
i n i ==⨯
= 15308o i '=
25308604616o o o θ''=⨯-=
⑵15308o
i '=
5、（略）
6、高5cm 的物体距凹面镜顶点12cm ，凹面镜的焦距是10cm ，求像的位置及高度，（并作光路图）
解：
由球面成像公式：
112s s r
+=' 代入数值
1121220
s +='-- 得：60s cm '=- 由公式：
0y y s s '+='
y s y s
''=- 60
52512
s y y cm s '-'=-
=-⨯=--
7、一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚像。

求⑴此镜的曲率半径；⑵此镜是凸面镜还是凹面镜？
解：⑴5,10y cm s cm ==-
1y cm '=， 虚像0s '>
由
y s y s
''
=- 1510
s '=-
- 得：2s cm '=
⑵由公式
112
s s r
+=' 112210r
+=- 5r cm =（为凸面镜）
8、某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。

他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。

若凸面镜的焦距为10cm ，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm ，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？
解：
由题意，凸面镜焦距为10cm ，即
21
10
r =
112s s r +=' 11140108s s cm +='-'= 48PP cm '=
玻璃板距观察者眼睛的距离为1
242
d PP cm '==
9、物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为1d ，折射率为n 。

试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动()11/d n n -的一段距离的效果相同。

证明：
设物点P 不动，由成像公式
s s r
+=' ()
2rs
s s r '=
-
由题3可知：11110PP d d n ⎛⎫==-
> ⎪⎝⎭
入射到镜面上的光线可视为从1P 发出的，即加入玻璃板后的物距为s d +
1
112s s d r +='+ ()
()1
2r s d s s d r
+'=+-
反射光线经玻璃板后也要平移d ，所成像的像距为1
1s s d '''=- 放入玻璃板后像移量为：()()()
1
122r s d rs
s s s d s d r s r +''''∆=-=--
+-- 凹面镜向物移动d 之后，物距为s d + （0,0s d <>）
2
112s s d r +='+ ()
()2
2r s d s s d r
+'=+-
2
s '相对o 点距离()
()222r s d s s d d s d r
+'''=-=-+-
()()()
2
222r s d rs
s s s d s d r s r +''''∆=-=--
+--
10、欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率应为多少？
解：
,1,2s n s r '=-∞==
由球面折射成像公式：
n n n n
s s r
''--=
' 2n n n
r r
''-=
解得： 2n '=
11、有一折射率为1.5、半径为4cm 的玻璃球，物体在距球表面6cm 处，求：⑴物所成的像到球心之间的距离；⑵像的横向放大率。

解：
⑴P 由球面1o 成像为P '，
n n n n
s s r
''--=
' 1.51 1.51
64s --=
'- 36s cm '=-
P '由2o 球面成像P ''
236844s cm =--=-
21 1.51 1.5444
s --='-- 2
11s cm '=，P ''在2o 的右侧，离球心的距离11415cm += ⑵球面1o 成像
1111y s y s n β''=
=⋅ （利用P194：y s n y s n ''=⋅'
） 球面2o 成像
2
221
21y s n y s β''=
=⋅' 1
21223611 1.5644
s s s s βββ''-==⋅=⋅=---
12、一个折射率为1.53、直径为20cm 的玻璃球内有两个小气泡。

看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好像在表面与球心连线的中点，求两气泡的实际位置。

解：
设气泡1P 经球面1o 成像于球心，由球面折射成像公式：
n n n n
s s r
''--=
' 11 1.531 1.53
1010
s --=-- 110s cm =-， 即气泡1P 就在球心处
另一个气泡2P
21 1.531 1.53510
s --=-- 2 6.05s cm =-， 即气泡2P 离球心10 6.05 3.95cm -=
13、直径为1m 的球形鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。

