2018届高三高考数学中求轨迹方程的常见方法(含答案)

高考数学中求轨迹方程的常见方法
一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1 已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2
x PB PA =⋅，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
解：),3(),,2(y x PB y x PA --=---= ，2)3)(2(y x x PB PA +---=⋅∴
226y x x +--=. 由条件，2226x y x x =+--，整理得62+=x y ，此即点P 的轨迹方程，所以P 的
轨迹为抛物线，选D.
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例 2 已知ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若b c a ,,依次构成等差数列，且
b c a >>，2=AB ，求顶点C 的轨迹方程.
解：如右图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原
点建立直角坐标系. 由题意，b c a ,,构成等差数列，∴b a c +=2， 即4||2||||==+AB CB CA ，又CA CB >，∴C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1,2='='c a ，
3='b ，故C 的轨迹方程为)2,0(13
42
2-≠<=+x x y x .
三、代入法
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P 的坐标y x ,来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P 的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例3 如图，从双曲线1:2
2
=-y x C 上一点Q 引直线
2:=+y x l 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
解：设),(),(11y x ，Q y x P ，则)2,2(11y y x x N --. N
.22211=-+-∴y y x x ① 又l PN ⊥得
,11
1
=--x x y y 即011=-+-x y y x .②
联解①②得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=22
322311
x y y y x x .又点Q 在双曲线C 上，1)223()223(22=-+--+∴x y y x ，化简整理得：01222222=-+--y x y x ，此即动点P 的轨迹方程.
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.
解：由平面几何知识可知，当ABM ∆为直角三角形时，点M 的轨迹是以AB 为直径的圆.此圆的圆心即为AB 的中点)1,1(--，半径为
2
5221=AB ，方程为13)1()1(2
2=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x .
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标y x ,间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到y x ,间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例 5 过抛物线px y 22
=（0>p ）的顶点O 作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.
解：设),(y x M ，直线OA 的斜率为)0(≠k k ，则直线OB 的斜率为k
1
-
.直线OA 的方程为kx y =，由⎩⎨⎧==px y kx y 22解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=
=k
p
y k p
x 222，即)2,2(2k p k p A ，同理可得)2,2(2pk pk B -.
由中点坐标公式，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=pk k p y pk k p x 2
2
，消去k ，得)2(2p x p y -=，此即点M 的轨迹方程. 六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线122
22=-b
y a x 于
M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与
N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状
.
解：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得 直线M A 1的方程为)(11a x a x y y ++=
①；直线N A 2的方程为)(11
a x a
x y y -+-=②. ①×②得)(2
22
21212
a x a
x y y ---=③. 又,1221221=-b y a x )(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(2
2222
a x a
b y --=，化简得12222=+b
y a x ，此即点P 的轨迹方程. 当b a =时，点P 的轨迹是以原点为
圆心、a 为半径的圆；当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆.
高考动点轨迹问题专题讲解
（一）选择、填空题
1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段
2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是
（A ）
22125169x y +=（0x ≠） （B ）22
1144169x y +=（0x ≠） （C ）
22116925x y +=（0y ≠） （D ）22
1169144
x y +=（0y ≠） 3．与圆2
2
40x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；
4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线
22
1169
x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；
5．已知圆C
：22
(16x y +=
内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平
分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2
214
x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶
点C 的轨迹方程是 ；
22
1916
x y -=（3x >）
变式：若点P 为双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；
推广：若点P 为椭圆
22
1259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；
7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．2
12y x =
8．抛物线2
2y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
4
k
x =（28k y >） 9．过抛物线2
4y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，
设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，
2
(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222
(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有
21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨
⎪=-=⎪⎩
消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足
所求方程．
故所求轨迹方程为2
2(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
由2112224,4.
y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，
当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1
PQ MF y
k k x ==-，
所以，21
y
y x ⋅
=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为2
2(1)y x =-．
10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 2
2y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-
（二）解答题
1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆2
2
(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）
2．过椭圆
22
1369
x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．
3．已知1A 、2A 是椭圆22
221x y a b +=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和
2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）
4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足
||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．
（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，
试求k 的取值范围．
解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33
x y G ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3
x M ．
∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴
=，即 2213
x y +=． 故点C 的轨迹方程为2
213
x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22
,
3 3.
