期权的定价与波动率

S(0)=100
S(u)=110 S(d)=90
C(0)=?
C(u)=10 C(d)=0
想一想“游戏的入场券”？ C(0)＝10 * 50% + 0 * 50% = 5
可是如果股价在期权到期日不只 两个结果，有“无数”个可能的 结果，这份行权价为100的认购 期权的“公平”定价又该是多少 呢？
先来看另 一个游戏
• 在实际交易运用中，期权定价基本都以计算机计算为主，许 多客户端也嵌入了期权价格计算器供客户参考。
目 录
引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录
一个简单的例子
100
50
S=50
C=?
25
0
有一只股票目前为50元，一年后股价只有两种可能：上涨到100元 ，或下跌至25元。市场无风险利率为5％。
真实概率测度 多元统计 （multivariate statistics）
对冲基金、资产管 理公司构建选股模 型等
用Excel进行多步二叉树定价
• 先在表单中构建好股价的二叉树，上述图中我们构建了 股票价格的三步二叉树图
用Excel进行多步二叉树定价
• 最终该欧式期权的三步二叉树价格=15.31
无套利机会
复制资产
我们构造以下投资组合来复制期权头寸： 投资W1份无风险收益产品； 投资W2股标的股票。 使得：
W1*(1+r)+W2*S(0)(1+u)=C(u) W2*(1+r)+W2*S(0)(1+d)=C(d)
-24-
期权定价的最基本模型：一步二叉树模型
我们可以解出： W1＝[C(d)(1+u)-C(u)(1+d)] / [(1+r)*(u-d)] W2= [C(u)-C(d) ] / [S(0)*(u-d)]
-26-
练一练
某个股票现价为100元。每个时间步的步长为6个月， 每个单步二叉树预期股票上涨10％，或下降10％。假设 无风险年利率为8％，则行权价格为100的半年期欧式认 购期权的价值为多少？
P与Q：量化金融的剑宗与气宗
• 量化金融可以分为两大流派：“Q”与“P”，Q表示风险中性概率 ，P表示真实概率。
BS就是二叉树的无限细分
目 录
引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录
BS模型简史
L.Bachelier
K.Ito
P.Samuelson
从正态分布到对数正态分布
• 将股价假设为正态分布真的合理吗？ • 股价可能变化到0以下吗？
P.Samuelson
为什么对数正态分布比正态分布更好
股价、波动率
社会大环境的 熏陶
无风险利率
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认购期权到期前的价格图形
-6-
认沽期权到期前的价格图形
-7-
到期前权利金到底值多少钱
期权在到期前价格曲线渐渐逼近与到期时的价 格折线！
我们更在乎的是期权权利金在到期前任一时刻 到底值多少钱？
关键点：寻找一种方法求出到期前价格曲线的 表达式。
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买入200股 股票
以5%的利率借 入4762元资金
所持头寸 卖出3张认购 买入200股股票 资金 总和
开仓时 +300*C -10000 +4762 +300*C-5238
到期股价＝100 到期股价＝25
-15000
0
+20000
+5000
-5000
-5000
0
0
-20-
如果300C－5238 > 0 竟然100%亏钱！
该期权是欧式期权
只能到期日当日 才能行权，正如 电影票是能在设 定的时间附近才 能进场。
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BS模型的八大假设
假设六
投资者的借贷利率相同
借入利率
借出利率
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BS模型的八大假设
假设七
市场允许卖空标的证券
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BS模型的八大假设
假设八
证券交易单位是无限可分的
无限可分：我可以买卖 100股、10股、1股、 0.1股、0.01股……
包含在S、 σ中。
期权定价计算三部曲
例如：50ETF在2015.4.30报收3.198元，无风险利率取为 3.925%，年化波动率取为30%，则50ETF行权价为3.200元、还 剩142天到期的欧式认购和认沽期权价值为多少？（假设期间不 支付红利）
S=3.198, K=3.200, r=3.925%, σ=30%, T=0.389
小球落在的区域
如果有足够多的小球滑落进 凹槽，我们将会得到小球的 分布
最终大多数小球会集中在 中间区域，两边的小球越 来越少。这样的分布就是 正态分布！
小球落在的区域
期权定价的基本思想
无套利机会
复制资产
期权定价的常用方法
理论 模型
二叉树模型
数值 方法
蒙特卡洛法
BlackScholes模型
有限差分法
假设一
股价变化服从对数正态分 布
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BS模型的八大假设
假设二
两恒定：无风险利率、波动率
期权创设日 期权到期日
-39-
BS模型的八大假设
