短时傅里叶变换及其谱图分析
短时傅里叶变换及其谱图分析
短时傅里叶变换及其谱图分析西南交通大学峨眉校区〔作业小论文〕工程测试技术课程设计短时傅里叶变换及其谱图分姓名：xxxx 学号：2wwwww 班级：wwww 专业：工程机械2022.03.20短时傅里叶变换及其谱图分析摘要：本文讨论了有噪信号的短时傅里叶变换STFT及其谱围．分析和仿真结果说明，受白噪声污染的信号的STFT可以无偏估计原信号的STFT，而其谱图可以对愿信号的谱图作有偏估计，估计方差是有限的，且是时间和频率的函数．在短窗的情况下，求得了该方差上限的近似表示．关键词：短时傅里叶变换谱图噪声污染信号估计1.前言信号的短时傅里叶变换STFT是最早提出的一种时。
频二维表示方法，它采用加窗的复正弦作为基函数，也称为加窗傅里叶变换。
由于它采用单一的分析窗处理所有频率分量，在时-频平面内所有点上的分辨率是相同的，因而适合于准平稳信号的处理。
STFT 简单易实现，许多联合时．频分析的应用都是由它开始的。
尽管STFT按定义属于线性变换，但在各种实际应用中常采用它的能谱分布表示方法，这就是基于短时傅里叶变换的谱图Spectrogram)表示。
谱图定义为STFT的模平方，它是二次型时．频分布，尽管不满足时一频边缘条件，但可以认为是信号能量在时．频平面上的分布。
谱图已经在信号检测，语音处理等方面得到了广泛应用 [1Ⅱ2】。
谱图具有非线性性质，对于多分量信号将产生类似于Wigner分布中的交叉项干扰，从而引入了模糊，影响信号分析结果。
在利用谱图对信号的谱估计中，加性噪声的影响使信号具有了多分量特性．可能使得估计产生较大偏差。
本文就确定性信号受自噪声污染后的STFT及其谱图的最小方差估计问题进行了分析。
文中第二局部做了理论推导，求得了有噪信号的sTFT及其谱图的均值和方差，第三局部对短窗的情况作了近似分析，最后给出了一例简单的仿真结果。
2.傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
Matlab中的时频分析与信号频谱分析
Matlab中的时频分析与信号频谱分析一、引言信号分析是现代工程中不可或缺的一项技术。
它被广泛应用于通信、声音处理、图像处理等领域。
而时频分析与信号频谱分析作为信号分析的两个重要方面，在Matlab中有着强大的工具支持。
本文将重点介绍Matlab中的时频分析与信号频谱分析，并探讨它们在实际应用中的价值和意义。
二、时频分析时频分析是一种将信号的时域和频域特征结合起来进行分析的方法。
它主要用于分析非平稳信号中的瞬态特征，并揭示信号在时间和频率上的变化规律。
在Matlab中，时频分析可以通过多种工具实现，如短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）、连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）等。
1. 短时傅里叶变换（STFT）STFT是时频分析中最常用的方法之一。
它将信号分成若干个短时段，并对每个短时段应用傅里叶变换来得到瞬时频谱。
在Matlab中，可以使用stft函数来实现STFT。
通过调节窗函数的类型和窗长、重叠等参数，可以灵活地进行时频分析。
2. 连续小波变换（CWT）CWT是一种基于小波分析原理的时频分析方法。
它利用小波函数将信号分解成不同频率的成分，并计算每个时刻的频率特征。
在Matlab中，可以使用cwt函数来进行CWT。
通过选择合适的小波函数和尺度参数，可以获得更精确的时频信息。
三、信号频谱分析信号频谱分析是一种通过傅里叶变换等方法来分析信号的频域特征的方法。
它可以揭示信号中的频率成分、频谱密度等信息，对于理解信号的频率特性及其在系统中的传输和处理具有重要意义。
在Matlab中，信号频谱分析可以通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）等函数来实现。
1. 快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效的傅里叶变换算法，能够快速计算信号的频谱。
在Matlab中，可以使用fft函数来进行FFT。
短时傅立叶变换
| s( t) |2| gˆ() |2 dtd
( | g() |2 | sˆ( t) |2 dt)d | gˆ() |2d
s2 g2
推论：
（能量守恒定理） 若窗函数的能量为1，则短时傅立
叶变换后的能量不变。
边缘分布特性：
P(t)＝ Psp (t,)d | st () |2d
3.对{s(n) g (n－m)}作离散傅立叶变换。
DSTFT (s)(m,l)
N
s(n)
g
(n－m)e
j
2 N
ln
n0
作业：
用MATLAB编制离散短时傅立叶变换程 序，完成线性调频、二次调频和高斯调制函 数在高斯窗下的的短时傅立叶变换。（要求 给出算法流程、原程序和频谱图）
1
2
s( )g0，t0 ( )d
s, g0，t0
短时傅立叶变换的窗口特性：
短时傅立叶变换的窗口特性：
结论： 短时傅立叶变换在时频平面上具有
不变的分辨率。
短时傅立叶变换的窗口特性：
短时傅立叶变换频率窗口参数：
带宽：（均方带宽）
： 满足 gˆ() 1
| gˆ(0) | 2 旁瓣：
A=10log10
短时傅立叶变换
——对Fourier变换的修补
Fourier变换的不足：
对处理非线性问题力不从心。 不能表征随时间变化的频率。 变换在无限的时域上进行。 不具有灵活可变的时间_频率窗。
基本原理：
通过将信号截断来表征信号的时变频谱现象。 截断函数（窗函数）会扰乱信号的特性。
短时Fourier变换示意图
s(t)
结论：
短时傅立叶变换具有完备性和稳定性。
短时傅立叶变换的窗口特性：