y kx b x y =+⎧⎨
+=⎩消y ，得222
(13)63(1)0k x kbx b +++-=．
∴ 22
2
2
3612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22
130k b +->． ①
又122
613kb
x x k
+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 22
3(,)1313kb b
N k k -
++．
∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1AN
k k =-，即 22
1113313b
k kb k k ++=--
+， ∴ 2132k b +=，又由①式可得 2
20b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．
∴ 20134k <+<且2
132k +≠，解得11k -<<
且k ≠． 故k 的取值范围是11k -<<
且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）
（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．
解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,
48MP MN y ⋅=+．
4PN MN x ⋅=……………………………………………3分
∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y +=整理，得 2
8x y =． 即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为2
8x y =．
6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、
N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1
()2
ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．
解：∵0MN AF ⋅=，1
()2
ON OA OF =+，
∴ MN 垂直平分AF ．
又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，
∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，
∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 2
2
2
2
1b a c m =-=-．
∴ 点M 的轨迹W 的方程为22
22
11
x y m m +=-（1m >）． 7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，
(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．
（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）
（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．
解：（1）
22
11216
x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．
0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．
故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．
由223,1,1216
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，
且1221843k x x k +=-
+，12
2
21
43x x k =-+，
OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．
若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．
1122(,),(,)OA x y OB x y ==，
∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．
即2
1212(1)3()90k x x k x x ++++=．
222
2118(1)()3()4343k k k k k +⋅-
+⋅-++ 90+=．2
516
k =，得54k =±． 故存在直线l ：5
34
y x =±
+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；
（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=， 当
3
4
πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围． 解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ， 则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．
∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2
x M ． ∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02
x x y -⨯+-⨯-=，
即所求点P 的轨迹方程为2
4x y =．
（2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠
设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y
由⎩⎨⎧=+=y
x kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k
x x …………7分 9)4
(442212
22121==⋅=
∴x x x x y y 646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分
)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA
8
41
649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x
)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(2
22121+=+++=+++=k k y y y y
4216484|
|||cos 2
222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA FB
FA θ…………10分 由于
πθπ
<≤43 224
2122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 22224
2222≥∴≥
++∴k k k
解得4488-≤≥k k 或…………13分
∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或
9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；
（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-
，且||AB ≤≤l 的斜率
k 的取值范围．
解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，
(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2
y
PF =-，
又0PM PF ⋅=，∴2
04
y
x -+
=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． 10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=． （1）求P 点轨迹E 的方程；
（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆2
2
(1)1
x y ++=
的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．
解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、
(, )MP x a y =-．
由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,
, ,
2
a b x
a b y ⎧+=⎪
⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =，
故动点P 的轨迹方程为2
14
y x =
． 11
．如图()A m 和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12
OA OB ⋅=-
， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．
（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？
（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、
N 两点，且3ME EN
=，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22
OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-， ∴ 14
mn =
． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB
=+得
(,)(
)(,)x y m n =+(
))m n m n =+-，
∴,)
x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，
又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3
y x x -=>．
它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2
2
13
y x -=的右支．
（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得 2
2
3(2)3ty y +-= 即 2
2
(31)1290t y ty -++=
，
易知2
(31)0t -≠（否则，直线l 的斜率为
又2
2
2
14436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，
设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212
22129,31
31
t y y y y t t -+==--
∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧
2
12121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131
t t t t t t t -+=⋅
+⋅+=->---， ∴ 2
310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103
t <<，
由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 1212
23(2)
3x x y y -=-⎧⎨-=⎩
由122222
123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631
t y t =-，
由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得2
22331
y t =--，
消去2y 得
2222363(31)31
t t t =--- 解之得：2115t = ，满足2103t <<．
故所求直线l
0y --=
0y +-=．
12．设A ，B
分别是直线5y x =
和5
y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．
（I ） 求轨迹C 的方程；
（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围． 解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B
分别为直线y x =
和y x =上的点，故可设
11()A x x
，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，
∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩
．
∴1212,
x x x x x y +=⎧⎪
⎨-=⎪⎩．
又20AB =
， ∴2212124
()()205
x x x x -++=．
∴22
542045
y x +=． 即曲线C 的方程为
2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．
∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25
s 1,16
t 25s 2
222
2λλλ
消去s 得
116
)1616t (16)
t 16(2
22=+-+-λλλ．
由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 1715
2t λλ
-=． 又 4t ≤， ∴
421517≤-λλ． 解得 3
5
53≤≤λ（1≠λ）．
故实数λ的取值范围是3
5
53≤≤λ（1≠λ）．
13．设双曲线22
213
y x a -
=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1
）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（y x =±
） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是
什么曲线．（
22
317525
x
y +=） 提示：||1010AB =
⇒
=，又11
y x =，22
y x =， 则1221)3y
y x x +=
-，2112)3
y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．
（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）
14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =
，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知
||2PF d =，且23
32
d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程；
15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22
:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．
（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）
（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（2
2
220x y y +-=（0y ≠））
16．双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且
22224
||||||||3
OA OB OA OB +=
⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．
解：（I ）依题意有：22
22222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪
⎪+=⎨⎪
⎪+=⎪⎩
解得：.2,3,1===c b a
所求双曲线的方程为.13
2
2
=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分
当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1
y x b k
=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组
由221y x b,k
3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩
消去y 得2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………9分 显然2
3k 10-≠，∴2222
(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即2
2
2
k b 3k 10+->． ①
设线段MN 中点D （00x ,y ）
则022
02kb x ,3k 13k b y .
3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b 43k 13k 1-=+--．即22
k b=3k 1- ② 把②带入①中得 2
2
2
k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．
∴223k 10k ->或22
3k 1<-1k -
．即k >或1
k 2
<，且k≠0
． ∴k 的取值范围是113
(,(,0)(0,)(,)3223
-∞--+∞．…………………14分
17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足
OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数.
（Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；
（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤2
2
，求实数K 的取值范围.
18．过抛物线2
4y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1
()2
OM OA OB =
+，1
()2
ON OC OD =+．
（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；
（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．
19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2
y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且
MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；
（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．
思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.
解：（1）法一：设2
00(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），
则直线MF 的斜率为k -，方程为2
00()y y k x y -=-．
∴由2
002()y y k x y y x
⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得2
00(1)0ky y y ky -+-=，
解得0
1F ky y k
-=，∴ 202
(1)F ky x k -=， ∴00220000
222
11214(1)(1)2E F EF
E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-
--===
=---+--
(定值)．所以直线EF 的斜率为定值． 法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，
由2
002
11
,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．
∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即
0102
11
y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．
所以，121222
1212120
11
2EF y y y y k x x y y y y y --=
===---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可
得出一组平行弦．
（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为2
00()y y k x y -=-
由2
002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+
设重心G （x , y ），则有2222
00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨
+--+++⎪===-⎪⎩
消去参数0y 得2122()9273
y x x =
->．
20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+． （1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；
（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，
过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。