含参的线性规划问题ppt课件
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4.2线性规划ppt课件
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
[管理学]线性规划问题ppt课件
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引言
在经济生活中，人们经常遇到这样两类实践问题： 1、资源给定，如何对给定资源予以充分地、合理地运 用，使之完成的义务尽能够地多。 2、义务给定，如何以尽能够少的资源耗费来完成给定 的义务。
可见，上述两类问题都是寻求利润最大。第一类， 是以最大收益扣除定量本钱；第二类，是以定量收益扣 除最小本钱。
地域，而往来的客户主要位于北京、上海、广州、天津、香港与西安
6大城市。由于各仓储中心地利环境、人力资源及区域性本钱的不同，
自动售货机的运送本钱或多或少会有所差别，如下表1 。当前各仓储
中心的自动售货机的库存量如下表2。各地的需求量如下表3。问：为
了可以有效降低运送本钱，应如何安排运输，才干支付最低的运费又
线性规划问题
一、线性规划问题 二、Excel 求解线性规划问题 三、实例讲解
一、线性规划问题
——线性规划是运筹学的一个重要分支，是运筹学的最根本的部分。 线性规划的运用及其广泛，从处理技术问题的最优化设计到工业、农业、 商业、交通运输业、军事和经济方案管理决策领域都可以发扬作用，它是 现代科学管理的一种重要手段。
该问题的数学模型为：
Min Z=5 X11+6 X12+10X13+3X14· · · +4X33+8 X34
X11+X12+X13+X14=60 X21+X22+X23+X24 =40
——产量约束
……
s.t. X11+X21+X31=30 ……
——销量约束
X14+X24+X34=40
Xij ≥0 (i=1，2，3；j=1,2,3,4〕
〔4〕约束：在此列出了规划求解的一切约束条件。 〔5〕最长运算时间：在此设定求解过程的时间。默许值 100〔秒〕，普通可以满足大多数小型规划求解要求。 〔6〕迭代次数：在此设定求解过程中迭代运算的次数，限 制求解过程的时间。默许值100次，根本可以满足大多数小 型规划求解要求。
简单线性规划 课件(48张)
22
由 z＝x＋3y，得 y＝－13x＋3z，平移直线 x＋3y＝0 可
知，当直线 y＝－13x＋3z经过 A 点时 z 取最大值．由
2x＋y＝4，
得 A(1，2)，所以 zmax＝1＋2×3＝7.
x＝1，
2021/10/10
23
类型 2 求非线性目标函数的最值 x－y－2≤0，
[典例 2] 设实数 x，y 满足约束条件x＋2y－4≥0， 2y－3≤0，
2021/10/10
30
[变式训练] (1)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不
2x－y－2≥0， 等式组x＋2y－1≥0，所表示的区域上一动点，则直线
3x＋y－8≤0， OM 斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－13 D．－12
2021/10/10
31
2x＋y－5≥0， (2)已知3x－y－5≤0，求(x＋1)2＋(y＋1)2 的最大、
简单的线性规划
2021/10/10
1
[学习目标] 1.了解线性规划的意义，了解线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概 念． 2.掌握线性规划问题的图解法，会用图解法求线性 目标函数的最大值、最小值． 3.训练数形结合、化归等 数学思想，培养和发展数学应用意识．
2021/10/10
x－2y＋5≥0， 最小值．
(1)解析：如图所示，
2021/10/10
32
2x－y－2≥0， x＋2y－1≥0，所表示的 3x＋y－8≤0，
平面区域为图中的阴影部分．
x＋2y－1＝0，
由
得 A(3，－1)
3x＋y－8＝0，
当 M 点与 A 重合时，OM 的斜率最小，
2021/10/10
含参的线性规划问题
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
2 x y 2 0 8 x y 4 0 ,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的 x 0 ,y 0
最大值为8，则a+b的最小值为_______. 4
线性规划
与函数结合
【例4】若函数 ( x ) x 2 ax 2b在区间 0,1), f ( (1,2)内各有一个零点，则2 (b 2) 2的取值 a 范围是( A. )
线性规划（二）
高三数学组
确定你的方向是正确的，下一步要做的 就是坚持……
线性规划 课时要求 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元次此不等式组； 2.理解目标函数的几何意义，会用图解法解 线性规划问题； 本节重点是含参问题。 3.通过图解法逐步加强作图能力，渗透数形 结合思想。
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
b 1. z ax by 直线型，z表示纵截距的 倍 2. z ax by 点到直线距离型 3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型(距离平方)
线性规划
【例5】已知函数 f ( x )在R上单调递增，函数 y y f ( x 1)的图像关于点1,0)对称，若对于任意 ( 的x , y R, 不等式f ( x 2 6 x 21) f ( y 2 8 y ) 0 恒成立，则 x y 的取值范围是 ________.
