高中数学必修五综合测试题-含答案

绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．数列0,23,45,67⋯的一个通项公式是（ ） A ． a a =a −1a +1（a ∈a ∗) B ． a a =a −12a +1（a ∈a ∗)C ． a a =2（a −1）2a −1（a ∈a ∗)D ． a a =2a2a +1（a ∈a ∗)2．不等式a −12−a≥0的解集是（ ）A ． [1,2]B ． (−∞,1]∪[2,+∞)C ． [1,2)D ． (−∞,1]∪(2,+∞)3．若变量a ,a 满足{a +a ≥0a −a +1≥00≤a ≤1，则a −3a 的最小值是（ ）A ． −5B ． −3C ． 1D ． 44．在实数等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ． 8 B ． －8 C ． ±8 D ． 以上都不对5．己知数列{a a }为正项等比数列，且a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4，则a 2+a 6=（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 6．数列11111,2,3,4,24816前n 项的和为（ ）A ． 2122n n n ++B ． 21122n n n +-++C ．2122n n n +-+D ． 21122n n n+--+7．若aaaa 的三边长a ,a ,a 成公差为2的 等差数列，最大角的正弦值为√32，则这个三角形的面积为（ ） A ． 154 B ．15√34 C ． 21√34 D ． 35√348．在△ABC 中，已知a =2,a =√2,a =450,则B 等于( ) A ． 30° B ． 60° C ． 30°或150° D ． 60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A ． a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ． a ＞b ⇒a 2＞b2C ． a ＞b ⇒a 3＞b 3D ． a 2＞b 2⇒a ＞b10．满足条件a =4,a =3√2,a =45∘，的的个数是 ( )A ． 1个B ． 2个C ． 无数个D ． 不存在11．已知函数a (a )=aa 2−a 满足：−4≤a (1)≤−1,−1≤a (2)≤5.则a (3)应满足（ ）A ． −7≤a (3)≤26B ． −4≤a (3)≤15C ． −1≤a (3)≤20D ． −283≤a (3)≤35312．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1,a 2,a 5成等比数列，则a 2为 （ ） A ． -2 B ． -3 C ． 2 D ． 313．等差数列{a a }的前10项和a 10=15，则a 4+a 7等于（ ） A ． 3 B ． 6 C ． 9 D ． 1014．等差数列{a a },{a a }的前a 项和分别为a a ,a a ，若a aa a=2a 3a +1，则a3a 3的值为（ ） A ． 35 B ． 47 C ． 58 D ． 1219第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知{a a }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1,a 3＝0,则公差a = 16．在△aaa 中，a =60∘，a =1，面积为√3，则边长a =_________.17．已知aaaa 中，a =√3，a =1，a cos a =a cos a ，则aaaa 面积为_________.18．若数列{a a }的前n 项和a a =23a a +13，则{a a }的通项公式____________ 19．直线a −4a +9=0下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数a =a +4a −1(a >1)的最小值是 _____________． 21．已知a，a ∈a +，且4a +a =1，则1a+1a的最小值是______．三、解答题22．解一元二次不等式（1）−a 2−2a +3>0 （2）a 2−3a +5>023．△aaa 的角a 、a 、a 的对边分别是a =5、a =6、a =7。

