三角函数的化简求值与证明试题
高中数学三角函数的恒等变换及化简求值精选题
三角函数的恒等变换及化简求值精选题一.选择题(共7小题) 1.若3ta n 4α=,则2c o s 2s in 2(αα+=)A .6425B .4825C .1D .16252.若3c o s ()45πα-=,则sin 2(α=)A .725B .15C .15-D .725-3.已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=,且ab⊥,则2sin 2c o s θθ+的值为( )A .1B .2C .12D .34.若1ta n 3θ=,则c o s 2(θ=)A .45-B .15- C .15D .455.已知角α的终边经过点(2,1)P -,则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A .3B .13C .13-D .3- 6.已知函数()s in (2)6f x x π=-,若方程3()5f x =的解为1x ,212(0)x x x π<<<,则12sin ()(x x -=)A .45-B .35-C .3-D .3-7.已知1ta n 4ta n θθ+=,则2c o s ()(4πθ+=)A .12B .13C .14D .15二.填空题(共15小题)9.设当x θ=时,函数()s in o s f x x x=+取得最大值,则ta n ()4πθ+=.10.求值:s in 50(1n 10)︒+︒=.11.1s in 10c o s 10-=︒︒.12.已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒,则m=.13.4c o s 50ta n 40︒-︒=.14.2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒.15.已知1ta n 31ta n αα+=-,则2sin 2sin co s 1ααα-+=.16.若1s in ()43πα-=,则c o s ()4πα+=.17.若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+,则s in 2θ=.18.若ta n 3α=,则s in 2ta n ()4απα+的值为 .19.若ta n 3,(0,)2παα=∈,则c o s ()4πα-=.20.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为2s in 18m =︒,若24m n +=,si n 63=︒.21.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现0.618就是黄金分割,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为2s in 18a=︒,若24a b +=,则2=.22.函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为 .三.解答题(共3小题) 23.设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-,其中03ω<<,已知()06f π=.(Ⅰ)求ω; (Ⅱ)将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在[4π-,3]4π上的最小值.24.已知α,β为锐角,4ta n 3α=,c o s ()5αβ+=-(1)求c o s 2α的值; (2)求tan ()αβ-的值.25.已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈.(Ⅰ)求2()3f π的值.(Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.三角函数的恒等变换及化简求值精选题25道参考答案与试题解析一.选择题(共7小题) 1.若3ta n 4α=,则2c o s 2s in 2(αα+=)A .6425B .4825C .1D .1625【分析】将所求的关系式的分母“1”化为22(c o s sin )αα+,再将“弦”化“切”即可得到答案. 【解答】解:3ta n 4α=,22222314c o s 4s in c o s 14ta n 644c o s 2s in 29s in c o s ta n 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++.故选:A .【点评】本题考查三角函数的化简求值,“弦”化“切”是关键,是基础题. 2.若3c o s ()45πα-=,则sin 2(α=)A .725B .15C .15-D .725-【分析】法1︒:利用诱导公式化s in 2c o s (2)2παα=-,再利用二倍角的余弦可得答案.法︒:利用余弦二倍角公式将左边展开,可以得s in c o s αα+的值,再平方,即得s in2α的值【解答】解:法31:c o s ()45πα︒-=,297s in 2c o s (2)c o s 2()2c o s ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-,法32:c o s ()in c o s )425πααα︒-=+=,∴19(1s in 2)225α+=,97s in 2212525α∴=⨯-=-,故选:D .【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键,属于中档题.3.已知向量(sin ,2),(1,c o s )ab θθ=-=,且ab⊥,则2sin 2c o s θθ+的值为( )A .1B .2C .12D .3【分析】由题意可得a b ⋅=,即解得ta n 2θ=,再由222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ+++==++,运算求得结果.【解答】解:由题意可得sin 2co s 0ab θθ⋅=-=,即ta n 2θ=.222222s in c o s c o s 2ta n 1s in 2c o s 1c o s s in 1ta n θθθθθθθθθ++∴+===++,故选:A .【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用,两个向量垂直的性质;同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题. 4.若1ta n 3θ=,则c o s 2(θ=)A .45-B .15- C .15D .45【分析】原式利用二倍角的余弦函数公式变形,再利用同角三角函数间的基本关系化简,将ta n θ的值代入计算即可求出值.【解答】解:1ta n 3θ=,22224c o s 22c o s 11111519ta n θθθ∴=-=-=-=++.故选:D .【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.5.已知角α的终边经过点(2,1)P -,则sin c o s (sin c o s αααα-=+ )A .3B .13C .13-D .3-【分析】先根据已知条件得到ta n α,再化简s in c o s s in c o s αααα-+代入即可得到结果.【解答】解:因为角α的终边经过点(2,1)P -,所以1ta n 2α=-,则11s in c o s ta n 1231s in c o s ta n 112αααααα----===-++-+,故选:D .【点评】本题考查三角函数的化简求值,着重考查同角三角函数的基本关系式,考查任意角的三角函数的定义,属于中档题. 6.已知函数()s in (2)6f x x π=-,若方程3()5f x =的解为1x ,212(0)x x x π<<<,则12sin ()(x x -=)A .45- B .35-C.3-D.3-【分析】由已知可得2123x x π=-,结合12x x <求出1x 的范围,再由12112s i n ()s i n (2)c o s (2)36x xx x ππ-=-=--求解即可. 【解答】解:因为0x π<<,∴112(,)666x πππ-∈-,又因为方程3()5f x =的解为1x ,212(0)x x x π<<<,∴1223x x π+=,∴2123x x π=-,∴12112s in ()s in (2)c o s (2)36x x x x ππ-=-=--,因为12212,3x x x x π<=-,103x π∴<<,∴12(,)662x πππ-∈-,∴由113()s in (2)65f x x π=-=,得14c o s (2)65x π-=,∴124s in ()5x x -=-,故选:A .【点评】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质,属中档题. 7.已知1ta n 4ta n θθ+=,则2c o s ()(4πθ+=)A .12B .13C .14D .15【分析】由已知求得s in c o s θθ的值,再由二倍角的余弦及诱导公式求解2c o s ()4πθ+的值.【解答】解:由1ta n 4ta n θθ+=,得s in c o s 4c o s s in θθθθ+=,即224s in c o s s in c o s θθθθ+=,1s in c o s 4θθ∴=,∴21c o s (2)1s in 22c o s ()422πθπθθ++-+==11212s in c o s 14224θθ-⨯-===.故选:C .【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用,是基础题.二.填空题(共15小题) 9.设当xθ=时,函数()s in o s f x x x=+取得最大值,则ta n ()4πθ+=2+【分析】()f x 解析式提取,利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数,由x θ=时函数()f x 取得最大值,得到θ的取值,后代入正切公式中计算求值.【解答】解:()sin o s 2sin ()3f x x x x π=+=+;当xθ=时,函数()f x 取得最大值2,32k k zππθπ∴+=+∈;26k πθπ∴=+,kz∈;∴1ta n ()ta n (2)ta n ()2464463k πππππθπ++=++=+==+故答案为:2+.【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.10.求值:s in 50(1n 10)︒+︒=1 .【分析】先把原式中切转化成弦,利用两角和公式和整理后,运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案.【解答】解:原式2s in 40s in 80c o s 10s in 50c o s 401c o s 10c o s 10c o s 10c o s 10︒︒︒=︒⋅=︒===︒︒︒︒故答案为:1【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及其化简求值,以及两角和公式,诱导公式和二倍角公式的化简求值.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用. 11.1s in 10c o s 10-=︒︒4 .【分析】s in 10c o s 10得结果.【解答】解:12(c o s 10in 10)1221s in 10c o s 10s in 10c o s 10s in 202︒-︒-==︒︒︒︒︒4s in 20420S in ==故答案为:4【点评】本题主要基础知识的考查,考查了在三角函数的化简与求值中,综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式,要求考生熟练运用公式对三角函数化简. 12.已知s in 10c o s 102c o s 140m ︒+︒=︒,则m=【分析】由题意可得2c o s 140s in 10c o s 10m ︒-︒=︒,再利用三角恒等变换求得它的值. 【解答】解:由题意可得2c o s 140s in 102c o s 40s in 102c o s (3010)s in 10c o s 10c o s 10c o s 10m ︒-︒-︒-︒-︒+︒-︒===︒︒︒2c o s 10s in 10s in 102c o s 10-︒+︒-︒==︒故答案为:【点评】本题主要考查三角恒等变换,属于中档题. 13.4c o s 50ta n 40︒-︒=【分析】表达式第一项利用诱导公式化简,第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦,通分后利用同分母分式的减法法则计算,再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,约分即可得到结果. 【解答】解:4c o s 50ta n 404s in 40ta n 40︒-︒=︒-︒4s in 40c o s 40s in 40c o s 40︒︒-︒=︒2s in 80s in (3010)c o s 40︒-︒+︒=︒12c o s 10c o s 10in 1022c o s 40︒-︒-︒=︒3c o s 10in 1022c o s 40︒-︒=︒==.【点评】本题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键. 14.2c o s 10s in 20s in 70︒-︒=︒【分析】利用两角和差的余弦公式,进行化简即可.【解答】解:原式12o s 20s in 20)s in 202c o s (3020)s in 2022c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒-︒-︒==︒︒o s 20s in 20s in 20o s 20c o s 20c o s 20︒+︒-︒︒===︒︒【点评】本题主要考查三角函数值的化简,利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键. 15.已知1ta n 31ta n αα+=-,则2sin 2sin co s 1ααα-+=25.【分析】由1ta n 31ta n αα+=-,我们可计算出ta n α的值,由于2sin α2c o s +α1=,所以将所求的代收式变形为222222s in c o s s in s in c o s s in c o s ααααααα-+++,然后化弦为切,代入求值.【解答】解:1ta n 31ta n αα+=-,1ta n 2α∴=.22222222222112()212s in c o s 2ta n 1222s in 2s in c o s 1115()12s in s in c o s ta n ta n s in c o s ta n αααααααααααααα⨯-⨯+-++-++∴-+====+++. 故答案是:25.【点评】本题考查的知识点是三角函数的恒等变换及化简求值,同角三角函数间的基本关系,解题的关键是将角的弦化切,属于中档题. 16.若1s in ()43πα-=,则c o s ()4πα+=13.【分析】由已知利用诱导公式化简所求即可得解. 【解答】解:1sin ()43πα-=,∴1c o s ()s in (())s in ()42443a ππππαα+=--=-=.故答案为:13.【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题. 17.若o s 2in 2c o s ()4θθπθ=+,则s in 2θ=23-.【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可得:2(c o s s in )in 2θθθ+=,平方后整理可得:23sin 24sin 240θθ--=,进而解得s in 2θ的值. 【解答】解:o s 22c o s()4θθπθ=+,∴2(c o s s in )in 22θθθ=+=,∴平方可得:24(1sin 2)3sin 2θθ+=,整理可得:23sin 24sin 240θθ--=,∴解得:2s in 23θ=-,或2(舍去).故答案为:23-.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题. 18.若ta n 3α=,则s in 2ta n ()4απα+的值为310-.【分析】直接利用三角函数关系式的变换和倍角公式的应用求出结果.【解答】解:由于ta n 3α=,所以22ta n 3s in 21ta n 5ααα==+,1ta n 4ta n ()241ta n 2πααα++===---所以3s in 235210ta n ()4απα==--+.故答案为:310-【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,倍角公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型. 19.若ta n 3,(0,)2παα=∈,则c o s ()4πα-=5.【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式求解s in α、c o s α的值,然后展开两角差的余弦求解.【解答】解:由ta n 3α=,得s in 3c o s αα=,即s in 3c o s αα=.又22sin c o s 1αα+=,且(0,)2πα∈,解得:s in 10α=,c o s 10α=.∴c o s ()c o s c o s s in s in4441021025πππααα-=+=+=.故答案为:5.【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查了同角三角函数基本关系式及两角差的余弦,是基础题.20.