福建省南安一中2020-2021学年高二数学下学期期末试卷(理) 新人教A版
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③若 为单函数， ；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。
其中的真命题是。（写出所有的真命题的序号）
三．本大题共6小题，共74分。
17、(12分)在直角坐标系中，以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 ，已知过点 的直线 的参数方程为： ，
直线 与曲线C分别交于M,N两点．
（Ⅰ）写出曲线C和直线l的普通方程； （Ⅱ）若 ,求线段|MN|的长度．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4，共16分。
13、已知函数 则 ________．
14、 。
15、若曲线的极坐标方程为 极轴为 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为。
16、函数 的定义域为A，若 时总有 ，则称 为单函数，例如：函数 是单函数。
给出下列命题：
①函数 是单函数；
②指数函数 是单函数；
8、若关于 的方程 在区间(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是（ ）
A、(1,+∞) B、(-∞,-1) C、(-1,1) D、(0,1)
9、 是R上周期为3的奇函数,若 , ,则a的取值范围是（ ）
A、a<0.5且a≠1 B、-1<a<0 C、a<-1或a>0 D、-1<a<2
10、对于每一个实数 , 是 和 这两个函数中较小者,则 的最大值是（ ）
切线方程为 ． ………….4分
（Ⅱ）当 时， ，其中 ，
当 时， ； 时， ，
∴ 是 在 上唯一的极小值点，∴
综上，所求实数 的取值范围为 .…………8分
增加，且售价降低 元时，每天多卖出的件数与 成正比．已知商品售价降低3
元时，一天可多卖出36件．
(Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成 的函数；
(Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？
21、（12分）已知函数 是奇函数， 是偶函数.
(Ⅰ）求 的值；
(Ⅱ）设 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（英语科选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）。
4．保持答题纸纸面清洁，不破损。考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。
第I卷（选择题 ， 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分。
18、（12分）已知 ，设命题p：函数 在R上单调递增；
命题q：不等式 对任意x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
19、（12分）已知函数
(Ⅰ）求 的值；
(Ⅱ）求 （ ）的值；
(Ⅲ）当 时，求函数 的值域．
20、（12分）某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以
C
C
D
C
B
B
A
C
A
C
C
二．填空题：（16分）
13、 14、 15、 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6、②③④
三．本大题共6小题，共74分。
17、解：（Ⅰ） ， ……………..6分
（Ⅱ）直线 的参数方程为 （ 为参数）,
代入 , 得到 ，………………8分
则有 ， .………………10分
因为|MN|=| |，所以 .
解得|MN|= .………………12分
22、（14分）已知函数 （a是常数）.
（Ⅰ）若 是函数 的极值点，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时,方程 在 上有两解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）求证: ，且 ．
南安一中2020-2021学年度下学期期末考—参考答案
高二（理）数学科试卷
一．选择题：（60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
6、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A、命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”
B、“若 ，则 ， 互为相反数”的逆命题为真命题
C、命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有 ”
D、命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
7、函数 的零点所在的一个区间是( )
A、(-2,-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)
18、解：由命题p，得a>1，对于命题q，
因x∈R， 恒成立，
又因a>0，所以Δ＝2a2－8a<0，
即0<a<4.由题意知p与q一真一假，6分
当p真q假时， 所以a≥48分
当p假q真时， 即0<a≤110分
综上可知，a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)12分
19、解：（Ⅰ） （3分）
(Ⅱ） （6分）
A、3B、4C、0D、-4
11、 是R上的单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A、（1，+∞）B、[4,8] C、 D、（1,8）
12、已知函数 是定义在 上的减函数，函数 的图象关于点 对称.若对任意的 ，不等式 恒成立， 的最小值是（ ）
A、0B、 C、 D、3
第II卷（非选择题，共90分）
南安一中2020-2021学年度下学期期末考
高二（理）数学科试卷含答案
本试卷考试内容为：坐标系与参数方程，集合，常用逻辑用语，函数、导数及其应用。分第I卷（选择题）和第II卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
(Ⅲ）①当 时，
∵ ∴
②当 时，
③当 时，∵
∴
故当 时，函数 的值域是
20、解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为 ，∴ ，∴
又每件商品的利润为 元，每天卖出的商品件数为
∴该商品一天的销售利润为
（2）由
令 可得 或
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
0
6
11
—
0
+
0
—
759
↘
极小值
↗
极大值975
↘
0
∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元
21、
……………9分
由题意得到 ，……………11分
……………12分
22、（14分）已知函数 （a是常数）.
