高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何篇
平面向量与解析几何
平面向量与解析几何平面向量与解析几何是高中数学的重要内容之一，它们是研究平面上点和向量的位置关系以及相关性质的有效工具。
平面向量通过模和方向来表示，通常用有序对(a, b)来表示。
解析几何则通过坐标系和代数方法研究几何问题。
本文将介绍平面向量和解析几何的基本概念、运算、重要定理和应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指位于同一平面内的具有大小和方向的有序对。
平面向量的表示通常用直角坐标系，其中向量的起点作为坐标原点，向量的终点与原点坐标进行表示。
平面向量AB用向量→AB表示，其中→AB= (x2 - x1, y2 - y1)表示。
平面向量的模记作|→AB|，表示向量的长度或大小。
平面向量的方向用角度α或方向角θ表示，通常在x轴正方向逆时针旋转所得。
平面向量还可以通过分解为x轴和y轴上的分量来表示。
二、平面向量的运算平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法和数量除法。
1. 平面向量的加法：向量→AC = →AB + →BC，其中→AC(x3 - x1, y3 - y1) = (x2 - x1, y2 - y1) + (x3 - x2, y3 - y2) = (x3 - x1, y3 - y1)。
2. 平面向量的减法：向量→AB - →CD = →AB + (-→CD)，其中→AB - →CD = (x2 - x1, y2 - y1) - (x4 - x3, y4 - y3) = (x2 - x1 - x4 + x3, y2 - y1 - y4 + y3)。
3. 数量乘法：数乘一个实数k，→AC = k→AB，其中→AC(kx2 -kx1, ky2 - ky1) = k(x2 - x1, y2 - y1)。
4. 数量除法：→AB/ k = (1/k)→AB，其中→AB/ k = (1/k)(x2 - x1, y2 - y1)。
三、平面向量的重要定理平面向量的重要定理包括共线定理、共点定理和位移定理。
1. 共线定理：若向量→AB和→CD共线，则存在实数k，使得→AB= k→CD。
高中数学解析几何知识点总结大全
高中数学解析几何知识点总结大全解析几何是高中数学的重要分支之一，通过运用代数和几何的方法来研究几何图形的性质和变换。
下面是高中数学解析几何的知识点总结，供参考：一、直线与平面的位置关系1.直线与平面的交点个数：直线和平面可以有0个、1个或无数个交点。
2.平面与平面的位置关系：两个平面可以相交、平行或重合。
二、向量及其代数运算1.向量的概念：向量是具有大小和方向的量。
2.向量的表示方法：向量可以用有向线段或坐标表示。
3.向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则。
4.向量的数乘：向量的数乘是一个向量与一个实数的乘积。
5.向量的数量积：向量的数量积是两个向量之间的乘积，结果是一个实数。
6.向量的乘法运算法则：分配律、结合律和交换律。
三、直线及其方程1.平面直角坐标系：平面直角坐标系包括坐标轴、坐标原点和相应的正方向。
2.直线的方程：直线可以用一般式、点斜式、两点式或截距式表示。
3.直线的性质：平行、垂直、斜率、倾斜角等。
4.直线的位置关系：两条直线可以相交、平行或重合。
四、曲线及其方程1.圆的方程：圆可以用标准方程、一般方程或截距方程表示。
2.椭圆、双曲线和抛物线的方程：椭圆、双曲线和抛物线可以用一般式表示。
3.曲线的性质：焦点、准线、离心率等概念的理解。
4.曲线的位置关系：两条曲线可以相交、相切或没有交点。
五、空间直线及其方程1.空间直线的方程：空间直线可以用对称式、参数方程或直角坐标式表示。
2.空间直线的位置关系：两条空间直线可以相交、平行或重合。
3.空间直线与平面的位置关系：空间直线可以与平面相交、平行或测度为零。
六、空间曲线及其方程1.空间曲线的方程：空间曲线可以用参数方程或直角坐标式表示。
2.空间曲线与平面的位置关系：空间曲线可以与平面相交、触及或完全包含。
七、立体图形1.点、线、面、体的概念：点是没有长度、宽度和高度的，线是一系列相连的点，面是一系列相连的线，体是一系列相连的面。
2.立体图形的表面积：立方体、长方体、正方体、球体、圆柱体、圆锥体和棱锥体的表面积计算公式。
高中数学的归纳平面向量与空间几何
高中数学的归纳平面向量与空间几何高中数学的归纳：平面向量与空间几何在高中数学教学中，归纳法是一种常用的证明方法，通过归纳法可以推导出一般情况下的结论。
在平面向量与空间几何的学习中，归纳法同样适用。
本文将以此为出发点，探讨高中数学中的归纳平面向量与空间几何。
一、平面向量的归纳在高中数学中，平面向量是涉及到代数和几何的重要概念。
平面向量可以通过一个有向线段来表示，具有大小和方向两个特征。
在归纳平面向量时，我们可以从最基本的定义出发，逐步推导出多个性质和定理。
1. 平面向量的加法与减法平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
减法则是在加法的基础上，将其中一个向量取相反数再进行加法运算。
通过归纳法，我们可以得出以下结论：定理1：平面向量的加法满足交换律和结合律。
证明：设向量a、b和c为任意三个平面向量，则有a +b = b + a（交换律）(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）由此可知，平面向量的加法满足交换律和结合律。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量逐一相乘后再求和，得到一个标量。
通过归纳法，我们可以得出以下结论：定理2：对于平面向量a和b，有a·b = b·a。
证明：设向量a和b分别为a = (a₁, a₂)，b = (b₁, b₂)则有a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = b₁a₁ + b₂a₂ = b·a由此可知，平面向量的数量积满足交换律。
二、空间几何的归纳空间几何是立体几何的一种分支，涉及到点、线、面以及它们之间的相互位置关系和性质。
在空间几何的学习中，我们同样可以运用归纳法来推导出一些结论。
1. 空间点与直线的位置关系在空间几何中，点与直线的位置关系有三种情况：点在直线上、点在直线外和点在直线上方或下方。
