第九章 光孤子

sec h(ξ / τ ) =
eξ /τ
2 + e −ξ / τ
放大介质
dA 1 = α sin A dz 2
A = (2n + 1)π
稳定
对于给定的初始面积，随着 的增加脉冲面积将趋向 对于给定的初始面积，随着z的增加脉冲面积将趋向 最近的奇数倍π。
9.3 光纤中孤立子的形成机理
光学孤子 空间孤子 时间孤子 当光场在光纤中传播时， 当光场在光纤中传播时，由于光纤的色散效应会发 生脉冲展宽。 生脉冲展宽。 当强光在光纤中传播时，会引起一系列的非线性效 当强光在光纤中传播时， 其中之一就是压缩脉冲宽度。 应，其中之一就是压缩脉冲宽度。 当展宽作用与压缩作用恰好抵消时， 当展宽作用与压缩作用恰好抵消时，光脉冲形状保 持不变。光纤孤子。 持不变。光纤孤子。
δω < 0 δω > 0
dvg dω
>0
脉冲前沿速度变小， 脉冲前沿速度变小，脉冲后沿速度变大 脉冲压缩
当展宽作用与压缩作用恰好抵消时，光脉冲形状保 当展宽作用与压缩作用恰好抵消时， 持不变。（时间孤子） 。（时间孤子 持不变。（时间孤子） 空间孤子 空间衍射 克尔效应
n = n0 + n2 I
吸收介质
w(0) = −1
（1）对于弱的光脉冲 ）
dA 1 = − α sin A dz 2
sin A ≈ A
A( z ) = A(0)e−α z / 2
正常吸收的比尔定律 （2）对于高功率的光脉冲 ）
tan
A( z ) A(0) −α z / 2 = tan e 2 2
lim A( z ) = 2nπ
z ξ= 9 10 λ 10−4.5 z τ= (t − ) (−λ k ′′)1/ 2 vg
u = 104.5 (π n2 )1/ 2 E0
无量纲化的非线性薛定谔方程 ∂u 1 ∂ 2u 2 + + u u=0 i ∂ξ 2 ∂τ 2 若考虑损耗 ∂u 1 ∂ 2u 2 i + + u u = −iΓu ∂ξ 2 ∂τ 2
d 2k k ′′ = dω 2
ω =ω0
1 dvg =− 2 vg d ω
ω =ω0
引入以群速度移动的参考系
T =t−
Fra Baidu bibliotek
z vg
∂ k ′′ ∂ 2 ( +i ) E0 ( z, T ) = 0 2 ∂z 2 ∂T
研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程
∂ k ′′ ∂ 2 ( +i ) E0 ( z, T ) = 0 2 ∂z 2 ∂T
对于线性啁啾高斯脉冲
1 + iC T 2 E0 ( z = 0, T ) = exp(− ) 2 2 T0
C>0 C<0
正啁啾，前沿 低频 后沿-高频 低频， 正啁啾，前沿-低频，后沿 高频 负啁啾，前沿 高频 后沿-低频 高频， 负啁啾，前沿-高频，后沿 低频
脉宽随传输距离的变化： 脉宽随传输距离的变化：
ω =ω0
d 2k k ′′ = dω 2
ω =ω0
1 dvg =− 2 vg d ω
ω =ω0
d 2k k ′′ = dω 2
ω =ω0
λ 3 d 2n = 2π c 2 d λ 2
<0 >0
k ′′ > 0 k ′′ < 0
dvg dω dvg dω
d 2n >0 2 dλ
d 2n <0 2 dλ
设光脉冲在光纤中传播长度为l ，则由克尔效应引起的相位移动为
∆φ =
λ0
n2 Il
自相位调制 附加相位引起的频移
δω = −
∂∆φ 2π ∂I =− n2l λ0 ∂t ∂t
附加相位引起的频移
δω = −
脉冲前沿 脉冲后沿 反常色散
∂∆φ 2π ∂I =− n2l λ0 ∂t ∂t
∂I >0 ∂t ∂I <0 ∂t
E ( z , t ) = Re{E0 ( z , t )ei[ω0t − kz ]}
nω0 k= c
极化强度
1 P( z, t ) = 2π
∫
∞
−∞
P( z , ω )eiωt d ω
P( z , ω ) = ε 0 χ (ω ) E ( z , ω )
n = 1 + χ (ω )
研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程
自聚焦
空间衍射与自聚焦相平衡时，产生空间孤子。 空间衍射与自聚焦相平衡时，产生空间孤子。
脉冲啁啾 脉冲的不同部位具有不同频率的现象称为脉冲的频率啁啾。 脉冲的不同部位具有不同频率的现象称为脉冲的频率啁啾。 正啁啾，前沿 低频 后沿-高频 低频， 正啁啾，前沿-低频，后沿 高频 负啁啾，前沿 高频 后沿-低频 高频， 负啁啾，前沿-高频，后沿 低频 无啁啾脉冲， 无啁啾脉冲，脉冲各部分频率成分相同 自相位调制 色散 光谱超连续 线性啁啾
