配方法与正定二次型
线性代数：第五章二次型
线性代数：第五章⼆次型第五章⼆次型§1 ⼆次型及其矩阵表⽰⼀、⼆次型及其矩阵表⽰设是⼀个数域,⼀个系数在数域中的的⼆次齐次多项式称为数域上的⼀个元⼆次型，简称⼆次型.定义1 设是两组⽂字，系数在数域P中的⼀组关系式(2)称为由到的⼀个线性替换，或简称线性替换.如果系数⾏列式,那么线性替换(2)就称为⾮退化的.线性替换把⼆次型变成⼆次型.令由于所以⼆次型(1)可写成把(3)的系数排成⼀个矩阵(4)它称为⼆次型(3)的矩阵.因为所以把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，⼆次型的矩阵都是对称的.令或应该看到⼆次型(1)的矩阵A的元素,当时正是它的项的系数的⼀半,⽽是项的系数，因此⼆次型和它的矩阵是相互唯⼀决定的.由此可得,若⼆次型且,则.令,于是线性替换（4）可以写成或者经过⼀个⾮退化的线性替换，⼆次型还是变成⼆次型，替换后的⼆次型与原来的⼆次型之间有什么关系，即找出替换后的⼆次型的矩阵与原⼆次型的矩阵之间的关系.设(7)是⼀个⼆次型，作⾮退化线性替换(8)得到⼀个的⼆次型，⼆、矩阵的合同关系现在来看矩阵与的关系.把（8）代⼊（7），有易看出，矩阵也是对称的，由此即得.这是前后两个⼆次型的矩阵的关系。
定义2 数域P上两个阶矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的⼀个关系，具有以下性质:1) ⾃反性:任意矩阵都与⾃⾝合同.2) 对称性:如果与合同,那么与合同.3) 传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.因此，经过⾮退化的线性替换，新⼆次型的矩阵与原来⼆次型的矩阵是合同的。
这样把⼆次型的变换通过矩阵表⽰出来，为以下的讨论提供了有⼒的⼯具。
最后指出，在变换⼆次型时，总是要求所作的线性替换是⾮退化的。
从⼏何上看，这⼀点是⾃然的因为坐标变换⼀定是⾮退化的。
⼀般地，当线性替换是⾮退化时，由上⾯的关系即得.这也是⼀个线性替换，它把所得的⼆次型还原.这样就使我们从所得⼆次型的性质可以推知原来⼆次型的⼀些性质.§2 标准形⼀、⼆次型的标准型⼆次型中最简单的⼀种是只包含平⽅项的⼆次型. （1）定理1 数域上任意⼀个⼆次型都可以经过⾮化线性替换变成平⽅和（1）的形式.易知，⼆次型（1）的矩阵是对⾓矩阵，反过来，矩阵为对⾓形的⼆次型就只包含平⽅项.按上⼀节的讨论，经过⾮退化的线性替换，⼆次型的矩阵变到⼀个合同的矩阵，因此⽤矩阵的语⾔，定理1可以叙述为：定理2 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.定理2也就是说，对于任意⼀个对称矩阵都可以找到⼀个可逆矩阵使成对⾓矩阵.⼆次型经过⾮退化线性替换所变成的平⽅和称为的标准形.例化⼆次型为标准形.⼆、配⽅法1.这时的变量替换为令,则上述变量替换相应于合同变换为计算，可令.于是和可写成分块矩阵,这⾥为的转置，为级单位矩阵.这样矩阵是⼀个对称矩阵，由归纳法假定，有可逆矩阵使为对⾓形，令,于是,这是⼀个对⾓矩阵，我们所要的可逆矩阵就是.2. 但只有⼀个.这时，只要把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换，就归结成上⾯的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取⾏显然.矩阵就是把的第⼀⾏与第⾏互换，再把第⼀列与第列互换.因此，左上⾓第⼀个元素就是，这样就归结到第⼀种情形.3. 但有⼀与上⼀情形类似，作合同变换可以把搬到第⼀⾏第⼆列的位置，这样就变成了配⽅法中的第⼆种情形.与那⾥的变量替换相对应，取,于是的左上⾓就是,也就归结到第⼀种情形.4.由对称性，也全为零.于是,是级对称矩阵.由归纳法假定，有可逆矩阵使成对⾓形.取，就成对⾓形.例化⼆次型成标准形.§3 唯⼀性经过⾮退化线性替换，⼆次型的矩阵变成⼀个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过⾮退化线性替换后，⼆次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对⾓矩阵，⽽对⾓矩阵的秩就等于它对⾓线上不为零的平⽅项的个数.因之，在⼀个⼆次型的标准形中，系数不为零的平⽅项的个数是唯⼀确定的，与所作的⾮退化线性替换⽆关，⼆次型矩阵的秩有时就称为⼆次型的秩.⾄于标准形中的系数，就不是唯⼀确定的.在⼀般数域内，⼆次型的标准形不是唯⼀的，⽽与所作的⾮退化线性替换有关.下⾯只就复数域与实数域的情形来进⼀步讨论唯⼀性的问题.设是⼀个复系数的⼆次型，由本章定理1，经过⼀适当的⾮退化线性替换后，变成标准形，不妨假定化的标准形是. (1)易知就是的矩阵的秩.因为复数总可以开平⽅，再作⼀⾮退化线性替换(2)(1)就变成(3)(3)就称为复⼆次型的规范形.