双谱估计 短时傅里叶变换
双谱估计短时傅里叶变换双谱估计和短时傅里叶变换（STFT）是信号处理中常用的两种分析方法，它们各自有着独特的用途和优点。
1.双谱估计（Bispectrum Estimation）：双谱分析是信号处理中的一种非线性分析技术，用于检测和分析非高斯、非线性和非最小相位系统。
双谱是信号的三阶统计量，是功率谱的高阶扩展。
它提供了比传统的功率谱更多的信息，尤其是在处理非线性和非高斯信号时。
双谱分析通常用于信号检测、特征提取和分类。
双谱估计的主要步骤包括：* 计算信号的三次相关函数。
* 对三次相关函数进行傅里叶变换，得到双谱。
* 分析双谱以提取信号的特征或进行信号检测。
2. 短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）：短时傅里叶变换是一种时频分析方法，用于分析非平稳信号。
通过将信号分割成短时间窗，并在每个时间窗上进行傅里叶变换，STFT可以提供信号随时间变化的频率信息。
STFT的主要步骤包括：* 将信号分割成重叠的时间窗。
* 对每个时间窗内的信号进行傅里叶变换。
* 随时间移动时间窗，重复上述步骤，得到信号的时频谱。
区别与应用：•双谱估计主要用于非线性、非高斯信号的分析和处理，如语音、雷达和生物医学信号。
•短时傅里叶变换主要用于非平稳信号的时频分析，如音乐、语音和机械振动信号。
在某些应用中，可以结合使用双谱估计和短时傅里叶变换，以便更全面地分析信号。
例如，在语音处理中，可以先使用STFT分析语音信号的时频特性，然后使用双谱估计进一步提取非线性特征。
请注意，这两种方法都是信号处理中的高级技术，需要一定的数学和信号处理知识才能正确理解和应用。
短时傅里叶变换（STFT）及其逆变换实验报告
短时傅⾥叶变换（STFT）及其逆变换实验报告短时傅⾥叶变换（STFT）及其逆变换实验报告1.实验⽬的1、掌握STFT及其逆变换的matlab程序。
2、能够在STFT的基础上编写matlab函数实现低通滤波。
3、分析滤波前后的效果变化和使⽤不同的语⾳质量评估法对恢复的语⾳信号的效果。
2.实验概述基于STFT的程序，编写matlab的函数，实现低通滤波。
测试2个48k的music和2个8k的speech的⾳频通过不同低通截⽌频率，分析低通滤波前后的⾳频频谱图的变化，分别使⽤主观语⾳质量评估法和客观语⾳质量评估法对恢复的语⾳测试得分，并分析得到的结果。
3.1实验环境和配置本次实验在matlab2012a下运⾏，在matlab⼯具箱中有STFT变换的函数，STFT的逆变换调⽤的外部函数，另外需要给出主观和客观语⾳质量评估法的程序。
3.2实验步骤1、在matlab⼯具箱中找到STFT变换的spectrogram.m函数,熟悉程序，尤其分析输⼊输出的变量，然后了解STFT逆变换的overlapadd.m函数。
2、通过调⽤STFT和逆变换的函数编写⼀个对语⾳信号进⾏STFT及其逆变换的matlab程序，并能够显⽰原始语⾳和恢复出的语⾳信号的波形。
3、在对语⾳信号进⾏STFT和逆变换的matlab程序的基础上编写低通滤波的函数，并且能够显⽰信号在低通滤波前后的频谱图。
4、在matlab程序中采⽤fwSNRseg对所有的语⾳进⾏客观语⾳质量评估，对48k的music采⽤PqevalAudio，8k的speech采⽤PESQ进⾏主观质量评估。
5、对2个48k的music和2个8k的speech的⾳频在1k、2k、4k、8k、12k 的低通截⽌频率下进⾏测试，观察滤波前后频谱图的变化，记录在不同截⽌频率下⾳频的主客观语⾳质量评估的得分，并分析得到的结果。
3.3实验结果分别对2个48k的music和2个8k的speech语⾳，在1k、2k、4k、8k、12k 的低通截⾄频率的条件下恢复语⾳信号，对于语⾳检测的客观语⾳质量评估法均采⽤fwSNRseg，主观语⾳质量评估法48k的music采⽤PqevalAudio，8k的speech 采⽤PESQ。
短时傅里叶变换
短时傅里叶变换简介短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）是一种常用的信号分析方法，用于在时域和频域之间进行转换。
它可以将信号分解成不同频率的成分，并同时提供这些频率成分在时间上的变化情况。
STFT是一种时频分析方法，适用于非平稳信号的频谱分析。
在实际应用中，许多信号都是非平稳的，即其频谱随时间变化。
STFT通过将信号分成小的时间窗口，并对每个时间窗口进行傅里叶变换来分析信号的频谱，从而捕获到信号的时频特性。
算法步骤STFT算法包含以下几个主要步骤：1.选择窗口函数：首先需要选择一个窗口函数来将原始信号分成多个窗口。
常用的窗口函数包括汉明窗、矩形窗等。
2.将窗口函数应用到信号：将选定的窗口函数应用到原始信号上，得到多个时间窗口的信号片段。
3.将每个时间窗口信号做傅里叶变换：对每个时间窗口的信号片段进行离散傅里叶变换（Discrete FourierTransform，DFT），得到每个时间窗口的频谱。
4.将频谱拼接起来：将每个时间窗口的频谱按照时间顺序拼接起来，得到完整的时频图。
STFT的应用STFT在许多领域都有广泛的应用，包括音频处理、语音识别、图像处理等。
在音频处理领域，STFT被用于音频特征提取、音频信号压缩、音乐分析等。
通过对音频信号进行STFT，可以提取出音频的频率特征，进而进行音频信号的处理和分析。
在语音识别领域，STFT常用于语音信号的特征提取。
通过对语音信号进行STFT，并提取出关键的频率成分，可以有效地识别和分析语音信号。
在图像处理领域，STFT被用于图像的纹理分析、边缘检测等。
通过对图像进行STFT，可以将图像转换成频域表示，从而更好地理解图像的结构和特征。