使用归纳法，我们可以得出以下结论：定理3：设空间点P的坐标为(x₁, y₁, z₁)，直线L的方程为(x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c其中，(x₀, y₀, z₀)是直线上的一点，(a, b, c)是直线的方向向量，则有：若ax + by + cz + d = 0，其中a² + b² + c² ≠ 0，则点P(x₁, y₁, z₁)在直线L上；若ax + by + cz + d = 0，其中a² + b²+ c² ≠ 0，则点P(x₁, y₁, z₁)在直线L外；若ax + by + cz + d = 0，其中a² + b² + c² ≠ 0，则点P(x₁, y₁, z₁)在直线L上方或下方。
高中数学知识知识点总结2024
高中数学知识知识点总结2024一、集合与函数1. 集合的基本概念集合是数学中最基本的概念之一，表示具有某种共同属性的事物的全体。
常见的集合表示方法有列举法和描述法。
列举法：将集合中的元素一一列举出来，如 \( A = \{1, 2, 3\} \)。
描述法：用集合中元素的共同属性来表示，如 \( B = \{x \mid x > 0\} \)。
2. 集合的运算集合的运算包括并集、交集、补集和差集。
并集：\( A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} \)。
交集：\( A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} \)。
补集：\( C_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\} \)，其中 \( U \) 是全集。
差集：\( A B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\} \)。
3. 函数的概念函数是数学中描述两个变量之间依赖关系的重要工具。
函数的定义域、值域和对应关系是函数的三要素。
定义域：函数中自变量 \( x \) 的取值范围。
值域：函数中因变量 \( y \) 的取值范围。
对应关系：自变量 \( x \) 和因变量 \( y \) 之间的对应法则。
4. 常见函数类型一次函数：\( y = ax + b \)，图像为一条直线。
二次函数：\( y = ax^2 + bx + c \)，图像为一条抛物线。
指数函数：\( y = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)。
对数函数：\( y = \log_a x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)。
三角函数：包括正弦函数 \( y = \sin x \)、余弦函数 \( y = \cos x \) 和正切函数 \( y = \tan x \)。
《高等数学》各章知识点总结——第6章
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
高中数学平面空间向量知识点总结
平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a的终点的向量（a 、b有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作a =(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx,λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 3数量积的几何意义： a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-； ()2222a b a a b b±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=121y x +当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质空间向量与立体几何 1、空间向量及其运算：（1）空间中的平行（共线）条件：()//0,a b b x R a xb ≠⇒∃∈=（2）空间中的共面条件：,,a b c 共面（,b c 不共线）,,x y R a xb yc ⇔∃∈=+推论：对于空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，OP xOA yOB zOC =++ ()1x y z ++=，则四点O 、A 、B 、C 共面（3）空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p xa yb zc =++ （4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：()121212,,a b x x y y z z ±=±±±()111,,a x y z λλλλ= 121212a b x x y y z z ⋅=++注1：数量积不满足结合律； 注2：空间中的基底要求不共面。
高等数学第五章向量代数与空间解析几何
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。
方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。
常用有向线段表示向量。
A 点叫起点，B 点叫终点，向量。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。
记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。
称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。
平面向量与空间解析几何
平面向量与空间解析几何平面向量和空间解析几何是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学中扮演着重要的角色。
平面向量是一个有大小和方向的量，可以表示为有序对(x, y)。
在二维空间中，平面向量通常用于描述平面内的位置关系、运动方向等。
空间解析几何则是研究三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和关系的数学分支。
平面向量定义平面向量可以用有向线段表示，其大小为线段的长度，方向为线段的方向。
平面向量的加法、减法和数乘等运算可以通过坐标运算来实现。
两个平面向量(x1, y1)和(x2, y2)的加法为(x1+x2, y1+y2)，减法为(x1-x2, y1-y2)，数乘为k * (x, y) = (k*x, k*y)。