假设三
市场不存在无风险套利机会
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BS模型的八大假设
假设四
市场上不存在任何交易成本
无交易、结算费! 无佣金！ 无税费！
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BS模型的八大假设
假设五
第三步：代入BS公式： C=3.198*0.5680-3.200*exp(-
3.198%*0.389)*0.4822=0.2606 P=3.200*exp(-
3.198%*0.389)*0.43203.198*0.5178=0.2141
期权定价计算器——投教网站
我们把S=3.198，K=3.200，r=3.925%，σ=30%，T=0.389输 入投教网站的计算器中，可以得出几乎相同的结果。
从一个游戏的入场券说起
50 %
50 %
从一个游戏的入场券说起
该游戏盈亏的期望值＝100 * 50% - 20 * 50% = 40美元。
风险中性的人
愿意支付40元
风险偏好的人 风险厌恶的人
愿意支付40元以上 愿意支付40元以下
通常而言，我们把风险中性世界下的定价视为公平的定价。所 以，门票的合理定价应等于40元。
简单的定价
反过来，假如有一只股票，今天的价格为100元，一周后的价格只有两 种情况，要么110元，要么90元，那么一个风险中性者会愿意给上涨赋 予多少的概率？（若无风险利率为0）
S(0)=100
S(u)=110 S(d)=90
简单的定价
那么在风险中性世界里，一份行权价为100，一周后到期的认购期权 的“公平”定价是多少呢？（若无风险利率为0）
第一步：先计算出d1和d2：
期权定价计算三部曲
第二步：计算出N(d1)和N(d2)： N(d1)=N(0.1718)=0.5682; N(d2)=N(-0.0153)=0.4939 N(-d1)=N(-0.1718)=0.4318; N(-d2)=N(-0.0153)==0.5061
S=3.198, K=3.200, r=3.925%, σ=30%, T=0.389
如果300C－5238 < 0 竟然100%赚钱！
一个简单的例子
50 C=?
0
在期权定价的核心假设（无套利机会的假设）下，不会发生百 分之百赚钱或亏钱的情况。
所以，只可能使得300C－5238＝0！
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期权定价的最基本模型：一步二叉树模型
让我们来进入这样一个金融市场：市场上有一只无风险收益产品， 年收益率为r，又有一只股票，目前价格为S(0)。
输出项
输入项
股价
行权价 期权价格
B-S模型
利率 到期日
隐含波动率
输出项
如何发现被高估的期权－从隐含波动率入手
方法：如果隐含波动率高于历史波动率达到一定程度，再加上某一行权 价的隐含波动率明显超过其他行权价的隐含波动率。
这个就是！
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卖出高估合约的“善后”管理
• 如果只卖出一个期权，比如认购期权， 就变成完全的赌方向。如果之后ETF价 格意外大涨，卖出的认购期权将会亏损。 因此，买入相同数量的、价格正常的认 购期权可降低卖方风险，使ETF价格的 上行风险得到控制。
• 防止“小概率”事件发生
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BS公式的延伸应用——有红利的股票
• Black-Scholes模型解决了不分红股票的期权定价问题，Merton在 此基础上得到了含分红股票的期权定价公式，在运用时只需要记住 两个字“替代”，用(S-D*exp(-rt))代替原来公式中的S。
• 事实上，随着股价上升，波动率一般会下降，并非独立于股价水平 ，恒定波动率的假设不符合现实。目前，如Heston等模型都在扩 展恒定波动率假设的问题。
• BS模型假设借贷资金成本相等，且不存在交易成本，不需缴纳保 证金，这些与现实差距较大。
BS模型的检验与作用
• 1977年，美国学着Galai利用CBOE上市的股票期权数据，首次对 B-S模型进行了检验。此后，有不少学着也作了相关探索。
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P与Q：量化金融的剑宗与气宗
Q与P的比较：
主要目的 核心意义 使用环境 数理工具
使用领域
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“Q”
衍生品定价（尤其 是期权类产品）
从未来收入推断现 在价格
风险中性测度
随机微积分 （stochastic calculus）
做市商报价、场外 期权产品的定价等
“P” 投资组合管理
从现在的信息刻画 未来的分布
• 第一、服从对数正态分布的股票价格始终为正数，这 与公司股票的有限负债特征一致。
• 第二、在对数正态分布下，不论股价是高是低，用百 分比表示的价格变化会相同的分布。
• 第三、当时交易所的观察到的数据与对数正态分布模 型也相当的一致。
BS模型简史 Black Scholes Merton
BS模型的八大假设
期权价值＝复制资产的价值ห้องสมุดไป่ตู้
根据无套利机 会的假设!