STFT与傅里叶变换的区别STFT和傅里叶变换都是频谱分析的方法，但它们有一些区别。
傅里叶变换是一种对整个信号进行变换的方法，它将信号分解成不同频率的正弦和余弦分量。
傅里叶变换对于平稳信号的频谱分析非常适用，但对于非平稳信号则不太适用。
傅里叶变换红外光谱分析(第三版)
傅里叶变换红外光谱分析（第三版）加入书架登录•版权信息•前言•第一版前言•第二版前言•第1章红外光谱的基本概念•1.1 红外光谱的产生和红外光谱区间的划分•1.2 分子的量子化能级•1.3 分子的转动光谱•1.4 分子的纯振动光谱•1.5 分子的振-转光谱•1.6 振动模式•1.7 振动频率、基团频率和指纹频率•1.8 倍频峰•1.9 合（组）频峰•1.10 振动耦合•1.11 费米共振•1.12 诱导效应•1.13 共轭效应•1.14 氢键效应•1.15 稀释剂效应•第2章傅里叶变换红外光谱学•2.1 单色光干涉图和基本方程•2.2 二色光干涉图和基本方程•2.3 多色光和连续光源的干涉图及基本方程•2.4 干涉图数据的采集•2.5 切趾（变迹）函数•2.6 相位校正•2.7 红外光谱仪器的分辨率•2.8 噪声和信噪比•第3章傅里叶变换红外光谱仪•3.1 中红外光谱仪•3.2 近红外光谱仪和近红外光谱•3.3 远红外光谱仪和远红外光谱•3.4 红外仪器的安装、保养和维护•第4章傅里叶变换红外光谱仪附件•4.1 红外显微镜•4.2 傅里叶变换拉曼光谱附件•4.3 气红联用（GC/FTIR）附件•4.4 衰减全反射附件•4.5 漫反射附件•4.6 镜面反射和掠角反射附件•4.7 变温红外光谱附件•4.8 红外偏振器附件•4.9 光声光谱附件•4.10 高压红外光谱附件•4.11 样品穿梭器附件•第5章红外光谱样品制备和测试技术•5.1 固体样品的制备和测试•5.2 液体样品的制备和测试•5.3 超薄样品的测试•第6章红外光谱数据处理技术•6.1 基线校正•6.2 光谱差减•6.3 光谱归一化、乘谱和加谱•6.4 生成直线•6.5 改变光谱数据点间隔和填充零•6.6 光谱平滑•6.7 导数光谱•6.8 傅里叶退卷积光谱•第7章红外光谱谱图解析•7.1 烷烃化合物基团的振动频率•7.2 烯烃化合物基团的振动频率•7.3 芳香族化合物基团的振动频率•7.4 炔烃化合物基团的振动频率•7.5 醇和酚类化合物基团的振动频率•7.6 醚类化合物基团的振动频率•7.7 酮和醌类化合物基团的振动频率•7.8 醛类化合物基团的振动频率•7.9 羧酸类化合物基团的振动频率•7.10 羧酸盐类化合物基团的振动频率•7.11 酯类化合物基团的振动频率•7.12 酸酐类化合物基团的振动频率•7.13 胺类化合物基团的振动频率•7.14 铵盐类化合物基团的振动频率•7.15 氨基酸类化合物基团的振动频率•7.16 酰胺类化合物基团的振动频率•7.17 酰卤类化合物基团的振动频率•7.18 糖类化合物基团的振动频率•7.19 含硼化合物基团的振动频率•7.20 含硅化合物基团的振动频率•7.21 含氮化合物基团的振动频率•7.22 含磷化合物基团的振动频率•7.23 水、重水、氢氧化物和过氧化物的振动频率•7.24 含硫化合物基团的振动频率•7.25 含卤素基团的振动频率•7.26 无机化合物基团的振动频率•第8章红外光谱的定性分析和未知物的剖析•8.1 红外光谱的定性分析•8.2 未知物的红外光谱剖析•第9章红外光谱的定量分析•9.1 朗伯-比耳定律•9.2 峰高和峰面积的测量•9.3 曲线拟合法测量峰高和峰面积•9.4 导数光谱用于定量分析•9.5 固体样品的定量分析•9.6 液体样品的定量分析•9.7 多组分液体的定量分析•9.8 高分子共聚物和共混物的定量分析•附录基团振动频率表（按振动频率由高到低排序）•参考文献是否关闭自动购买？关闭后需要看完本书未购买的章节手动确认购买。
matlab 短时傅里叶变换(stft)
短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）是一种在信号处理领域广泛应用的技术，特别在语音处理、音频处理、地震学、通信系统等领域有着重要的作用。
STFT可以将信号从时间域转换到频率域，从而能够以时间和频率的双重视角来分析信号的特性。
在MATLAB中，我们可以使用内置的STFT函数来实现信号的时频分析，以及一些功能强大的工具箱来进行更深入的信号处理和分析。
1. STFT的原理STFT可以看作是对信号在一段时间内进行傅里叶变换的过程。
在传统的傅里叶变换中，我们是对整段信号进行傅里叶变换，从而得到信号在整个时间范围内的频率特性。
然而，STFT允许我们对信号进行局部的傅里叶变换，这样就可以观察到信号在不同时间段内的频率变化，从而更加全面地理解信号的特性。
2. MATLAB中的STFT函数在MATLAB中，我们可以通过调用stft函数来实现对信号的短时傅里叶变换。
该函数可以指定窗口长度、重叠长度以及窗口函数等参数，从而灵活地调整STFT的分辨率和精度。
通过这些参数的设置，我们可以得到不同粒度和分辨率的时频分析结果，从而更好地理解信号的时频特性。
3. STFT的应用在实际的工程和科研中，STFT有着广泛的应用。
在语音信号处理中，可以利用STFT来进行语音的特征提取和分析，从而实现语音识别、语音合成等功能。
在音频处理领域，STFT可以用于音乐信号的谱分析和乐器识别。
STFT还可以应用于地震学领域的地震信号处理，通信系统中的信号调制解调等多个领域。
4. MATLAB工具箱的应用除了内置的stft函数外，MATLAB还提供了丰富的工具箱来支持STFT相关的功能。
Signal Processing Toolbox提供了丰富的时频分析工具函数，可以对信号进行更加深入的分析和处理。