（1）求aa 边上的中线aa 的长；（2）求△aaa的面积。

24．在aaaa中，角a,a,a所对的边分别为a,a,a，且a2+a2=aa+a2. （1）求a的大小.（2）若a=√3，求a+a的最大值.25．数列{a n}的前n项和S n＝33n－n2.(1)求数列{a n}的通项公式； (2) 求证：{a n}是等差数列.26．已知公差不为零的等差数列{a n}中， S2＝16，且a1,a4,a5成等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n|}的前n项和T n.27．已知数列{a a}是公差不为0的等差数列，a4=3，a2,a3,a5成等比数列. （1）求a a；（2）设a a=a⋅2a a，数列{a a}的前a项和为a a，求a a.28．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？29．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a a +12＝S n ＋1＋S n . (1)求{a n }的通项公式；(2)设a a =a 2a −1⋅2a a ，求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案1．C【解析】【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式．【详解】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式a n=2(a−1)2a−1（n∈Z*）．故选：C．【点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题．2．C【解析】【分析】根据分式不等式的意义可转化为整式不等式(a−1)(2−a)≥0且2−a≠0，即可求解. 【详解】原不等式等价于(a−1)(2−a)≥0且2−a≠0，解得1≤a<2，所以原不等式的解集是[1,2).【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，属于中档题.3．A【解析】【分析】画出可行域，令目标函数a=a−3a，即a=13a−13a，做出直线a=13a，平移该直线当直线过可行域且在y轴上截距最大时，即过点a(1,2)时，z有最小值. 【详解】可行域为如图所示的四边形aaaa及其部，令目标函数a=a−3a，即a=13a−13a，a取最大值，此时取得最小值，且过a(1,2)点时，所在直线在y轴上的截距−13.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想方法，属于中档题.4．A【解析】【分析】利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．【详解】等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，∴a2+a6=34＞，a2•a6=64=a42，又偶数项的符号相同，∴a4＞0．则a4=8．故选：A．【点睛】本题考查了等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．B【解析】∵数列{a a}为等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4∴a22+2a2a6+a62=4，即(a2+a6)2=4，又a a>0，∴a2+a6=2．选B．6．B【解析】()()()11111111112212311248222212n n n nn n n n S n ⎛⎫-⎪++⎛⎫⎝⎭=+++++++++=+=+- ⎪⎝⎭- ，故选B. 7．B 【解析】试题分析：根据题意设三角形的三边最大角为,,则由三角形两边之和大于第三边知即,由余弦定理得，即,计算得出:.三角形的三边分别为该三角形的面积为:所以选项是正确的.考点：等差数列，余弦定理，三角形面积. 【思路点晴】本题给出三角形中三条边成公差为的等差数列，利用等差中项巧设三边这样只引入了一个变量，根据三角形边对大角，则最大角为边所对的角，根据，得到，从而得到三边分别为8．A 【解析】 【分析】由正弦定理a sin a =a sin a 知sin a =12，所以得a =300或1500，根据三角形边角关系可得a =300。

【详解】 由正弦定理a sin a=asin a得， 2sina 4=√2sin a ，所以sin a =12a =300或1500，又因为在三角形中，a >a ，所以有a >a ，故a =300，答案选A 。

【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，较简单基础。

9．C 【解析】试题分析：对于选项A,根据不等式的性质，只有c>0时，能成立，故错误选项B 中，当a=0,b=-1,时，此时a>b ，但是不满足平方后的a 2>b 2，成立，故错误。

选项D 中，因为当a 2>b 2时，比如a=-2,b=0,的不满足a>b ，故错误，排除法只有选C. 考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。