显然，规范形完全被原⼆次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意⼀个复系数的⼆次型经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.定理3 换个说法就是，任⼀复数的对称矩阵合同于⼀个形式为的对⾓矩阵.从⽽有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等.设是⼀实系数的⼆次型.由本章定理1，经过某⼀个⾮退化线性替换，再适当排列⽂字的次序，可使变成标准形(4)其中是的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平⽅，所以再作⼀⾮退化线性替换(5)(4) 就变成(6)(6)就称为实⼆次型的规范形.显然规范形完全被这两个数所决定.定理4 任意⼀个实数域上的⼆次型，经过⼀适当的⾮退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯⼀的.这个定理通常称为惯性定理.定义3 在实⼆次型的规范形中，正平⽅项的个数称为的正惯性指数；负平⽅项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差.应该指出，虽然实⼆次型的标准形不是唯⼀的，但是由上⾯化成规范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平⽅项的个数与规范形中正平⽅项的个数是⼀致的，因此，惯性定理也可以叙述为：实⼆次型的标准形中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀的，它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.定理5 （1）任⼀复对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：.其中对⾓线上1 的个数等于的秩.（2）任⼀实对称矩阵都合同于⼀个下述形式的对⾓矩阵：,其中对⾓线上1的个数及-1的个数（等于的秩）都是唯⼀确定的，分别称为的正、负惯性指数，它们的差称为的符号差..§4 正定⼆次型⼀、正定⼆次型定义4 实⼆次型称为正定的，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有.实⼆次型是正定的当且仅当.设实⼆次型(1)是正定的，经过⾮退化实线性替换(2)变成⼆次型(3)则的⼆次型也是正定的，或者说，对于任意⼀组不全为零的实数都有.因为⼆次型（3）也可以经⾮退化实线性替换变到⼆次型（1），所以按同样理由，当（3）正定时（1）也正定.这就是说，⾮退化实线性替换保持正定性不变.⼆、正定⼆次型的判别定理6 实数域上⼆次型是正定的它的正惯性指数等于.定理6说明，正定⼆次型的规范形为(5)定义5 实对称矩阵A称为正定的，如果⼆次型正定.因为⼆次型（5）的矩阵是单位矩阵E，所以⼀个实对称矩阵是正定的它与单位矩阵合同.推论正定矩阵的⾏列式⼤于零.定义6 ⼦式称为矩阵的顺序主⼦式.定理7 实⼆次型是正定的矩阵的顺序主⼦式全⼤于零.例判定⼆次型是否正定.定义7 设是⼀实⼆次型，如果对于任意⼀组不全为零的实数都有,那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不是半正定⼜不是半负定，那么就称为不定的.由定理7不难看出负定⼆次型的判别条件.这是因为当是负定时，就是正定的.定理8 对于实⼆次型，其中是实对称的，下列条件等价：（1）是半正定的；（2）它的正惯性指数与秩相等；（3）有可逆实矩阵，使其中；（4）有实矩阵使.（5）的所有主⼦式皆⼤于或等于零；注意，在（5）中，仅有顺序主⼦式⼤于或等于零是不能保证半正定性的.⽐如就是⼀个反例.证明 Th8,设的主⼦式全⼤于或等于零，是的级顺序主⼦式，是对应的矩阵其中是中⼀切级主⼦式之和，由题设，故当时，，是正定矩阵.若不是半正定矩阵，则存在⼀个⾮零向量，使令与时是正定矩阵⽭盾，故是半正定矩阵.Th8记的⾏指标和列指标为的级主⼦式为，对应矩阵是，对任意，有,其中⼜是半正定矩阵,从⽽.若，则P234,12T，存在使与⽭盾，所以.◇设为级实矩阵，且，则都是正定矩阵.◇设为实矩阵，则都是半正定矩阵.证明是实对称矩阵，令，则是维实向量是半正定矩阵，同理可证是半正定矩阵.◇设是级正定矩阵，则时，都是正定矩阵.证明由于正定，存在可逆矩阵，使,,从⽽为正定矩阵.正定⼜正定， ,正定,正定.对称当时，,从⽽正定.当时,所以与合同，因⽽正定.第五章⼆次型(⼩结)⼀、⼆次型与矩阵1. 基本概念⼆次型;⼆次型的矩阵和秩;⾮退化线性替换;矩阵的合同.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换把⼆次型变为⼆次型.(2) ⼆次型可经⾮退化的线性替换化为⼆次型.(3) 矩阵的合同关系满⾜反⾝性、对称性和传递性.⼆、标准形1. 基本概念⼆次型的标准形;配⽅法.2. 