（Ⅰ）若 是函数 的极值点，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时,方程 在 上有两解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）求证: ，且 ．
解：（Ⅰ） ． ，得 ， ，
1、设全集 则右图中阴影部分表示的集合为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、下列函数中与 为同一函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、参数方程 (θ为参数)所表示的图形是( )
A、直线B、射线C、圆D、半圆
4、当 时，则下列大小关系正确的是( )
A 、 B 、
C 、 D 、
5、方程 的图象如图所示，那么函数 的图象是（）
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。
其中的真命题是。（写出所有的真命题的序号）
三．本大题共6小题，共74分。
17、(12分)在直角坐标系中，以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 ，已知过点 的直线 的参数方程为： ，
直线 与曲线C分别交于M,N两点．
（Ⅰ）写出曲线C和直线l的普通方程； （Ⅱ）若 ,求线段|MN|的长度．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4，共16分。
13、已知函数 则 ________．
14、 。
15、若曲线的极坐标方程为 极轴为 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为。
16、函数 的定义域为A，若 时总有 ，则称 为单函数，例如：函数 是单函数。
给出下列命题：
①函数 是单函数；
②指数函数 是单函数；
8、若关于 的方程 在区间(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是（ ）
A、(1,+∞) B、(-∞,-1) C、(-1,1) D、(0,1)
9、 是R上周期为3的奇函数,若 , ,则a的取值范围是（ ）
A、a<0.5且a≠1 B、-1<a<0 C、a<-1或a>0 D、-1<a<2
10、对于每一个实数 , 是 和 这两个函数中较小者,则 的最大值是（ ）
切线方程为 ． ………….4分
（Ⅱ）当 时， ，其中 ，
当 时， ； 时， ，
∴ 是 在 上唯一的极小值点，∴
综上，所求实数 的取值范围为 .…………8分
增加，且售价降低 元时，每天多卖出的件数与 成正比．已知商品售价降低3
元时，一天可多卖出36件．
(Ⅰ）试将该商品一天的销售利润表示成 的函数；
(Ⅱ）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？
21、（12分）已知函数 是奇函数， 是偶函数.
(Ⅰ）求 的值；
(Ⅱ）设 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（英语科选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）。
4．保持答题纸纸面清洁，不破损。考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。
第I卷（选择题 ， 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分。
18、（12分）已知 ，设命题p：函数 在R上单调递增；
命题q：不等式 对任意x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
19、（12分）已知函数
(Ⅰ）求 的值；
(Ⅱ）求 （ ）的值；
(Ⅲ）当 时，求函数 的值域．
20、（12分）某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件．若售价降低，销售量可以
C
C
D
C
B
B
A
C
A
C
C
二．填空题：（16分）
13、 14、 15、 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6、②③④
三．本大题共6小题，共74分。
17、解：（Ⅰ） ， ……………..6分
（Ⅱ）直线 的参数方程为 （ 为参数）,
代入 , 得到 ，………………8分
则有 ， .………………10分
因为|MN|=| |，所以 .
解得|MN|= .………………12分
22、（14分）已知函数 （a是常数）.
（Ⅰ）若 是函数 的极值点，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时,方程 在 上有两解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）求证: ，且 ．
南安一中2020-2021学年度下学期期末考—参考答案
高二（理）数学科试卷
一．选择题：（60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
6、下列有关命题的说法正确的是（ ）
A、命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”
B、“若 ，则 ， 互为相反数”的逆命题为真命题
C、命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有 ”
D、命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
7、函数 的零点所在的一个区间是( )
A、(-2,-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)
18、解：由命题p，得a>1，对于命题q，
因x∈R， 恒成立，
又因a>0，所以Δ＝2a2－8a<0，
即0<a<4.由题意知p与q一真一假，6分
当p真q假时， 所以a≥48分
当p假q真时， 即0<a≤110分
综上可知，a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)12分
19、解：（Ⅰ） （3分）
(Ⅱ） （6分）
A、3B、4C、0D、-4
11、 是R上的单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A、（1，+∞）B、[4,8] C、 D、（1,8）
12、已知函数 是定义在 上的减函数，函数 的图象关于点 对称.若对任意的 ，不等式 恒成立， 的最小值是（ ）
A、0B、 C、 D、3
第II卷（非选择题，共90分）
南安一中2020-2021学年度下学期期末考
高二（理）数学科试卷含答案
本试卷考试内容为：坐标系与参数方程，集合，常用逻辑用语，函数、导数及其应用。分第I卷（选择题）和第II卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
(Ⅲ）①当 时，
∵ ∴
②当 时，
③当 时，∵
∴
故当 时，函数 的值域是
20、解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为 ，∴ ，∴
又每件商品的利润为 元，每天卖出的商品件数为
∴该商品一天的销售利润为
（2）由
令 可得 或
当 变化时， 、 的变化情况如下表：
0
6
11
—
0
+
0
—
759
↘
极小值
↗
极大值975
↘
0
∴当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元
21、
……………9分
由题意得到 ，……………11分
……………12分
22、（14分）已知函数 （a是常数）.
（Ⅰ）若 是函数 的极值点，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时,方程 在 上有两解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）求证: ，且 ．
解：（Ⅰ） ． ，得 ， ，
1、设全集 则右图中阴影部分表示的集合为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、下列函数中与 为同一函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、参数方程 (θ为参数)所表示的图形是( )
A、直线B、射线C、圆D、半圆
4、当 时，则下列大小关系正确的是( )
A 、 B 、
C 、 D 、
5、方程 的图象如图所示，那么函数 的图象是（）