运算性质•交换律：a + b = b + a•结合律：a + (b + c) = (a + b) + c•分配律：k * (a + b) = k * a + k * b空间解析几何点和坐标在空间解析几何中，三维空间中的一个点可以用有序三元组(x, y, z)表示，其中x, y, z分别是点在三个坐标轴上的投影。
两点之间的距离可以通过距离公式计算得到。
直线和平面一条空间直线可以通过一个点和一个方向向量来唯一确定，方向向量可以是直线上任意两点的向量差。
空间平面可以通过一个点和两个不共线的方向向量来唯一确定。
方向余弦方向余弦是描述向量在空间中的方向性质的参数。
一个向量(a, b, c)的方向余弦分别为cosα = a/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosβ = b/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosγ = c/sqrt(a^2+b^2+c^2)。
应用平面向量和空间解析几何在现实生活中有着广泛的应用。
在工程学中，它们可以用于描述力的合成、速度的方向等；在计算机图形学中，可以用于图形的变换和计算；在物理学中，可以描述空间中的物体运动等。
总的来说，平面向量和空间解析几何不仅是数学中的重要概念，也是现实生活中不可或缺的工具，它们帮助我们更好地理解和描述空间中的种种现象和规律。
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
向量与空间解析几何知识点总结
向量与空间解析几何知识点总结一、向量。
1. 向量的概念。
- 既有大小又有方向的量称为向量。
在空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示，如→a=(a_x,a_y,a_z)，其中a_x、a_y、a_z分别是向量在x、y、z轴上的投影。
- 向量的模（长度）：对于向量→a=(a_x,a_y,a_z)，其模|→a|=√(a_x^2)+a_y^{2+a_z^2}。
2. 向量的运算。
- 加法。
- 几何方法：平行四边形法则或三角形法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a+→b=(a_x + b_x,a_y + b_y,a_z + b_z)。
- 减法。
- 几何方法：三角形法则。
- 坐标运算：→a-→b=(a_x - b_x,a_y - b_y,a_z - b_z)。
- 数乘向量。
- 设λ为实数，→a=(a_x,a_y,a_z)，则λ→a=(λ a_x,λ a_y,λ a_z)。
- 数乘向量的模|λ→a|=|λ||→a|，方向当λ>0时与→a相同，当λ < 0时与→a 相反。
- 向量的数量积（点积）- 定义：→a·→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a·→b=a_xb_x + a_yb_y+a_zb_z。
- 向量垂直的充要条件：→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0。
- 向量的向量积（叉积）- 定义：→a×→b是一个向量，其模|→a×→b|=|→a||→b|sinθ，方向遵循右手螺旋法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a×→b=<=ftbegin{array}{ccc}→i→j→k a_xa_ya_z b_xb_yb_zend{array}right=(a_yb_z - a_zb_y)→i+(a_zb_x - a_xb_z)→j+(a_xb_y - a_yb_x)→k。
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。
以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。
2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。
二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。
2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。
三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。
2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。
四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。
2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。
高中数学平面向量与空间向量知识点总结
高中数学平面向量与空间向量知识点总结为了帮助高中数学学习者更好地掌握平面向量与空间向量的知识，以下是对于这两个概念的详细总结。
通过阅读本文，你将对平面向量与空间向量的定义、表示、运算以及相关性质有一个全面的了解。
平面向量1. 定义与表示平面向量是由起点和终点确定的有向线段，通常用→AB 或 AB 来表示，其中 A 为起点，B 为终点。
向量可以用坐标、分量、或单位向量的形式进行表示。
2. 向量的运算a) 向量的加法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点，以第一个向量的终点为新向量的终点，新向量即为原向量的和。
b) 向量的数乘：将向量的每个分量乘以一个标量，得到的新向量即为原向量的数乘。
c) 两个向量的数量积：平面向量的数量积满足平行四边形的面积公式，即对于向量→A 和→B，其数量积为A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示向量的模长，θ 表示两个向量之间的夹角。
3. 向量的性质平面向量具有以下性质：a) 两个向量相等，当且仅当它们有相同的模长和方向。
b) 两个向量平行，当且仅当它们的夹角为 0°或 180°。
c) 三角形的三条边可以看作是由两个向量的和构成。
d) 对于任意向量 A，A+(-A) = 0，其中 0 表示零向量。
e) 若向量 A·B = 0，则称向量 A 和 B 互相垂直。
空间向量1. 定义与表示空间向量与平面向量相似，但是在三维空间中存在。
空间向量通常用→AB 或 AB 来表示，其中 A 为起点，B 为终点。