基本定理(1) 数域上任意⼀个⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为标准形式.(2) 在数域上，任意⼀个对称矩阵都合同于⼀对⾓矩阵.三、唯⼀性1. 基本概念复⼆次型的规范形;实⼆次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2. 基本定理(1) 任⼀复⼆次型都可经过⾮退化的线性替换化为唯⼀的规范形式的秩.因⽽有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2) 惯性定律:任⼀实⼆次型都可经过⾮退化线性替换化为唯⼀的规范形式的秩,为的惯性指数.因⽽两个元实⼆次型可经过⾮退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4) 实⼆次型的标准形式中系数为正的平⽅项的个数是唯⼀确定的,它等于正惯性指数，⽽系数为负的平⽅项的个数就等于负惯性指数.四、正定⼆次型1. 基本概念正定⼆次型，正定矩阵;顺序主⼦式，负定⼆次型，半正定⼆次型，半负定⼆次型，不定⼆次型.2. 基本结论(1) ⾮退化线性替换保持实⼆次型的正定性不变.(2) 实⼆次型正定①与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵,使得;②的顺序主⼦式都⼤于零.③的正惯性指数等于.。
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法
正定二次型是非常重要的一个概念，其在数学和应用领域都有很多应用。
在代数学中，正定二次型是非常重要的一种二次型，它具有很多独特的性质。
正定二次型在优化，最小
二乘，统计学等领域发挥着重要的作用。
正定二次型的定义相对简单，一个二次型是正定的是指其对于所有的非零向量，都
有 . 即对于任意非零向量，都有，其中是二次型的矩阵表示，是向量的转置。
正定二次型可以看作一个高维空间中的椭球体，其所有的特征值都是正的，代表着在
所有的方向上，都是凸的。
这使得正定二次型在很多问题中具有很好的性质。
正定二次型的判别方法是用来判断一个二次型是否是正定的。
以下是几种常用的判别
方法：
1. 配方法：通过将二次型进行配方法，将其转化为完全平方的和的形式。
如果能够
将二次型转化为完全平方的和的形式，那么它一定是正定的。
2. 主元判定法：通过计算二次型的矩阵的行列式和顺序主子式的符号，可以判断二
次型的正定性。
具体的方法是计算二次型的矩阵的行列式，如果行列式大于0，则二次型
是正定的。
线性代数--第六节和第七节配方法和正定二次型
第五章小结
本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。
称为负惯性指数
T 定义 设有实二次型 f x Ax , 如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定 二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型， 并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。 T 定理 实二次型 f x Ax 为正定的充分 必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。 证 设可逆变换 x Cy使
2 2
2 3
令
x1 2 x2 2 x3 y1 , x 2 x 3 y2 , 即 x3 y3 .
2 1 2 2 2 3
x1 y1 2 y2 , x2 y2 y3 , x y . 3 3
得f y 2 y y .
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3
( x1 2 x2 2 x3 ) 2( x 2 x2 x3 x ) x 2 ( x1 2 x2 2 x3 )2 2( x2 x3 )2 x3
2 2 2 2 3
2 3 2 3
( x1 2 x2 2 x3 ) 2( x2 x3 ) x
线性代数第六章 二次型
令 aji = aij
(i < j)
2 a11x1 + a12x1x2 +L+ a1nx1xn 2 + a21x2x1 + a22x2 +L+ a2n x2 xn
f (x1, x2 ,L xn ) = ,
+L L
2 + an1xn x1 + an2xn x2 +L+ annxn
= ∑∑aij xi xj
a11 a12 L a1n x1 a x a22 L a2n 21 2 f ( x1 , x2 ,L, xn ) = (x1, x2,L, xn ) M M M M an1 an2 L ann xn = XT AX 二次型的矩阵表达式:f (x1, x2 ,L, xn ) = X T AX
第二节 标准形
只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.