解：由球面折射成像公式：n n n n s s r
''--='
1 1.331 1.33
5050
s --=
'-- 解得 50s cm '=-，在原处
50 1.33
1.33501
s n s n β'-=
⋅=⨯='-
14、玻璃棒一端成半球形，其曲率半径为2cm 。

将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm 处的水中有一物体，利用计算和作图法求像的位置及横向放大率，并作光路图。

解：
由球面折射成像公式：
s s r
-=
' 1.5 1.33 1.5 1.33
82
s --=
'- 18.5s cm '=-
18.5 1.33
2.058 1.5
s n s n β'-=
⋅=⨯='-
15、有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm 。

一物点在主轴上距镜20cm 处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求像点的位置。

设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。

解：
由薄透镜的物像公式：
211212
n n n n n n s s r r ---=+' 对两表面均为凸球面的薄透镜：
1.33 1.33 1.5 1.33 1.33 1.5
201010s ---=+
'-- 40.9s cm '=-
对两表面均为凹球面的薄透镜：
1.33 1.33 1.5 1.33 1.33 1.5
201010
s ---=+
'-- 13.2s cm '=-
16、一凸透镜在空气的焦距为40cm ，在水中时焦距为136.8cm ，问此透镜的折射率为多少（水的折射率为1.33）？若将此透镜置于CS 2中（CS 2的折射率为1.62），其焦距又为多少？
解：
⑴ 薄透镜的像方焦距：2
121
2n f n n n n r r '=
⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
12n n = 时，()1
11211n f n n r r '=
⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
在空气中：()1121
111f n r r '=
⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
在水中：()2121.33
111.33f n r r '=⎛⎫
-- ⎪
⎝
⎭
两式相比：
()()12 1.3340
1.331136.8
n f f n -'==
'- 解得 1.54n = ⑵12 1.62n n ==
11121
11n f n n r r '=
⋅
-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
而：
()
112111
11f n r r '-=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
则：()1.62
40 1.541437.41.54 1.62
f cm '=
⨯⨯-=--
第4章 光学仪器的基本原理
1、眼睛的构造简单地可用一折射球面来表示，其曲率半径为5.55mm ，内部为折射率等于4/3的液体，外部是空气，其折射率近似地等于1。

试计算眼球的两个焦距。

用肉眼观察月球时月球对眼的张角为01，问视网膜上月球的像有多大？
解：由球面折射成像公式：
n n n n
s s r ''--=
' 令4
3,
5.55 2.22413
n s f r cm n n ''=-∞=⋅=⨯='--
令1
,
5.551
6.7413
n s f r cm n n '=∞=-⋅=-⨯=-'--
2 5.550.190.019180
y mm cm π
'=⨯⨯
==
2、把人眼的晶状体看成距视网膜2cm 的一个简单透镜。

有人能看清距离在100cm
到
y '
300cm 间的物体。

试问：⑴此人看远点和近点时，眼睛透镜的焦距是多少？⑵为看清25cm 远的物体，需配戴怎样的眼镜？
解：⑴对于远点：11
300,2s cm s cm '=-= 由透镜成像公式：
111111
s s f -=''
11111
23001.987f f cm
-='-'= 对于近点：221112100
1.961f f cm
-=
'-'= ⑵对于25cm
1112251.852f f cm
-='-'= 由两光具组互相接触0d =组合整体：
2111111
1.852 1.961
f f f f =+''''=+
''
11
0.030cm f -=''
（近视度：300o ）
3、一照相机对准远物时，底片距物镜18cm ，当镜头拉至最大长度时，底片与物镜相距20cm ，求目的物在镜前的最近距离？
解：由题意：照相机对准远物时，底片距物镜18cm ，
18f cm '=
由透镜成像公式：
111s s f -=''
1112018180s s cm
-==-
4、两星所成的视角为4'，用望远镜物镜照相，所得两像点相距1mm ，问望远镜物镜的焦距是多少？
解： 3.14
118060
rad '=
⨯
3.14
44118060
859.585.95f f mm
f mm cm '''⨯=⨯⨯
=⨯'==
5、一显微镜具有三个物镜和两个目镜。

