(教案)复数的四则运算

复数的四则运算

【第一课时】

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？ 二、新知探究

探究点1：

复数的加、减法运算

（1）计算：（5－6i ）＋（－2－i ）－（3＋4i ）；

（2）设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i （x ，y ∈R ），且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2． 解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i ＝－11i ． （2）因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ，

所以（3＋x ）＋（2－y ）i ＝5－6i ，

所以⎩⎨⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎨⎧x ＝2，y ＝8，所以z 1－z 2＝（2＋2i ）－（3－8i ）＝（2－3）＋[2－（－8）]i

＝－1＋10i ．

解决复数加、减运算的思路

两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将

这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．

探究点2：

复数加、减法的几何意义

已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0，3＋2i ，－2＋4i ．

（1）求AO

→表示的复数；

（2）求CA

→表示的复数．

解：（1）因为AO

→＝－OA →，

所以AO →表示的复数为－（3＋2i ），即－3－2i ． （2）因为CA

→＝OA →－OC →， 所以CA →表示的复数为（3＋2i ）－（－2＋4i ）＝5－2i ． 互动探究：

1．变问法：若本例条件不变，试求点B 所对应的复数．

解：因为OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为（3＋2i ）＋（－2＋4i ）＝1＋6i ．所以点B 所

对应的复数为1＋6i ．

2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC ，BO 的交点M 对应的复数．

解：由题意知，点M 为OB 的中点，

则OM →＝12OB →

，由互动探究1中知点B 的坐标为（1，6），得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，3，所以点M

对应的复数为1

2＋3i ．

复数加、减法几何意义的应用技巧

（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．

（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 三、课堂总结

1．复数加、减法的运算法则及加法运算律

（1）加、减法的运算法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，则z 1＋z 2＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ，z 1－z 2＝（a －c ）＋（b －d ）i ．

（2）加法运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1．

②结合律：（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）． 2．复数加、减法的几何意义

如图所示，设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ）对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2

→，四边形OZ 1

ZZ 2

为平行四边形，则与z 1

＋z 2

对应的向量是OZ →，与z 1

－z 2

对应的向量是Z 2Z 1

→

．

四、课堂检测

1．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）的结果为（ ） A ．5－3i B ．3＋5i C ．7－8i

D ．7－2i

解析：选C ．（6－3i ）－（3i ＋1）＋（2－2i ）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i ＝7－8i ． 2．已知复数z 1＝（a 2－2）－3a i ，z 2＝a ＋（a 2＋2）i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a 的值为____________．

解析：由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋（a 2－3a ＋2）i 是纯虚数，得⎩⎨⎧

a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0⇒a ＝－2．

答案：－2

3．已知复数z 1＝－2＋i ，z 2＝－1＋2i ． （1）求z 1－z 2；

（2）在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量．

解：（1）由复数减法的运算法则得z 1－z 2＝（－2＋i ）－（－1＋2i ）＝－1－i ．

（2）在复平面内作复数z 1

－z 2

所对应的向量，如图中OZ

→．

【第二课时】

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？ 二、新知探究

探究点1： 复数的乘法运算

（1）（1－i ）⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12＋32i （1＋i ）＝（ ）

A ．1＋3i

B ．－1＋3i

C ．3＋i

D ．－3＋i

（2）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则（a ＋b i ）2＝（ ） A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i

D ．3＋4i

（3）把复数z 的共轭复数记作z －，已知（1＋2i ） z －＝4＋3i ，求z ．

解：（1）选B ．（1－i ）⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12＋32i （1＋i ）