正常色散
反常色散
群延时
1 τg = vg
τ g ≠ constant
总的群延时差
群延时差
∆τ = ∆τ m + ∆τ n + ∆τ w
∆τ m ∆τ n ∆τ w
多模色散 光纤材料色散 光纤波导结构色散引起
∆τ m >> ∆τ n > ∆τ w
克尔效应
n = n0 + n2 I n0 n2
2π
线性折射率 克尔系数
z →∞
dA 1 = − α sin A dz 2
A = 2nπ
稳定
对于面积大于π的脉冲，其面积向最近的偶数倍π接 的脉冲， 此后面积不变。 近，此后面积不变。
吸收介质： 吸收介质：
A = 2nπ
稳定
面积定理不能区分2 ， ， 的脉冲， 面积定理不能区分 π， 4π，6 π的脉冲，进一步的数值计算 和实验证明， 波形是稳定的， 和实验证明，只有2π波形是稳定的， 4π，6 π的脉冲波形是 ， 的脉冲波形是 不稳定的，在吸收介质中传播时会发生分裂。 不稳定的，在吸收介质中传播时会发生分裂。 对于2 脉冲，布洛赫矢量转角是2π ，回到原来位置。吸收 回到原来位置。 对于 π脉冲，布洛赫矢量转角是 介质不能从光脉冲中得到能量。 介质不能从光脉冲中得到能量。并且由于存在脉冲与吸收介 质交换能量的过程， 质交换能量的过程，使得脉冲的传播速度小于光波在介质中 的相速度。 的相速度。 自感应透明脉冲是面积 2π的双曲正割脉冲。 的双曲正割脉冲。 的双曲正割脉冲
9.4 光纤中孤立子的非线性薛定谔方程
从麦克斯韦方程出发， 从麦克斯韦方程出发，得到波动方程 ur ur u r 2 2 ur 1 ∂ E ∂E ∂ P ∆ E − 2 2 − µ 0σ = µ0 2 , c ∂t ∂t ∂t 不考虑损耗项和横截面上的光场变化时
∂2 E ∂2E ∂2 P − µ 0ε 0 2 = µ 0 2 , 2 ∂z ∂t ∂t
负啁啾，前沿 高频 后沿-低频 高频， 负啁啾，前沿-高频，后沿 低频 存在脉宽变窄的条件： 存在脉宽变窄的条件： Ck ′′ < 0 即 C > 0 k ′′ < 0 C < 0 k ′′ > 0
C<0
图中 β 2 (k ′′)
若考虑克尔效应 ω ∂ 1 ∂ k ′′ ∂ 2 2 ( + +i − i 0 n2′ E0 ) E0 ( z, t ) = 0 ∂z vg ∂t 2 ∂t 2 c 无量纲化
Ck ′′z 2 k ′′z 2 T1 ( z ) = T0 (1 + 2 ) + ( 2 ) T0 T0
存在脉宽变窄的条件： 存在脉宽变窄的条件：
Ck ′′ < 0
1 + iC T 2 对于线性啁啾高斯脉冲 E0 ( z = 0, T ) = exp(− ) 2 2 T0 正啁啾，前沿-低频 后沿-高频 低频， 正啁啾，前沿 低频，后沿 高频 C>0
光纤横截面结构
色散
脉冲展宽
k =n
ω
c
1 k = k0 + k ′(ω − ω0 ) + k ′′(ω − ω0 )2 +L 2
dk 1 k′ = = dω ω =ω0 vg
d 2k k ′′ = dω 2
ω =ω0
ω =ω0
d 1 = ( ) d ω vg
ω =ω0
1 dvg =− 2 vg d ω
1 E0 ( z , T ) = 对光场傅里叶变换： 对光场傅里叶变换： 2π
∫
∞
−∞
A0 ( z , ω )eiωT d ω
∂A0 ( z, ω ) k ′′ 2 = i ω A0 ( z, ω ) 2 ∂z k ′′ 2 A0 ( z, ω ) = A0 (0, ω ) exp(i ω z ) 2
9.2 自感应透明
共振吸收介质对入射的强激光脉冲的透过率与光脉冲 的面积值大小有关。从面积定理中知道， 的面积值大小有关。从面积定理中知道，当入射光脉冲面 积为π的偶数倍时 的偶数倍时， 积为 的偶数倍时，光脉冲在共振吸收介质中传播其面积 值不变，即介质对光脉冲呈现出完全透明的特点。 值不变，即介质对光脉冲呈现出完全透明的特点。 面积定理 定义整个光脉冲的面积 A( z ) = lim θ ( z , t ) = t →∞
色散长度
T0 2 LD = k ′′
对于初始无啁啾高斯脉冲
T1 ( z ) = T0 1 + ( z / LD ) 2
T0 2 LD = k ′′
对于初始无啁啾高斯脉冲， 对于初始无啁啾高斯脉冲，无论在光纤的正常色散 区域还是反常色散区域，对于一给定的色散长度， 区域还是反常色散区域，对于一给定的色散长度， 脉冲有相同的展宽量。 脉冲有相同的展宽量。
对于其他非线性介质 如飞秒激光与空气相互作用的非线性薛定谔方程： 如飞秒激光与空气相互作用的非线性薛定谔方程：
Phys. Rev. Lett. 92, 225002 (2004).