三个物镜的焦距分别为16mm 、4mm 和1.9mm ，两个目镜的放大本领分别为5和10倍。

设三个物镜造成的像都能落在像距为160cm 处，问这显微镜的最大和最小的放大本领各为多少？
解：由显微镜的放大本领公式：
12125l cm l
M M f f f =-
⋅=-⋅'''
目 其最大放大本领：
1160108421.9Max l mm
M M f mm
=-
⋅=-⨯='目 其最小放大本领：
min 116055016l mm M M f mm
=-
⋅=-⨯=-'目
6、一显微镜物镜焦距为0.5cm ，目镜焦距为2cm ，两镜间距为22cm 。

观察者看到的像在无穷远处。

试求物体到物镜的距离和显微镜的放大本领。

解：
由透镜物像公式：
111s s f -=''
111
200.5
s -=
解得：0.51s cm =- 显微镜的放大本领：1212252522255500.52
s l M f f f f '=-⋅≈-⋅=-⨯=-''''
7、（略）
8、已知望远镜物镜的边缘即为有效光阑，试计算并作图求入光瞳和出射光瞳的位置。

9、 10、
*13、焦距为20cm 的薄透镜，放在发光强度为15cd 的点光源之前30cm 处，在透镜后面80cm 处放一屏，在屏上得到明亮的圆斑。

求不计透镜中光的吸收时，圆斑的中心照度。

解：
11
3020
s -='- 60s cm '=
230
S
d Id I
φ=Ω= （S 为透镜的面积） P 点的像点P '的发光强度I '为：
22
30460S I
d I I S d φ
'==='
Ω
22
cos 415000.2
I I E lx R α'===
14、一长为5mm 的线状物体放在一照相机镜头前50cm 处，在底片上形成的像长为
1mm 。

若底片后移1cm ，则像的弥散斑宽度为1mm 。

试求照相机镜头的F 数。

解：
由
y s y s
''
= 1550
s '
= 得10s cm '= 由透镜物像公式：
111s s f -=''
1111050f -='
- 506
f '=
由图可见，100.11d =1d cm = F 数：508.336
f d '==
15、某种玻璃在靠近钠光的黄色双谱线（其波长分别为589nm 和589.6nm ）附近的色散率/dn d λ为1360cm --，求由此种玻璃制成的能分辨钠光双谱线的三棱镜，底边宽度应小于多少？
解：由色分辨本领：dn
P d λδλλ
=
=∆
mm
589.3nm λ=0.6nm λ∆=
360dn
d λ
=- 2.7cm dn d λ
λδλ
∆≥=
16、设计一块光栅，要求⑴使波长600nm 的第二级谱线的衍射角小于030，并能分辨其0.02nm 的波长差；⑵色散尽可能大；⑶第三级谱线缺级。

求出其缝宽、缝数、光栅常数和总宽度。

用这块光栅总共能看到600nm 的几条谱线？
解：由sin d j θλ=
3
26002400 2.410sin 30
o
nm d nm mm -⨯≥
==⨯ 由第三级缺级
31
3,0.8103
d b d mm b
-===⨯
由 P jN λ
λ
=
=∆ 600
20.02
15000
N
N == 光栅的总宽度：3
15000 2.41036L Nd mm -==⨯⨯=
由sin 902400
4600
o
d j λ
=
=
= 能看到0,1,2±±，共5条谱线
17、若要求显微镜能分辨相距0.000375mm 的两点，用波长为550nm 的可见光照明。

试求：⑴此显微镜物镜的数值孔径；⑵若要求此两点放大后的视角为2'，则显微镜的放大本领是多少？
解：⑴由显微镜物镜的分辨极限定义
0.610
sin y n u
λ
∆=
6
55010sin 06100.8950.000375
n u -⨯=⨯=
⑵ 3.14
18060387.70.000375250
M ⨯==
18、夜间自远处驶来汽车的两前灯相距1.5m 。

