三角函数的化简求值与证明试题

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xxx 学校_____学年度数学（理）试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息\r\n2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题
0分，共0分）
1.
已知1tan()42π
α+=，且02
π
α-<<，则22sin sin 2cos()4
ααπα
+-等于
A ．
B ．
C ．
D
2.
已知函数()3sin 4cos 1f x x x =++，实常数,,p q r 使得()()2018pf x qf x r ++=对任意的实数x R ∈恒成立，则cos p r q +的值为( ) A ．-1009 B ．0
C.1009
D ．2018
3.
已知向量a =（k ，cos 3π），向量b =（sin 6π，tan 4π
），若a ∥b ，则实数k 的值为（ ） A ．4
1
- B ．﹣1 C ．41 D ．1
4.
已知,,,66t R ππαβ⎡⎤
∈-∈⎢⎥⎣⎦，且5sin 30t αα+-=，5181sin30
3t ββ++=，则()ln 3cos 3αβ-+=⎡⎤⎣⎦（ ）
A ．ln2
B ．ln3
C ．5
ln 2 D ．ln 3⎛ ⎝⎭
5.
若1
tan()43π
α-=-，则cos2α=（ ）
A ．35
B ．35-
C ．4
5- D ．45
6.
设f (n )=cos(
2n π+4
π
)，则f (1)+ f (2)+ f (3)+…+ f (2006)=（ ） A ．－2
B C ．0 D 7.
2cos553sin 5
cos5
-的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．
2
3 D ．1
8.
设函数()cos sin f x x x =-，把)(x f 的图象按向量)0,(m 平移后，图象恰为函数 ()y f x '=的图象，则m 的值可以是
A.2π
B.4
π C.4π- D.2π-
9.
已知2sin 2
3α=，则2
cos ()4
πα+=（ ） A ．16 B ．16 C ．12 D ．23
10.
将函数()2cos f x x x =-的图象向左平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为 ( )
A ．
6π B ． 3π C ．23π D ．56
π
11.
若
)4
2sin(21
)22cos(
cos 22π+α-α+π
+α=4，则tan （2α+4π）=（ ）
A ．21
B ．31
C ．41
D ．5
1 12.
若sin()2cos )4
π
ααα+
=+，则sin 2α=（ ）
A ．45-
B ．45 C. 35- D ．3
5
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分
二、填空题（本题共5道小题，每小题0分，共0分）
13.
=⋅⋅4
5tan 625cos 34sin πππ ．
14.
若点(2,tan )θ在直线21y x =-上，则2
sin cos 1sin θθ
θ
=- ． 15.
已知(cos ,sin ),(2,1),(,)22
ππ
ααα==∈-m n ，若1=m n ，则3sin(2)2πα+= ．
16.
已知x R ∈，则()21cos 1x x ar x x ++++的值为______________. 17.
已知函数11()3sin()22f x x x =+-+，则12()()20192019f f +2018
()2019
f +⋅⋅⋅+= ；
评卷人 得分
三、解答题（本题共5道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,共0分）
18.
已知函数2
()3sin()2sin 12
x f x x ωϕ
ωϕ+=++-（0ω>，0ϕπ<<）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离
为
2
π. （1）当(,)24
x ππ
∈-
时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()y f x =的图象沿x 轴方向向右平移6
π
个单位长度，再把横坐标缩短到原点的12（纵坐标不变），得
到函数()y g x =的图象，当[,]126
x ππ
∈-时，求函数()g x 的值域.
19.
（本题满分13分） 已知函数()2sin cos 3cos 222
x x x f x π⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值．
20.
已知函数23()3sin()sin(
)cos 12
f x x x x π
=-+-+． (Ⅰ)求函数() f x 的递增区间；(Ⅱ)若ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ，3
()2
f A =
，22AD BD ==，求cos C ． 21.
已知函数2
()2sin cos 2cos f x x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最小值；
（Ⅱ）若α为锐角，且()2f α=，求α的值． 22.
已知函数23
()sin cos 3)f x x x x x R =⋅+∈． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间；
（3）求)(x f 图象的对称轴方程和对称中心的坐标．
试卷答案
1.
A
因为,所以,解得,
因为,所以；
本题选择A选项.
2.
B
由题意pf（x）+qf（x+r）=2018对任意的实数x∈R恒成立,与x无关，
令p=q，r=π．代入可得：pf（x）+qf（x+π）=2018．
p（3sinx+4cosx+1）+q（﹣3sinx﹣4cosx+1）=2018．
p+q=2018．即p=q=1009，
则pcosr+q=1009cosπ+q=0，
故答案为：B
3.C
【分析】利用向量平行的性质直接求解．
【解答】解：∵向量=（k，cos），向量=（sin，tan），，∴=，解得实数k=．
故选：C．
4.A
5.B
6.