线性规划
[模板]线性规划PPT课件
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顶点可达到。 4.解题思路是：先找出凸集的任一顶点，计算Z值，比较
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
-
6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
-
7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
-
1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
-
6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
-
7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
-
1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
第二章线性规划PPT课件
第8页/共55页
§1 对线性规划的回顾
单纯形法
三、单纯形法的解题步骤
1、找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。
cj
c1 … cm
cm+1
…
cn
cB xB b x1 … xm
xm+1
…
xn
c1 x1 b1 1 … 0
a1,m+1
…
a1,n
c2 x2 b2 0 … 0
a2,m+1
…
a2,n
Y0
【性质1】对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
【性质2】弱对偶原理（弱对偶性）：设X 和Y 分别是问题（P）和（D）的任一可行
解，则必有 z(X)≤ f(Y).
【性质3】最优性判别定理：若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且CX* = Y* b， 则X*,
Y*分别是问题 P和D 的最优解。
——若线性规划有最优解，则一定在凸集的某个（些）顶点 上 达到最优，即此时一定存在某个顶点是最优解。
定理4 若线性规划在可行域的两个顶点上达到最优，则在两个顶点的连线 上也达到最优。
——若线性规划在两个顶点以上达到最优,则一定有无穷多个最优 解—。—最优解不一定是基可行解，基可行解也不一定是最优解。
§1 对线性规划的回顾
单纯形法小结
单纯形表中解的表示形式
1、唯一最优解：最终单纯形表中，所有非基变量检验数δj＜0
2、无穷多最优解：最终单纯形表中，某非基变量检验数δj＝0
3、无界解：某检验数δj＞0对应变量的系数列向量Pk≤0 4、退化基可行解：一个或几个基变量取值‘＝0’的基可行解
出现退化基可行解，可能导致从某个基开始，经过若干次 迭代后又回到原来的基，即单纯形法出现了循环，永远达 不到最优解，导致计算失败。
§1 对线性规划的回顾
单纯形法
三、单纯形法的解题步骤
1、找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。
cj
c1 … cm
cm+1
…
cn
cB xB b x1 … xm
xm+1
…
xn
c1 x1 b1 1 … 0
a1,m+1
…
a1,n
c2 x2 b2 0 … 0
a2,m+1
…
a2,n
Y0
【性质1】对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。
【性质2】弱对偶原理（弱对偶性）：设X 和Y 分别是问题（P）和（D）的任一可行
解，则必有 z(X)≤ f(Y).
【性质3】最优性判别定理：若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且CX* = Y* b， 则X*,
Y*分别是问题 P和D 的最优解。
——若线性规划有最优解，则一定在凸集的某个（些）顶点 上 达到最优，即此时一定存在某个顶点是最优解。
定理4 若线性规划在可行域的两个顶点上达到最优，则在两个顶点的连线 上也达到最优。
——若线性规划在两个顶点以上达到最优,则一定有无穷多个最优 解—。—最优解不一定是基可行解，基可行解也不一定是最优解。
§1 对线性规划的回顾
单纯形法小结
单纯形表中解的表示形式
1、唯一最优解：最终单纯形表中，所有非基变量检验数δj＜0
2、无穷多最优解：最终单纯形表中，某非基变量检验数δj＝0
3、无界解：某检验数δj＞0对应变量的系数列向量Pk≤0 4、退化基可行解：一个或几个基变量取值‘＝0’的基可行解
出现退化基可行解，可能导致从某个基开始，经过若干次 迭代后又回到原来的基，即单纯形法出现了循环，永远达 不到最优解，导致计算失败。
第3章 线性规划.ppt
max z x1 x2 则凸多边形的边AB 上的所有点都是问 题的解。因此，解 是无穷多个。
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
x2
400
300 A
250 B
x2 250
x1 x2 300
0
200
300
x1
2x1 x2 400 16
第3章 线性规划
3. 无最优解(目标函数值
x2
为无穷大或无穷小)。
若例3-4中式(b),(c)的约 250
成立,则称x为凸集D的极点。即在凸集上不能表 示成相异两点凸组合的点，称为极点；在线性 规划问题的凸集上称之为顶点。
20
第3章 线性规划
3. 基本解：对于有n个变量、m个约束方程的标 准线性规划问题，取其m个变量，若这些变量在 约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组 成一组基本变量。确定了一组基本变量后，其 它n-m个变量称为非基本变量。
变量约束： xi 0, 1 i 4
6
第3章 线性规划
一、线性规划问题的标准形式（※）
1. 标准形式
目标函数： 约束条件：
n
max z cj xj j 1
n
aij xj b0i , i 1, 2,
j 1
, m, (b0i 0)
变量约束： xj 0, j 1, 2, , n
通常把上述三个式子描述的问题称为标准线