2. 向量的运算空间向量的运算与平面向量类似，但是需要注意三个维度的变化。
向量的加法、数乘等运算仍然适用。
3. 向量的性质空间向量的性质与平面向量类似，但在三维空间中，还需要考虑向量与平面的相交等问题。
总结通过对平面向量与空间向量的知识点的总结，我们可以得出以下结论：- 平面向量和空间向量的定义和表示方式类似，都是由起点和终点确定的有向线段。
《高等数学》向量代数和空间解析几何
a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
o
y
3、空间曲线 （1） 空间曲线的一般方程
高中数学空间解析几何要点梳理轻松解决空间几何问题
高中数学空间解析几何要点梳理轻松解决空间几何问题空间解析几何是高中数学中的一门重要内容，它通过利用代数方法研究空间的几何性质，解决一些与空间相关的问题。
在学习空间解析几何时，我们需要掌握一些基本要点，下面将对这些要点进行梳理，以便更轻松地解决空间几何问题。
一、三维坐标系在空间解析几何中，我们需要引入三维坐标系来描述空间中的点、直线和平面。
三维坐标系由x轴、y轴和z轴构成，它们两两垂直，形成一个立体直角坐标系。
在三维坐标系中，任意一点P都可以表示为P(x, y, z)，其中x、y、z分别为点P在x轴、y轴和z轴上的坐标。
二、点与向量在空间解析几何中，点是基本要素，而向量则是连接两点的线段，并具有方向和大小。
利用向量可以描述空间中的平移、旋转等运动。
给定点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)，则向量AB可以表示为向量OA，其中O为坐标原点。
向量的加法、减法和数量乘法等运算规则与二维向量相似。
三、直线的方程直线在空间解析几何中同样具有重要意义。
一条直线可以由一点和一个方向向量来确定。
给定直线上的一点P(x0, y0, z0)和方向向量u(a, b, c)，则直线L可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数。
通过参数方程，我们可以求解直线与其他几何元素的关系，如直线与平面的交点等。
四、平面的方程在空间解析几何中，平面是另一个重要的几何元素。
一般情况下，平面可以由一个点和两个不共线的方向向量来确定。
给定平面上的一点A(x0, y0, z0)和两个不共线的方向向量u(a, b, c)和v(d, e, f)，则平面Π可以表示为：r · n = d其中r = OP，OP为平面上的任意一点，n为平面的法向量。
通过这个平面的一般方程，我们可以判断点、直线与平面之间的位置关系。
五、空间几何问题的解法在解决空间几何问题时，我们需要考虑几何元素之间的相互关系，并利用代数方法进行求解。
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
高等数学向量代数与空间解析几何总结
高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研究向量的各种运算进行分析与求解问题。
空间解析几何则是研究点、线、面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。
首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。
在向量代数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。
向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四边形法则确定的。
向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。
数量乘法是指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向与原向量相同或相反。
点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。
向量代数的运算法则包括交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。
空间解析几何主要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。
其中，点是空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。
直线是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方向向量确定一条直线。
平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。
空间解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与直线之间的关系、点与平面之间的关系、直线与平面之间的关系等内容。
对于这些关系，我们可以通过向量的性质和运算进行解决。
在向量代数与空间解析几何中，还有一些重要的概念与定理需要了解。
例如，向量的模长是指向量的长度，可以通过向量的坐标和勾股定理求得。
向量的单位向量是指长度为1的向量，可以通过将向量的坐标除以其模长得到。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)
56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。
（）向量的模——有向线段的长度，2||a →（）单位向量，3100||||a a aa →→→→==（）零向量，4000→→=||（）相等的向量长度相等方向相同5⇔⎧⎨⎩=→→a b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
b a b b a →→→→→→≠⇔=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图：OA OB OC →+→=→OA OB BA →-→=→（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。
（9）向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。
()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121 ()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式57. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