A
,当n=4k+1时,f(n )=cos(+ )= ; 当n=4k+2时,f(n )=cos(+)=;当n=4k+3
时,f(n )=cos(+)=;当n=4k+4时,f(n )=cos(+)=,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,又函数f(n )=cos(+)的周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)=f(1)+f (2)= .
7.
D
= = = =1
8. D
9.A
10.C
∵()2cos23sin4cos()
3
f x x x x
π
=-=+向左平移ϕ（0
ϕ>）
单位后得到函数()
g x=4cos()
3
x
π
ϕ
++，又()
g x为偶函数，故
3
k
π
ϕπ
+=，
k Z
∈，故
3
k
π
ϕπ
=-+，k Z
∈，故
min
2
3
π
ϕ=，故应选C．
11.C
【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得an2α的值，再利用两角和的正切公式求得tan （2α+
）的值．
【解答】解：若
=4=
=
，
∴tan2α=﹣，
则tan （2α+
）=
=
=，
故选：C ． 12.C 13.
4
3
-
∵，，
∴
故答案为 14.3
15.7
25
-
16.0 17.2018
∵11()3sin()22f x x x =+-+，∴1111
(1)13sin()13sin()2222
f x x x x x -=-+-+=---+，
∴()(1)2f x f x +-=，又设1232018(
)()()()2019201920192019S f f f f =+++⋅⋅⋅+，则20183()()20192019
S f f =+⋅⋅⋅+ 21(
)()20192019f f ++，∴120182201732016
2[()()][()()][()()]201920192019201920192019
S f f f f f f =++++++⋅⋅⋅ 20181
[(
)()]22222201820192019
f f ++=++++=⨯，∴2018S =．
18.
（1）由题意可得：()3)cos()2sin()6
f x x x x π
ωϕωϕωϕ=+-+=+-
，
因为相邻量对称轴间的距离为
2π
，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6k πϕπ-=，6k π
ϕπ=+，k Z ∈，
因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，函数()2sin 2f x x =，∵(,)24x ππ∈-，∴2(,)2
x π
π∈-
要使()f x 单调减，需满足22x ππ-<≤-，24x ππ-<≤-，所以函数的减区间为(,]24ππ
--
（2）由题意可得：()2sin(4)3
g x x π
=-
∵12
6
x π
π
-
≤≤
，∴24333
x πππ
-
≤-≤，∴31sin(4)32x π-≤-≤
，∴()[3]g x ∈- 即函数()g x 的值域为[3]- 19.
解：（Ⅰ）因为()2sin cos 3222x x x f x π⎛
⎫=-
⎪⎝⎭
2sin cos 2232x x x =33
1si n 2
x x =++
3sin ++32
x π⎛⎫= ⎪⎝⎭． …………………… 4分
所以()f x 的最小正周期2.
T π=
…………………… 6分
（Ⅱ）因为[],0x π∈-，所以2+
,333x π
ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
. 所以当3
3
x π
π
+
=
，即0x =时，函数)(x f 取得最大值3
sin
+
3.3
2
π=
当32
x ππ+=-，即56x π
=-时，函数)(x f
取得最小值- 所以()f x 在区间[],0π-
和1+2-
……………… 13分 20. (Ⅰ)∵
，………3分，令
，
，∴
，
，
∴函数的递增区间为
，，………6分；
(Ⅱ) ∵，∴，∴
，又
，∴
，
∴
，∴
，又
平分，∴，……8分；又，又由
正弦定理得：
，∴
，∴
，又
，∴
；……10分
∴，∴．……12分
21.
（Ⅰ）2()2sin cos 2cos f x x x x =+
sin 2cos 21x x =++
π
)14
x =++．
函数()f x 的最小正周期为
2π
π2
=， 函数()f x
的最小值为1 ┅┅┅┅┅┅ 7分 （Ⅱ）由()2f α=
π
)124
α+
+=．
所以πsin(2)4α+=
又因为π(0,)2α∈，所以
ππ5π
2444
α<+<
， 所以π3π
244
α+=
． 所以π
4
α=． ┅┅┅┅┅ 13分 22. 解
:1()sin 2)2f x x x R =
-
∈1sin 222x x =-sin(2)3
x π=- , ·················································································································· 4分 （1）T π=； ······························································································· 6分 （2）由)(22
3
222
z k k x k ∈+≤
-
≤+-
ππ
π
ππ
， ·
·············································· 8分 可得)(x f 单调增区间]12
5
,12
[πππ
π+
-k k （)z k ∈． ······································· 10分 （3）由ππ
π
k x +=
-
2
3
2得对称轴方程为)(2
125z k k x ∈+=
π
π， ·
························· 12分 由ππ
k x =-
3
2得对称中心坐标为))(0,2
6
(
z k k ∈+
π
π
． ·
····································· 14分。