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为2s in 18m=︒,若24m n +=,则s i n 63m +=︒【分析】根据三角函数同角三角函数关系表示n ,利用辅助角公式结合两角和差的正弦公式进行化简即可. 【解答】解:2s in 18m =︒,∴由24m n +=,得222444sin 184co s 18nm =-=-︒=︒,则2s in 182c o s 18in (4518)in 63s in 63s in 63s in 63s in 63m +︒+︒︒+︒︒====︒︒︒︒故答案为:【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解,利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键.21.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现0.618就是黄金分割,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为2s in 18a=︒,若24a b +=,则2=12-.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求24co s 18b =︒,然后利用降幂公式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式化简得答案. 【解答】解:2s in 18a =︒,若24a b +=,2222444sin 184(1sin 18)4c o s 18b a∴=-=-︒=-︒=︒,∴22c o s 54sin 3614sin 18c o s 182sin 362-︒-︒====-︒︒︒,故答案为:12-.【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,降幂公式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.22.函数2()ta n 60s in 2inf x x x=︒+在[,]2ππ上的值域为.【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用可求()in (2)4f x x π=-+[,]2x ππ∈,可得:32[44x ππ-∈,7]4π,进而利用正弦函数的性质即可得解.【解答】解:2()tan 60sin 22f x x x=︒+1c o s 2in 22xx -=+2o s 2x x=+-in (2)4x π=-+又[,]2x ππ∈,可得:32[44xππ-∈,7]4π,s in (2)[14x π∴-∈-,2,可得()in (2)4f x x π=-+-,.故答案为:.【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦函数的性质,考查了转化思想和函数思想,属于基础题. 三.解答题(共3小题) 23.设函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-,其中03ω<<,已知()06f π=.(Ⅰ)求ω; (Ⅱ)将函数()yf x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在[4π-,3]4π上的最小值.【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数()f x 为正弦型函数,根据()06f π=求出ω的值;(Ⅱ)写出()f x 解析式,利用平移法则写出()g x 的解析式,求出[4x π∈-,3]4π时()g x 的最小值.【解答】解:(Ⅰ)函数()s in ()s in ()62f x x x ππωω=-+-s in c o sc o s s ins in ()662x x x πππωωω=---3in c o s 22x xωω=-in ()3x πω=-,又()in ()0663f πππω=-=,∴63k ππωπ-=,k Z∈,解得62k ω=+,又03ω<<,2ω∴=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,()in (2)3f x x π=-,将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数in ()3y x π=-的图象;再将得到的图象向左平移4π个单位,得到in ()43yx ππ=+-的图象,∴函数()in ()12yg x x π==-;当[4x π∈-,3]4π时,[123xππ-∈-,2]3π,s in ()[122x π∴-∈-,1],∴当4xπ=-时,()g x取得最小值是322-=-.【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题,是中档题. 24.已知α,β为锐角,4ta n 3α=,c o s ()5αβ+=-(1)求c o s 2α的值; (2)求tan ()αβ-的值.【分析】(1)由已知结合平方关系求得s in α,c o s α的值,再由倍角公式得c o s 2α的值; (2)由(1)求得t a n 2α,再由c o s ()5αβ+=-求得t a n (αβ+,利用tan ()tan [2()]αβααβ-=-+,展开两角差的正切求解.【解答】解:(1)由22431s in c o s s in c o s ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角,解得4s in 53c o s 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,227c o s 225c o s s in ααα∴=-=-;(2)由(1)得,24s in 22s in c o s 25ααα==,则s in 224ta n 2c o s 27ααα==-.α,(0,)2πβ∈,(0,)αβπ∴+∈,s in ()5αβ∴+==.则s in ()ta n ()2c o s ()αβαβαβ++==-+.ta n 2ta n ()2ta n ()ta n [2()]1ta n 2ta n ()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++.【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是中档题. 25.已知函数22()s inc o s in f x x x x =--co s ()x x R ∈.(Ⅰ)求2()3f π的值.(Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式,(Ⅰ)代入可得:2()3f π的值.(Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质,可得()f x 的最小正周期及单调递增区间【解答】解:函数22()s inc o s in f x x x x =--7c o s in 2c o s 22s in (2)6x x x x π=-=+(Ⅰ)2275()2s in (2)2s in 23362f ππππ=⨯+==,(Ⅱ)2ω=,故Tπ=,即()f x 的最小正周期为π,由72[262xk πππ+∈-+,2]2k ππ+,k Z∈得:5[6x k ππ∈-+,]3k ππ-+,kZ∈,故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+,]3k ππ-+或写成[6k ππ+,2]3k ππ+,kZ∈.【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值,三角函数的周期性,三角函数的单调区间,难度中档。
三角函数化简题
日期:2009年 月 日星期,能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明.用.1常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等;2化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类:1给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;2给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论;3给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角;3、三角等式的证明:1三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”;2三角条件等式的证题,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明;.三角函数的求值: ,化非特殊角为特殊角; 2.正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值; 3.一些常规技巧:“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等. 1.三角函数式的化简: 三角函数式的化简常用方法是:异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化. 2.三角恒等式的证明: 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式.①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同”;②有条件的等式常1、已知θ是第三象限角,且4459sin cos θθ+=,那么2sin θ等于 AA 、3B 、3-C 、23D 、23-2、函数222y sin x x =--+的最小正周期 BA 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 DA 、1B 、2C 、-1D 、-24、已知46sin (4)4m m m αα-=≠-,则实数m 的取值范围是__-1,73___;5、设10,sin cos 2απαα<<+=,则cos2α=__4-___;例1.已知3sin 5m m θ-=+,42cos 5m m θ-=+2πθπ<<,则tan θ= C ()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512-略解:由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =舍,∴5sin 13θ=,∴5tan 12θ=-.例2.已知1cos(75)3α+=,α是第三象限角,求cos(15)sin(15)αα-+-的值.解:∵α是第三象限角,∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+k Z ∈,∵1cos(75)3α+=,∴75α+是第四象限角,∴sin(75)α+==,∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3αααα+=---=+-+=-. 例3.已知2sin sin 1θθ+=,求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值.解:由题意,22sin 1sin cos θθθ=-=,∴原式223sin sin 2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=.例4.已知8cos(2)5cos 0αββ++=,求tan()tan αβα+⋅的值. 解:∵2()αβαβα+=++,()βαβα=+-, ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=,得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+,若cos()cos 0αβα+≠,则13tan()tan 3αβα+⋅=,若cos()cos 0αβα+=,tan()tan αβα+⋅无意义.说明:角的和、差、倍、半具有相对性,如()()βαβαβαα=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()αβαβα+=++等,解题过程中应充分利用这种变形.例5.已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈,求:1sin cos1cot 1tan θθθθ+--的值;2m 的值;3方程的两根及此时θ的值. 解:1由根与系数的关系,得sin cos sincos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩, ∴原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---.2由①平方得:12sincos θθ+⋅=sin cos θθ⋅=即2m =,故m =.3当221)0x x -=,解得1212x x ==, ① ②∴sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∵(0,2)x π∈,∴3πθ=或6π.例1.化简:23tan123sin12(4cos 122)--; 2(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅;(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<. 解:1原式213sin12cos12)3sin123cos12222sin12cos12(2cos 121)sin 24cos24--==- sin 482==-2原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin coscos ααααααα-=+=+-=.3原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<,∴022θπ<<,∴|cos |cos 22θθ=,∴原式cos θ=-.例3.证明:1222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-;2sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=.证:1左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x xx x x x x ++-=+==22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x xx x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边,∴得证.说明:由等式两边的差异知:若选择“从左证到右”,必定要“切化弦”;若“从右证到左”,必定要用倍角公式.2左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B AA+-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边,∴得证.1.若cos130a =,则tan 50=D()A()B± ()C()D 2.(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=B()A 2 ()B 4 ()C 8()D 163.化简:42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 答案:1cos 22x 4.设3177cos(),45124x x πππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值;答案:2875- 6.已知11sin()cos [sin(2)cos ],022αβααβββπ+-+-=<<,求β的值;答案:2π7.05北京卷已知tan 2α=2,求I tan()4πα+的值;II 6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值.解:I ∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+; II 由I, tan α=-34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.8.05全国卷已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合. 解:∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分1)4x π=-…………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔->sin(2)4x π⇔->…………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+…………………………8分 34k x k πππ⇔<<+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………12分9.05浙江卷已知函数fx =-3sin 2x +sin x cos x .Ⅰ 求f 256π的值; Ⅱ 设α∈0,π,f 2α=41-2,求sin α的值.解:Ⅰ25125sin,cos626ππ==225252525()sin cos 06666f ππππ=+=Ⅱ 1()2sin 2222f x x x =-+11()cos sin 222242f ααα∴=+-=-011sin 4sin 162=-α-α 解得8531sin ±=α 0sin ),0(>α∴π∈α 8531sin +=∴a 1.1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+-B()A cot α ()B cot 2α()C tan α()D tan 2a2.已知()f x =当53(,)42ππα∈时,式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为 D()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3.222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 .§三角函数的化简、求值与证明 日期:2009年 月 日星期 一、选择题1、已知1sin()43πα-=,则cos()4πα+的值等于 D A、3 B、3- C 、13 D 、13-2、已知tan α、tan β是方程240x ++=的两根,且(,)22ππαβ∈-、,则αβ+等于BA 、3π B 、23π- C 、3π或23π- D 、3π-或23π3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42x xx x ππ+---为 BA 、sin xB 、cos xC 、tan xD 、cot x4、全国卷Ⅲ22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB A tan α B tan 2αC 1 D125、山东卷函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ,若2)()1(=+a f f ,则a 的所有可能值为 BA1 B 22,1-C 22-D 22,1二、填空题6、全国卷Ⅱ设a 为第四象限的角,若513sin 3sin =a a ,则tan 2a =_____43-_________. 7、北京卷已知tan 2α=2,则tanα的值为-34,tan ()4πα+的值为 -718、已知tan()34πθ+=,则2sin 22cos θθ-的值为___45-____;9、已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +=_2-_. 三、解答题 10、求证:21tan 1sin 2.12sin 1tan 22αααα++=--11、已知2sin 22sin ()1tan 42k ααππαα+=<<+,试用k 表示sin cos αα-的值;12、求值:23)csc12.4cos 122--答案:-13、已知tan tan αβ=,求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值;答案:3备用题参考资料。
