《导数及其应用》基础的知识点

《导数及其应用》知识点总结

、导数的概念和几何意义

1.

函数的平均变化率：函数 f(x)在区间［x 1,

x 2］上的平均变化率为： f(X2) —f(X1)。 X 2 -X 1

2. 导数的定义：设函数 y =f(x)在区间(a,b)上有定义，(a, b)，若Cx 无限趋近于

o 时，比值 弓」(Xo f(Xo)无限趋近于一个常数 A ，则称函数f(x)在x = x o 处可导, 并称该常数A 为函数f(x)在X=X o 处的导数，记作f (X o )。函数f(x)在X=X o 处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量.Vy =f(X o • .Vx) - f (X o ) ；( 2)求平均变 化率：f(Xo ：x) 一心)；(3)取极限，当,x 无限趋近与0时，f(Xo 冈- f(Xo)无限趋 近与一个常数A ，则f 仏)=A.

4.导数的几何意义:

函数f(x)在x=X o 处的导数就是曲线 y =f(x)在点(X o ,f(X o ))处的切线的斜率。由此, 可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步:

(1) 求出y = f(x)在x o 处的导数，即为曲线 y = f(x)在点(x o , f(x o ))处的切线的斜率; (2 )在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 当点P(x o ,y °)不在y =f(x)上时，求经过点 P 的y = f(x)的切线方程，可设切点坐标, 再将P 点的坐标代入确定切点。 特别地，如果曲线y = f(x)在点

S 是时间t 的函数S(t)，则V =S(t)表示瞬时速度，a=v(t)表 示瞬时加速度。

二、导数的运算 1.常见函数的导数:

(1) (kx b) = k (k, b 为常数)；

(2) C "』0(C 为常数)； (3) (x) =1 ；

(4) (x 2

) =2x ； (5) (X ) =3x ；

(6) "一丄 (丿 __ 2 ；

x X y —y ° =f (x °)(x —x o )。 由切点坐标得到切线方程, (X o , f (X o ))处的切线平行与 y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为

X — X o 。 5.导数的物理意义：

质点做直线运动的位移

(8) (x “)： = ox"」(a 为常数)； (10) (log a X)Wlog a e=：x1a(a 0,a=1); (12) (lnx)：W ;

(14) (cosx) = _sin x 。

2. 函数的和、差、积、商的导数：

(1) [f(x) _g(x)] =f (x)_g(x);

(2) [Cf (x)K^Cf (x) (C 为常数)； (3) [ f(x)g(x)f^f (x)g(x) f (x)g (x);

(4) 単]」(x)

g(x)2 f(x^ (g(x)=0)。 g (x) g (x)

3. 简单复合函数的导数:

若 y = f (u), u 二ax b ，贝V y^y u U x ，即 y x =y u a 。

三、导数的应用

1. 求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 y 二f(x)在区间(a,b)内可导，

(1) 如果恒f (x) • 0 ,则函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数；

(2) 如果恒f (x) ::: 0，则函数y 二f(x)在区间(a,b)上为减函数；

(3) 如果恒f (x)=0，则函数y 二f(x)在区间(a,b)上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数 y = f (x)的定义域；②求导数 「(x)； ③解不等式f(x) .0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；

④解不等式f(x)：：：0，解集 在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)

： 设函数y = f (x)在区间(a,b)内可导，

(1) 如果函数y =f(x)在区间(a,b)上为增函数，则f(x)_0(其中使f (x^0的x 值不构 成区间)；

(2) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为减函数，则f (x)乞0(其中使f(x)=0的x 值不构 成区间)；

(3) 如果函数y = f(x)在区间(a,b)上为常数函数，则f (x) =0恒成立。

2. 求函数的极值：

设函数y =f(x)在X 。及其附近有定义，如果对 X 。附近的所有的点都有 f(x) f(x 0)(或 f (x) £ f(X 0)),则称f(X 0)是函数f (x)的极小值(或极大值) 可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是:

(7) (. x)y_1_ ;

2仮

(9) (a x )二a x lna(a .0,a =1)；

(11) (e x )〉e x ； (13) (sin x) =cosx ;

(1 )确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x) ; (3)求方程f(x)=o的全部实根,

X i ：：：X2 ：:：⑴:::X n，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：X变化时，f(X)和f (x)值的变化情况：

(4)检查f(X)的符号并由表格判断极值。

3.求函数的最大值与最小值：

如果函数f(X)在定义域I内存在X o，使得对任意的X・I，总有f(x)乞f(X o)，则称f(X o)

为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯

一的。

求函数f (x)在区间［a,b］上的最大值和最小值的步骤：

(1 )求f (x)在区间(a,b)上的极值；

(2)将第一步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值。

4.解决不等式的有关问题：

(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

f (x)(x A)的值域是［a,b］时,

不等式f(x) <0恒成立的充要条件是 f (X)max ::: 0，即b 0 ；

不等式f(x) 0恒成立的充要条件是 f (x)min，0，即a 0。

f(x)(x A)的值域是(a,b)时，

不等式f (x) :：: 0恒成立的充要条件是b _ 0 ；

不等式f(x) 0恒成立的充要条件是a _ 0。

(2 )证明不等式f(X)：：：0可转化为证明f(X)max ：：：0，或利用函数f(x)的单调性，转化为证明 f(X)::： f(X0)_0 。

5.导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大(小)值问题，通常都可转化为函数的最值•在利用导数来求函数最

值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。