如将眼睛的瞳孔看成产生衍射的圆孔，试估计视力正常的人在多远处才能分辨出光源是两个灯。

设眼睛瞳孔的直径为3mm ，设光源发出的光的波长λ为550nm 。

解： 1.5
U L
=
当0.610
U R
λ
θ==才能分辨出
1.50.610L R
λ= 61.5550100.610 1.5m mm
Lm mm
-⨯=⨯ 6706 6.7L m km ==
19、用孔径分别为20cm 和160cm 的两种望远镜能否分辨清月球上直径为500m 的环形山？（月球与地面的距离为地球半径的60倍，面地球半径约为6370km 。

）设光源发出的光的波长λ为550nm 。

解：6
3
500 1.31060637010U rad -=
=⨯⨯⨯
孔径20cm 望远镜：
6
61550101.22 1.22 3.35510200
rad D λ
θ--⨯'==⨯=⨯
孔径160cm 望远镜：
6
61550101.22 1.220.419101600
rad D λ
θ--⨯''==⨯=⨯
1U θ'<，即用孔径20cm 望远镜不能分辨清 1U θ''>，即用孔径160cm 望远镜能分辨清
20、电子显微镜的孔径角028u =，电子束的波长为0.1nm ，试求它的最小分辨距离。

若人眼能分辨在明视距离处相距26.710mm -⨯的两点，则此显微镜的放大倍数是多少？
解： 3.144
sin sin 4180
o
n u u u ⨯====
6
60.610.1100.87100.873.144180y mm nm --⨯⨯∆==⨯=⨯
246
6.710
7.7100.8710mm mm
β--⨯==⨯⨯
第五章 光的偏振
1、试确定下面两列光波
()10cos cos 2x y E A e t kz e t kz πωω⎡⎤⎛
⎫=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
()20sin sin 2x y E A e t kz e t kz πωω⎡⎤⎛
⎫=-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
的偏振态。

解：①()10cos cos 2x y E A e t kz e t kz πωω⎡⎤
⎛⎫=-+--
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
()10cos x E A t kz ω=-
()100cos sin 2y E A t kz A t kz πωω⎛
⎫=--=- ⎪⎝
⎭
有：222
110x y E E A +=
分析
()
()
,0000,2
x y x y E A
t kz A E E t kz A E A
ωπ
ω=⎧⎪-=⎨=⎪⎩=⎧⎪-=
⎨=⎪⎩
为（左旋）圆偏振光
②()20sin sin 2x y E A e t kz e t kz πωω⎡⎤
⎛
⎫=-+--
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
()20sin x E A t kz ω=-
()200sin cos 2y E A t kz A t kz πωω⎛
⎫=--=-- ⎪⎝
⎭
有：2
2
2
110x y E E A +=
分析
()
()
00
0,,00
2
x y x y E t kz A E A E A t kz A E ωπ
ω=⎧⎪-=-⎨=-⎪⎩=⎧⎪-=
⎨=⎪⎩
为（左旋）圆偏振光
2、为了比较两个被自然光照射的表面的亮度，对其中一个表面直接进行观察，另一个表面通过两块偏振片来观察。

两偏振片的透振方向的夹角为060。

若观察到两表面的亮度相同。

则两表面实际的亮度比是多少？已知光通过每一块偏振片后损失入射
光能量的0010。

解：由于被光照射的表面的亮度与其反射的光的光强成正比。

设直接观察的表面对应的光强为1o I ，通过两偏振片观察的表面的光强为2o I 通过第一块偏振片的光强为：
121
0.92
o I I =
⨯ 通过第二块偏振片的光强为：
2212211
0.9cos 600.90.90.124
o o I I I I ==⨯⨯⨯⨯=
由1220.1o o I I I == 则：120.1o
o
I I =
3、两个尼科耳N 1和N 2的夹角为060，在它们之间放置另一个尼科耳N 3，让平行的自然光通过这个系统。