另外，Wavelet Toolbox也可以用于时频分析，提供了小波变换等功能，能够更好地适应不同频率分量的信号分析。
声学信号的频谱分析方法研究
声学信号的频谱分析方法研究声学信号是指通过空气、水或其他介质传播的声波信号。
频谱分析是对声学信号进行研究和处理的一种重要方法。
频谱分析可以将声学信号转换为频域表示，从而揭示信号的频率特征和频率成分之间的关系。
本文将探讨声学信号的频谱分析方法，包括傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。
它通过将信号分解为一系列正弦和余弦函数的和来表示信号的频率成分。
傅里叶变换可以将声学信号从时域转换为频域，得到频谱图。
频谱图显示了信号在不同频率上的能量分布情况，可以帮助我们分析信号的频率特征和频率成分之间的关系。
2. 短时傅里叶变换短时傅里叶变换是一种对时变信号进行频谱分析的方法。
与傅里叶变换不同，短时傅里叶变换将信号分成多个时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换。
这样可以获得信号在不同时间段内的频谱信息，从而更好地分析信号的时变特性。
短时傅里叶变换在声学信号处理中广泛应用，例如语音信号的频谱分析和音乐信号的乐谱分析等。
3. 小波变换小波变换是一种将信号分解为不同频率的小波基函数的线性组合的方法。
与傅里叶变换和短时傅里叶变换不同，小波变换可以提供更好的时频局部化特性。
它可以将信号的局部特征和整体特征结合起来，对信号进行更精细的频谱分析。
小波变换在声学信号处理中有广泛的应用，例如音频压缩、语音识别和音乐分析等。
4. 频谱分析方法的应用频谱分析方法在声学信号处理中有着广泛的应用。
首先，频谱分析可以帮助我们理解声学信号的频率特征和频率成分之间的关系。
例如，通过分析音频信号的频谱图，我们可以判断音频是否存在噪音或失真。
其次，频谱分析可以用于声学信号的特征提取和分类。
例如，语音信号的频谱特征可以用于语音识别和说话人识别等应用。
最后，频谱分析可以用于音频信号的压缩和编码。
通过分析信号的频谱特征，我们可以选择合适的压缩算法和编码方式，从而实现高效的音频压缩和传输。
总结：声学信号的频谱分析方法是对声学信号进行研究和处理的重要手段。
傅里叶红外光谱分析课件ppt
2/17/2024
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1.2、红外吸收光谱产生的条件
condition of Infrared absorption 满足两个条件： spectroscopy
(1)辐射应具有能满足物质产生振动跃迁所需的能量； (2)辐射与物质间有相互偶合作用。
对称分子：没有偶极矩，辐 射不能引起共振，无红外活性。 如：N2、O2、Cl2 等。
非对称分子：有偶极矩，红 外活性。
偶极子在交变电场中的作用示 意图
(动画)
2/17/2024
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2c
12 / 2
正己烯中C=C键伸缩振动频率实测值为1652 cm-1
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经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1.3、分子中基团的基本振动形式
basic vibration of the group in molecular
2.2.2. 傅里叶变换红外光谱仪结构（框动图画）
干涉仪
样品室
检测器
光源
计算机
显示器 绘图仪
干涉图 FTS
光谱图
2/17/2024
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
python 短时傅里叶变换 幅度谱
文章标题：探究Python中的短时傅里叶变换与幅度谱一、引言在现代科学技术领域，信号处理是一项十分重要的任务，而傅里叶变换作为其中重要的数学工具之一，在信号处理中有着广泛的应用。
而短时傅里叶变换则是傅里叶变换的一种变体，它能够在时域和频域之间进行信号变换，用于分析非平稳信号的频谱特性。
在Python中，我们可以使用不同的工具和库来实现短时傅里叶变换，并通过计算得到信号的幅度谱。
本文将深入探讨Python中的短时傅里叶变换与幅度谱，为读者提供全面且深入的理解。
二、短时傅里叶变换的基本概念1. 短时傅里叶变换的简介短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）是傅里叶变换的一种变形，它能够对非平稳信号进行频谱分析。
与傅里叶变换不同之处在于，STFT通过在时间上对信号进行窗口截取，并对每个窗口内的信号进行傅里叶变换，从而得到频谱随时间变化的图像。
这种方法能够更好地捕捉到信号的瞬时频率特性。
2. Python中的STFT实现在Python中，我们可以使用SciPy库中的stft函数来实现短时傅里叶变换。
通过设置合适的窗口长度和重叠长度，我们可以对信号进行STFT，并得到频谱图像。
我们还可以使用Matplotlib库来绘制频谱图，以便更直观地观察信号的频谱特性。
三、幅度谱的计算和应用1. 幅度谱的定义在信号处理中，幅度谱是指信号在频域上的幅度分布。
通过对STFT得到的频谱图像进行幅度计算，我们可以得到信号在不同频率上的幅度分布情况，从而更好地了解信号在频域上的特性。
2. Python中的幅度谱计算在Python中，我们可以通过对STFT得到的频谱图像进行幅度计算，从而得到幅度谱。
我们可以使用NumPy库中的绝对值函数来计算每个频率点上的幅度，然后通过绘图工具将幅度谱可视化出来，以便进一步分析信号的频谱特性。