1a b a b a b →→→→→→=||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b →→∈0Bb O θa数量积的几何意义：a b a b a b →→→→→·等于与在的方向上的射影的乘积。
高一数学平面几何与空间几何要点总结
高一数学平面几何与空间几何要点总结在高一学年里，数学课程的内容涵盖了平面几何和空间几何的基本概念和常见性质。
通过对这些知识点的总结和归纳，可以帮助我们更好地掌握这些内容。
本文将对高一数学平面几何与空间几何的要点进行总结。
一、平面几何要点总结1. 点、线段、直线和射线：- 点是平面几何的基本元素，没有长度和方向。
- 线段是指两个点之间的线段，有确定的长度。
- 直线是由无数个点组成的，没有端点，可以延伸到无限远。
- 射线是由一个端点和一个方向组成的，可以延伸到无限远。
2. 角的概念和性质：- 两条射线共同的起点称为角的顶点。
- 角可以通过两条射线夹住的部分来表示。
- 角的大小用度、分、秒来表示。
- 锐角的度数小于90度，直角的度数等于90度，钝角的度数大于90度。
3. 平行与垂直：- 两条直线在平面上没有交点，称为平行。
- 平行线的特性包括相同的斜率和不相交的性质。
- 垂直是指两条直线相交成直角的性质。
4. 三角形的性质：- 三角形是由三条线段组成的。
- 根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
- 根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
5. 相似三角形：- 两个三角形对应角相等，并且对应边成比例，称为相似三角形。
- 相似三角形的特性包括相似比、相似比例和相似定理。
二、空间几何要点总结1. 空间几何的坐标系：- 三维空间几何使用的坐标系是三维直角坐标系，由x轴、y轴和z轴组成。
- 空间中的点可以用三个坐标来表示。
2. 空间图形的性质：- 空间图形包括点、直线和面。
- 平面是由无限多条直线组成的。
- 空间图形的性质包括共面、共线和平行/垂直。
3. 空间向量的基本概念：- 空间向量是由大小和方向组成的。
- 空间向量可以通过坐标来表示。
- 空间向量可以进行加法、减法和数乘运算。
4. 平行与垂直关系：- 平行向量具有相同或相反的方向，且长度成比例。
- 垂直向量的点积等于零。
空间解析几何与向量代数知识点总结
空间解析几何与向量代数知识点总结
以下是空间解析几何与向量代数的一些重要知识点总结：
1.三维坐标系：空间解析几何中，我们使用三维坐标系来描述点的位置。
常见的三维坐标系有直角坐标系和球坐标系。
2.点、向量和直线：点是空间中的一个位置，向量是由起点和终点确定的有方向的线段。
直线是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
3.向量的表示和运算：向量可以用坐标表示，常见的表示方法有行向量和列向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
4.向量的长度和方向：向量的长度可以用模长表示，方向可以用单位向量表示。
单位向量是长度为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
5.平面和曲面：平面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合，可以用法向量和一个过点的向量表示。
曲面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
6.点到直线和点到平面的距离：点到直线的距离可以通过求取点到直线的垂直距离得到，点到平面的距离可以通过求取点到平面的垂直距离得到。
7.向量的线性相关性和线性独立性：向量的线性相关性表示向量之间存在线性关系，线性独立性表示向量之间不存在线性关系。
8.平面的交线和平面的夹角：两个平面的交线是同时在两个平面上的点的集合，平面的夹角是两个平面的法向量之间的夹角。
9.点积和叉积的应用：点积可以用来计算向量的夹角和投影，叉积可以用来计算向量的长度、面积和法向量。
10.直线和平面的方程：直线可以用参数方程和对称方程表示，平面可以用点法式方程和一般式方程表示。
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56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。
（）向量的模——有向线段的长度，2||a →（）单位向量，3100||||a a aa →→→→==（）零向量，4000→→=||（）相等的向量长度相等方向相同5⇔⎧⎨⎩=→→a b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
b a b b a →→→→→→≠⇔=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图：OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。
（9）向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。
()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121 ()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式57. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
1a b a b a b →→→→→→=||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b →→∈0数量积的几何意义：a b a b a b →→→→→·等于与在的方向上的射影的乘积。