h∫
µ
+∞
−∞
E0 ( z , t ′)dt ′
dA 1 = w(0)α sin A dz 2
其中
α=
ωπµ0 N ′µ 2c
nh
g (0)
面积定理
dA 1 = w(0)α sin A dz 2
w(0) = −1
吸收介质
dA 1 = − α sin A dz 2
w(0) = 1
放大介质
dA 1 = α sin A dz 2
对于初始无啁啾高斯脉冲
T2 E0 ( z = 0, T ) = exp(− 2 ) 2T0
可以求得
T2 exp(− ) E0 ( z, T ) = 2 2 2(T0 − ik ′′z ) T0 − ik ′′z T0
脉宽随传输距离的变化： 脉宽随传输距离的变化：
T1 ( z ) = T0 1 + ( z / LD ) 2
孤立波 solitary wave 从波动观点看， 从波动观点看，孤立波是传播过程中保持自身形态不变的定域 化的波。并且两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变。 化的波。并且两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变。 孤立子 soliton 从粒子观点看，孤立子是能量被集中在有限时间和空间的 从粒子观点看， 孤立波。并且两个孤立子间发生碰撞， 孤立波。并且两个孤立子间发生碰撞，碰撞后它们各自的 能量不会随时间扩散，保持着原来的速度和形状。 能量不会随时间扩散，保持着原来的速度和形状。 孤立波问题涉及到自然界中的各方面现象， 孤立波问题涉及到自然界中的各方面现象，并且有若 干类非线性波动方程都存在稳定的孤波解。 干类非线性波动方程都存在稳定的孤波解。 光学领域：自感应透明，光纤孤子。 光学领域：自感应透明，光纤孤子。
第九章 光学孤立子
9.1 孤立子的概念
1834年，英国造船工程师罗素观察到一个奇妙的 年 现象：由两匹马拉着的一只船在窄河道中急速行驶， 现象：由两匹马拉着的一只船在窄河道中急速行驶， 当船突然停止时，有一圆滑的、 当船突然停止时，有一圆滑的、轮廓分明的孤立突起 波形离开船头继续前进，并保持形状不变。 波形离开船头继续前进，并保持形状不变。称之为 孤立波” “孤立波”。 1895年，科特维格和德夫瑞斯为解释一维浅水水 年 波建立一个非线性微分方程，称为KdV方程，该方程 方程， 波建立一个非线性微分方程，称为 方程 有一个解刚好对应于罗素所看到的孤立波。 有一个解刚好对应于罗素所看到的孤立波。 1965年，扎布斯基和克鲁斯卡尔发表论文，发 年 扎布斯基和克鲁斯卡尔发表论文， 现两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变， 现两个孤立波碰撞前后波形和速度都保持不变，说 明孤立波有明显的粒子性，并由此提出“孤立子” 明孤立波有明显的粒子性，并由此提出“孤立子” 一词。 一词。
∂ 1 ∂ k ′′ ∂ 2 ( + +i ) E0 ( z, t ) = 0 2 ∂z vg ∂t 2 ∂t
研究光脉冲在有色散的线性介质中传输的基本方程
∂ 1 ∂ k ′′ ∂ 2 ( + +i ) E0 ( z, t ) = 0 2 ∂z vg ∂t 2 ∂t
其中
1 dk = vg dω ω =ω0