2 2 如:f ( x1 , x2 , x3 ) = 3x12 2 x2 + 6 x3
一般,f ( X ) = X AX = ∑∑ aij xi x j
T i =1 j =1
n
n
若 i ≠ j时,aij = 0,则f ( X )是标准形. a1 0 此时,A = M 0 0 a22 0 0 L 0 是对角矩阵. O M L ann L
所以,B是对称矩阵,Y BY 是二次型.
T
f = X T AX = Y T BY
(其中,B = C T AC)
定义2 若n阶方阵A, B存在可逆矩阵C , 使得 C T AC = B, 称矩阵A与B合同.
性质: (1) A与A合同. (2) 若A与B合同,则B与A合同. (3) 若A与B合同,B与C 合同,则A与C 合同.
线性代数14.配方法化二次型、正定二次型
1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有： （1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型， 并称 A 为正定矩阵； （2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵； （3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型， 并称 A 为负定矩阵； （4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，
线代课件§6用配方法化二次型成标准形
4. 配方
最后，我们对每一项进行 配方，得到 $(x-g)^2 = D - g^2$，$(y-f)^2 = D f^2$ 和 $(z-h)^2 = D h^2$。
证明步骤详解
1. 引入配方法
2. 展开式子
这一步是为了将二次型转化为一个更易于处 理的形式，通过引入 $g, f, h$ 和 $D$，使得 二次型可以更容易地被配方。
证明结论总结
• 通过上述的证明过程，我们证明了二次型 $f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2gx + 2fy + 2fz$ 可以被配方法化为标准形 $f(x,y,z) = a(x-g)^2 + b(y-f)^2 + c(z-h)^2 + D$。
05
配方法化二次型成标准形的应 用
配方法简介
01
配方法的定义：通过配方将二次型转化为完全平方的形式 ，从而将其化为标准形的方法。
02
配方法的步骤
03
1. 将二次型中的每一项写成平方项与线性项之和。
04
2. 将二次型中的平方项组合成完全平方项。
05
3. 将二次型中的线性项与完全平方项相加，得到标准形 。
06
配方法的适用范围：适用于任何实数域上的二次型，尤其 在实数域上的一元二次方程求解中有广泛应用。
理解了二次型标准形在解决实际问题 中的应用价值。
对未来研究的展望
深入研究其他化二次型为标准形 的方法，如三角分解法、正交变
换法等。
探索二次型标准形在各个领域的 应用，如物理学、工程学、经济
学等。
进一步研究二次型标准形与矩阵 理论之间的关系，以及其在矩阵 分解和特征值计算等领域的应用。
二次型43388
二次型二次型化为标准型的一般方法： 1、配方法--合同变换（非刚体变换）令x Py =，''''x Ax y P APy y y ==Λ，此时，Λ中对角线上的元素一般不是A 的特征值，且Λ的元素不唯一，但非零元素的个数唯一且等于A 的秩，正负惯性指数唯一。
2、正交变换（刚体变换）先求特征值，特征向量，分别正交化，单位化。
例：（2003（三）13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12。
(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 分析：特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.详解：（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ，解得 1,2ab ==.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(220202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ 对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ 对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵.在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为 .322232221y y y f -+=【评注】 本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：例：05109 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ） 利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ，由二次型的秩为2，知 0200011011=-++-=a a a a A ，得0a =（II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ.解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由Qy x =，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +（III ） 由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：Qy x ==[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. 二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(202022b a a bbaA E +----=+----=-λλλλλλλ 设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ，解得1,2a b ==.正定性的判定()'f x x Ax =正定 ⇔ A 正定 ⇔ () '0n x o R x Ax ∀≠∈⇒> ⇔ A 的特征值全大于零⇔ n 个顺序主子式全大于零 ⇔ A 与单位矩阵合同，即'A U U =，其中U 为可逆矩阵A 正定，1A -正定；*A 正定。
7-3正定二次型
z2 q2
zr2
则 p=q
3、规范形对应的矩阵
f y12 y22
y2p
y2 p1
y2 p2
yr2
1
p个
1
规范形的矩阵
-1
r p个.
(1) 秩为r
-1
0
n r个
0
(2) 对角阵，主对角线上的元素只能为1,0,-1
f = 2y12 - y22 - y32
f 2z12 2z22 2z32
令
w1 w2
2 y1 y2
y1
解得
y2
1 2
w1
w2
Y = CW 可逆，得标准形为f w12 w22 w32.
w3 y3
y3
w3
令
w1 w2
例2 问t满足什么条件时，二次型
f (x1, x2, x3) x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2x3正定.