假设各尼科耳对非常光均无吸收，试问N 3和N 1的透振方向的夹角为何值时，通过系统的光强最大？设入射光强为0I ，求此时所能通过的最大光强。

解：
101
2
I I =
223101
cos cos 2
I I I αα==
()()2222301
cos 60cos cos 602o I I I ααα=-=⋅-
令：
2
0dI d α
=得：()tan tan 60αα=- 30o α= ()222220019cos 30cos 6030232
I I I =
⋅-=
4、在两个正义的理想偏听偏振片之间有一个偏振片以匀角速度ω绕光的传播方向旋转（见题5.4图），若入射的自然光强为0I ，试证明透射光强为()01
1cos 416
I I t ω=
- 证明：
1012
I I =
21cos I I t ω'=
()()22222
000cos 90sin 111cos sin sin 21cos 42816I I t I t
I t t I t I t ωωωωωω''=-=⋅=⋅==-
5、线偏振光入射到折射率为1.732的玻璃片上，入射角是060，入射光的电矢量与入射面成030角。

求由分界面上反射的光强占入射光强的百分比。

解：
1N
2N
N
t ω
60
设入射线偏振光振幅为A ，则入射光强为2
0I A = 入射光平行分量为：1cos 30o
P A A = 入射光垂直分量为：1sin 30o
S A A =
由：21sin603sin i =得：230o
i =
由：()()()()
121112tan 6030tan 0tan tan 6030o
P
o P i i A A i i --'===++ ()()()()
121112sin 6030sin 1
sin 2sin 6030o S o S i i A A i i --'=-=-=-++ 1111
24
S S A A A '== 014
I I '=
6、一线偏振光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成030角。

两束折
射光通过在方解石后面的一个尼科耳棱镜，其主截面与入射光的振动方向成050角。

计算两束透射光的相对强度。

解：
sin 302
o o A A A ==
cos302
o e A A A ==
当光振动面与N 主截面在晶体主截面同侧：
02cos80cos802
o e e A A A ==
21
sin80sin802
o o o o A A A ==
2
2222222sin 8010.723cos 80
o e e
o o o I A I A ===⋅ 当光振动面与N 主截面在晶体主截面两侧：
02cos 20cos 20o e e A A A ==
21
cos70sin 202
o o o o A A A ==
2
2222222sin 200.0443cos 20o e e
o o o
I A I A ===⋅
7、线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成030角。

求：⑴透射出来的寻常光和非常光的相对强度为多少？⑵用钠光入时如要产生090的相位差，波片的厚度应为多少？（589nm λ=）
解：
⑴1sin 302o
o A A A ==
214
o I A =
cos30o e A A A ==234
e I A = 1
3
o e I I = ⑵ 方解石对钠光 1.658 1.486o e n n ==
由()2o e n n d π
ϕλ
∆=
-
()22
o e n n d π
π
λ
-=
()
58.7104o e d cm n n λ
-=
=⨯-
8、有一块平行石英片是沿平行于光轴方向切成一块黄光的14波片，问这块石英片
应切成多厚？石英的01.552, 1.543,589e n n nm λ===。