必修4--三角函数的化简、求值与证明综合练习
必修4—三角函数的化简、求值与证明练习A 组1、已知θ是第三象限角,且4459sin cos θθ+=,那么2sin θ等于---------------( ) A、3 B、3- C 、23 D 、23-2、函数222y sin x x =-+的最小正周期 -------------------------------( )A 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10201)-等于 -------------------------------------------------( )A 、1B 、2C 、-1D 、-24、已知46sin (4)4m m mαα-=≠-,则实数m 的取值范围是______。
5、设10,sin cos 2απαα<<+=,则cos2α=_____。
6、化简:42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 7、设3177cos(),45124x x πππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
8、求证:sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα+-+=9、已知11sin()cos [sin(2)cos ],022αβααβββπ+-+-=<<,求β的值。
10、 已知tan 2α=2,求(I )tan()4πα+的值; (II )6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值.11、已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.12、已知函数f (x )=-3sin 2x +sin x cos x .(Ⅰ) 求f (256π)的值; (Ⅱ) 设α∈(0,π),f (2α)=41,求sin α的值.B 组1、已知1sin()43πα-=,则cos()4πα+的值等于-----------------------------------( ) A、3 B、3- C 、13 D 、13-2、已知tan α、tan β是方程240x ++=的两根,且(,)22ππαβ∈-、,则αβ+等于 ------------------------------------------------------------------------------------------------( )A 、3π B 、23π- C 、3π或23π- D 、3π-或23π3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42x xx x ππ+---为 --------------------------------( )A 、sin xB 、cos xC 、tan xD 、αtan 14、22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα-------------------------------------------------------------------( )(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)125、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ,若2)()1(=+a f f ,则a 的所有可能值为( )(A )1 (B )22,1- (C )22- (D )22,1 6、设a 为第四象限的角,若 513sin 3sin =a a ,则tan 2a =______________. 7、已知tan2α=2,则tanα的值为 ,tan ()4πα+的值为8、已知tan()34πθ+=,则2sin 22cos θθ-的值为_______。
三角函数的化简求值(含答案)
三角函数的化简求值一、单选题(共10道,每道10分)1.化简的结果是( )A. B.C. D.答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简2.化简的结果是( )A. B.C. D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简3.下列选项中,不是化简的结果的是( )A. B.C. D.答案:D解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简4.化简的结果的是( )A.,其中B.,其中C.,其中D.,其中答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简5.函数()的值域为( )A. B.C. D.答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简6.函数()的值域为( )A. B.C. D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简7.已知函数,若为偶函数,则的一个值为( )A. B.C. D.答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简8.函数()的值域为( )A. B.C. D.答案:B解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简9.函数()的值域为( )A. B.C. D.答案:C解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简10.函数()的值域是( )A. B.C. D.答案:A解题思路:试题难度:三颗星知识点:形如asinx+bcosx的化简。
三角函数式的化简求值训练
)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C (α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S (α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β; (4)S (α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β;(5)T (α+β):tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β;(6)T (α-β):tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α:sin 2α=2sin_αcos_α;(2)C 2α:cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α;(3)T 2α:tan 2α=2tan α1-tan 2α. 3.有关公式的逆用、变形等.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan_αtan_β);(2)cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2;(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α±cos α=2sin èæøöα±π4. =α+β2-α-β2;α-β2=èæøöα+β2-èæøöα2+β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 (2) 化简技巧:切化弦、“1”的代换等.的代换等. 6 三个变化三个变化(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.等.(3)等.等.二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x -2cos 2x +122tan èæøöπ4-x sin 2èæøöπ4+x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+:. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一.重要公式与方法技巧:1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α-β):cos(α-β4.函数f (α)=a cos α+b sin α(a ,b 为常数),可以化为f (α)=a 2+b 2sin(α+φ)或f (α)=a 2+b 2c os(α-φ),其中φ可由a ,b 的值唯一确定.的值唯一确定. 5两个技巧两个技巧(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β;β变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”<π2<α<π,且cos èæøöα-β2=-19,sin èæøöα2-β=23,求cos(α+β)的值.的值.【训练2】 已知α,β∈èæøö0,π2,sin α=45,tan(α-β)=-13,求cos β的值.的值.三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2,求β. 【训练3】 已知α,β∈èæøö-π2+33x +4=0的两个根,求α+β的值.的值.四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )=2cos 2x +sin 2x .(1)求f èæø-π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0<β,π2,且tan α,tan β是方程x 2öπ3的值;(2)求f (x )的最大值和最小值.和最小值.【训练4】 已知函数f (x )=2sin(π-x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期;的最小正周期;(2)求f (x )在区间ëéûù,π2上的最大值和最小值.上的最大值和最小值.一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示,求解时要注意角的范围的讨论.角的范围的讨论.3【示例】►已知tan èæøöx +π4=2,则tan =12,tan β,π2. (1)求sin θ和cos θ的值;的值;(2)若5cos(θ-φ)=35cos φ,0<φ<π2,求cos φ的值.的值.【课后巩固】1.81cos sin =×a a ,且4p <a <2p,则a a sin cos -的值为:的值为:A 、23B 、23-C 、43D 、43-2.已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、-1 B 、1 C 、-3 D 、3 3.已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4.已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 ( )A.1925 B.1625 C.1425 D.7256.已知1sin cos 5q q -=,则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、-24257.已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ) xtan 2x 的值为________.二、给值求角二、给值求角“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示,由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角.求得角.【示例】►已知tan(α-β)=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β的值.的值. ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考高考的必考内容,常在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中,并且成为高考的一个新考查方向.高考的一个新考查方向.【示例】► 已知向量a =(sin θ,-2)与b =(1,cos θ)互相互相垂直垂直,其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根,则p 、q 间的关系是:间的关系是: A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8.22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于(的值等于( ) A 、62 B 、32 C 、54D 、1+349.已知tan(α+β)=52,tan(β-4p )=41,那么tan(α+4p )的值是的值是A .1813 B .223 C .2213 D .18310.若,(0,)2pa b Î,3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-,则cos()a b +的值等于 (A )32-(B )12- (C )12(D )32 11、已知tan 2a =,求2212sin cos cos sin a a a a +-12.求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-(Ⅰ)求tan a的值;(Ⅱ)求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=(Ⅰ)求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值;(Ⅱ)求5tan()4pa -的值。
《高考真题》专题07 三角函数求值-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅰ专版(原卷版)