解：二次型f 的矩阵
1 t 1
A
t
1
2
1 2 5
A1 1 0,
1 A2 t
t 1 t2 0， 1
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同. 证：设A为n阶实对称阵
A正定 实二次型f X T AX 正定 f 的规范形为f y12 y22 yn2. f 的规范形对应的矩阵是单位阵E A与E合同
第四节 正定二次型
方法 1
方法 2
方法 3
11
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x x x x1 x2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
是否是正定二次型.
解法 解法 1 1 用配方法
解法 2 用初等变换法 解法 2
12
2. 顺序主子式法 有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个 二次型是否正定， 为此，引入 定义 9 子式
T T
En 1 O
令
. T T ann GG O
C = C1C2 , ann - TGGT = a ,
28
1 T . 就有 C AC 1 a
两边取行列式， | C |2 | A | = a . 由条件 | A | > 0 得 a > 0 . 这就说明，矩阵 A 与单 位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次 型
5
(2) 非退化实线性变换保持正定性不变. 证明 (2) 设实二次型 f = XTAX 是正定的. 作非退化线性变换 X = CY 得二次型 f = YT( CTAC )Y . ( 因为如果 对任意的 Y0 0，相应 X0 =CY0 0， X0 = 0，则 Y0 = C-1X0 = 0 ) 于是由 f = XTAX 的正定 性， 即得 f = Y0T( CTAC )Y0 = X0TAX0 > 0 .
i 1 j 1
k
k
f (c1 , c2 , , ck ,0x1 , x2 , , xk )
是正定的.
23
因此，由 “正定矩阵的行列式大于零” fk 的矩阵的行列式
0 , k 1, , n . ak1 akk
第4节正定二次型
例 2 判别下列二次形的正定性 1） f ( x1 , x 2 , x3 ) = 5 x1 + x 2 + 5 x3 + 4 x1 x 2 − 8 x1 x3 − 4 x 2 x3
2 2 2
2） f ( x1 , x 2 , x3 ) = 10 x1 − 2 x 2 + 3 x3 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3
解：作非退化线性变换
y1 = −2 x1 + x 2 + x3 y 2 = x1 − 2 x 2 + x3 y = x3 3
得 f ( x1 , x 2 , x3 ) = y1 + y 2 + (− y1 − y 2 ) 2 = 2( y1 +
2 2
1 3 2 y2 ) 2 + y2 2 2
§5.4正定二次型 正定二次型
一、正定二次型
定义 4 设 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是实二次型，若对于任意的一组不全为零的 实数 c1 , c 2 ,L , c n 都有 （1） f (c1 , c 2 ,L , c n ) > 0 ，则称 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是正定二次型； 正定二次型； 正定二次型 （2） f (c1 , c 2 ,L , c n ) < 0 ，则称 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是负定二次型； 负定二次型； （3） f (c1 , c 2 ,L , c n ) ≥ 0 ，则称 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是半正定二次型； 正定二次型； 正定二次型 半负定二次型 （4） f (c1 , c 2 ,L , c n ) ≤ 0 ，则称 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 是半负定二次型； 半负定二次型； 如果 f ( x1 , x 2 ,L, x n ) 既不是半正定的， 也不是半负定的， 则称它是不定的。 不定的。 不定的
第三节正定二次型
惯性定理：设有实二次型f X T AX ,它的秩为r, 它的规范形是唯一的。
f
z2 1
z2 2
z2 p
z2 p 1
z2 p2
z2 r
即r和正惯性系数p对于f都是确定的。
证明：因为r就是二次型矩阵A的秩，所以r是确定的。
现在我们来证明正惯性系数p也是唯一的。
假设二次型可以化成两个规范形
惯性定理可表述成 设有实二次型f xT Ax,它的秩
为r , 有两个实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
及
则k
,
1
相等.
f k1 y12 k2 y22 kr yr2
f 1z12 2 z22 r zr2
k, 中正数的个数与 ,
r
1
ki 0, i 0,
推论3. 对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的特征值 全为正
推论4. 正定矩阵的行列式大于零
证明：设A为正定矩阵，则CTAC = E, 两端求行列式得：
CT A C 1,
A C 2 1
1
A C2 0
定理2 对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A
的各阶顺序主子式为正，即 a11 a1n
例如 f x12 4x22 16 x32 为三元二次型，则它为正定二次型
f x12 3x22 为二元二次型，则它为负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理1 实二次型f X T AX为正定的充分必要条 件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
证明 设可逆变换 X CY使
f Ces k10 k2 0 ks1 kn 0 ks 0.