四、个人观点与理解从我个人的观点来看，短时傅里叶变换与幅度谱在信号处理领域有着重要的应用，特别是在分析非平稳信号时。
3第四章短时傅里叶变换解析
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
9
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变
Sn (e j ) X n (e j ) • X *n (e j ) | X n (e j ) |2
式中* Rn (k) w(n m)x(m)w(n k m)x(m k) 的傅里叶变换。 m
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变 化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的 傅里叶变换进行卷积，采样。
为此窗函数应具有如下特性： ① 频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗） ② 通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣 （海明窗）
窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf Δf＝1/NT
窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑
14
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
第一个零点位置为2πk/N，显然它与窗口宽度成反比。 矩形窗，虽然频率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰减只有 13.2dB，所以不适合用于频谱成分动态范围很宽的语音分析 中。 海明窗在频率范围中的分辨率较高，而且由于旁瓣的衰减大 于42dB，具有频谱泄漏少的优点，频谱中高频分量弱、波动 小，因而得到较平滑的谱。 汉宁窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰减只有30dB。
与图4-2相反，图4-3只 大约在400、1400及 2200Hz 频率上有少量 较宽的峰值。它们与 窗内语音段的前三个 共振峰相对应。比较 图4-3(b)及(d)的频谱后， 再次表明矩形窗可以 得到较高的频率分辨
18
04第四章短时傅里叶分析
m = −∞
[ x( m )e − jωm ]w ( n − m ) ∑
∞
令n − m = m'
w ( m' ) x ( n − m' )e − jω ( n− m ') ∑ [
− jω n
m = −∞
∑ x(n − m' )w(m' )e
jωn
∞
jω m '
]
Xn (e ) = e
jω
~ jω ⋅ Xn (e )
X n (e jω ) 和 X n (k ) 看作是时间 的 固定时， 看作是时间n的 当ω或k固定时， 固定时
函数。他们是信号序列和窗口序列的卷积， 函数。他们是信号序列和窗口序列的卷积，此时 窗口的作用相当于一个滤波器。 窗口的作用相当于一个滤波器。
沿着x(m)序列滑动， 序列滑动， 当n取不同值时窗 w(n-m)沿着 取不同值时窗 沿着 序列滑动 是一个“ 即w(n-m)是一个“滑动的”窗口 是一个 滑动的”
4.1 短时傅里叶变换
一、短时傅里叶变换 的定义
X n ( e jω ) =
m = −∞
x(m) w(n − m)e − jωm = ∑ xn (m)e − jwm ∑
m =0
∞
N −1
• 短时傅里叶分析是窗选语音信号的标准傅里叶变换。 短时傅里叶分析是窗选语音信号的标准傅里叶变换。 窗选语音信号的标准傅里叶变换 • 它有两个自变量：n, ω,既是关于时间 的离散函数， 它有两个自变量： 既是关于时间n的离散函数 既是关于时间 的离散函数， 又是关于角频率ω 的连续函数。 又是关于角频率ω 的连续函数。 令
滤波器 的解释
X n ( e jω ) =
STFT短时傅里叶变换ppt课件
称为函数
的时-
频窗。该窗的面积为
2
2
1.短时傅里叶变换简介 2.测不准定理 3.短时傅里叶变换缺陷
以Gabor函数为例，令Gabor数函为窗函数，已知Gabor
函数的表达式如下：
ga t 2
1
t2
e 4a
a
以Gabor函数为窗函数的STFT称为Gabor变换，其定义为
s(, ) eit f t ga t dt
率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。
主要内容
1.短时傅里叶变换简介 2.测不准定理 3.短时傅里叶变换缺陷
前面推导了测不准定理，知道STFT不具备自动调节能力
窗函 数选定
形状不会 发生改变
时频窗在时间 轴频率轴方向 上的宽度确定
不随时间、 频率的变 化而变化
时频分辨 率确定
从上面的分析我知道，如果要改变分辨率，则需要重新 选择窗函数。因为受到不确定准则的限制，时频窗的面积 不小于2，故不能兼顾频率与时间分辨率的需求，这也就 从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率 分辨率不能同时达到最优，我们对时间分辨率和频率分辨 率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低， 反之亦然。