专题07 三角函数求值【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A .−2B .−C .2D .【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+ 故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力.首先应用诱导公式,将问题转化成锐角三角函数的计算,进一步应用两角和的正切公式计算求解.题目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1A a ,,()2B b ,,且2cos 23α=,则a b -= A .15 BC.5D .1【答案】B【解析】根据条件,可知,,O A B 三点共线,从而得到2b a =,因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα,解得215a =,即5a =,所以25a b a a -=-=, 故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換,考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2∈,α,tan α=2,则πcos ()4α-= .【答案】10【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=, 又22sin cos 1αα+=,所以21cos 5α=,因为π(0,)2α∈,所以cos αα==, 因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+,所以πcos()4525210α-=+⨯=. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型:(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识,考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】一般在选择题或填空题中进行考查,分值5分,主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度,考查方程思想和运算求解能力.【答题模板】已知三角函数值,求其他三角函数式的值的一般思路:(1)先化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.【方法总结】1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式,知其结构特征仅是第一层面要求,重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵.如1±sin2α=(sinα±cosα)2有并项的功能,cos2α=cos2α-sin2α有升幂的功能,sin2α=2sinαcosα有将角由大化小的功能,两角和与差的正切公式,揭示的是同名不同角的正切函数的关系等.2.余弦的差角公式是本节公式之源,掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的.3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明.对于有条件的恒等证明,需要注意的问题有二:一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异,探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法;二是充分利用条件,特别是将条件变形整理后使用.4.熟知一些恒等变换的技巧(1)公式的正用、逆用及变形用.(2)熟悉角的拆拼技巧,理解倍角与半角是相对的,如2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,3α是23α的半角,2α是4α的倍角等.(3)在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,尤其要重视常数“1”的各种变形,例如:1=πtan4,1=sin2α+cos2α等.(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的.总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂.通过对角的分拆,达到使角相同;通过转换函数,达到同名(最好使式中只含一个函数名);通过对式子变形,达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化);通过幂的升降,达到幂的统一.1.【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次(5月)质量检查考试数学】A .2- B .2C .12-D .122.【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学】已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 4x 的值为 A .1825 B .1825± C .725D .725±3.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】已知ππsin 3cos 36αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan 2α=A .-B .2-C .D .24.【山东省潍坊市2019届高三高考模拟(4月二模)考试】若4tan 3α=,则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .2425- B .725- C .725D .24255.【安徽省1号卷A10联盟2019()πcos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan 2α=A .7B .3CD6.【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】已知平面直角坐标系下,角α的顶点与原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边经过点(4,3)P ,则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .2425 B .2425- C .2425或2425-D .7257.【湖北省2019届高三4cos 2x x +=,则πcos 3x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A .12BC .3D .348.【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学】若3sin cos 5αβ-=,4cos sin 5αβ+=,则s i n()αβ-=A .3B .2C .13D .129.【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学】tan 20sin 20︒=︒A .1B .2C .3D .410.【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学】若角α满足sin 51cos αα=-,则1cos sin αα+=A .15B .52C .5或15D .511.【山西省2019届高三百日冲刺考试数学】已知sin10cos102cos140m +=,则m =__________. 12.【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试(B 卷)】已知 为锐角,且,则 __________.13.【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若2m n +=4=___________.14.【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学】平面直角坐标系xOy 中,点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点, xOP α∠=,若π11cos 133α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则00x y +=__________.。
三角函数化简求值每日一练
三角函数化简求值每日一练1、的值为____________2、计算:=____________3、化简=____________4、sin15°+sin75°的值是____________5、求值:sin10°tan70°﹣2cos40°=____________6、sin315°sin(﹣1260°)+cos390°sin(﹣1020°)=____________7、=____________8、sin2230°+sin110°•cos80°=____________9、=____________10、=____________11、求值sin17°cos47°﹣sin73°cos43°=____________12、=____________13、﹣的值是____________14、(1+tan21°)(1+tan24°)的值为____________15、=____________16、计算3tan10°+4 =____________17、化简:=____________18、=____________19、sin40°(tan190°﹣)=____________20、计算:=____________21、求值:=____________22、计算:=____________答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解:= = = ,故选:B.【分析】利用三角恒等变换化简所给的式子,可得结果.二、填空题2、【答案】1【考点】三角函数的化简求值,两角和与差的正切函数【解析】【解答】解:∵tan60°= ,∴==tan(60°﹣15°)=tan45°=1.故答案为:1.【分析】由tan60°= ,利用两角差的正切公式,即可求出答案来.3、【答案】﹣8【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解:∵tan12°﹣= = = =﹣8sin12°cos24°,∴= =﹣8.故答案为:﹣8.【分析】由同角函数的三角函数关系以及两角和差的正弦公式转化原式可得tan12°﹣=﹣8sin12°cos24°,整理化简可得结果。
高考数学难点16 三角函数式的化简与求值(含答案解析)
难点16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-53,求sin2α的值_________.●案例探究[例1]不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托:熟知三角公式并能灵活应用.错解分析:公式不熟,计算易出错.技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会.解法一:sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1-cos40°)+21 (1+cos160°)+3sin20°cos80° =1-21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1-21cos40°+21(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)=1-21cos40°-41cos40°-43sin40°+43sin40°-23sin 220° =1-43cos40°-43(1-cos40°)= 41 解法二:设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°-3cos20°sin80°,则x +y =1+1-3sin60°=21,x -y =-cos40°+cos160°+3sin100° =-2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =41,即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. [例2]设关于x 的函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值为f (a ),试确定满足f (a )=21的a 值,并对此时的a 值求y 的最大值. 命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错.技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解:由y =2(cos x -2a)2-2242+-a a 及cos x ∈[-1,1]得:f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1-4a =21⇒a =81∉[2,+∞) 故-22a -2a -1=21,解得:a =-1,此时, y =2(cos x +21)2+21,当cos x =1时,即x =2k π,k ∈Z ,y max =5.[例3]已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值;(3)若当x ∈[12π,127π]时,f (x )的反函数为f -1(x ),求f --1(1)的值. 命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力,属★★★★★级题目.知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析:在求f --1(1)的值时易走弯路.技巧与方法:等价转化,逆向思维.解:(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)-3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π-2π,即x =k π-125π (k ∈Z )时,f (x )取得最小值-2. (3)令2sin(2x +3π)=1,又x ∈[27,2ππ], ∴2x +3π∈[3π,23π],∴2x +3π=65π,则 x =4π,故f --1(1)= 4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域,5°化简求值.2.技巧与方法:1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用. 3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法.4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a >1)的两根均tan α、tan β,且α,β∈(-2,2ππ),则tan 2βα+的值是( ) A.21 B.-2 C.34 D. 21或-2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53,α∈(2π,π),tan(π-β)= 21,则tan(α-2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ),β∈(0,4π),cos(α-4π)=53,sin(43π+β)=135,则sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒ 5.已知cos(4π+x )=53,(1217π<x <47π),求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 6.(★★★★★)已知α-β=38π,且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin 2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件. 7.(★★★★★)如右图,扇形OAB 的半径为1,中心角60°,四边形PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P 的位置,并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3,sin α+cos β的取值范围是D ,x ∈D ,求函数y =10432log 21++x x 的最小值,并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场 解法一:∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π.π<α+β<43π, ∴sin(α-β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα。
考点15 三角函数式的化简与求值(答案)
,故选 B.
3.【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
,则
tan
−
4
=
(
)
−1
1
A. 2
B.-2
C. 2
D.2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
,知
=
1 3
,则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
,故选 A
.
4.【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三(5 月)】已有角 的顶点与坐标原点重合,
+ cos2
sin ”;(3)化正弦、余弦为正切,即 cos
=
tan
;
tan = sin
(4)化正切为正弦、余弦,即
cos ;( 5 ) 正 弦 、 余 弦 和 ( 差 ) 与 积 的 互 化 , 即
(sin cos )2 =1 2sin cos .
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变,所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ,选 D.
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段,特别是二倍角的余弦 公式,其变形公式在求值与化简中有广泛的应用,在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时,要注 意以下几点:(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用;(2)擅于拆角、配角;(3)注意二倍角的相对性; (4)注意角的范围;(5)熟悉常用的方法和技巧,如切化弦、异名化同名、异角化同角等.