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神奇的发现：风险中性概率
记为q（u ）
记为q（d ）
这称为风险中 性定价法!
• 我们惊奇地发现q(u)+q(d)=1，正好构成 一个概率分布，称为风险中性概率。
• 期权的定价C(0) 等于未来收益在风险中性 概率下期望值的贴现值，与真实概率分布 p(u)、p(d)无关。
• 随着复杂衍生品的发展，它们的定价称为了广大投资者最为关心的 问题，而“Q”正式它们定价的利器。Q的代表作：1973年B-S－M 模型。
• 在买方进行投资组合管理时，经常需要依据现有的数据刻画资产在 未来一段时间内的概率分布，基于该分布，买方才能游刃有余地进 行资产配置获取收益，而他们使用的方法正式“P”。P的代表作： Markowitz现代投资组合理论。
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BS公式
按照期权定价四部曲的思维，并在上述假设下，Black和 Scholes合作推导出了下列著名的Black－Scholes微分方程：
以欧式认购期权定价公式为例：
BS公式的说明
说明一：N(.)表示为标准正态分布函数； 说明二：期权的定价与预期收益率μ无关； 说明二：公式中的r、σ、T都是年化后的值； 说明四：B-S公式不是不考虑风险溢价，而是把风险溢价都已经
• 结果表明：总体而言，B-S模型得出的结论仍是比较准确的，对期 权的报价有较强的指导意义。
• 直到今日，B-S模型依然成为投资者比较市场价格、做市商制定基 准价格的重要依据。
BS模型的应用：比较理论价格与交易价格
输入项
BS模型的应用：发现隐含波动率
股价
行权价
利率 波动率
B-S模型
到期日
期权合理 价格
上交所期权策略高级顾问培训
上海证券交易所
第一讲
期权的定价与波动率
目 录
引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录
目 录
引子 二叉树模型简介 B-S模型简介及其应用 “波动率”之约 附录
回顾期权价格的影响因素
自身基因的约束
合约类型、行权价、 到期日
父母亲的言传 身教
期权定价计算器——客户端
我们把S=3.198，K=3.200，r=3.925%，σ=30%，T=0.389输 入客户端的计算器中，也可以得出十分近似的结果。
期权定价计算器——上证期权APP
BS模型的不足之处
• 对股价分布的假设。Merton，Cox，Ross等指出，股价的变动不 仅包括连续情形，还包括由于重大时间引起的突跃情形，因此还需 加上跳跃项。
那么行权价为50元，合约单位100，一年后到期的欧式认购期权现 在到底值多少钱呢？
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一个简单的例子
100
50
S=50
C=?
25
0
试想如果我们构造如下投资组合： 卖出开仓3张认购期权； 买入200股股票； 以无风险利率5%借入4762元的现金。
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一个简单的例子
卖出3张认 购期权
一年后股价只有两种可能：要么上涨到S(u)，上涨的概率为p(u)， 要么或下跌至S(d)，下跌的概率为p(d)。
如果另有一份欧式认购期权，行权价K ，一年后到期，那么这份认购期权现 在到底值多少钱呢？
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期权定价的最基本模型：一步二叉树模型 P(u) P(d)
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期权定价的最基本模型：一步二叉树模型