▪ 短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform）。 其主要思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅里叶变 换，加窗后使得变换为时间r附近的很小时间上的局部谱， 窗函数可以根据r的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗 函数可以得到任意位置附近的时间段频谱实现时间局域化
该式指出，对x( )在时域加窗 g( t) ，引导出
在频域对X ()加窗 G( ) 。
窗函数的中心和半径：
定义非平凡函数 L2 R 称为一个窗函数如果 xx 也是属于L2 R 的，一个窗函数的中心定义为：
快速傅里叶变换和短时傅里叶变换
快速傅里叶变换和短时傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）和短时傅里叶变换（STFT）是频域分析中常用的两种变换方法。
一、快速傅里叶变换（FFT）FFT是一种高效的计算傅里叶变换的算法。
它把长度为N的时间序列信号分解成N个频率的复杂正弦信号，从而实现了信号在时域与频域之间的转换。
FFT广泛应用于数字信号处理、图像处理、音频处理和科学计算等领域，它能够快速计算大量数据，提高计算效率，使得信号处理更加高效。
二、短时傅里叶变换（STFT）STFT是一种将信号分解成一系列时间短的傅里叶变换的方法。
它在时域中对信号进行窗函数分段，然后对每一段信号进行傅里叶变换得到它的频率谱。
STFT广泛应用于音频信号处理、图像处理、语音识别和信号处理等领域，它可以在短时间内观察到信号的频率成分，对信号的频率特性进行分析，以便更好地控制和处理信号。
三、FFT和STFT的区别FFT与STFT都是将信号变换到频域进行分析，但它们之间有一些不同之处。
1、FFT是将整个信号进行傅里叶变换，而STFT是将信号分成若干个时间段，每个时间段内进行傅里叶变换。
2、FFT能够提供信号的整体频谱特征，而STFT则能够提供信号在每个时间段内的局部频率特征。
3、FFT计算速度快，但无法观察到信号的时变特征；STFT计算速度慢，但能够观察到信号的时变特征。
四、应用场景FFT适用于需要对整个信号进行频域分析的场合，例如对于一个长时间的音频信号进行频谱分析。
STFT适用于需要对信号在时间和频率上的变化进行观察和分析的场合，例如对于语音信号和信号噪声的消除。
在实际应用中，FFT和STFT也经常结合使用，以得到更加详细和精确的频域信息。
testlab短时傅里叶变换
testlab短时傅里叶变换TestLab短时傅里叶变换短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）是一种分析信号时频特性的方法，常被应用于信号处理、音频处理和图像处理等领域。
TestLab是一个基于云计算的数据分析平台，提供了STFT算法的实现，使用户能够方便地对信号进行时频分析。
STFT是一种将信号分解为时频域的方法，它利用傅里叶变换的原理，将信号在时间和频率上进行分解。
与傅里叶变换不同的是，STFT将信号分解为一系列窗口函数相乘的谱片段，通过调整窗口函数的大小和位置，可以获得不同时间段和频率段的信号特性。
这种分析方法可以帮助我们理解信号的时域和频域特性，从而更好地理解信号的含义和特点。
在TestLab平台上，用户可以上传需要分析的信号数据，并选择合适的参数设置进行STFT分析。
平台提供了多种窗口函数可供选择，如矩形窗、汉宁窗、海明窗等，用户可以根据实际需求选择合适的窗口函数。
此外，用户还可以设置窗口函数的大小和重叠率，以控制分析的精度和时间分辨率。
通过调整这些参数，用户可以获取不同精度和时间分辨率下的时频分析结果。
TestLab平台不仅提供了STFT算法的实现，还提供了丰富的数据可视化工具，使用户能够直观地观察信号的时频特性。
用户可以通过平台上的图表和图像，了解信号在不同时间段和频率段的能量分布情况，进而对信号进行更深入的分析和处理。
除了基本的STFT分析功能，TestLab平台还提供了一些高级功能，如时频图像的增强和噪声抑制。
用户可以根据实际需求，选择相应的功能和参数设置，对信号进行进一步的处理和优化。
这些功能的提供，使得TestLab平台成为一个强大的数据分析工具，可以满足用户在信号处理和音频处理等领域的需求。
TestLab平台提供了基于云计算的数据分析服务，其中包括了短时傅里叶变换（STFT）算法的实现。
用户可以通过该平台上传信号数据，并进行时频分析。
声谱图基于短时傅里叶变换STFT的画法
声谱图（基于短时傅里叶变换（STFT）的画法）1.自定义函数分为宽带声谱图和窄带声谱图，横坐标表示时间，纵坐标表示频率，图像中的灰度代表某时刻对应该频率处的能量，此处为短时傅里叶变换幅度的平方。
将能量函数归一化，最大值归一化为电平1，最小值归一化为电平0；为了得到更好的显示效果，可以选择适当的基准值Base（基准电平），把小于Base值限定在此基准电平上，把大于Base的值线性映射到0～1的归一化彩色值。
程序中wavread(Wavnam)读入的语音信号样值赋给矩阵Sg，也即待分析信号x(n)，采样频率赋给Fs。
Winsiz：定义帧长，一般应取2的幂次，其目的是适合FFT的要求。
通过对Winsiz的选值可实现宽带频谱或窄带频谱的选择。
Shift：定义帧移值。
一般此值小于或等于Winsiz。
Shift值越小，时域分辨率越高。
Base：基准电平值。
注意，此值的设定需根据实际经验，可以通过在多次运行此程序中给出不同的Base值，观察所获得的频谱图的视觉和分辨率效果，选择一个合适的Base值，如果没有特别要求，可取默认值Base=0。
Mode：定义显示模式。
1伪彩色映射，0为灰度映射。
上述程序中，伪彩色映射采用默认值’default’也即jet，可选的其它映射还有：bone，cool ，copper，flag，hot，hsv，pink，prism。