三角函数计算问题(试题含答案)
三角函数计算问题1.sin 15°cos 75°+cos 15°sin 105°等于( )A .0B .12C .32D .1D [原式=sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°=sin 90°=1.] 2.已知α∈(π2,π),sin α=35,则tan(α+π4)等于( )A .17B .7C .-17D .-7A [∵α∈(π2,π),sin α=35,∴cos α=-45,tan α=sin αcos α=-34.∴tan(α+π4)=1+tan α1-tan α=1-341+34=17.]3.化简:sin (60°+θ)+cos 120°sin θcos θ的结果为( )A .1B .32C . 3D .tan θB [原式=sin 60°cos θ+cos 60°sin θ-12sin θcos θ=sin 60°cos θcos θ=sin 60°=32.] 4.若3sin θ=cos θ,则cos 2θ+sin 2θ的值等于( )A .-75B .75C .-35D .35B [∵3sin θ=cos θ,∴tan θ=13.cos 2θ+sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ+2sin θcos θ =cos 2θ+2sin θcos θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1+2tan θ-tan 2θ1+tan 2θ=1+2×13-191+19=75.] 5.已知3cos(2α+β)+5cos β=0,则tan(α+β)tan α的值为( )A .±4B .4C .-4D .1 C [3cos(2α+β)+5cos β=3cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cos α+5sin(α+β)sin α=0, ∴2sin(α+β)sin α=-8cos(α+β)cos α,∴tan(α+β)tan α=-4.]6.若cos θ2=35,sin θ2=-45,则角θ的终边一定落在直线( )上.A .7x +24y =0B .7x -24y =0C .24x +7y =0D .24x -7y =0D [cos θ2=35,sin θ2=-45,tan θ2=-43,∴tan θ=2tanθ21-tan 2θ2=-831-169=247.∴角θ的终边在直线24x -7y =0上.] 7.tan 15°+1tan 15°等于( )A .2B .2+3C .4D .433C8.若3sin α+cos α=0,则1cos 2α+sin 2α的值为( )A .103B .53C .23D .-2A [∵3sin α+cos α=0,∴tan α=-13,∴1cos 2α+sin 2α=sin 2α+cos 2αcos 2α+2sin αcos α=tan 2α+11+2tan α=(-13)2+11+2×(-13)=103.]9.已知θ是第三象限角,若sin 4θ+cos 4θ=59,那么sin 2θ等于( )A .223B .-223C .23D .-23A [∵sin 4θ+cos 4 θ=(sin 2 θ+cos 2 θ)2-2sin 2 θcos 2 θ=1-12sin 2 2θ=59,∴sin 2 2θ=89.∵θ是第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0,∴sin 2θ>0.∴sin 2θ=223.]10.计算sin 89°cos 14°-sin 1°cos 76°= ( ).A.2+64 B.2-64 C.6-24D.24解析 sin 89°cos 14°-sin 1°cos 76° =sin 89°cos 14°-cos 89°sin 14° =sin 75°=sin(45°+30°)=2+64. 答案 A11.若1tan θ=3,则cos 2θ+12sin 2θ的值是( ). A .-65B .-45C.45D.65解析 ∵tan θ=13,∴原式=cos 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=1+tan θ1+tan 2θ=1+131+19=1210=65. 答案 D12.已知cos(α-β)=35,sin β=-513,且α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,则sin α= ( ). A.3365 B.6365 C .-3365D .-6365解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,∴α-β∈(0,π), 由cos(α-β)=35得sin(α-β)=45,由sin β=-513得cos β=1213,∴sin α=sin[(α-β)+β]=45×1213+35×⎝⎛⎭⎫-513=3365. 答案 A13.设a =sin 17°cos 45°+cos 17°sin 45°,b =2cos 213°-1,c =32,则有( ). A .c <a <b B .b <c <a C .a <b <cD .b <a <c解析 a =sin(17°+45°)=sin 62°, b =2cos 213°-1=cos 26°=sin 64°, c =32=sin 60°,∴c <a <b .答案 A14.若x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,cos x =45,则tan 2x 等于 ( ).A.724 B .-724C.247D .-247解析 ∵x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,cos x =45,∴sin x =-35,∴tan x =-34,∴tan 2x =2tan x 1-tan 2x =-247. 答案 D15.已知sin ⎝⎛⎭⎫π4-x =35,则sin 2x 的值为( ). A.1925 B.1625 C.1425D.725解析 sin 2x =cos ⎝⎛⎭⎫π2-2x =cos 2⎝⎛⎭⎫π4-x =1-2sin 2⎝⎛⎭⎫π4-x =1-2×⎝⎛⎭⎫352=725. 答案 D16.cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值是( )A .-32B.12C.32D .-12【解析】 原式=cos 43°sin 13°-sin 43°cos 13°=sin(13°-43°)=sin(-30°)=-12.【答案】 D17.已知tan(π-α)=2,则1sin αcos α等于( )A.52 B.75 C .-52D .-75【解析】 由tan(π-α)=2,得tan α=-2, ∴1sin αcos α=sin 2α+cos 2αsin αcos α=tan 2α+1tan α=-52. 【答案】 C18.tan(α+β)=25,tan(α+π4)=322,那么tan(β-π4)=( )A.15B.1318C.14D.1322【解析】 tan(β-π4)=tan[(α+β)-(α+π4)]=tan (α+β)-tan (α+π4)1+tan (α+β)tan (α+π4)=25-3221+25×322=14.【答案】 C19.若sin α2=33,则cos α=( )A .-23B .-13C.13D.23【解析】 cos α=1-2sin 2α2=1-2×⎝⎛⎭⎫332=1-23=13.【答案】 C20.已知sin(π4-θ)+cos(π4-θ)=15,则cos 2θ的值为( )A .-725B.725 C .-2425D.2425【解析】 将sin(π4-θ)+cos(π4-θ)=15两边平方得,1+2sin(π4-θ)cos(π4-θ)=125,即1+sin(π2-2θ)=125,cos 2θ=-2425.【答案】 C21.若cos α=-45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=( )A .-12B.12 C .2D .-2【解析】 α是第三象限的角且cos α=-45,∴sin α=-35.tan α2=sin α1+cos α=-3515=-3,∴1+tanα21-tanα2=-24=-12.【答案】 A22.cos67°cos7°+sin67°sin7°等于( )A .12B .22C .32D .1[答案] A[解析] cos67°cos7°+sin67°sin7° =cos(67°-7°)=cos60°=12.23.已知α为第二象限角,sin α=35,则sin2α=( )A .-2425B .-1225C .1225D .2425[答案] A[解析] ∵α是第二象限角,sin α=35,∴cos α=-45.∴sin2α=2sin αcos α=2×35×(-45)=-2425.24.下列各式中值为22的是( ) A .sin45°cos15°+cos45°sin15° B .sin45°cos15°-cos45°sin15° C .cos75°cos30°+sin75°sin30° D .tan60°-tan30°1+tan60°tan30°[答案] C[解析] cos75°cos30°+sin75°sin30°=cos(75°-30°)=cos45°=22. 25.已知cos α=23,270°<α<360°,那么cos α2的值为( )A .66B .-66C .306D .-306[答案] D[解析] ∵270°<α<360°,∴135°<α2<180°,∴cos α2=-1+cos α2=-1+232=-306. 26.已知cos(x +π6)=35,x ∈(0,π),则sin x 的值为( )A .-43-310B .43-310C .12D .32[答案] B[解析] ∵x ∈(0,π),∴x +π6∈(π6,7π6),又∵cos(x +π6)=35,∴x +π6∈(π6,π2).∴sin(x +π6)=45.sin x =sin[(x +π6)-π6]=sin(x +π6)cos π6-cos(x +π6)sin π6=32×45-12×35=43-310. 27.已知sin αcos β=1,则sin(α-β)=________. 1解析 ∵sin αcos β=1,∴sin α=cos β=1,或sin α=cos β=-1, ∴cos α=sin β=0.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β=1.28.若0<α<π2<β<π,且cos β=-13,sin(α+β)=13,则cos α=________.429解析 cos β=-13,sin β=223,sin(α+β)=13,cos(α+β)=-223,故cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β =(-223)×(-13)+223×13=429.29.设α∈(0,π2),若sin α=35,则2cos(α+π4)等于________.[答案] 15[解析] ∵α∈(0,π2),sin α=35,∴cos α=45,∴2cos(α+π4)=2cos αcos π4-2sin αsin π4=2×45×22-2×35×22=45-35=15. 30.若8sin α+5cos β=6,8cos α+5sin β=10,则sin(α+β)=________. 4780解析 ∵(8sin α+5cos β)2+(8cos α+5sin β)2 =64+25+80(sin αcos β+cos αsin β) =89+80sin(α+β)=62+102=136. ∴80sin(α+β)=47,∴sin(α+β)=4780.31.已知α为第三象限的角,cos 2α=-35,则tan ⎝⎛⎭⎫π4+2α=________. -17解析 由题意,得2k π+π<α<2k π+3π2(k ∈Z ),∴4k π+2π<2α<4k π+3π.∴sin 2α>0.∴sin 2α=1-cos 22α=45.∴tan 2α=sin 2αcos 2α=-43.∴tan ⎝⎛⎭⎫π4+2α=tan π4+tan 2α1-tan π4 tan 2α=1-431+43=-17. 32.设α为第四象限的角,若sin 3αsin α=135,则tan 2α=________.-34解析 由sin 3αsin α=sin (2α+α)sin α=sin 2αcos α+cos 2αsin αsin α=2cos 2α+cos 2α=135.∵2cos 2α+cos 2α=1+2cos 2α=135,∴cos 2α=45.∵α为第四象限角,∴2k π+3π2<α<2k π+2π,(k ∈Z )∴4k π+3π<2α<4k π+4π,(k ∈Z ) 故2α可能在第三、四象限,又∵cos 2α=45,∴sin 2α=-35,tan 2α=-34.33.求值:tan10°+tan50°+3tan10°tan50°=________. [答案]3[解析] tan10°+tan50°+3tan10°tan50° =tan60°(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3-3tan10°tan50°+3tan10°tan50°= 3. 34.化简:1+2sin610°cos430°sin250°+cos790°=________.