解：()2o e n n d π
ϕλ∆=
-
()()2212
o e n n d k π
π
λ
-=
⋅+
()
()
()321211.64104o e k d k cm n n λ-+=
=+⨯-
9、⑴线偏振光垂直入射到一个表面和光轴平行的波片，透射出来后，原来在波片中的寻常光及非常光产生了大小为π的相位差，问波片的厚度为多少？
0 1.5442, 1.5533,500e n n nm λ===⑵问这块波片应怎样放置才能使透射出来的光是线
偏振光，而且它的振动面和入射光的振动面成090的角？
解：⑴()()221o e n n d k π
ϕπλ
∆=
-=+
()
()
()321212.75102o e k d k cm n n λ-+=
=+⨯-
⑵振动方向与晶体主截面成45o
角
10、线偏振光垂直入射到一块表面平行于光轴的双折射波片，光振动面和波片光轴成025角，问波片中的寻常光和非常光透射出来后的相对强度如何？
解：
cos 25o e A A = sin 25o o A A =
2
22tan 250.22o o e e o
I A I A ===
11、在两正交尼科耳棱镜N 1和N 2之间垂直插入一块波片，发现N 2后面有光射出，但当N 2绕入射光向顺时针转过020后， N 2的视场全暗，此时，把波片也绕入射光顺时针转过020，N 2的视场又亮了，问：⑴这是什么性质的波片；⑵N 2要转过多大角度才能使N 2的视场以变为全暗。

解：
⑴由题意，当2N 绕入射光向顺时针转动20o 后，2N 后的视场全暗，说明A '与1N 夹角为20o。

只有当波片为半波片时，才能使入射线偏振光出射后仍为线偏振光。

⑵把波片也绕入射光顺时针转过0
20，2N 要转过0
40才能使2N 后的视场又变为全暗
12、一束圆偏振光，⑴垂直入射1/4波片上，求透射光的偏振状态；⑵垂直入射到1/8波片上，求透射光的偏振状态。

解：
在xy 平面上，圆偏振光的电矢量为：
()()cos sin x y E A t kz e A t kz e ωω=-±- +为左旋；-为右旋圆偏振光
设在波片入射表面上为
()cos x E A t kz ω=- ()sin y E A t kz ω=-
⑴波片为
14波片时，2
πϕ∆= ()cos xo E A t kz ω=-
()sin cos 2yo E A t kz A t kz πωω⎛
⎫=-+=- ⎪⎝
⎭
即透射光为振动方向与晶片主截面成45o
角的线偏振光
⑵波片为
18波片时，4
πϕ∆= ()cos xo E A t kz ω=-
sin 4yo E A t kz πω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
即透射光为椭圆偏振光。

13、试证明一束左旋圆偏振光和一束右旋圆偏振光，当它们的振幅相等时，合成的光是线偏振光。

解：左旋圆偏振光
()()1cos sin x y E A t kz e A t kz e ωω=-+-
右旋圆偏振光
()()2cos sin x y E A t kz e A t kz e ωω=--- ()122cos x E E E A t kz e ω=+=-
即E 为线偏振光
14、设一方解石波片沿平行光轴方向切出，其厚度为0.0343mm ，放在两个正交的尼科耳棱镜间，平行光束经过第一尼科耳棱镜后，垂直地射到波片上，对于钠光
（589.3nm ）而言，晶体的折射率为 1.658, 1.486o e n n ==。

问通过第二尼科耳棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减弱？如果两个尼科耳棱镜的主截面是互相平行的，结果又如何？
解：
①1N 与2N 正交时，
()()622 1.658 1.4860.03431020o e n n d
π
ϕπϕπλ
π
πλ
ππ
'∆=+∆=+-=+
-⨯⨯=+
即通过第二个尼科耳棱镜后，光束的干涉是减弱的。

②1N 与2N 互相平行时，
()()622 1.658 1.4860.03431020o e n n d π
π
ϕϕπλ
λ
'∆=∆=
-=
-⨯⨯=
即通过第二个尼科耳棱镜后，光束的干涉是加强的。

15、单色光通过一尼科耳镜N 1，然后射到杨氏干涉实验装置的两个细缝上，问：⑴尼科耳镜N 1的主截面与图面应成怎样的角度才能使光屏上的干涉图样中的暗条纹为最暗？⑵在上述情况下，在一个细缝前放置一半波片，并将这半波片绕着光线方向继续旋转，问在光屏上的干涉图样有何改变？。