教学设计 选修4-5-《不等式的基本性质》教学设计

《不等式的基本性质》教学设计

课 题： 不等式的基本性质

教学目标：

1． 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。

2． 掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用

比较法，分析法证明简单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；利用不等式的性质求范围。 教学难点：灵活应用不等式的基本性质。

教学过程：

一、引入：

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-⇔>b a b a

0=-⇔=b a b a

0<-⇔

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

.对称性：a>b ⇔b

②.传递性：a>b ，b>c ⇒a>c.

③.（1）可加性：a>b ⇔a ＋c>b ＋c.

（2）同向可加性：a>b ，c>d ⇒a ＋c>b ＋d.

④.（1）可乘性：a>b ，c>0⇒ac>bc; a>b ，c<0⇒ac

（2）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.

⑤.乘、开方法则：a>b>0⇒n

n b a >，n n b a >(n ∈N ，n ≥2)．

2)

≥n ，N ∈(n ，b >a 有，b >a 为奇数时，n 地，当特n n n n b a >也条件可放宽为：别⑥.倒数性质：a>b ，且ab>0⇒b a 11<．

三、典型例题：

例1、设A=x 3+3,B=3x 2+x,且x>3,。试比较A 和B 的大小。

分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。

解 ：）

（x x x B A +-+=-233)3( )

1)(1)(3()1(3)1(22-+-=---=x x x x x x 01,01,033>->+>-∴>x x x x

0>-∴B A

B A >故

归纳：“差比法”的四个步骤：作差、变形化简、定号、下结论。

变式训练：

的大小。与试比较且设a b b a b a b a b a b a ,,0,0≠>>

（引导学生利用“差比法”和“商比法”）

点拨：两实数的大小比较方法：

1. “差比法”:A>B ⇔A －B>0；A ＝B ⇔A －B=0；A

2. “商比法”:若A>0，B>0，则A>B ⇔

1>B

A

例2、判断下列命题是否正确，并说明理由。 ；bc >ac ，则b >a 若)1(22 （×）

;)2(2

2b a c b c a >>，则若

（√） ;11,0)3(b

a a

b b a <≠>则，若 （×） ；则，若bd a

c

d c b a <>>,)4( （×） ;11,0)5(b

a b a ><<则，若 （√） ;,||)6(22b a b a >>则，若 （×）

.||||,)7(c b c a c b a >>>则，若 （×）

（目的：让学生回答，训练学生对不等式性质的准确理解，方便以后的应用）

例3、.0b c b a c a b a c ->->>>：

，试用不等式性质证明已知 利用“分析法”，得出证题思路。教师再输出过程。

证明：∵b a

> ∴b a -<- 又0>>>b a c

∴b c a c -<-<

0 011>->-⇒b

c a c ． 又0>>b a ∴b

c b a c a ->-.

例4、.2-222-的范围，，求已知β

αβαπ

βαπ

+≤<≤

解：∵－π2 ≤α < β ≤π2

， ∴－π4 ≤ α2 < π4，－π4 < β2 ≤π4⇒2

22πβαπ<+<-. ∴－π4 ≤－β2 < π4

. ∴－π2 ≤ α－β2 < π2

. 又∵α<β，∴α－β<0，∴－π2≤α－β2

<0. 误区警示： 1.2

222-πβππαπ≤<-<≤，，等号没完全传递. 2.不要忽略隐含条件α<β，而得出错误结论－π2≤α－β2≤π2

.

变式训练：

的求值范围。，分别求，已知b

a b a b a ,3286--<<<< 注意：不等式性质的准确应用，没有同向相减性和同向相除性。本题中特别讲清“同向同正可乘性”与“可乘性”的区别。

四、课堂练习：

1：已知3>x ，比较x x 113+与662+x 的大小。

2：已知a>b>0，c

a b -<-。 五、课后作业：

课本9P 第1、2、3、4题

六、教学后记：