高等几何学习指导.

《高等几何》学习指导

第一章仿射坐标与仿射变换

一、教学目的要求

1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系；

2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法；

3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质；

4、熟练掌握仿射变换的代数表示.

二、教学重点、难点

重点：

透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法.

难点：透视仿射对应的概念、特征及判断.

三、内容小结

本章主要介绍下述内容：

1、共线三点单比（简比）的概念

2、透视仿射对应

1）、概念：

①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应；

②、平面π到平面/π的透视仿射对应.

2）、判断：对应点连线互相平行.

3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系；

2）、共线三点单比的坐标表示： 设3131

1233232

(,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --==

=--则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213

/212223

x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩， 11122122

0a a a a ∆=

≠；

5、仿射性质

1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比.

3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题

例1、直线上三点的非齐次坐标分别为A(-2,-4),B(5,2),C

3

(,1)2

-,求单比（ABC ）. 解：设A 、B 、C 的非齐次坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y

由3132

3

2

2()1352

x x ABC x x +-===---.

例2、平面上是否存在仿射变换，使点A （1，2），B （-2，-4）， C （3，6）分别变为点A /（-1，-1），B /（2，2），C /（0，0）？

解：由于A ，B ，C 三点共线，A /，B /， C /也共线，下面验证它们的单比是否保持不变，

由于：

/////

/////312011(),(),()()325022

AC A C ABC A B C ABC A B C BC B C -+======-∴≠+-

因此这样的仿射变换不存在.

例3、求使三点（0，0），（1，1），（1，-1）顺次变到三点（2，3），（2，5），（3，-7）的仿射变换.

解：设所求仿射变换为：/

111213

/

212223

x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩11122122

0a a a a ∆=≠，

将（0，0）对应（2，3）， （1，1）对应（2，5），

（1，-1）对应（3，-7）分别代人上式得：

1323

111213212223111223212223

232537a a a a a a a a a a a a a a ===++=++=-+-=-+ ，解此方程组，得

13231112212211

2,3,,,4,6

22

a a a a a a ====-==

故所求仿射变换为：//1

1222463x x y y x y ⎧=-+⎪⎨

⎪=-++⎩

， 且1102246-

∆=≠-. 例4、求一仿射变换，它使直线210x y +-=210x y +-=上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）.

解：在直线210x y +-=上任取两点（1，0），（-1，1），由于 （1，0）→（1，0）；（-1，1）→（-1，1），又（1，-1）→（-1，2），由于三对对应点分别不共线，从而可唯一确定一仿射变换，将它们的

坐标分别代入仿射变换式/

111213

/212223

x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，

解得：//221

33222

x x y y x y ⎧=+-⎪

⎨=--+⎪⎩，2203

2

2∆=≠--，即为所求的仿射变换.

例5、求椭圆的面积. 解法1（见教材第15页）

解法2：设在笛氏直角坐标下圆的方程为2

2

2

x y r +=即22

221x y r r

+=，

令仿射变换T ：//

x x a r

y y

b r

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即//a

x x r b y y r ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 其中2000

a

ab

r

b r

r ∆==

≠， 其对应图形为椭圆：/2/2

221x y a b

+=

故T 是圆到椭圆的仿射变换，设圆的面积为S ，椭圆的面积为S / 由定理4.3

//22S ab

S S r ab S r

ππ=∆⇒=∆== 所以椭圆的面积为ab л.

例6、求将点O （0，0），A （1，0），B （0，1）分别变为O /（1，1），A /（3，1），B /（3，2）的仿射变换；并求在这个变换下，半径为2的圆的仿射对应图形的面积.

解：①、设所求仿射变换为：/

111213

/

212223

x a x a y a y a x a y a ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩11122122

0a a a a ∆=≠

将O （0，0）对应O /（1，1）， A （1，0）对应A /（3，1），

B （0，1）对应B /（3，2）分别代人上式

解得/

/2211

x x y y y ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩且 22001∆=≠ 为所求仿射变换.

②、///

/1

,1,42

OAB O A B S S S π∆∆===Q 圆，

设圆的仿射对应图形面积为/S ，