二次型正定惯性指数
y1 2 3 y2 2 y3 3
1 3
二次型化为
2 2 2 即f y1 y2 10 y3
1.正交替换法求二次型标 准形的步骤：
10 写出二次型矩阵 A, A为实对称矩阵； 20 求出A的全部特征值和对应的 特征向量；
每个特征向量
将f ( x1 , x2 , x3 )
2 2 2 x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3化为标准形. 2 2 2 [ x1 2 x1 ( x2 x3 )] 2 x2 5 x3 6 x2 x3 2 2 ( x1 x2 x3 )2 ( x2 4 x3 4 x2 x3 )
( x1 x2 x3 )2 ( x2 2 x3 )2
y x x x 1 1 2 3 令 y2 x 2 2 x 3 y3 x 3
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) y1 y2
x1 y1 y2 y3 x 2 y2 2 y 3 x y 3 3
2 2 E A 2 5 4 2
2
2 4 ( 1) ( 10)
2
1
5
4 特征值： 1 2 1, 3 10 5
1 3 10 : 3 2 2
再将 1 , 2 , 3 单位化,得 2 2 2 1 3 5 5 3 5 2 4 1 4 2 4 x 4 3 5 x 3 x 1 1 1 3 1 2 2 1 1 1 2 5 5 5 2 0 5 3 0 1 3 对应于10 将1,2正交化得
第七节 正定二次型(吕)
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax , 如果对任何 次型 , 并称对称矩阵 A是正定的 ;如果对任何 x ≠ 0 都有 f ( x ) < 0, 则称 f为负定二次型 , 并称对称矩阵 A是负定的 . x ≠ 0, 都有 f ( x ) > 0(显然 f (0 ) = 0 ), 则称 f为正定二
A 0 x z Cz = ( x , y ) 0 B y
T T T
= x T Ax + y By > 0,
T
且C是实对称阵 , 故C为正定矩阵 .
例4 判定下列二次型的正定性． 判定下列二次型的正定性 二次型的正定性．
2 2 2 (1)f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 5 x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3
则把f 化成了系数为１或－１的更简单形式
2 f = y12 + L + y 2 − y 2 +1 − L − yｒ p p
称其为f 的规范型，它是唯一的．
惯性定理
( P196 定理 定理6.3.1 )
在二次型的标准形中，正项个数与负项个数 在二次型的标准形中， 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一。 二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数 负惯性指数. 正惯性指数 负项个数称为二次型的负惯性指数
例如 f = x 2 + 4 y 2 + 16 z 2 为正定二次型
2 2 f = − x1 − 3x2
为负定二次型
正定二次型的判定方法
正定二次型的判定方法首先，介绍一下什么是正定二次型。
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，其中A为n阶对称矩阵。
这意味着二次型的值对于所有非零向量都是正的，反之，若存在一些非零向量使得二次型的值为负或0，则称为负定二次型或半定二次型。
接下来，我们来介绍正定二次型的判定方法，包括特征值法、配方法、主元法等。
1.特征值法：特征值法是判定二次型正定性的重要方法。
首先求矩阵A的特征值λi及其对应的特征向量xi，然后判断特征值是否全部大于0。
如果全部大于0，则二次型是正定的；如果有一个特征值小于等于0，则二次型不是正定的。
2.配方法：配方法是判定二次型正定性的常用方法。
对于n阶矩阵A，通过对A进行合同变换，将A化为对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P为可逆矩阵，D为对角矩阵。
若D的对角元素d1, d2, ..., dn全大于0，则二次型是正定的。
否则，若存在一些对角元素di小于等于0，则二次型不是正定的。
3.主元法：主元法也是一种常用的判定正定二次型的方法。
将n阶对称矩阵A化为标准型，即E=T^TAT，其中E为对角矩阵，T为可逆矩阵。
对于标准型E，若E的主对角线元素全大于0，则二次型是正定的。
若存在一些主对角线元素小于等于0，则二次型不是正定的。
4.结构法：结构法是一种基于矩阵A的结构特点进行判定的方法。
对于n阶对称矩阵A，若存在n个线性无关的向量，将其拼接为矩阵B，即B=[b1,b2, ..., bn]，且满足B^TAB是对角矩阵，则二次型是正定的。
否则，二次型不是正定的。
以上是常见的几种判定正定二次型的方法，下面我们通过一个具体的例子来演示这些方法。
设二次型Q(x)=x^TAx=x1^2+4x1x2+3x2^2，其中A是2阶对称矩阵。
我们通过以上方法来判定二次型的正定性。
1.特征值法：求矩阵A的特征值λi及其对应的特征向量xi，有：1-lambda, 22, 3-lambda解特征方程det(A-lambdaI)=0，得到特征值为λ1=4和λ2=0。
配方法与正定二次型
( P 0)
标准型为:
2 2 f y12 y2 9 y3
第十五讲：配方法与正定二次型
例2 化二次型
2 2 f x12 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
所用变换矩阵为
f y y
2 1
2 2
1 1 1 P 0 1 2 , 0 0 1
（|P|=1≠0）
第十五讲：配方法与正定二次型
二、正定二次型的概念 1.惯性定理： 定理11 设有实二次型 f xT Ax , 它的秩为 r ，有两个实可逆 变换 使 及
P T , 则：A U T U .结论成立。 n
x T U T Ux (Ux )T (Ux )， U nn xn1 qn1 q1 , q2 , qn
x 0,U可逆 Ux 0,即q 0, f 0 即f x T Ax为正定二次型
1 P 1 n PT n
充分性：设U为可逆矩阵，A U T U，f ( x ) x T Ax
2 f ( x ) qT q q12 q22 qn 0
1 令U
第十五讲：配方法与正定二次型
4.负定判定方法： 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶主子式
为负，而偶数阶主子式为正，即 a11 a12 a1 r
a21 1
r
a22 a2 r 0,
r 1,2 , ,n.