[答案] -1 [解析] 1+2sin610°cos430°sin250°+cos790°=1+2sin (3×180°+70°)cos (360°+70°)sin (180°+70°)+cos (720°+70°)=1-2sin70°cos70°-sin70°+cos70°=(sin70°-cos70°)2-sin70°+cos70° =sin70°-cos70°-sin70°+cos70°=-1.35.若cos α=45,α∈(0,π2),则cos(α-π3)=________.【解析】 由题意知sin α=35,cos(α-π3)=cos α·cos π3+sin α·sin π3.=45·12+35·32=4+3310.【答案】4+331036.tan(π6-θ)+tan(π6+θ)+3tan(π6-θ)tan(π6+θ)的值是________.【解析】 ∵tan π3=tan(π6-θ+π6+θ)=tan (π6-θ)+tan (π6+θ)1-tan (π6-θ)tan (π6+θ)=3,∴3=tan(π6-θ)+tan(π6+θ)+3tan(π6-θ)tan(π6+θ).【答案】337.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,那么log5tan αtan β=________. 【解析】 由题意有sin αcos β+cos αsin β=12,sin αcos β-cos αsin β=13,两式相加得sin αcos β=512,两式相减得cos αsin β=112.则tan αtan β=5,故log 5tan αtan β=2. 【答案】 238.设sin 2α=-sin α,α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,则tan 2α的值是________. 【解析】 ∵sin 2α=-sin α,∴2sin αcos α=-sin α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,sin α≠0, ∴cos α=-12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,∴α=23π, ∴tan 2α=tan 43π=tan ⎝⎛⎭⎫π+π3=tan π3= 3. 【答案】339.已知sin x -cos x =sin x cos x ,则sin 2x =________. 解析 ∵sin x -cos x =sin x cos x , ∴(sin x -cos x )2=(sin x cos x )2 1-2sin x cos x =(sin x cos x )2, ∴令t =sin x cos x ,则1-2t =t 2.即t 2+2t -1=0,∴t =-2±222=-1±2. 又∵t =sin x cos x =12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤-12,12, ∴t =2-1,∴sin 2x =22-2.答案 22-240.已知sin(α+π2)=-55,α∈(0,π). (1)求sin (α-π2)-cos (3π2+α)sin (π-α)+cos (3π+α)的值; (2)求cos(2α-3π4)的值. 解 (1)sin(α+π2)=-55,α∈(0,π) ⇒cos α=-55,α∈(0,π)⇒sin α=255. sin (α-π2)-cos (3π2+α)sin (π-α)+cos (3π+α)=-cos α-sin αsin α-cos α=-13. (2)∵cos α=-55,sin α=255⇒sin 2α=-45,cos 2α=-35. cos(2α-3π4)=-22cos 2α+22sin 2α=-210. 41.已知|cos θ|=35,且5π2<θ<3π,求sin θ2、cos θ2、tan θ2的值. 解 ∵|cos θ|=35,5π2<θ<3π, ∴cos θ=-35,5π4<θ2<3π2. 由cos θ=1-2sin 2θ2, 有sin θ2=-1-cos θ2=-1+352=-255. 又cos θ=2cos 2θ2-1, 有cos θ2=-1+cos θ2=-55,tan θ2=sinθ2cos θ2=2. 42.已知sin ⎝⎛⎭⎫π4+x sin ⎝⎛⎭⎫π4-x =24,x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π,求sin 4x 的值.解 因为⎝⎛⎭⎫π4+x +⎝⎛⎭⎫π4-x =π2,所以sin ⎝⎛⎭⎫π4+x sin ⎝⎛⎭⎫π4-x=sin ⎝⎛⎭⎫π4+x cos ⎝⎛⎭⎫π4+x=12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫π4+x cos ⎝⎛⎭⎫π4+x =12sin ⎝⎛⎭⎫π2+2x =12cos 2x =24,所以cos 2x =22. 又x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π,所以2x ∈(π,2π),所以sin 2x <0,所以sin 2x =-22. 所以sin 4x =2sin 2x cos 2x =2×⎝⎛⎭⎫-22×22=-1. 43.已知sin α=13,cos β=-23,α、β均在第二象限,求sin(α+β)和sin(α-β)的值. 解 因为sin α=13,cos β=-23,α、β均为第二象限角,所以cos α=-1-sin 2α=-223,sin β=1-cos 2β=53. 故sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=13×⎝⎛⎭⎫-23+⎝⎛⎭⎫-223×53=-2-2109,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×⎝⎛⎭⎫-23-⎝⎛⎭⎫-223×53=-2+2109. 44.化简:3tan 12°-3sin 12°(4cos 212°-2). 【解】 原式=3(sin 12°cos 12°-3)sin 12°×2(2cos 212°-1) =3(sin 12°-3cos 12°)2sin 12°cos 12°cos 24° =23(sin 12°cos 60°-cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24° =2×23sin (12°-60°)2sin 24°cos 24° =-43sin 48°sin 48°=-4 3. 45.若cos(π4+x )=35,17π12<x <7π4,求:(1)cos x +sin x 的值;(2)sin2x +2sin 2x 1-tan x的值. [解析] (1)由17π12<x <7π4,得5π3<x +π4<2π, 又∵cos(π4+x )=35, ∴sin(π4+x )=-45, ∴cos x +sin x =2sin(x +π4)=-425. (2)cos x =cos[(π4+x )-π4] =cos(π4+x )cos π4+sin(π4+x )sin π4=35×22-45×22=-210. 又由17π12<x <7π4, ∴sin x =-1-cos 2x =-7210, ∴tan x =7,∴原式=2sin x cos x +2sin 2x 1-tan x=-2875. 46.已知sin α=210,cos β=31010,且α、β为锐角,求α+2β的值. [解析] ∵sin α=210,α为锐角, ∴cos α=1-sin 2α=1-⎝⎛⎭⎫2102=7210. ∵cos β=31010,β为锐角, ∴sin β=1-⎝⎛⎭⎫310102=1010. ∴sin2β=2sin βcos β=2×1010×31010=35, cos2β=1-2sin 2β=1-2×⎝⎛⎭⎫10102=45. 又β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴2β∈(0,π).而cos2β>0,∴2β∈⎝⎛⎭⎫0,π2.∴α+2β∈(0,π). 又cos(α+2β)=cos α·cos2β-sin α·sin2β=7210×45-210×35=22,∴α+2β=π4.。
三角函数化简求值练习题(超级好)
三角化简求值测试题1.若sin α=35,α∈(-π2,π2),则cos(α+5π4)=________.2.已知π<θ<32π,则 12+12 12+12cos θ=________.3.计算:cos10°+3sin10°1-cos80°=________.4.函数y =2cos 2x +sin2x 的最小值是__________________.5.函数f (x )=(sin 2x +12010sin 2x )(cos 2x +12010cos 2x)的最小值是________. 6.若tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,则tan(α+π4)=_____.7.若3sin α+cos α=0,则1cos 2α+sin2α的值为________.8.2+2cos8+21-sin8的化简结果是________.9.若tan α+1tan α=103,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为_________.10.若函数f (x )=sin2x -2sin 2x ·sin2x (x ∈R ),则f (x )的最小正周期为________.11. 2cos5°-sin25°cos25°的值为________.12.向量a =(cos10°,sin10°),b =(cos70°,sin70°),|a -2b |=________________.13.已知1-cos2αsin αcos α=1,tan(β-α)=-13,则tan(β-2α)=________.14.设a =sin14°+cos14°,b =sin16°+cos16°,c =62,则a 、b 、c 的大小关系是________.15.已知角α∈(π4,π2),且(4cos α-3sin α)(2cos α-3sin α)=0.(1)求tan(α+π4)的值;(2)求cos(π3-2α)的值.16. 已知tan α=2.求(1)tan(α+π4)的值;(2)sin2α+cos 2(π-α)1+cos2α的值.17.如图,点A ,B 是单位圆上的两点,A ,B 两点分别在第一、二象限,点C 是圆与x 轴正半轴的交点,△AOB 是正三角形,若点A 的坐标为(35,45),记∠COA =α. (1)求1+sin2α1+cos2α的值;(2)求|BC |2的值.18.△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,tan C =sin A +sin Bcos A +cos B,sin(B -A )=cos C .,,求角A 。
三角函数的化简求值
三角函数的化简求值一.主要公式:1.诱导公式:=-)sin(απ =-)c o s (απ =+)s i n (απ=+)cos(απ =-)s i n (α =-)cos(α=-)2sin(απ =-)2c o s (απ =+)2sin(απ =+)2c o s (απ2.和、差角公式: =+)sin(βα =-)s i n (βα ; =+)cos(βα =-)c o s (βα ; =+)tan(βα =-)t a n (βα ; 3.二倍角公式:=α2sin =α2c o s = = =α2tan ; 4.降幂公式: =2sin 2α=2c o s2α=2t a n2α;5.半角公式sin 2α= c o s 2α= t a n 2α= ;6.升幂公式:=+αcos 1 ,=-αcos 1 ;=+αsin 1 ,=-αsin 1 。
7.万能公式:=αsin =αcos =αtan ; 8.三角形ABC 中的相关公式:=+)sin(B A =+)cos(B A =+)t a n (B A =+2sinBA =+2cosB A =+2tan B A ; 9.常用公式结论:=+ααcot tan =ααcos sin =-α2sin 1 =+α2sin 1 =+βαtan tan =-βαt a n t a n ;sin 3α= cos3α= 1tan 1tan αα+=-10.辅助角公式:=+ααcos sin = =+ααcos 3sin ==+x b x a cos sin = 。
二、例题分析:例1已知02πβαπ<<<<,且129cos()βα-=-,223sin()αβ-=,求cos()αβ+的值.例2.已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan的值.((Ⅱ)求β. ( π3β=)例3.已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. (I )求sin x -cos x 的值;(Ⅱ)求xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.例 4.是否存在锐角,αβ,使得①223παβ+=;②22tantan αβ=同时成立?若存在,求出,αβ;若不存在,说明理由。
人教A版数学必修第一册期末复习:三角函数的化简与求值课件
变式训练
变式1 tan(-945°)的值为
tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°
=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
-1
.