Gray：灰度显示层数，当Mode=0时有效，且Gray只能在1～64间取值，为了获得较好灰度显示效果，一般取值64。
clear;%function sogram(Winsiz,Shift,Base,Mode,Gray);[Sg,Fs]=wavread('pp.wav');Winsiz=256;Shift=16;Base=0;Mode=0;Gray=64;n=floor((length(Sg)-Winsiz)/Shift)+1;A=zeros(Winsiz/2+1,n);for i=1:nn1=(i-1)*Shift+1;n2=n1+(Winsiz-1);s=Sg(n1:n2);s=s.*hanning(Winsiz);z=fft(s);z=z(1:(Winsiz/2)+1);z=z.*conj(z);z=10*log10(z);A(:,i)=z;endL0=(A>Base);L1=(A<Base);B=A.*L0+Base*L1;L=(B-Base)./(max(max(B))-Base);y=[0:Winsiz/2]*Fs/Winsiz; etime = length(Sg)/Fs;%ÕæʵµÄʱ¼ä x=0:.010:etimeif Mode==1 colormap('default'); elsemymode=gray;mymode=mymode(Gray:-1:1,:); colormap(mymode); endimagesc(x,y,L); axis xy ;00.51 1.520.511.52400.20.40.60.81 1.250010001500200025003000350040000.050.10.150.2-2-1012Time (s)SPEECH00.20.40.60.81 1.210002000300040002.用MATLAB 自带声谱图函数是specgram （）来画：S = SPECTROGRAM(X,WINDOW,NOVERLAP ,NFFT,Fs)x为输入语音信号，window指定了帧长，noverlap指定帧移，nfft指定了FFT的采样点，fs 指定采样频率，函数返回为信号X的语谱图数据。
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西南交通大学峨眉校区（作业小论文）工程测试技术课程设计短时傅里叶变换及其谱图分姓名：xxxx学号：2wwwww班级：wwww专业：工程机械2013.03.20短时傅里叶变换及其谱图分析摘要：本文讨论了有噪信号的短时傅里叶变换STFT及其谱围．分析和仿真结果表明，受白噪声污染的信号的STFT可以无偏估计原信号的STFT，而其谱图可以对愿信号的谱图作有偏估计，估计方差是有限的，且是时间和频率的函数．在短窗的情况下，求得了该方差上限的近似表示．关键词：短时傅里叶变换谱图噪声污染信号估计1.前言信号的短时傅里叶变换STFT是最早提出的一种时。
频二维表示方法，它采用加窗的复正弦作为基函数，也称为加窗傅里叶变换。
由于它采用单一的分析窗处理所有频率分量，在时-频平面内所有点上的分辨率是相同的，因而适合于准平稳信号的处理。
STFT 简单易实现，许多联合时．频分析的应用都是由它开始的。
尽管STFT按定义属于线性变换，但在各种实际应用中常采用它的能谱分布表示方法，这就是基于短时傅里叶变换的谱图Spectrogram)表示。
谱图定义为STFT的模平方，它是二次型时．频分布，尽管不满足时一频边缘条件，但可以认为是信号能量在时．频平面上的分布。
谱图已经在信号检测，语音处理等方面得到了广泛应用[1Ⅱ2】。
谱图具有非线性性质，对于多分量信号将产生类似于Wigner分布中的交叉项干扰，从而引入了模糊，影响信号分析结果。
在利用谱图对信号的谱估计中，加性噪声的影响使信号具有了多分量特性．可能使得估计产生较大偏差。
本文就确定性信号受自噪声污染后的STFT及其谱图的最小方差估计问题进行了分析。
文中第二部分做了理论推导，求得了有噪信号的sTFT及其谱图的均值和方差，第三部分对短窗的情况作了近似分析，最后给出了一例简单的仿真结果。
2.傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。
3.理论分析设确定性信号5(f)被零均值实平稳噪声n(t)污染，表示为x(t)=sO)+胛O)按照定义，信号x(，)的短时傅里叶变换sTFT为STFT，(t，co)=￡x(f)w(f—r)exp(一joJf)如其中w(f)为分析窗函数。
则由(1>一2)式得其均值为E[STFTAt，国】-STUI',(t，co)即宵嗓信号的STFT足原信号STFT的无偏估计，这是所希望具有的性质。
按}!c{定义，信号z(，)的谱幽表示为犯(7，oJ)=ISTFLq，∞)J 2f4)山(1)叫2)式斤揪据二次营加原理，得s只(‘’。
)=s只(f·∞)+se(t，co)+so,。
O，甜)+s巴。
(f，co) (s、卜式右端前两项分别为原信号和噪声的谱幽，后两项为相干=项，称为互谱图．它”J的均值都为零⋯ f^『此，x(O的l蘑f{}f的均值为EB只(，，埘)】=￡B只(，，彩)】+E【咒(，，∞)】、与喙声是rf色的情况卜，R一(f，一r。
)=￡【门(f，)胛(r，)】=仃。
2占(r。
一r，)，其中O'n2为噪卢功率谱密度。
由此可以推导山E陋(，，∞)】=犯f，，瑚)+O"n2￡w，2(H)drT(，)的即宵嗓信号的STFT足原信号STFT的无偏估计，这是所希望具有的性质。
按}!c{定义，信号z(，)的谱幽表示为犯(7，oJ)=ISTFLq，∞)J 2f4)山(1)叫2)式斤揪据二次营加原理，得s只(‘’。