5. 基本可行解：如果基本解中的每一个变量都是非 负的，即满足变量约束 xj 0, (1 j n) 的基本解称 为基本可行解。如果在基本可行解中至少有一个基 本变量为零，则该解称为退化的基本可行解，反之， 称为非退化的基本可行解。
注：基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应 于线性规划问题可行域的顶点。
9
第3章 线性规划
高三理科数学线性规划复习精品PPT教学课件
2020年10月2日
12
考点讲解
三、含参变量线性规划问题的求解
x y 4 0 例3、已知变量x, y满足x y 0 ，
x 1
z -kx y在点1,3取得最大值，求
k的取值范围.
2020年10月2日
13
x y 4 0
例
4、
已
知
集
合
A
(
x
,
y)
x
y
0
，
x 1
B
=
(
x,
则平面区域B(x, y) (x y, x y)A
的面积为___________.
2020年10月2日
15
能力提升
已知函数f (x) 1 ax3 bx2 (2 b)x 1在 3
x x1处取得极大值，在x x2处取得极 小值，且0 x1 1 x2 2. (1)证明a 0； (2)若z a 2b，求z的取值范围.
简单的线性规划问题
2020年10月2日
1
考点分析
线性规划是优化的具体模型之一.考纲要 求 学生能够体会线性规划的基本思想，并能 借助几何直观解决一些简单的几何问题.
2020年10月2日
2
题型分析
题型一：简单的线性规划 题型二：非线性目标函数的最值问题 题型三：含参变量的线性规划问题 题型四：线性规划的应用
x 1
求 y的取值范围. x
2020年10月2日
8
y B A C
2020年10月2日
x
9
变式练习
x y 4 0
在约束条件
x
y
0
下，
x 1
请构造类似的非线性目标函数
的最值问题并求解.
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
第一 线性规划(共188张PPT)
个要求表述为
x1 ≥0， x2 ≥0
• 综上所述，该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
5
第一节 线性规划一般模型
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、 A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：
▪ 供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3
§ 销售平衡条件
x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
§ 非负性约束
29
第三节 线性规划的标准型
§ 标准化2
minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′
函数。可能是最大化，也可能是最小化。 • 线性规划一般模型的代数式 为：
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥(≤)0
x1 ≥0， x2 ≥0
• 综上所述，该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
5
第一节 线性规划一般模型
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、 A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：
▪ 供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3
§ 销售平衡条件
x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
§ 非负性约束
29
第三节 线性规划的标准型
§ 标准化2
minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′
函数。可能是最大化，也可能是最小化。 • 线性规划一般模型的代数式 为：
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥(≤)0
《线性规划问题》课件
基本假设
线性规划问题的基本假设包括有界性、非空性和可行性。
变量的类型
线性规划问题中的变量可以是非负实数、非负整数或二进制数。
线性规划问题的求解方法
1
图形解法
通过绘制目标函数和约束条件的图形来找到最优解。
2
单纯形法
单纯形法是一种迭代的算法，通过改变顶点来逐步优化线性规划问题。
3
对偶问题及其求解
对偶问题是原问题的镜像，通过求解对偶问题可以得到原问题的最优解。
线性规划在实际问题中的应用
生产计划问题
线性规划可以帮助制定最优化的生产计划，提 高生产效率。
运输问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划可以解决运输中的最优路径和资源分 配问题。
资源分配问题
线性规划可以帮助合理分配资源，达到最佳利 用效果。
投资决策问题
线性规划可以辅助投资者做出最优化的投资决 策，降低风险。
线性规划问题的扩展
《线性规划问题》PPT课 件
欢迎来到《线性规划问题》PPT课件，今天我们将一起探讨什么是线性规划 问题以及其在实际应用中的重要性。
什么是线性规划问题
线性规划是一种优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。它通常 被用于解决最优化问题。
线性规划的基本概念
标准形式
线性规划问题的标准形式指的是目标函数和约束条件都为线性函数的问题。
线性规划问题在实际中具有广泛应用，如生产计划、运输问题、资源分配和投资决策等。它可以帮助优 化资源利用和决策效果。
1 整数线性规划问题
在整数线性规划问题中，变量被限制为整数值，更加符合实际情况。
2 非线性规划问题
非线性规划问题中的目标函数和约束条件可以是非线性函数，具有更大的灵活性。
线性规划问题的基本假设包括有界性、非空性和可行性。
变量的类型
线性规划问题中的变量可以是非负实数、非负整数或二进制数。
线性规划问题的求解方法
1
图形解法
通过绘制目标函数和约束条件的图形来找到最优解。
2
单纯形法