变式2
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,
则f(202X)的值为
高一必修一
三角函数的化简与求值
考情分析
202X年
Ⅰ Ⅱ卷
三角函 卷
数的化
简与求
值
T6,T15
202X年
202X年
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ卷 新高考Ⅰ
卷
卷
卷
卷
卷
T7 T10
T9
T9
本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为
基础,考查三角函数的化简与求值.利用同角三角函数基本关
系式、辅助角公式,结合诱导公式、和差角公式及倍角公式
真题再现
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
3
3
D.
2 5
5
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
三角函数中的化简求值(经典版)
一、题型选讲
题型一灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。
在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时,需要注意解题的规范性,一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响;二要注意“展示”三角函数的公式.否则,就会因为不规范而导致失分.
求tan()
αβ
-的值.
题型二探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中,往往出现已知角与所求角不同,此时要观察两个角度之间的关系,寻求角度之间的特殊性,通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代
换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
.
题型三、运用构造法化简与求值
2、(2018南京、盐城一模)已知锐角α,β满足(tanα-1)(tanβ-1)=2,则α+β的值为________.。
高考数学 典型例题16 三角函数式的化简与求值 试题
卜人入州八九几市潮王学校高考数学典型例题详解三角函数化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考察的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍. ●难点磁场(★★★★★)2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=-53,求sin2α的值_________. ●案例探究 [例1]不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.★★★★级题目. 知识依托:熟知三角公式并能灵敏应用.错解分析:公式不熟,计算易出错.技巧与方法:解法一利用三角公式进展等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会.解法一:sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21(1-cos40°)+21(1+cos160°)+3sin20°cos80° =1-21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1-21cos40°+21(cos120°cos40°-sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)=1-21cos40°-41cos40°-43sin40°+43sin40°-23sin 220° =1-43cos40°-43(1-cos40°)=41 解法二:设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°-3cos20°sin80°,那么x +y =1+1-3sin60°=21,x -y =-cos40°+cos160°+3sin100° =-2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41,即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41. [例2]设关于x 的函数y =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)的最小值为f (a ),试确定满足f (a )=21的a 值,并对此时的a 值求y 的最大值.★★★★★级题目知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析:考生不易考察三角函数的有界性,对区间的分类易出错. 技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解:由y =2(cos x -2a )2-2242+-a a 及cos x ∈[-1,1]得: f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1-4a =21⇒a =81∉[2,+∞) 故-22a -2a -1=21,解得:a =-1,此时, y =2(cos x +21)2+21,当cos x =1时,即x =2k π,k ∈Z ,y max =5. [例3]函数f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求f (x )的最小值及获得最小值时相应的x 的值;(3)假设当x ∈[12π,127π]时,f (x )的反函数为f -1(x ),求f --1(1)的值.★★★★★级题目.知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析:在求f --1(1)的值时易走弯路.技巧与方法:等价转化,逆向思维.解:(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)-3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos3π+cos x sin 3π)-3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π) ∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π-2π,即x =k π-125π(k ∈Z )时,f (x )获得最小值-2. (3)令2sin(2x +3π)=1,又x ∈[27,2ππ], ∴2x +3π∈[3π,23π],∴2x +3π=65π,那么 x =4π,故f --1(1)=4π. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:1.求值问题的根本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或者值域,5°化简求值.2.技巧与方法:1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,纯熟准确地应用公式.2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的打破口,很难入手的问题,可利用分析法.4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)方程x 2+4ax +3a +1=0(a >1)的两根均tan α、tan β,且α,β∈ (-2,2ππ),那么tan 2βα+的值是() A.21 B.-2 C.34 D.21或者-2 二、填空题2.(★★★★)sin α=53,α∈(2π,π),tan(π-β)=21,那么tan(α-2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ),β∈(0,4π),cos(α-4π)=53,sin(43π+β)=135,那么sin(α+β)=_________.三、解答题4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.cos(4π+x )=53,(1217π<x <47π),求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 6.(★★★★★)α-β=38π,且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin 2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图,扇形OAB 的半径为1,中心角60°,四边形PQRS是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点P 的位置,并求此最大面积.8.(★★★★★)cos α+sin β=3,sin α+cos β的取值范围是D ,x ∈D ,求函数y =10432log 21++x x 的最小值,并求获得最小值时x 的值.参考答案难点磁场解法一:∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π.π<α+β<43π,∴sin(α-β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin [(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)解法二:∵sin(α-β)=135,cos(α+β)=-54, ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=-6572 sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=-6540 ∴sin2α=6556)65406572(21-=-- 歼灭难点训练一、1.解析:∵a >1,tan α+tan β=-4a <0.tan α+tan β=3a +1>0,又α、β∈(-2π,2π)∴α、β∈(-2π,θ),那么2βα+∈(-2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan 2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=-2. 答案:B2.解析:∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=-54 那么tan α=-43,又tan(π-β)=21可得tan β=-21, 答案:247 3.解析:α∈(43,4ππ),α-4π∈(0,2π),又cos(α-4π)=53. 答案:6556 三、4.答案:2π≠αk 〔k ∈Z 〕,322322π-π≠π-α∴k 〔k ∈Z 〕 ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk 〔k ∈Z 〕时,)322sin(π-α的最小值为-1.7.解:以OA 为x 轴.O 为原点,建立平面直角坐标系,并设P 的坐标为(cos θ,sin θ),那么 |PS |=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ,直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ;sin θ),所以|PQ |=cos θ-33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ-33sin θ)=33(3sin θcos θ-sin 2θ)=33(23sin2θ-22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ-21)=33sin(2θ+6π)-63. ∵0<θ<3π,∴6π<2θ+6π<65π.∴21<sin(2θ+6π)≤1. ∴sin(2θ+6π)=1时,PQRS 面积最大,且最大面积是63,此时,θ=6π,点P 为的中点,P (21,23). 8.解:设u =sin α+cos β.那么u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,-1≤u ≤D =[-1,1],设t =32+x ,∵-1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t .。
三角函数的化简求值
三角函数的化简求值【知识要点】利用同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系、倒数关系和两角和差倍半角公式来化简求值. 和差化积、积化和差公式:【典型例题】例1求234cos cos cos cos 9999ππππ的值. 例2化简下列各式:(1)2sin10cos 20sin 20︒-︒︒(2)22sin sin cos sin cos tan 1x x x x x x +---(3)66441sin cos 1sin cos θθθθ---- 例3已知tan 2α=,求:(1)4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+;(2)223sin 3sin cos 2cos αααα+-. 例4已知72sin()410πα-=,7cos 225α=,求sin α及tan()3πα+的值. 例5已知α为第二象限内的角,3sin 5α=,β为第一象限内的角,5cos 13β=,求tan (2α-β)的值. 【课堂练习】1.若sin cos 2sin cos x x x x+=-,则sin cos x x =(). A .34B .310±C .310D.310- 2.若2sin sin cos cos θθθθ-=,则θ所在象限是().A .第一象限B .第二象限C .第三象限D.第四象限3.已知tan α与cot α是方程2220x x m -+=的两根,则sin α的值为(). A .22B .22±C .32 D.32- 4.化简:22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+(). A .tan αB .tan 2αC .1D.12 5.sin 7cos15sin8cos7sin15sin8︒+︒︒=︒-︒︒(). A .23+B .232+C .23- D.232- 6.在ABC ∆中,若cos()tan sin sin()C B B A C B -=+-,则这个三角形的形状是().A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D.等腰三角形或直角三角形7.cos43cos77sin 43cos167︒︒+︒︒的值为.8.已知αβ、均为锐角,且cos()sin()αβαβ+=-,则tan α=.9.设sin cos θθ、是方程22(31)0x x m -++=的两根. (1)求m 与22sin cos sin cos cos sin θθθθθθ+--的值;(2)求sin cos θθ、及此时θ的值. 10.已知α为锐角,且1tan 2α=,求sin 2cos sin sin 2cos 2ααααα-的值. 11.化简:(1)1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+(α是第三象限角)(2)12sin 40cos 40-︒︒ (3)222222sin sin sin sin cos cos αβαβαβ+-+ 12.已知α是第三象限角,且)sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπααπαπα----+---=f 。