an1 an 2 arr 这个定理称为霍尔维茨定理. 2 2 2 f 5 x 6 y 4 z 4 xy 4 xz 的正定性. 例5 判别二次型
配方法与正定二次型解PPT34页
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
配方法与正定二次型解
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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i A正定, i 0, A 0,
A
i 25 （ 2 ）证：设f1 x T Ax , f 2 x T Bx , ,
0, i 1,, n. A*的特征值均为正，即正 定。
则; f ( x ) x T ( A B ) x x T Ax x T Bx , A、B正定， x , f1 ( x ) x T Ax 0, f 2 ( x ) x T Bx 0 f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x ) 0. A B正定。
第十五讲：配方法与正定二次型
4.负定判定方法： 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶主子式
为负，而偶数阶主子式为正，即 a11 a12 a1 r
a21 1
r
a22 a2 r 0,
r 1,2 , ,n.
an1 an 2 arr 这个定理称为霍尔维茨定理. 2 2 2 f 5 x 6 y 4 z 4 xy 4 xz 的正定性. 例5 判别二次型
2 x1 x2 2 x3 2 x2 x3 9 x3 2 2
x
1
x2 2 x3
2
4 x 4 x2 x3 8 x
2 2
2 3
令
第十五讲：配方法与正定二次型 1 5 y1 x1 x2 2 x3 x1 y1 2 y2 2 y3 1 1 y2 2 x2 x3 即 x2 y2 y3 2 2 y3 x3 x3 y3
第十五讲：配方法与正定二次型 15.设 3阶实对称矩阵A的特征值为6， 3， 3。特征值6对应的
特征向量为p1 1, 1, 1 , 求A.
T
解 设 1 6, 2 3 3, 由于实对称矩阵对于不同特征值对应的特征向量互相正交, T 则对应于 2 , 3 的特征向量 p2 , p3 满足方程: p1 x 0,
f x 5 x 4 x 2 x1 x2 4 x1 x3
2 1 2 2 2 3
成标准型，并求所用的变换矩阵.
2 2 f x12 5 x2 4 x3 2 x1 x2 4 x1 x3
x 2 x1 ( x2 2 x3 ) 5 x 4 x
2 1 2 2
三、正定二次型的判定方法： 1.标准型系数法： 定理12 实二次型f x T Ax 正定的充分必要条件是：它的标 准形的 n 个系数全为正.