)=s只(f·∞)+se(t，co)+so,。
O，甜)+s巴。
(f，co) (s、卜式右端前两项分别为原信号和噪声的谱幽，后两项为相干=项，称为互谱图．它”J的均值都为零⋯ f^『此，x(O的l蘑f{}f的均值为EB只(，，埘)】=￡B只(，，彩)】+E【咒(，，∞)】、与喙声是rf色的情况卜，R一(f，一r。
)=￡【门(f，)胛(r，)】=仃。
2占(r。
一r，)，其中O'n2为噪卢功率谱密度。
由此可以推导山E陋(，，∞)】=犯f，，瑚)+O"n2￡w，2(H)drT(，)的仃。
2：E【s只2(f，∞)】一E2墨只o，国)】=￡￡￡￡【R。
(f。
一f，)R。
(r：一f。
)+R。
(r．一r。
)R。
(f：一f，)] (12) Rw‘“、(fl，f2，f3，f4)dflr2f3f4以上两部分都是有限值，从而保证了x“)谱图的方差是有限的。
因此，受臼噪声污染的信号的谱图可以对原信号的谱图做有偏估计，估计方差是有限的，并且是时间和频率的函数。
估计偏差为b=吒2￡w2(f—f)如(13)即偏差与原信号无关，对于白噪声，它可以很容易地被移去，这也说明了谱图具有在白噪声中检测信号的能力。
4.用Matlab实快速傅立叶变换FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。
有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。
这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。
另外，F现FT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去做，但是却不知道FFT 之后的结果是什意思、如何决定要使用多少点来做FFT。
现在就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC 采样之后，就变成了数字信号。
采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此啰嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。
N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。
为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。
那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。
每一个点就对应着一个频率点。
这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。
具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。
而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。
而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。
例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz 的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。
如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。
频率分辨率和采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。
根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。
下面以一个实际的信号来做说明。
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。
用数学表达式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。
式中cos 参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。
我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。
实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。
我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：1点： 512+0i2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i51点：332.55 - 192i52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i76点：3.4315E-12 + 192i77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。
分别计算这三个点的模值，结果如下：1点： 51251点：38476点：192按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。
可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。
直流信号没有相位可言，不用管它。
先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。