三角函数化简求值练习题(超级好)
三角化简求值测试题1.若sin α=35,α∈(-π2,π2),则cos(α+5π4)=________.2.已知π<θ<32π,则 12+12 12+12cos θ=________.3.计算:cos10°+3sin10°1-cos80°=________.4.函数y =2cos 2x +sin2x 的最小值是__________________.5.函数f (x )=(sin 2x +12010sin 2x )(cos 2x +12010cos 2x)的最小值是________. 6.若tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,则tan(α+π4)=_____.7.若3sin α+cos α=0,则1cos 2α+sin2α的值为________.8.2+2cos8+21-sin8的化简结果是________.9.若tan α+1tan α=103,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为_________.10.若函数f (x )=sin2x -2sin 2x ·sin2x (x ∈R ),则f (x )的最小正周期为________.11. 2cos5°-sin25°cos25°的值为________.12.向量a =(cos10°,sin10°),b =(cos70°,sin70°),|a -2b |=________________.13.已知1-cos2αsin αcos α=1,tan(β-α)=-13,则tan(β-2α)=________.14.设a =sin14°+cos14°,b =sin16°+cos16°,c =62,则a 、b 、c 的大小关系是________.15.已知角α∈(π4,π2),且(4cos α-3sin α)(2cos α-3sin α)=0.(1)求tan(α+π4)的值;(2)求cos(π3-2α)的值.16. 已知tan α=2.求(1)tan(α+π4)的值;(2)sin2α+cos 2(π-α)1+cos2α的值.17.如图,点A ,B 是单位圆上的两点,A ,B 两点分别在第一、二象限,点C 是圆与x 轴正半轴的交点,△AOB 是正三角形,若点A 的坐标为(35,45),记∠COA =α. (1)求1+sin2α1+cos2α的值;(2)求|BC |2的值.18.△ABC 中,A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,tan C =sin A +sin Bcos A +cos B,sin(B -A )=cos C .,,求角A 。
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绝密★启用前xxx 学校_____学年度数学(理)试卷注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息\r\n2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、选择题(本题共12道小题,每小题0分,共0分)1.已知1tan()42πα+=,且02πα-<<,则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A .B .C .D2.已知函数()3sin 4cos 1f x x x =++,实常数,,p q r 使得()()2018pf x qf x r ++=对任意的实数x R ∈恒成立,则cos p r q +的值为( ) A .-1009 B .0C.1009D .20183.已知向量a =(k ,cos 3π),向量b =(sin 6π,tan 4π),若a ∥b ,则实数k 的值为( ) A .41- B .﹣1 C .41 D .14.已知,,,66t R ππαβ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦,且5sin 30t αα+-=,5181sin303t ββ++=,则()ln 3cos 3αβ-+=⎡⎤⎣⎦( )A .ln2B .ln3C .5ln 2 D .ln 3⎛ ⎝⎭5.若1tan()43πα-=-,则cos2α=( )A .35B .35-C .45- D .456.设f (n )=cos(2n π+4π),则f (1)+ f (2)+ f (3)+…+ f (2006)=( ) A .-2B C .0 D 7.2cos553sin 5cos5-的值为( )A .2B .3C .23 D .18.设函数()cos sin f x x x =-,把)(x f 的图象按向量)0,(m 平移后,图象恰为函数 ()y f x '=的图象,则m 的值可以是A.2πB.4π C.4π- D.2π-9.已知2sin 23α=,则2cos ()4πα+=( ) A .16 B .16 C .12 D .2310.将函数()2cos f x x x =-的图象向左平移ϕ(0ϕ>)个单位长度,所得图象对应的函数为偶函数,则ϕ的最小值为 ( )A .6π B . 3π C .23π D .56π11.若)42sin(21)22cos(cos 22π+α-α+π+α=4,则tan (2α+4π)=( )A .21B .31C .41D .51 12.若sin()2cos )4πααα+=+,则sin 2α=( )A .45-B .45 C. 35- D .35第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题(本题共5道小题,每小题0分,共0分)13.=⋅⋅45tan 625cos 34sin πππ .14.若点(2,tan )θ在直线21y x =-上,则2sin cos 1sin θθθ=- . 15.已知(cos ,sin ),(2,1),(,)22ππααα==∈-m n ,若1=m n ,则3sin(2)2πα+= .16.已知x R ∈,则()21cos 1x x ar x x ++++的值为______________. 17.已知函数11()3sin()22f x x x =+-+,则12()()20192019f f +2018()2019f +⋅⋅⋅+= ;评卷人 得分三、解答题(本题共5道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,共0分)18.已知函数2()3sin()2sin 12x f x x ωϕωϕ+=++-(0ω>,0ϕπ<<)为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为2π. (1)当(,)24x ππ∈-时,求()f x 的单调递减区间; (2)将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6π个单位长度,再把横坐标缩短到原点的12(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,当[,]126x ππ∈-时,求函数()g x 的值域.19.(本题满分13分) 已知函数()2sin cos 3cos 222x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值.20.已知函数23()3sin()sin()cos 12f x x x x π=-+-+. (Ⅰ)求函数() f x 的递增区间;(Ⅱ)若ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,角A 的平分线交BC 于D ,3()2f A =,22AD BD ==,求cos C . 21.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期及最小值;(Ⅱ)若α为锐角,且()2f α=,求α的值. 22.已知函数23()sin cos 3)f x x x x x R =⋅+∈. (1)求)(x f 的最小正周期; (2)求)(x f 的单调递增区间;(3)求)(x f 图象的对称轴方程和对称中心的坐标.试卷答案1.A因为,所以,解得,因为,所以;本题选择A选项.2.B由题意pf(x)+qf(x+r)=2018对任意的实数x∈R恒成立,与x无关,令p=q,r=π.代入可得:pf(x)+qf(x+π)=2018.p(3sinx+4cosx+1)+q(﹣3sinx﹣4cosx+1)=2018.p+q=2018.即p=q=1009,则pcosr+q=1009cosπ+q=0,故答案为:B3.C【分析】利用向量平行的性质直接求解.【解答】解:∵向量=(k,cos),向量=(sin,tan),,∴=,解得实数k=.故选:C.4.A5.B6.A,当n=4k+1时,f(n )=cos(+ )= ; 当n=4k+2时,f(n )=cos(+)=;当n=4k+3时,f(n )=cos(+)=;当n=4k+4时,f(n )=cos(+)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又函数f(n )=cos(+)的周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=f(1)+f (2)= .7.D= = = =18. D9.A10.C∵()2cos23sin4cos()3f x x x xπ=-=+向左平移ϕ(0ϕ>)单位后得到函数()g x=4cos()3xπϕ++,又()g x为偶函数,故3kπϕπ+=,k Z∈,故3kπϕπ=-+,k Z∈,故min23πϕ=,故应选C.11.C【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得an2α的值,再利用两角和的正切公式求得tan (2α+)的值.【解答】解:若=4==,∴tan2α=﹣,则tan (2α+)===,故选:C . 12.C 13.43-∵,,∴故答案为 14.315.725-16.0 17.2018∵11()3sin()22f x x x =+-+,∴1111(1)13sin()13sin()2222f x x x x x -=-+-+=---+,∴()(1)2f x f x +-=,又设1232018()()()()2019201920192019S f f f f =+++⋅⋅⋅+,则20183()()20192019S f f =+⋅⋅⋅+ 21()()20192019f f ++,∴1201822017320162[()()][()()][()()]201920192019201920192019S f f f f f f =++++++⋅⋅⋅ 20181[()()]22222201820192019f f ++=++++=⨯,∴2018S =.18.(1)由题意可得:()3)cos()2sin()6f x x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-,因为相邻量对称轴间的距离为2π,所以T π=,2ω=, 因为函数为奇函数,所以6k πϕπ-=,6k πϕπ=+,k Z ∈,因为0ϕπ<<,所以6πϕ=,函数()2sin 2f x x =,∵(,)24x ππ∈-,∴2(,)2x ππ∈-要使()f x 单调减,需满足22x ππ-<≤-,24x ππ-<≤-,所以函数的减区间为(,]24ππ--(2)由题意可得:()2sin(4)3g x x π=-∵126x ππ-≤≤,∴24333x πππ-≤-≤,∴31sin(4)32x π-≤-≤,∴()[3]g x ∈- 即函数()g x 的值域为[3]- 19.解:(Ⅰ)因为()2sin cos 3222x x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭2sin cos 2232x x x =331si n 2x x =++3sin ++32x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………………… 4分所以()f x 的最小正周期2.T π=…………………… 6分(Ⅱ)因为[],0x π∈-,所以2+,333x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以当33x ππ+=,即0x =时,函数)(x f 取得最大值3sin+3.32π=当32x ππ+=-,即56x π=-时,函数)(x f取得最小值- 所以()f x 在区间[],0π-和1+2-……………… 13分 20. (Ⅰ)∵,………3分,令,,∴,,∴函数的递增区间为,,………6分;(Ⅱ) ∵,∴,∴,又,∴,∴,∴,又平分,∴,……8分;又,又由正弦定理得:,∴,∴,又,∴;……10分∴,∴.……12分21.(Ⅰ)2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos 21x x =++π)14x =++.函数()f x 的最小正周期为2ππ2=, 函数()f x的最小值为1 ┅┅┅┅┅┅ 7分 (Ⅱ)由()2f α=π)124α++=.所以πsin(2)4α+=又因为π(0,)2α∈,所以ππ5π2444α<+<, 所以π3π244α+=. 所以π4α=. ┅┅┅┅┅ 13分 22. 解:1()sin 2)2f x x x R =-∈1sin 222x x =-sin(2)3x π=- , ·················································································································· 4分 (1)T π=; ······························································································· 6分 (2)由)(223222z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ, ··············································· 8分 可得)(x f 单调增区间]125,12[ππππ+-k k ()z k ∈. ······································· 10分 (3)由πππk x +=-232得对称轴方程为)(2125z k k x ∈+=ππ, ·························· 12分 由ππk x =-32得对称中心坐标为))(0,26(z k k ∈+ππ. ······································ 14分。