单纯形法是一种迭代的算法，通过改变顶点来逐步优化线性规划问题。
3
对偶问题及其求解
对偶问题是原问题的镜像，通过求解对偶问题可以得到原问题的最优解。
线性规划在实际问题中的应用
生产计划问题
线性规划可以帮助制定最优化的生产计划，提 高生产效率。
运输问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划可以解决运输中的最优路径和资源分 配问题。
资源分配问题
线性规划可以帮助合理分配资源，达到最佳利 用效果。
投资决策问题
线性规划可以辅助投资者做出最优化的投资决 策，降低风险。
线性规划问题的扩展
《线性规划问题》PPT课 件
欢迎来到《线性规划问题》PPT课件，今天我们将一起探讨什么是线性规划 问题以及其在实际应用中的重要性。
什么是线性规划问题
线性规划是一种优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。它通常 被用于解决最优化问题。
线性规划的基本概念
标准形式
线性规划问题的标准形式指的是目标函数和约束条件都为线性函数的问题。
线性规划问题在实际中具有广泛应用，如生产计划、运输问题、资源分配和投资决策等。它可以帮助优 化资源利用和决策效果。
1 整数线性规划问题
在整数线性规划问题中，变量被限制为整数值，更加符合实际情况。
2 非线性规划问题
非线性规划问题中的目标函数和约束条件可以是非线性函数，具有更大的灵活性。
线性规划及其基本理论演示文稿ppt
4000 (千工日)
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。
线性规划问题举例
【例1.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种 产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已 知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤； 每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假 定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总 的利润收入最大？
线性规划数学模型
建立数学模型的步骤：
Step1 分析实际问题； Step2 确定决策变量； Step3 找出约束条件； Step4 确定目标函数； Step5 整理、写出数学模型。
线性规划问题举例
【例1.1】某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各 体系资源用量及今年供应量见下表：
【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、 乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式 1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样 的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。
表1．3 下料方案
需要人数 星期
需要人数
300
五
480
300
六
600
350
日
550
400
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。
线性规划问题举例
【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制 造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最 大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。
线性规划问题举例
【例1.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种 产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已 知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤； 每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假 定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总 的利润收入最大？
线性规划数学模型
建立数学模型的步骤：
Step1 分析实际问题； Step2 确定决策变量； Step3 找出约束条件； Step4 确定目标函数； Step5 整理、写出数学模型。
线性规划问题举例
【例1.1】某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各 体系资源用量及今年供应量见下表：
【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、 乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式 1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样 的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。
表1．3 下料方案
需要人数 星期
需要人数
300
五
480
300
六
600
350
日
550
400
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员 最少。
线性规划问题举例
【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制 造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
2含参的线性规划问题Microsoft PowerPoint 幻灯片
课题导入
前面我们学习了基本的线性规划问题， 知道如何利用线性目标区域求目标函数 的最值问题，那么如果不等式组或者目 标函数含参数,又该如何求解呢？本节课 我们就来学习含参线性规划问题！