点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。

只有同时乘以正数不等号方向不变。

10．B 【解析】解：因为满足条件a =4,a =3√,a =45∘，利用余弦定理可知得到关于c 的一元二次方程，即cos a =a 2+a 2−a 22aa∴a 2+2−6a =0，可知有两个不等的正根，因此有两解，选B11．C 【解析】 【分析】列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f （3）的最值即可． 【详解】：∵﹣4≤f （1）≤﹣1，﹣1≤f （2）≤5， ∴{−4≤a −a ≤−1−1≤4a −a ≤5 ， 作出可行域如图所示：令z=f （3）=9a ﹣c ，则c=9a ﹣z ，由可行域可知当直线c=9a ﹣z 经过点A 时，截距最大，z 取得最小值， 当直线c=9a ﹣z 经过点B 时，截距最小，z 取得最大值． 联立方程组{a −a =−14a −a =−1可得A （0，1），∴z 的最小值为9×0﹣1=﹣1， 联立方程组{4a −a =5a −a =−4，得B （3，7），∴z 的最大值为9×3﹣7=20． ∴﹣1≤f （3）≤20． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 12．D 【解析】 【分析】由等差数列知，a 1=a 2−a ,a 5=a 2+3a ，又三数成等比数列，所以a 22=(a 2−a )(a 2+3a )，求解即可.【详解】因为a1=a2−a,a5=a2+3a，又a1,a2,a5成等比数列，所以a22=(a2−a)(a2+3a)，解得a2=3，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式及等比中项，属于中档题.13．A【解析】【分析】由题意结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：a10=a1+a102×10=5(a1+a10)=15，则a1+a10=3，由等差数列的性质可得：a4+a7=a1+a10=3.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．C【解析】【分析】根据等差数列的求和公式进行变形可得a3a3=a5a5，结合条件代入a=5后可得所求的值．【详解】由等差数列的求和公式可得a3a3=2a32a3=a1+a5a1+a5=52(a1+a5)52(a1+a5)=a5a5=2×53×5+1=58，故选C．【点睛】本题考查等差数列的求和公式和项的下标和的性质，解题时要注意等差数列的项与和之间的联系，关键是等差数列中项的下标和性质的灵活运用，考查变化和应用能力．15．B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求解即可． 【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的通项公式以及已知条件得{a 1+6a −2(a 1+3a )＝−1a 1+2a＝0，即{a 1＝1a 1+2a＝0，解得d=-12， 故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用． 16．4 【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求c 【详解】∵A =60∘,b =1,面积为√3=12bc sin A =12×1×c ×√32， ∴解得：c =4， 【点睛】在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A ，所以我们需抓取S=12bc sin A 17．√34 【解析】 【分析】由已知及正弦定理可得sin （A ﹣B ）=0，结合A ，B 的围，可求﹣π＜A ﹣B ＜π，进而求得A ﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA ，同角三角函数基本关系式可求sinA ，根据三角形面积公式即可计算得解． 【详解】 ∵acosB=bcosA，∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA ，可得：sin （A ﹣B ）=0， ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，可得：﹣π＜A ﹣B ＜π，∴A ﹣B=0，可得：a=b=1，∴cosA=a 2+a 2−a 22aa ==√32，可得：sinA=12，∴S △ABC =12bcsinA=12×1×√3×12=√34． 故答案为：√34． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 18．a a = (−2)a −1 【解析】 【分析】把a =1的式子代入已知中得到数列的首项，再由a ≥2时，a a =a a −a a −1，推得a a a a −1=−2，得到数列{a a }表示首项为a 1=1，公比为a =−2的等比数列，即可求解.【详解】由题意，当a =1时，a 1=a 1=23a 1+13，解得a 1=1，当a ≥2时，a a =a a −a a −1=23a a +13−23a a −1−13=23a a −23a a −1， 即a a =−2a a −1，所以a a a a −1=−2，所以数列{a a }表示首项为a 1=1，公比为a =−2的等比数列， 所以数列{a a }的通项公式为a a =(−2)a −1. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及数列a a 与a a 的关系的应用，其中熟记数列的a a 与a a 的关系式，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19．a −4a +9>0 【解析】 【分析】作出直线a −4a +9=0，判断O 所在的平面区域，即可得到结论． 【详解】点(0,0)在直线a −4a +9=0的下方，应使不等式成立，所以直线a −4a +9=0下方的平面区域用不等式表示为a −4a +9>0． 故答案为：a −4a +9>0 【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，先判断原点对应的不等式是解决本题的关键，比较基础． 20．5 【解析】 【分析】先对函数的解析式变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 由题得a =a −1+4a −1+1≥2√(a −1)⋅4a −1+1=5.(当且仅当{a >1a −1=4a −1即x=2时取等) 故答案为：5 【点睛】（1）本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.本题解题的关键是变形a =a −1+4a −1+1. 21．9 【解析】 【分析】直接将代数式4x+y 与1a+1a相乘，利用基本不等式可求出1a+1a的最小值． 【详解】由基本不等式可得1a +1a =(4a +a )(1a +1a )=4a a +aa+5≥2√4a a ⋅aa +5=9.，当且仅当{4a a =aa4a +a =1⇒{a =16a =13，等号成立，因此1a +1a的最小值为9， 故答案为：9． 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 22．（1）(-3,1)；（2）R. 【解析】 【分析】(1)利用因式分解即可 (2)利用判别式即可得到答案 【详解】（1）由−a 2−2a +3>0， 得a 2+2a −3<0， 解得−3<a <1。