||||cos θ （2）数量积的运算法则 ①··a b b a →→→→=②··()a b c a c b c →→→→→→→+=+()()③·，·，a b x y x y x x y y →→==+11221212注意：数量积不满足结合律····()()a b c a b c →→→→→→≠ ()()（）重要性质：设，，，31122a x y b x y →→== ①⊥···a b a b x x y y →→→→⇔=⇔+=001212 ②∥··或··a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→⇔==-|||||||| ⇔=≠→→→a b b λλ（，惟一确定）0 ⇔-=x y x y 12210③，··a a x y a b a b →→→→→→==+≤221212||||||||④···c o s ||||θ==+++→→→→a ba b x x y y x y x y121212122222［练习］（）已知正方形，边长为，，，，则11ABCD AB a BC b AC c →=→=→=→→→||a b c →→→++=答案：22()()（）若向量，，，，当时与共线且方向相同214a x b x x a b →→→→===答案：2（）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603a b a b o→→→→+=||答案：13 58. 线段的定比分点()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→P P P P P P P P 12121200→><所成的比（，在线段内，，在外），且λλx x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12121212121122λλλλ，为中点时，()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233 则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 12312333++++⎛⎝⎫⎭⎪※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−线面平行的判定：a b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒αααabα线面平行的性质：αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒ b a b 三垂线定理（及逆定理）：PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂ a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒αaPO线面垂直：a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒ααaO α b c面面垂直：⊂⇒αββαa a⊥面，面⊥=⊂⇒a a al lαβαβαβ面⊥面，，，⊥⊥αalβαα⇒⊥面，⊥面∥a b a ba a⇒αβαβ面⊥，面⊥∥a bα60. 三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°o b⊂0b＝时，∥或θαα--<≤l o o 30180（）二面角：二面角的平面角，αβθθ（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。
）三类角的求法：①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
证明：·cos cos cosγθβ=AO B γ CD αθβ（为线面成角，∠，∠）θγβAOC=BOC=（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD1和AD所成的角；③求二面角C1—BD1—B1的大小。
1AC（①；②；③）arcsinarcsin 346063o （3）如图ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥面ABCD ，且PD ＝AD ，求面PAB 与面PCD 所成的锐二面角的大小。
P FA E B（∵AB ∥DC ，P 为面PAB 与面PCD 的公共点，作PF ∥AB ，则PF 为面PCD 与面PAB 的交线……）61. 空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，则： （1）点C 到面AB 1C 1的距离为___________； （2）点B 到面ACB 1的距离为____________；（3）直线A 1D 1到面AB 1C 1的距离为____________； （4）面AB 1C 与面A 1DC 1的距离为____________； （5）点B 到直线A 1C 1的距离为_____________。
AC 11162. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE ∆∆∆∆，，和 它们各包含哪些元素？ S C h C h 正棱锥侧·（——底面周长，为斜高）=12'' V 锥底面积×高=1363. 球有哪些性质？（）球心和截面圆心的连线垂直于截面122r R d =-（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。
为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（），球球444323S R V R ==ππ （5）球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。
如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2积为（ ） A B C D ....34336ππππ答案：A64. 熟记下列公式了吗？[)（）直线的倾斜角，，，102212112l απααπ∈==--≠≠⎛⎝ ⎫⎭⎪k y y x x x x tan()()()P x y P x y a k 1112221，，，是上两点，直线的方向向量，l l →= （2）直线方程：()点斜式：（存在）y y k x x k -=-00 斜截式：y kx b =+ 截距式：x a yb+=1 一般式：（、不同时为零）Ax By C A B ++=0 ()（）点，到直线：的距离30000022P x y Ax By C d Ax By CA Bl ++==+++（）到的到角公式：41122112l l tan θ=--k k k kl l 1221121与的夹角公式：tan θ=--k k k k65. 如何判断两直线平行、垂直？A B A B A C A C 1221122112=≠⎫⎬⎭⇔l l ∥k k l 1212=⇒l ∥（反之不一定成立） A A B B 1212120+=⇔l l ⊥ k k 12121·⊥=-⇒l l。