含参的线性规划问题
目标引领
会求含参线性规划问题
(目标函数中含参）
独立自学
x y 5 0, 问题：已知 x、y满足： x 3, 求z＝2x＋4y的最小值 x y 0,
目标升华
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本 上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操 作尽可能规范． 2．解答线性规划的实际应用问题时应注意 (1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多， 因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断； (3)结合实际问题，未知数x、y等是否有限制 ，如x、y为 正整数、非负数等； (4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是 在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可 能规范．
当堂诊学
D
如图，目标函数 u ax y的可行域为四边形 OACB(含边界). 2 4 若点C( , )是该目标函数的最优解 , 则a的取值范围是( ) 3 5 10 5 12 3 A.- , B. , 3 12 5 10 3 1 12 3 C. , D. , 10 5 5 10
引导探究
x ＋2y－3≤0 变式： 本例中， 若将约束条件变为 x ＋3y－3≥0， y －1 ≤0 的取值范围是什么？ 目 标函数仅在点 (3,0)处取得最大值，其他条件不变，则 a
探究：由约束条件画出可行域如 图 所示 ， 要使 目 标函 数仅 在 点 1 (3,0)处取得最大值， 则－a＜－ ， 2 1 所以 a＞ . 2
前面我们学习了基本的线性规划问题， 知道如何利用线性目标区域求目标函数 的最值问题，那么如果不等式组或者目 标函数含参数,又该如何求解呢？本节课 我们就来学习含参线性规划问题！
含参的线性规划问题
目标引领
会求含参线性规划问题
(目标函数中含参）
独立自学
x y 5 0, 问题：已知 x、y满足： x 3, 求z＝2x＋4y的最小值 x y 0,
目标升华
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本 上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操 作尽可能规范． 2．解答线性规划的实际应用问题时应注意 (1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多， 因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断； (3)结合实际问题，未知数x、y等是否有限制 ，如x、y为 正整数、非负数等； (4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是 在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可 能规范．
当堂诊学
D
如图，目标函数 u ax y的可行域为四边形 OACB(含边界). 2 4 若点C( , )是该目标函数的最优解 , 则a的取值范围是( ) 3 5 10 5 12 3 A.- , B. , 3 12 5 10 3 1 12 3 C. , D. , 10 5 5 10
引导探究
x ＋2y－3≤0 变式： 本例中， 若将约束条件变为 x ＋3y－3≥0， y －1 ≤0 的取值范围是什么？ 目 标函数仅在点 (3,0)处取得最大值，其他条件不变，则 a
探究：由约束条件画出可行域如 图 所示 ， 要使 目 标函 数仅 在 点 1 (3,0)处取得最大值， 则－a＜－ ， 2 1 所以 a＞ . 2
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1
D
1
x0 例3（2）已知a>0，b0，且y0 ,
xy1
恒有ax+by1,求点（a,b)所成区域的面积
x 0 （3）点M（a,b)在y 0 区域内，
x+y 2
求N(a+b,a-b)所形成区域的面积
x y0
（4）不等式组 2 x y 2
y0
x y a
表示的平面区域是一个三角形，则 a的
线性规划
由区域求参数
【例1】(2013新课标II)已知a 0, x, y满足约束条件
x 1 x y 3 ,若z 2x y的最小值1为 ，则a ( ) y a(x3)
A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
4
2
线性规划
由目标函数几何意义求参数 x y 2
【
例
2
】
已
知
x
,
y满
足
不
等式组来自取值范围是 DA .a4 B .0 a 1 C .1 a4
3
3
D.0a1或a4
3
小结：
• 1、约束条件中含有参数时，注意直线是定点直线系、 • 还是平行直线系，使直线初步稳定。 • 2、目标函数中含有参数时，注意分析目标函数的 • 几何意义。 • 3、在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合 • “可行域”将“恒成立”加以控制；或者转化为目标函 • 数的最值问题。
含参数的线性规划（一）
平面区域与目标函数
复习回顾 目标函数的几何意义
1. zaxby 直线型 z表 ，示纵截b倍 距的
2. zaxby+c点到直线距离型 u u u ru u u r
3.zO A O P 转化为坐标形式或投影 4. z y b 斜率型
xa 5.z x2y2Dx E yF 两点间距离 型 6 .zx 2y2DE xy F 圆型(距离平)方
y
x
0
,
x 0
目 标 函 数 z ax y只 在 (1,1)处 取 最 小 值 ，
则 有 ( ) 变式：z=ax+y取得最小值的 最优解不唯一，求a
A. a 1 B.a 1 C . a 1 D. a 1
命题点3 区域图形与面积
x+y-10 例3、（1）若不等式组x-10
ax-y+10 所表示的平面区域的面积等于2，求a