第十五讲：配方法与正定二次型
2.特征值判定方法 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的 推论 特征值全为正 分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成 了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特 征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。 3.主子式判定方法： （1）什么是主子式 沿主对角线，从 a11开始，依次计算的 1、 2、 n阶行列式 a11 a12 a1 n a11 a12 a21 a22 a2 n a11 a11 , a21 a22
P T , 则：A U T U .结论成立。 n
x T U T Ux (Ux )T (Ux )， U nn xn1 qn1 q1 , q2 , qn
x 0,U可逆 Ux 0,即q 0, f 0 即f x T Ax为正定二次型
2 1 2
2 3
2
2 2 [ x 2 x1 ( x2 2 x3 ) x2 2 x3 ] x2 2 x3 5 x2 4 x3
2 2 x1 x2 2 x3 [2 x2 2( 2 x2 ) x3 x3 ] 9 x3 2 2
第十五讲：配方法与正定二次型
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的
掌握二次型及标准型定义，掌握二次型的矩阵表 达式，理解合同矩阵定义与性质，理解二次型化 成标准型的基本原理和方法，会用配方法化二次 型为标准型
二次型化成标准型 同上 讲练结合 对称矩阵对角化方法－二次型及矩阵形式－标准 型、合同矩阵与性质－化标准型的基本方法－练 习－配方法练习 复习对称矩阵对角化方法：15分钟；二次型概念： 15分钟；合同矩阵及性质：30分钟；二次型化标 准型方法：35分钟；机动：5分钟
成标准型，并求所用的变换矩阵. 解
2 2 f x12 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3
x1 x2 x3
2
2 2 2 2 x2 x3 2 x2 x3 2 x2 5 x3 6 x2 x3
x1 x2 x3 x22 4 x32 4 x2 x3
25.试证：（ 1 ）A正定，则A1与A*也正定； （ 2 ）A与B均为n阶正定矩阵，则( A B )也为正定矩阵。
证：（ 1) A正定， A的特征值全为正。且存 在P正交， 使得：P 1 AP .即： ( P 1 AP )1 1 . P 1 A1 P 1 .设 diag(1 ,, n ), 则： diag(
所用变换矩阵为
f y y
2 1
2 2
1 1 1 P 0 1 2 , 0 0 1
（|P|=1≠0）
第十五讲：配方法与正定二次型
二、正定二次型的概念 1.惯性定理： 定理11 设有实二次型 f xT Ax , 它的秩为 r ，有两个实可逆 变换 使 及
1 1 n PT n
充分性：设U为可逆矩阵，A U T U，f ( x ) x T Ax
2 f ( x ) qT q q12 q22 qn 0
1 令U
－ 1
1
1
,,
1
n
)。
A1与1相似， A1的特征值与1的相同， 1 1 1 为： ,, 。 i 0, 0,
1
n
i
i 1,2,, n.特征值均为正，即 A1正定。
第十五讲：配方法与正定二次型
AA* A E , A* A A1 . P 1 A A1 P A 1 即：P 1 A* P A 1，即：A* A A1与 A 1相似。 A 特征值相同，为： , i 1,, n.
分别称为 1,2,n阶主子式
an1
an 2 ann
第十五讲：配方法与正定二次型
（2）主子式判定定理
定理13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主 子式都为正，即
a11 0,
a11
a12
a21 a22
0, ,
a11 a21 an1
a12 a1 n a22 a2 n 0; an 2 ann
是正定的,则
2 解: A 1 0 1 1 t 2
t (
0 t 2 1
).
A1 2 2 0
A2 2 1 1 1 1 0
2 1 A3 1 0 1 t 2
0 t t2 1 0 2 2 1
2 t 2
第十五讲：配方法与正定二次型
2
令 y y
1
x1 x2 x3 x2 2 x3 x1 y1 y2 y3 y x x x
2 2
2
3
x2 2 x3
x3
1
2
3
即
x 2 y2 2 y3 x 3 y3
第十五讲：配方法与正定二次型
就把 f 化成标准形
x1 即 1,1,1 x2 0, x 3 1 1 x1 x2 x3 0. 得基础解系 P 1 , P 0 . 3 2 0 1 1 1 1 1 2 1 1 [ p3 , 1 ] 正交化1 1 , 2 p3 1 0 1 [1 , 1 ] 2 0 1 2 0 1
负（含零）系数的个数 称为负惯性指数
第十五讲：配方法与正定二次型 该定理说明了： （1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所
含的项数是确定的（即是二次型的秩）。 （2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个 数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也 不变 （3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知， 一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好 是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的 个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯 性指数
1 P 0 0 1 2 1 2 0 5 2 1 2 1
( P 0)
标准型为:
2 2 f y12 y2 9 y3
第十五讲：配方法与正定二次型
例2 化二次型
2 2 f x12 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
第十五讲：配方法与正定二次型
T f x x Ax , 如果对任何 x 0 ， 定义9 设有实二次型 则称 f 为正定二次型， 都有 f x >0 （显然 f (0) = 0），
2.正定二次型的定义：
f x 0 则称为负定二次型,
并称对称矩阵 A 是正定的； 如果对任何 x 0 ，都有 并称对称矩阵 A 是负定的.
作业
练习册
第39 页－41页
重点 难点 讲授方法
讲授内容 主线
时间安排
第10题 至 第13题
第十五讲：配方法与正定二次型
本次课讲完大纲规定全部内容， 下次课进行全书总结并讲授一套模拟 训练题 本次上课交作业P49—P50,T20可暂不 做，课堂上讲
第十五讲：配方法与正定二次型